Die mathematische Betrachtung von Draws

Einleitung

In diesem Artikel

• starke und schwache Draws
  
• busted Draws
  
• verbessere dein Spielgefühl
  

Wenn du die Goldsektion bisher aufmerksam durchgearbeitet hast, wirst du schon gelernt haben, wie du starke und schwache Draws spielst und wie du mit busted Draws am River agierst. Semibluffs, Bluffbets, Balancing und Freecards sind dir ebenfalls nicht unbekannt.

In diesem Artikel erwartet dich nun eine etwas abstraktere Sichtweise im Spiel mit Draws. Die rein mathematische. Sie wird dir helfen No-Limit Hold'em ein Stück besser zu verstehen und dein Spielgefühl zu verfeinern.

Definition

Zu Beginn musst du natürlich erst einmal wissen, wie der Begriff eines Draws genau eingegrenzt ist. Auf der rechten Seite findest du noch einmal die Definition.

Du hältst mathematisch gesehen dann eine drawing Hand, wenn deine Potequity größer als 0% ist.

Einen maximalen Potequity-Wert, welchen du nicht überschreiten darfst um nicht mehr von einem Draw zu sprechen, gibt es nicht.

Intuitiv könntest du eventuell den Gedanken haben, dass man nicht mehr von einem Draw sprechen würde, wenn die Hand eine größere Potequity als den Durchschnittswert hat. Das ist nicht korrekt.

Schau dir dazu die beiden folgenden Handbeispiele an:

Spieler 1: 7, 7
Spieler 2: 7, 5
Spieler 3: A, K

Flop: 2, 3, 4

Equityverteilung:
Spieler 1 (7, 7): 27.461%
Spieler 2 (7, 5): 22.595%
Spieler 3 (A, K): 49.943%

Wie du siehst hat Spieler 1 weniger als die Durchschnittsequity (33%), obwohl er am Flop den Showdown noch gewinnen würde. Seine Hand entspricht nicht der Definition eines Draws, würde jedoch anhand eines maximalen Potequity-Wertes darunter fallen.

Ähnliches gilt für Spieler 3. Er würde momentan den Showdown nicht gewinnen, hat jedoch mehr als die Durchschnittsequity. Dennoch hält er hier am Flop einen Draw.

Dieses Beispiel mag gestellt aussehen. Jedoch kann auch eine ähnliche Situation in einer Heads-Up Konfrontation auftreten.

Spieler 1 (K, Q):Equity: 72.322%
Spieler 2 (2, 2): Equity: 27.678%

Flop: J, T, 5

Diese beiden Beispiele zeigen eindeutig, dass es keinen maximalen Equitywert gibt, um eine drawing Hand abzugrenzen.

Bedeutung von Draws in No-Limit Hold'em

Die Tatsache, dass No-Limit Hold'em ein drawing Game ist, macht den gesamten Reiz beim Pokern aus. Denn die meisten Pokervarianten sind Drawvarianten, bei denen man entweder offen oder verborgen auf eine Hand drawen kann. Die einzige populäre non-drawing Variante wäre Chinese Poker.

Aufgrund von Draws entsteht nun das Konzept der Potequity, welches das gesamte Spiel in eine neue Richtung verschiebt. Nun kann es mathematisch korrekt sein, mit der schlechteren Hand einen Betrag x mitzugehen, wenn zuvor schon ein Betrag y als Deadmoney in der Mitte liegt.

Du hast also die Möglichkeit, auf zukünftige Ereignisse, welche du nicht beeinflussen kannst, zu reagieren, da sich dort die Handstärke der Spieler verschieben kann. Konzepte wie Implied und Reverse Implied Odds beruhen allein darauf.

Du siehst also, dass Draws der wichtigste Bestandteil im Spiel sind, da sich so die Handstärke im Verlauf einer Hand verändern kann und du dich immer auf die neuen Umgebungsvariablen einstellen kannst. Hier kommt der Skill des Spielers zum Tragen.

Die nachfolgenden Konzepte richtig zu verstehen bedeutet daher gleichzeitig, das Pokerspiel zu verstehen.

Der Redraw

Die Equity gibt dir immer an, zu wie viel Prozent du mit einer Handrange x gegen eine Handrange y am Showdown gewinnen wirst. Hierbei müssen die Handranges x und y immer aus mindestens einer Hand bestehen.

Das Programm Equilator kann dir diese Berechnung für jede Situation innerhalb von Sekunden durchführen und dir immer näherungsweise deine konkrete Equity nennen.

Aufgrund dieser vorhandenen Equity kannst du nun auch als Underdog bei akzeptablen Pot Odds eine Bet callen. Als Bronzemember hast du schon diese Konzepte kennen gelernt und kennst auch Methoden, wie du deine eigene Equity gegen verschiedene Hände aufgrund von Outs berechnen kannst.

Diese Frage wurde noch in keinem der Artikel beantwortet und soll nun an dieser Stelle mathematisch beleuchtet werden.

Spieler 1: A, K
Spieler 2: Q, J
<!--

Board: K, 7, 2

Equityverteilung:
Spieler 1 (A, K): 61.4%
Spieler 2 (Q, J): 38.6%

<!--

Spieler 2 kann die Hand also noch mit einem Flush, Twopair, Trips oder einer Straight gewinnen.

