Mathematik: Wie hilft dir der Erwartungswert EV?

Einleitung

In diesem Artikel

• EV = Gewinn * Gewinnwahrscheinlichkeit - Verlust * Verlustwahrscheinlichkeit
  
• Wie du die beste Aktion berechnest
  
• Wie du die EV-Formel verwendest, um dein Spiel zu analysieren
  

Der Erwartungswert einer Aktion sagt dir, wie viel Gewinn oder auch Verlust du im Durchschnitt machst, wenn du diese Aktion ausführst. Im Poker weißt du immer dann, welche Entscheidung die beste ist, wenn du den Erwartungswert aller dir möglichen Aktionen kennst.

Stehst du zum Beispiel vor der Entscheidung, ob du einen Einsatz callen oder folden solltest, kannst du mit dem Erwartungswert genau berechnen, welche Entscheidung die bessere ist. Das kannst du in vielen Fällen auch über die Outs und Odds, deren Konzept du unbedingt verstanden haben solltest, doch mit dem Erwartungswert kannst du noch viel weiter gehen.

Was lernst du in diesem Artikel?

In diesem Artikel erfährst du, wie du den Erwartungswert einer Aktion berechnest. Du erfährst auch, wie du mit ihm die beste Aktion unter verschiedenen Alternativen herausfindest. Und du lernst auch, wie du den Erwartungswert dazu verwenden kannst, Spielsituationen nachträglich zu analysieren und Fragen der Form „Was müsste sein, dass…?“ oder "Was wäre passiert, hätte ich das getan?" zu beantworten.

Um den Inhalt dieses Artikels wirklich zu verstehen, musst du das Prinzip der Outs und Odds verstanden haben. Ebenfalls solltest du evtl. eingeschlafene Mathematikkenntnisse zu den Grundlagen Wahrscheinlichkeitsrechnung und zum Umformen von Gleichungen bzw. Gleichungssystemen wieder auffrischen.

Wie berechnest du den Erwartungswert?

Nimm an, jemand macht dir ein Angebot. Er zeigt dir zwei Briefumschläge. In einem sind 5 Euro, im anderen 20. Du kannst sie anschauen, das glatte Papier anfassen, du spürst den Schein, aber merkst sonst keinen Unterschied.

Wenn du deinem Gegenüber 10 Euro gibst, kannst du dir einen Umschlag nehmen. Solltest du das machen? Das sagt dir der Erwartungswert. Er sagt dir, wie viel Gewinn oder Verlust du im Durchschnitt machen wirst, wenn du diesen Handel immer und immer wieder ausführst.

Du brauchst vier Werte, um ihn zu berechnen:

• Wie viel kannst du verlieren?
• Wie viel kannst du gewinnen?
• Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass du gewinnst?
• Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass du verlierst?

Die Abkürzung für Erwartungswert heißt EV und für den EV gibt es eine einfache Ausgangsformel.

Du rechnest also Gewinn und Verlust gegeneinander auf. Das ist der Erwartungswert: Wie viel bleibt unterm Strich übrig? Diese Formel ist übrigens nur eine Sonderform einer allgemeineren Ausgangsformel. In der Formel oben wird noch extra zwischen Gewinn und Verlust unterschieden. Allgemein kann man Gewinn oder Verlust aber auch Auszahlung nennen. Ist die Auszahlung positiv, machst du Gewinn. Ist sie negativ, machst du Verlust.

Die allgemeine Formel lautet wie folgt:

Diese Formel schaut einfach:

• Was kann alles passieren?
• Auszahlung_x: Wie viel erhältst oder zahlst du, wenn ein bestimmtes Ereignis x passiert?
• Wahrscheinlichkeit_x: Wie wahrscheinlich ist es, dass es passiert?

Statt jetzt also Gewinn und Verlust einzeln aufzulisten, schaust du einfach, wie viel denn herauskommt, wenn dieses oder jenes Ereignis eintritt. Die Auszahlung kann also positiv sein (du machst Gewinn), kann aber auch negativ sein (du machst Verlust). Deshalb gibt es in dieser Formel auch kein Minuszeichen. Bei Verlust wird das Vorzeichen negativ und damit wird aus dem Plus automatisch ein Minus.