Spieler 1: K, K
Spieler 2: Q, J
<!--

Board: K, 7, 2

Equityverteilung:
Spieler 1 (K, K): 73.5%
Spieler 2 (Q, J): 26.5%
<!--

In Beispiel 4 hat Spieler 1 einen Redraw auf Quads und ein Full House. Dies erkennst du auch an seinem kleinem Equitysprung im Vergleich zu Beispiel 3. Jedoch kann man diesen Sprung nicht allein auf den neu dazu gewonnen Redraw zurückführen, da Spieler 2 nun einen völlig anderen Draw hält.

In Beispiel 3 hat Spieler 2 neben seinem Flushdraw auch noch die Möglichkeit, mit einem Runner Runner Twopair oder Trips die Hand zu gewinnen, was in Beispiel 4 nicht mehr möglich ist. Ein Vergleich, um nur die Auswirkung des neuen Redraws zu sehen, ist daher unangebracht.

Mit ein wenig Fingerspitzengefühl kannst du jedoch die vollen Funktionen des Equilators ausnutzen. Denn in diesem Programm besteht die Möglichkeit, Deadcards einzugeben, welche bei der Equityberechnung nicht berücksichtigt werden. Sie sind dann so gesehen aus dem Deck herausgenommen. Durch diesen kleinen Kniff kannst du nun zwei Konstellationen equitytechnisch so vergleichen, dass du allein die Auswirkung eines Redraws sehen kannst.

Folgende Karten sind in Beispiel 3 tot:
Q, Q, Q, J, J, J, K, A, A, A

Folgende Karten sind in Beispiel 4 tot:
Q, Q, Q, J, J, J, A, A, A, A

Beispiel 3:

Board: K, 7, 2

Spieler 1 (A, K): 57.98%
Spieler 2 (Q, J): 42.02%
<!--

BEISPIEL 4:

Board: K, 7, 2

Spieler 1 (K, K): 73.78%
Spieler 2 (Q, J): 26.22%
<!--

Nun ist gewährleistet, dass exakt 35 Karten im Deck sind, wovon die Outs für Spieler 2 in beiden Konstellationen genau identisch sind. In Beispiel 4 hat Spieler 1 nun lediglich den Redraw auf das Full House/Quads.

Die Equity verschiebt sich nun um 15.8 Prozentpunkte zu Spieler 1 bzw. erhöht sich um 27.25%.

Aber was bringt dieser Redraw für Spieler 1 genau?

Am Turn hat er Outs auf jede 7, 2 und den letzten König. Dies macht insgesamt 7 Outs. Trifft er am Turn nicht, so hat er bis zum River insgesamt nochmal 10 Outs.

Die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler 1 seinen Redraw trifft ist daher:

1 - ((28/35) * 24/34)) = 1 - (48/85) = 43.53%

Die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler 2 den Flush trifft liegt bei:

1 - ((27/35) * (26/34)) = 1- (351/595) = 41.01%

Das bedeutet also, dass Spieler 2 zu 17.85% seinen Flush trifft, dennoch aber den Showdown gegen ein Full House/Quads verliert.

Du siehst, dass ein Redraw immer einen Equitysprung zur Folge hat. Je stärker der gegnerische Draw ist, desto eher siehst du auch die Auswirkung eines kleinen Redraws. Selbstverständlich vergrößert sich auch der Equitysprung aufgrund der Stärke deines Redraws. Ein Redraw am Flop auf ein Full House/Quads ist dabei der stärkste Redraw, der auftreten kann und hat somit auch die größte Auswirkung.

Die Blockingkarte

Neben dem Redraw gibt es auch noch eine weitere Möglichkeit, wie du die Stärke eines gegnerischen Draws schwächen kannst. Das Halten einer Karte, die als ein Out für den gegnerischen Draw zählt, verringert die Chance, dass er seinen Draw vervollständigt.

Daraus ergibt sich die Frage, wie wichtig es für dich sein kann, eine solche sog. Blockingkarte in deiner Hand zu halten.

Um die Auswirkungen von Blockingkarten zu sehen, schau dir folgende Beispiele an.

Board: K, 7, 2

Spieler 1 (7, 4): 45.25%
Spieler 2 (Q, J): 54.75%

Board: K, 7, 2

Spieler 1 (7, 4): 51.31%
Spieler 2 (Q, J): 48.69%

Hier hat Spieler 1 aufgrund seiner beiden Blockingkarten einen Equitysprung um 6.06 Prozentpunkte bzw. um 13.39%.

Auch hier gilt wieder, je nachdem wie groß der prozentuale Anteil an geblockten Outs des gegnerischen Draws ist, desto besser ist dies für dich. Hält dein Gegner beispielsweise einen Gutshot mit einer Overcard und du hältst eine oder zwei Blockingkarten, so wirst du einen höheren Equitysprung bemerken, als wenn dein Gegner einen Flushdraw + Overcards hat und du nur eine Flushkarte blockst.

Commitment mit einem Draw

Manche Spieler wissen nie, ob sie sich mit ihrem Draw zur Hand commiten wollen oder nicht. Einige gehen mit diesem Konzept zu leichtfertig um, andere wissen nicht um dessen Existenz. In diesem Abschnitt wirst du nun sehen, was es mit commiting Raises und dem Spiel mit Draws auf sich hat.

Von commiten spricht man dann, wenn du dir durch eine vorherige Aktion auf einen gegnerischen Push solche Pot Odds gibst, dass EV(Call) > EV(Fold) ist.

Ein oft gesehenes Beispiel ist eine 4-Bet preflop, bei der sich der Spieler zur Hand commitet und einen Push des Gegners immer callen muss.

1$/2$ No-Limit Hold'em (6 handed)

Hero $200
MP $130

Preflop: Hero is UTG with A, K
Hero raises to $7, MP reraises to $25, 4 folds, Hero reraises to $70, MP reraises to $130 (All-In)

Gibst du dem Gegner eine tighte Handrange von AK, JJ+, so hast du mit AKs eine Equity von 42.14%.

Da sich der Gegner hier in einer klaren raise-or-fold Situation befindet, kannst du die komplizierte Berechnung des EVs eines möglichen Postflopspiels vernachlässigen und davon ausgehen, dass der Gegner hier niemals deine 4-Bet nur callen wird.

Isoliert betrachtet, kannst du sowohl den schlussendlichen All-In Call wie die 4-Bet betrachten.

EV(All-In Call) = 0.4214 * $203 - (1-0.4214) * $60 = $85.5442 - $34.716 = $50.8282
EV(4-Bet) = f * $35 + (1-f) * (-$63)

Um den EV beider Aktionen zusammen zu berechnen, musst du folgenden Term aufstellen:

EV(4-Bet + All-In Call) = f * $35 + (1-f) * (EV(Call nach Commitment) - $63)
EV(4-Bet + All-In Call) = f * $35 + (1-f) * ((0.4214 * $203 - (1-0.4214) * $60) - $63)
EV(4-Bet + All-In Call) = f * $35 + (1-f) * ($50.8282 - $63)

Ob nun die Aktionskette +EV oder -EV ist, kannst du nur dann berechnen, wenn du auch von einer erzeugten Foldequity ausgehst.

Bei f = 0.3 würde gelten:

EV(4-Bet) = 0.3 * $35 + (1-0.3) * (-$63) = $10.5 - $44.1 = -$33.6

EV(4-Bet + All-In Call) = 0.3 * $35 + (1-0.3) * ($50.8282 - $63)
EV(4-Bet + All-In Call) = $10.5 - $8.52 = $1.97974

Die 4-Bet ist isoliert betrachtet -EV und der schlussendliche All-In Call, zu welchen du dich durch die 4-Bet commitet hast, ist +EV. Du darfst jedoch nicht einfach beide Erwartungswerte addieren, um den EV der Aktionskette zu erhalten.

Du siehst daher, dass wenn dein Gegner zu 30% auf deine 4-Bet foldet und zu 70% All-In pusht, du durch deine 4-Bet mit dem All-In Call einen EV von $1.97974 hast und somit eine +EV Situation erzeugt hast.

Jedoch zeigt sich in diesem Beispiel noch nicht wirklich, was der Sinn eines commiting Raises ist. Daher nun ein etwas anspruchsvolleres Beispiel, an dem du dann auch schlussendlich die Stärke eines commiting Raises erkennen wirst.

1$/2$ No-Limit Hold'em (6 handed)

Hero $200
CO $129

Preflop: Hero is BB with T, 9
2 folds, CO raises to $7, 2 folds, Hero calls.

Flop: ($15) K, Q, 2
Hero checks, CO bets $12, Hero raises to $32, CO reraises to $122 (All-In)

Du hast nun einen Flushdraw + Gutshot, was ohne Discount 12 Outs machen würde. Da dein Flushdraw nicht sehr hoch ist und du bei deinem Gutshot das Idiot-End hältst, solltest du insgesamt 2 Outs abziehen. Dir würden immer noch 10 Outs bleiben, was einer Equity von ungefähr 40% entsprechen würde. Du brächtest also Pot Odds von 1: 1.5, um einen +EV Call zu haben.

In dem Beispiel hast du nun 90$ bei einer Potsize von $169 zu callen. Das macht Pot Odds von 1: 1.87. Ein Call ist daher +EV. Du kannst also sagen, dass dein Checkraise am Flop dich zur Hand commitet hat, falls dein Gegner am Flop nun All-In stellt.

Die Frage ist nun, ob es gut war, den Flop mit deinem Draw zu checkraisen und dich mit deinem Draw zu commiten?

Gut bedeutet in diesem Fall, dass du am Flop mit deiner Line checkraise/call eine +EV Aktionskette provoziert hast. Um das zu bestimmen, kannst du nun ähnlich wie bei der preflop 4-Bet versuchen, den EV der Aktionskette zu berechnen.

Annahme:

Du hast gegen die gegnerische Pushingrange am Flop 40% Equity.
f sei die Foldequity.
c sei die Wahrscheinlichkeit, dass der Gegner dein Checkraise callt.

EV(All-In Call) = 0.4 * $169 - 0.6 * $90 = +$13.6
EV(Gegner callt das c/r) = EV(Postflop)

Der EV(postflop) ist > 0, da du nach einem gegnerischen Call immer c/f Turn spielen kannst und somit eine sichere break even Line spielen kannst. Da du jedoch ein guter Spieler bist, kann man davon ausgehen, dass du diese Line im Allgemeinen je nach Gegner und Boardtextur schlagen kannst. Somit wird EV(Postflop) > 0 sein.