Indem du alle möglichen Ausgänge der Situation betrachtest, kannst du ein genaues Ergebnis für den Erwartungswert berechnen. Du fragst, was alles passieren kann. Dann fragst du dich, was du in jedem einzelnen Fall gewinnst oder verlierst. Am Schluss findest du noch heraus, wie wahrscheinlich jeder einzelne Ausgang der Situation ist. Du multiplizierst den jeweiligen Gewinn oder Verlust mit der Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall eintritt, und addierst am Ende alle Einzelergebnisse.

In unserem Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit, dass du den oder den anderen Briefumschlag nimmst, 50:50. Briefumschlag A nimmst du zu 50%, ebenso Briefumschlag B.

Das bedeutet, dass du zu 50% 5 Euro gewinnst, das Geld in Umschlag A. Zu ebenfalls 50% gewinnst du die 20 Euro aus Umschlag B. Was du auf jeden Fall verlierst, sind die 10 Euro, die du einsetzt, um dir überhaupt einen Umschlag aussuchen zu dürfen. Das heißt, zu 100% verlierst du 10 Euro.

Setzen wir das einmal in die Formel ein:

• Zu 100% verlierst du 10 Euro, denn die bezahlst du auf jeden Fall.
• Zu 50% gewinnst du 5 Euro.
• Zu 50% gewinnst du 20 Euro.

Die Formel lautet also:

EV = Gewinn(Umschlag A) * 50% + Gewinn(Umschlag B) * 50% – Verlust(Einsatz) * 100%
EV = 5 Euro * 50% + 20 Euro * 50 % - 10 Euro * 100%

50% - das ist immer die Hälfte. 50% von 5 Euro sind also 2,50 Euro. 50% von 20 Euro sind 10 Euro.

EV = 2.50 Euro + 10 Euro – 10 Euro
EV = 2.50 Euro

Das bedeutet: Du machst im Durchschnitt 2.50 Euro Gewinn, wenn du den Handel eingehst. Der Erwartungswert ist positiv, die Situation ist +EV für dich. Diesen Begriff „plus EV“ oder auch „minus EV“ hörst du im Poker und in der PokerStrategy-Community immer wieder. Jetzt weißt du auch, was er bedeutet.

Wie findest du mit dem EV die beste Entscheidung?

Bisher sah es noch einfach aus, kann aber kompliziert werden, wenn du anfängst Spielsituationen zu analysieren. Wenn du im Poker zum Beispiel am Turn vor der Entscheidung stehst, ob du callen oder folden solltest, dann machst du ganz einfach das: Du berechnest den Erwartungswert für den Call. Du berechnest aber auch den Erwartungswert für den Fold. Dann vergleichst du beide Werte. Der höhere von beiden zeigt dir, welche Aktion am besten ist.

Gehen wir einmal in ein abstraktes Beispiel. Du hast zwei Ereignisse: A und B. Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt, liegt bei 80 Prozent. Das Ereignis B tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von 20 Prozent ein.

In diesem Beispiel kannst du einen Tipp abgeben, ob A oder ob B eintritt. Tippst du auf A und es tritt tatsächlich ein, gewinnst du zwei Euro. Du verlierst aber vier Euro, wenn B eintritt.

Im Gegenzug kannst du auch auf B tippen und vier Euro gewinnen, wenn du richtig liegst. Liegst du falsch und es kommt A, verlierst du zwei Euro.

Um nun herauszufinden, ob es besser ist, auf A zu tippen oder doch lieber auf B, berechnest du die Erwartungswerte für deinen Tipp auf A oder auf B. Anschließend vergleichst du beide.