EV(c/r Flop) = f * $27 + (1-f) * -$32

EV(Aktionskette) = f * $27 + (1-f) * (c * (EV(Postflop)-$32) + (1-c) * (EV(All-In Call) -$32))
EV(Aktionskette) > f * $27 + (1-f) * (c * (-$32) + (1-c) * ($13.6 -$32)
text

Mögliche Annahmen für c und f:

c = 0.6, f = 0.2 text

EV(Aktionskette) > 0.2 * $27 + (1-0.2) * (0.6 *(-$32) + (1-0.6) * ($13.6 -$32))
EV(Aktionskette) > $5.4 + 0.8 * ((-$19.2) - $7.36)
EV(Aktionskette) > $5.4 - $21.248 = -$15.848
text

Um den ganzen Term allgemein auszudrücken werden folgende Variablen hinzugezogen:

• Foldequity : f
• Potsize : p
• Betsize : b
• Wahrscheinlichkeit Gegner callt c/r : c
• EV(All-In Call) : y
• EV(Postflop) : x

Es ergibt sich folgender Term zur Berechnung des EV:

EV(Aktionskette) > f * p + (1-f) * (c * (x-b) + (1-c) * (y-b)

Erhältst du nun, wie im oberen Beispiel für EV(Aktionskette) einen negativen Wert, so kannst du durch folgende Berechnung herausfinden, wie viel EV deine Postflopline bei einem gegnerischen Call haben, muss um die Aktionskette dennoch als +EV Spielzug dastehen zu lassen:

x > (f * ((1-c) * y - p - b) - (1-c) * y + b)/(c(1-f))

In diesem Beispiel erhältst du nun einen Wert x > $33.016. Das bedeutet für dich, dass du bei diesen gegnerischen Calling- und Pushingfrequenzies diesen EV durch deine Aktionen nach dem Turn erreichen musst, um das Checkraise zu einem +EV Spielzug zu machen.

Nun das Beispiel mit etwas realitätsnäheren Calling- und Pushingfrequenzies bei deinem Gegner:

c = 0.25, f = 0.55

EV(Aktionskette) > 0.55 * $27 + (1-0.55) * (0.25 *(-$32) + (1-0.25) * ($13.6 -$32))
EV(Aktionskette) > $14.85 + 0.45 * ((-$8) -13.8)
EV(Aktionskette) > $14.85 - $9.81 = +$5.04

Du siehst, dass du mit diesen Werten selbst dann ein +EV Checkraise hast, wenn du nach einem gegnerischen Call jeden Turn check/fold spielen würdest (Das wäre natürlich unrealistisch, da du einen getroffenen Flush wohl kaum am Turn aufgeben würdest).

Ob nun jedoch das Checkraise und das Commitment wirklich die beste Line ist, steht auf einem anderen Blatt, da du, um das herauszufinden, den EV aller anderen möglichen Lines berechnen müsstest und diese dann miteinander vergleichen musst.

Aber ist das commiting Raise in diesem Beispiel nun eine gute Wahl? Was hat diese ganze Berechnung nun gebracht?

Du hast erkannt, dass ein commiting Raise gegen die richtigen gegnerischen Calling- und Pushingfrequenzies +EV sein kann. Dieses Handbeispiel sollte dir jedoch zeigen, dass ein direkter Push sehr wahrscheinlich die bessere Line wäre. Ohne dies auszurechnen kommt die Vermutung daher, dass du bei einer Checkraise/call Line den Gegner sehr oft dazu bewegst, bessere Draws selbst zu pushen. Unglücklicherweise ist deine Equity gegen bessere Draws jedoch schlechter als gegen made Hands.

Würdest du aufgrund dessen in diesem Handbeispiel selbst direkt den Flop overbetten und pushen, so könnte der Gegner bessere Flushdraws eher folden, was deiner Equity vs. die gegnerische Callingrange nur entgegen kommen würde. Ändert man das Beispiel jedoch nun etwas ab und gibt dir einen Nutflushdraw mit Gutshot, so würde deine Equity steigen, wenn dein Gegner nun selbst mit Draws All-In geht, da du diese dominierst.

Die wahre Stärke eines commiting Raises liegt also darin, die gegnerische Handrange so zu beeinflussen, dass deine eigene Equity im Vergleich zu einem direkten Push deinerseits steigt. Diese Argumentation bezieht nun ein, dass du mit beiden Lines prozentual gesehen die gleiche Foldequity erzeugst, dann jedoch gegen zwei unterschiedliche Handranges spielst.

Anmerkung:

Das Problem der Transparenz der eigenen Hand ist bei dieser mathematischen Überlegung völlig vernachlässigt worden. Spielst du diese Lines zu offensichtlich, kann dein Gegner folgende Information gewinnen:

• Direkter Push = schwacher Draw
• Commiting Raise = Nutdraw + Monster

Durch diesen gegnerischen Read können die Calling- und Pushingfrequenzies so verschoben werden, dass du durch das weitere Postflopspiel einen recht hohen EV benötigst, um commiting Raises +EV werden zu lassen (Vergleich mit der T, 9 Hand).

Wie wichtig ist das Balancing der eigenen Handrange?

Im Spiel mit Draws stellt sich dir oft die Frage, wie wichtig das eigentliche Balancing deiner Handrange ist. Ist es sehr schlimm, wenn dein Gegner weiß, dass deine Handrange zu 100% aus Draws besteht oder kann er mit dieser Information nicht viel anfangen?

Um diese Fragestellung auf einer theoretischen Ebene zu begegnen, stelle dir folgendes Beispiel vor:

Du bist Heads-Up am Turn in Position und dein Gegner bettet nun in dich hinein.

• Handrange a) Du hältst nur Draws und hast gegen die gegnerische Bettingrange eine Equity von 25%.
• Handrange b) Du hältst nun einige Nuthände und einige schwache Draws und hast gegen die gegnerische Handrange eine Equity von 25%.

Welche Handrange ist für dich besser und worin besteht der Unterschied? Vom Showdownvalue hast du mit beiden Handranges exakt den gleichen Erwartungswert. Würdest du nun mit deinen kompletten Handranges pushen und der Gegner mit seiner kompletten Bettingrange callen, so würdest du in beiden Fällen in 25% der Fälle einen Showdown gewinnen. Auf den ersten Blick besteht hier also kein so großer Unterschied.

Versuchst du nun gegen die gegnerische Handrange optimal zu spielen, so wirst du erkennen, dass dich das erste Szenario sehr stark in deinen Möglichkeiten einschränkt. Bei einer optimalen Spielweise würdest du die Turnbet aufgrund von Odds und Outs callen, um dann am River zu betten/raisen. Triffst du deinen Draw wäre diese Bet/Raise ein Valueraise,. Verfehlst du aber, so bluffst du in einem optimalen Verhältnis deine busted Draws, um den Gegner unentschlossen im Callen deiner Valueraises zu machen. Dein Nachteil ist dabei, dass du bis zum River warten musst, um deinen Gegner vor eine Entscheidung zu stellen, welche ihm Schwierigkeiten bereitet und zu Fehlern führen wird.

Hast du jedoch eine zusammengewürfelte Handrange, bestehend aus schwächeren Draws und Nuthänden, so kannst du bei einer optimalen Spielweise schon am Turn aktiv werden und dort mit deinen legitimen Händen for Value raisen bzw. diese mit Semibluffs balancen. Ebenso steht dir weiterhin die Möglichkeit offen, die Turnbet zu callen, um am River deine getroffenen Draws sowie deine Nuthände ebenfalls for Value zu betten und mit Bluffraises diese Handrange zu balancen.

Du hast mit einer zusammengewürfelten Handrange nun mehr Möglichkeiten gegen deinen Gegner zu spielen und dir fällt es insgesamt leichter, deine Handranges für die einzelnen Situationen zu balancen. Der Grund dafür ist, dass du nun verschiedene Handtypen repräsentieren kannst.

Kann dein Gegner deine Handrange auf einen klaren Handtypen eingrenzen, so wird er es einfacher haben gegen diese Handrange korrekt zu spielen, da es dir schwerer fallen wird deine Lines zu balancen. Overall wirst du daher mit einer zusammengewürfelten Handrange immer einen höheren EV erreichen können.

Semibluffing und Blufffrequencies

Zum Thema Semibluffs findest du in der Goldsektion gesonderte Artikel. Hier wirst du nun eine weitere mathematische Betrachtung finden, wie du das Spiel mit Semibluffs analysieren kannst.

Zu Beginn wird nun von einem All-In Semibluff ausgegangen.

Spielst du einen Semibluff, so benötigst du folgende Informationen, um den EV deines Semibluffs berechnen zu können:

• Erzeugte Foldequity : f
• Equity vs. gegnerische Callingrange: E
• Potsize: p
• Eigene Betsize : b

EV(All-In Semibluff) = f * p + (1-f) * (E * (p+b) - (1-E) * b) 

Dieser Term ist so aufgebaut, dass du zuerst den Gewinn berechnest, wenn dein Gegner foldet und diesen zu dem Profit/Verlust addierst, wenn dein Gegner callen sollte. Du siehst also, dass du immer Gewinn einfahren wirst, wenn dein Gegner auf dein All-In Semibluffraise foldet, da dann nur noch du und der Pot übrig sind. Der mögliche negative Erwartungswert eines All-In Semibluffs kann daher nur aus der Situation kommen, wenn dein Gegner deinen Push callt. Und zufälligerweise spielt genau in diesem Teil des Terms die Equity gegen die gegnerische Handrange eine große Rolle bei der Frage, ob du Gewinn oder Verlust einfahren wirst.

Der zu analysierende Teilterm ist daher:

EV(Gegner callt) = E * p - (1-E) * b

Ist dieser Term größer 0, so wirst du auch Profit erwirtschaften. Zur Analyse löst du diesen Teilterm nach dem Verhältnis zwischen Betsize und Potsize auf und erkennst dann einen Zusammenhang zur Equity.

0 < E * p - (1-E) * b
(1-E) * b < E * p
b/p < E / (1-E)

Tabelle für Betsize/Potsize Verhältnisse und deren Mindestequity:

Du siehst also sofort, je größer deine Equity ist, desto größer kann dann auch dein schlussendliches b/p Verhältnis bei deinem All-in Semibluffraise sein, um auch in diesem Fall einen Gewinn zu erzielen.

Kannst du also nun die gegnerische Callingrange so gut einschätzen, dass du deine Equity nahezu optimal abschätzen kannst, so kannst du mit der oberen Tabelle nun perfekte All-In Semibluffraises ansetzen, da du dann Situationen heraufbeschwören kannst, in denen du nur gewinnen kannst. Doch bedenke auch: Um einen +EV Semibluff durchzuführen, müssen nicht beide Teilterme einen positiven Erwartungswert haben. Es reicht vollkommen, wenn sich beide soweit ausgleichen, dass am Ende noch ein positiver Erwartungswert stehen bleibt.