EV = Gewinn * Gewinnwahrscheinlichkeit – Verlust * Verlustwahrscheinlichkeit
EV(A) = 2€ * 80% - 4€ * 20%
EV(B) = 4€ * 20% - 2€ * 80%

Der Erwartungswert von A ist das Aufrechnen, dass man einerseits in 80 Prozent der Fälle 2 Euro gewinnt und dass man andererseits in 20% der Fälle 4 Euro verliert, eben immer dann, wenn B eintritt. Rechnen wir das durch.

EV(A) = 2€ * 80% - 4€ * 20%
EV(A) = 1,6€ - 0,8€

EV(A) = 0,8€

Damit ist schon einmal klar, dass auf A zu tippen, Gewinn bringt, denn der Erwartungswert ist positiv. Im Durchschnitt gewinnst du jedes Mal, wenn du auf A setzt, 80 Cent. Doch wie sieht es bei B aus?

EV(B) = 4€ * 20% - 2€ * 80%
EV(B) = 0,8€ - 1,6€

EV(B) = -0,8€

Hier siehst du gleich, dass auf B zu tippen, Verlust bedeutet. Der Erwartungswert ist negativ. Das heißt, dass du jedes Mal, wenn du auf B setzt, im Durchschnitt 80 Cent Verlust machst.

Vergleichst du jetzt beide Erwartungswerte EV(A) und EV(B), dann erkennst du, dass EV(A) größer als EV(B) ist.

EV(A)>EV(B)

Einmal 80 Cent Gewinn, einmal 80 Cent Verlust. Offensichtlich ist deine beste Entscheidung, auf A zu tippen. Und damit hast du auch gleich ein wesentliches Prinzip im Poker kennen gelernt.

Dieses Prinzip ist fundamental. Achte auch einmal auf die Formulierung. Du suchst nicht die Aktion, die am meisten Gewinn bringt, sondern die mit dem höchsten Erwartungswert. Der kann auch einmal negativ sein, was bedeutet, dass du Verlust machst. Dennoch ist diese Aktion die beste, wenn du mit allen anderen Aktionen noch höhere Verluste einfahren würdest.

Was nutzt dir der Erwartungswert in Texas Hold'em?

Nimm an, du stehst am Turn mit einem Gegner.

Du hast: T 9

Das Board zeigt: 6 7 2 4

Du hast einen Gutshot-Straightdraw und brauchst eine Acht, um die Straße zu kriegen. Du bist dir sicher, dass dein Gegner ein Overpair hat, zwei Damen oder Könige vielleicht.

Deine Outs sind sauber, du brauchst also eine der vier Achten im Kartendeck, um die Hand zu gewinnen. Das sind vier Karten von insgesamt 46, die noch im Stapel sind. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Acht am River kommt, liegt bei 4/46, was ungefähr 0,087 ist, also 8,7%. Das ist die Gewinnwahrscheinlichkeit.

Die Verlustwahrscheinlichkeit ist einfach die Wahrscheinlichkeit, dass keine Acht, sondern eine der anderen 46 – 4 = 42 Karten im Stapel ausgeteilt wird. Sie liegt deshalb bei 42/46, was 0,913 macht oder 91,3%.

Jetzt fehlen noch Gewinn und Verlust. Der Pot ist $5 groß. Dein Gegner setzt $1. Damit ist der Pot $6 groß. Das kannst du gewinnen.

Verlieren kannst du den einen Dollar, den du bezahlen musst.

Der Erwartungswert, wenn du den Einsatz jetzt callst, liegt dann bei:

EV(call) = Gewinn * Gewinnwahrscheinlichkeit – Verlust * Verlustwahrscheinlichkeit
EV(call) = $6 * 8,7% - $1 * 91,3%

EV(call) = - $0,39

Die Zahl ist negativ, du machst also Verlust. Von jedem Dollar, den du hier einsetzt, gehen 39 Cent zum Gegner. Du bekommst nur 61 Cent zurück, 61 von ursprünglich 100 Cent. Eine schlechte Investition. Du erhältst weniger zurück, als du eingesetzt hast. Das ist –EV.

In der Praxis würdest du an dieser Stelle natürlich nicht stehen bleiben. Dass ein Call Verlust bringt, sagt noch nichts darüber aus, wie hoch dein Erwartungswert wäre, solltest du z.B. folden.