Der zweite, etwas kompliziertere Fall ist nun, wenn es sich nicht um einen All-In Semibluffraise handelt.

Die mathematische Betrachtung des Ganzen wird dabei schwieriger, da nun sehr viele Annahmen über unzählige mögliche weitere Postflopaktionen angestellt werden müssen. Hältst du einen sehr starken Nutdraw, so kannst du die obere Betrachtung zum commiting Raise einbeziehen, um eine mathematische Lösung der Spielsituation zu ergründen.

Bei schwachen Draws wird es nun noch einen Schritt schwieriger, da du in diesem Fall postflop mehr Möglichkeiten hast, da du

• Von deiner Hand noch wegkommen kannst
• eventuell gute Karten bluffen kannst, um andere Hände/Draws zu repräsentieren

Eine einfache mathematische Betrachtung ist daher nicht möglich.

Was jedoch bei Semibluffs oftmals ein Problem sein kann, wenn du dich mit deiner Bet nicht commitest ist, dass du durch ein weiteres Raise von deinem Draw heruntergeraist wirst und deine Hand folden musst. Dies hat immer ein besonderen Nachgeschmack, da du ohne deinen Semibluff eine weitere Karte hättest sehen können, wohingegen du nun durch den Semibluff keine weitere Karte mehr siehst und deine volle Potequity durch den Fold aufgibst.

Daher auch hierzu eine mathematische Betrachtung, um eventuell etwas Durchblick in diesen Situationen zu bekommen.

1$/2$ No-Limit Hold'em (6 handed)

Preflop: Hero is Button with 5, 4
3 folds, Hero raises to $7, SB folds, BB calls.

Flop: ($15) K, T, 2
BB checks, Hero bets $12, BB calls.

Turn: ($39) A
BB checks, Hero ?

Solltest du nun mit deinem Gutshot semibluffen oder behindchecken und hoffen die Strasse zu treffen? Bei einem Checkbehind würdest du dann auch nur weiterspielen, wenn du die Strasse triffst.

So einfach ist diese Frage jedoch nicht zu beantworten, da bisher noch keine Informationen über die Stacksizes vorliegen. Insgesamt habt ihr die Hand sehr deep begonnen:

Hero $409
BB $500

Deine Möglichkeiten seien nun eine Potsizebet am Turn als Semibluff oder ein Checkbehind.

Um nun eine mathematische Analyse vorzunehmen gehst du davon aus, dass dein gegner dich zu 1/3 der Fälle am Turn All-In checkraist und zu 2/3 der Fälle auf deinen Semibluff folden wird. Auf das Checkraise wirst du dann natürlich deine Hand aufgeben und folden.

Den EV des Bluffs kannst du nun recht einfach berechnen:

EV(Bluff) = 2/3 * $39 - 1/3 * $39= +$13

Der Semibluff ist also +EV. Doch wie sieht es nun mit dem Checkbehind aus? Triffst du deine Strasse, so kannst du davon ausgehen, dass du in x% der Fälle deinen Gegner stacken kannst. Deine Odds den Gutshot zu treffen stehen bei 4:44 -> 1:11.

EV(check) = 10/11 * 0 + 1/11 * (x * $429 + (1-x) * $39)

Gelingt es dir nun in 33% der Fälle deinen Gegner zu stacken, so sieht der EV des Checks wie folgt aus.

EV(check) = 10/11 * 0 + 1/11 * (1/3 * $429 + (1-1/3) * $39)
EV(check) = 0 + 1/11 * 1/3 * $429 + 1/11 * 2/3 * $39
EV(check) = 0 + $13 + $2.36 = +$15.36

Semibluffen ist also +EV. Doch wie sieht es mit einem Checkbehind aus? Triffst du deine straße, wird es dir gelingen deinen Gegner in x% der fälle zu stacken.

Die Chance zu treffen ist 4/44
EV(check) = 10/11 * 0 + 1/11 (x * 1100 + (1-x) * 100)

Trifft dies nun beispielsweise in 33% der Fälle ein (ähnlich wie die 33% c/r All-In bei bet), so sieht dein EV folgendermaßen aus:

EV(check) = 10/11 * 0 + 1/11 (1/3 * 1100 + 2/3 * 100)
EV(check)= 0 + 1/11 * 1/3 * 1100 +1/11 * 2/3 * 100
= 0 + 33.33 + 6.06 = 39.39

Ein Check hätte in dieser Situiation also einen größeren EV als ein Semibluff, obwohl dieser natürlich ebenfalls +EV wäre. Mit ein wenig mathematischem Geschick kannst du die Formel so weit umformen, dass du sehr einfach sehen kannst, zu wie viel Prozent du den Gegner stacken musst, damit EV(check) > EV(Semibluff) ist.

13 < 1/11 *429x + 1/11 * 42.9 *(1-x)
13 < 39x + 39/11 - 39/(11x)
13 < 39x + 3.54 - 3.54x
9.45 < 35.46x
x> 9.45/35.46
x > 0.2667 -> 27%

Stackst du deinen Gegner also in mehr als 27% der Fälle nachdem du deine Straße getroffen hast, so ist ein Check bei den angenommenen Wahrscheinlichkeiten profitabler als ein Semibluff.

In diesem Beispiel wurde die Option des Checkbehinds sogar noch etwas negativer betrachtet, als sie es wirklich ist, da es durchaus sein kann, dass du am River ein Paar triffst, die Hand runtergecheckt wird und du den Pot gewinnen kannst. Ebenso sind mögliche +EV Bluffspots am River vernachlässigt worden.

Jedoch stellt sich dir sicher immer noch die Ausgangsfrage, wann du ein Checkraise des Gegners riskieren solltest und dich von deiner Hand runterraisen lassen sollst. Hierzu musst du erst einmal alle möglichen Faktoren aufzählen, die bei dieser Frage eine Rolle spielen:

• Die Wahrscheinlichkeit, dass der Semibluff gelingt.
• Die Wahrscheinlichkeit, dass dich dein Gegner von deiner Hand runter checkraist.
• Den Wert, den deine Hand hat, falls du deinen Draw nicht triffst.
• Die Wahrscheinlichkeit, dass dein Draw ankommt.
• Deine implied Odds, falls du deine Hand machst.

Diese Faktoren sind alle stark miteinander verbunden, weshalb eine Einzelanalyse nicht sinnvoll ist. Du kannst jedoch allgemeine Erkenntnisse folgern:

Nun muss erst einmal geklärt sein, wie der Value deines Draws genau definiert ist und wodurch er mehr oder weniger Value haben kann.

• Dein Draw hat viele Outs.
• Die effektiven Stacks sind groß.
• Dein Gegner ist eine Callingstation.
• Du drawst zu den Nuts.

Du siehst, die letzten drei Argumente für einen erhöhten Value deines Draws sind implied Odds Booster, die eben nur dann wichtig sind, wenn du auch eine Riverkarte zu Gesicht bekommst und weitere Aktionen sehen kannst.

Das mag eventuell gegen deine eigentliche Intuition gehen, da du denken magst, dass wenn du etwas Value hast, du auf der einen Seite for Value betten kannst und dabei noch den Pot etwas builden kannst, um bei einem Hit am River eine höhere Valuebet anzusetzen.

Ganz korrekt ist das jedoch nicht. Denn bedenke, bei der Berechnung des EV(semibluff) spielt der Value deiner Hand keine Rolle. Dein Gewinn kommt allein durch die gegnerischen Folds. Beim Checkbehind spielt der Value deines Draws eine wichtige Rolle, da du mit steigendem Value auch mehr Gewinn am River erwirtschaften kannst und somit EV(check) steigt.

Als abschließendes Beispiel kannst du diese beiden Boardtexturen vergleichen:

Board 1: Q, 9, 9, 5
Board 2: Q, 9, 5, 2

Auf beiden Boards hast du J, T

Auf welchem Board würdest du nun eher behindchecken und auf welchem eher Semibluffen?

Überträgst du die Argumente von oben, so hast du auf dem ersten Board geringere implied Odds und dein Draw somit einen geringeren Wert. Denn du drawst nur auf eine Strasse, wenn Flushdraws und Full House Möglichkeiten offen sind. Das bedeutet für dich, dass du manchmal deinen Draw komplettieren wirst, jedoch dann teuer den Showdown verlieren wirst, da dein Gegner dennoch eine bessere Hand hält.

Daher sinkt der EV eines Checks auf diesem Board. Beim zweiten Board hast du diese Probleme nicht. Du drawst auf die Nuts und hast daher am River bei einem Hit keine besseren Hände zu befürchten. Das erste Board würde sich aus diesen Gründen mit deinem OESD mehr für einen Semibluff eignen als das zweite Board.

Je schwächer dein eigener Draw ist, desto eher passt dir auch diese Spielweise in den Plan, da du auf ein Checkraise einfacher folden kannst und weniger Equity durch deinen Fold aufgibst.

Ein weiteres Konzept, das du bei schwachen und starken Draws ebenfalls beachten solltest, wenn du einen non-All-In Semibluff spielst ist "die Idee des Drucks der weiteren Bets".

Aufgrund eines großen Reststacks kannst du bei einem Semibluff den Gegner zu einem weakeren Spiel drängen und eventuell mehr Foldequity erzeugen, da der Gegner mit marginalen made Hands oft in einer Situation mit Reverse Implied Odds sitzt.

1$/2$ No-Limit Hold'em (6 handed)

Du spielst live und befindest dich nun am Turn und hast die Aktion zuvor vergessen. Ebenso hast du auch deine konkrete Hand vergessen, willst aber nicht nachschauen, da du so eventuell einen Read geben könntest. Was du jedoch weißt ist, dass du keine Hand hältst, die du for Value betten kannst.

Turn: J, T, 7, 6

Der Gegner checkt zu dir und du überlegst dir nun eine Potsizebet abzugeben. Dafür nun zwei unterschiedliche Szenarien:

• Du hast keinen Reststack und wärst dadurch All-In.
• Dein Reststack beträgt nach deiner Turnbet noch vierfache Potsize.

In welchem Szenario erzeugst du mehr Druck, falls dein Gegner eine Hand wie KJ, KT oder sogar schwächere made Hands hält?

Die Entscheidung für deinen Gegner wird durch deinen Reststack um einiges schwerer, obwohl er die gleiche Hand hält. Aufgrund des Reststacks gibst du dem ihm zu denken, ob er nun die Turnbet callen soll und wie er dann auf weitere Bets am River reagieren soll. Denn für seine made Hand können am River fast nur eklige Karten kommen, falls er nicht gerade Trips oder Twopair trifft.

Im ersten Fall, würde er bei einem All-In-Push Odds von 1:2 auf seinen Call bekommen und sehr wahrscheinlich guten Gewissens mit einem Toppair callen können. Im zweiten Fall hat er jedoch ein Problem. Er hat nun nicht nur diese eine Bet zu callen, sondern muss noch weitere Kosten bis zum Showdown einrechnen, wodurch er nun in einer Reverse Implied Odds Situation steckt.

Denn da er dich als sehr guten Spieler einschätzt, der auch in der Lage ist, mit busted Draws am River in einem optimalen Verhältnis zu bluffen, ist er an dieser Stelle sehr unwissend, ob er nun nochmal callen soll oder nicht.

Du siehst, dass deine Hand nun erstmal zweitrangig ist (Du kannst hier QJ, 88, 85 etc haben), wenn viele schwache und starke Draws möglich sind. Wichtig ist jedoch, dass du erkennst wie stark die Entscheidungen deines Gegners sich voneinander unterscheiden, obwohl er beides mal ein TP hat. Aufgrund des Reststacks gibst du dem Gegner zu denken, ob er nun die Turnbet callt und eine weitere Bet am River ebenfalls bezahlt, da dort im Grunde nur schlechte Karten für ihn kommen können, die seine Hand nicht wirklich super stark verbessern können.

Im ersten Fall bekommt er 1:2 Odds und kann eigentlich recht angenehm callen, da er keine weiteren Bets mehr zu fürchten hat. Seine Reverse Implied Odds sehen daher wie folgt aus:

(Potsizebet Turn + Betrag x) : (Potsizbet Turn + Betrag x + Potsize turn)

Checkst du den River, so würden sie wie bei einem Push 1:2 betragen. Bettest du den River jedoch All-In, so betragen sie 5:6 Das ist ein enormer Unterschied und eine recht unangenehme Situation für deinen Gegner.

Was du daraus lernen kannst ist, dass du Draws am Turn eher nochmal betten solltest, wenn du einen Reststack zur Verfügung hast und denkst, dass die gegnerische Hand auf einen Betrag x am Turn aufgrund des Drucks weiterer Bets folden wird, wobei er diesen Betrag x nach einem Checkbehind am Turn am River callen würde, da er dort dann keine Reverse Implied Odds mehr zu befürchten hat.

Blufffrequenzies

Ein paar Mal wurde dieser Begriff schon in diesem Artikel angesprochen und sollte daher für dich abschließend noch zu 100% geklärt werden.

Bei eingestreuten Bluffs mit busted Draws, bei denen du keine Equity mehr hast, gilt es immer den Gegner in eine solche Situation zu bringen, dass er nicht weiß, ob er deine Bet callen soll oder nicht, da er befürchten muss, zu oft Valubets auszuzahlen. Erreichst du hier ein mathematisch berechenbares Verhältnis zwischen Bluffbets und Valuebets, so kann dein Gegner deine Strategie nicht exploiten.

Um eine solche Blufffrequenz zu berechnen, benötigst du nur zwei Parameter: 

• Die Potsize : p
• Deine Betsize : b

Aus diesen beiden Parameter ergibt sich dann die Blufffrequenz B wie folgt:

B = b / (b + p)

Hältst du diese Blufffrequenz mit deiner Handrange ein, so weiß dein Gegner nicht, ob er nun eine Riverbet callen soll oder nicht. EV(Call) = EV(Fold) würde für deinen Gegner gelten.

Neben dem Ziel deinen Gegner unentschlossen über dessen Entscheidung zu machen, willst du natürlich auch noch mit deinen Bluffs einen direkten Profit erzielen. Um diesen zu berechnen, benötigst du nur eine Annahme über die Wahrscheinlichkeit, dass dein Gegner auf deinen Bluff foldet. Das bedeutet, du musst die erzeugte Foldequity einschätzen.

EV(Bluff) = f * p - (1-f) * b
0 > f * p - (1-f) * b
f > b/(b+p)

Foldet der Gegner also öfter als b / (b + p), so machst du durch deinen Bluff einen Profit. Sollte der Gegner weniger oft folden, so wirst du durch deine Valuebets einen Profit erwirtschaften. Dein Gegner kann sich daher niemals einer perfekten Blufffrequenz anpassen.

Mathematisch ist das Thema Bluffen daher recht einfach zu beschreiben, jedoch liegt die Kunst in der korrekten Anwendung dessen. Denn du wirst kaum in der Lage sein, immer den genauen Überblick über die eigene Handrange zu haben, um dann zu wissen, mit wie vielen deiner Hände du nun bluffen musst, um deine Valuebets perfekt zu balancen. Ähnliches gilt natürlich auch für das Einschätzen der erzeugten Foldequity, welche gegnerspezifisch einzuschätzen ist und eigentlich nie linear mit der Betsize zunimmt.

Zusammenfassung

Um nun wirklich konkrete Spielweisen mit Draws zu erlernen, schaue dir auf jeden Fall die weiteren Artikel in der Goldsektion an. Dieser Artikel sollte dir nun ein etwas besseres Verständnis für den mathematischen Aspekt hinter all dem verschafft haben und dein Grundverständnis für No-Limit Hold'em gefestigt haben.

Mathematische Berechnungen zum Erwartungswert wirst du kaum am Tisch während des Spielens durchführen können, was auch nicht notwendig ist. Es reicht schon, dich abseits des Tisches mit diesen Dingen zu befassen, um so dein Gefühl zu verbessern, welches dir dann beim Spielen helfen wird, die besten Entscheidungen zu treffen.