Der Erwartungswert eines Folds ist immer Null.

EV(fold) = $0

Du investierst kein weiteres Geld mehr. Deine möglichen Verluste sind damit Null. Aber auch deine möglichen Gewinne sind es, denn wenn du foldest, kannst du die Hand nicht mehr gewinnen. Übrigens, die Frage kommt manchmal, sind die Einsätze die du vorher schon in den Pot einbezahlt hast, nicht von Bedeutung. Das Geld ist ja schon weg.

Um herauszufinden, ob du besser folden oder callen solltest, vergleichst du beide Erwartungswerte:

EV(fold) = $0
EV (call) = -$0,39

EV(fold) > EV(call)

Das heißt, dass du besser fährst, wenn du foldest, anstatt zu callen.

Was bringt dir der Erwartungswert noch?

Pokern heißt, immer die Aktion zu finden, die den höchsten Erwartungswert von allen augenblicklich möglichen Aktionen hat. Ist der Erwartungswert einer Aktion größer als 0, machst du Gewinn.

Wenn du einmal mit der Formel herumspielst, was du auch tun solltest z.B. beim Analysieren von Händen, in denen du unsicher warst, dann kannst du im Beispiel zuvor, in dem du einen Gutshot am Turn hast und der Gegner $1 setzt, fragen: Wie hoch müsste denn der Pot sein, dass ich den $1 callen kann und mit meinem Gutshot Gewinn einfahre?

Der Pot, das ist in der Formel der mögliche Gewinn.

EV(call) = Gewinn * Gewinnwahrscheinlichkeit – Verlust * Verlustwahrscheinlichkeit

Du willst wissen, wann der Erwartungswert positiv ist, wann also gilt:

EV(call) > 0

Diese beiden Formeln kannst du nun gleichsetzen. Das ergibt dann:

EV(call) > 0, wenn gilt:
Gewinn * Gewinnwahrscheinlichkeit – Verlust * Verlustwahrscheinlichkeit > 0

Stellen wir diese Formel einfach nach Gewinn um, denn den suchen wir. Solltest du damit Schwierigkeiten haben, schau im Internet einfach nach Seiten, auf denen die Umformungsregeln erklärt werden.

EV(call) > 0, wenn gilt:
Gewinn * Gewinnwahrscheinlichkeit – Verlust * Verlustwahrscheinlichkeit > 0
Gewinn * Gewinnwahrscheinlichkeit > Verlust * Verlustwahrscheinlichkeit
Gewinn > Verlust * Verlustwahrscheinlichkeit / Gewinnwahrscheinlichkeit

Für die drei Variablen auf der rechten Seite kennst du die konkreten Werte:

Verlust = $1
Verlustwahrscheinlichkeit= 42/46
Gewinnwahrscheinlichkeit= 4/46

Du erhältst also folgendes Ergebnis:

EV(call) > 0, wenn gilt:
Gewinn > Verlust * Verlustwahrscheinlichkeit / Gewinnwahrscheinlichkeit
Gewinn > $1 * 42/46 / (4/46)
Gewinn > $1 * 1932/184

Gewinn > $10.5

Der Pot muss also größer als $10.5 sein, auf dass sich dein Einsatz von $1 lohnt. Das kennst du schon aus dem Artikel zu den Odds und Outs. Die Odds für einen Gutshot Straightdraw am Turn liegen bei 1:11. Du hast gelernt, dass du einen Einsatz bezahlen kannst, wenn du mindestens das 11fache zurückbekommst.

Du bist also über den Weg des Erwartungswertes auf das gleiche Ergebnis gekommen, wie du es von den Odds her schon kennst. Es gibt nämlich einen sehr einfachen Zusammenhang. Die Wahrscheinlichkeit, dass du eines deiner vier Outs des Gutshots triffst, liegt, wie schon erwähnt, bei 4/46. 4/46, das macht ca. 0.087 oder auch 8,7% (einfach mal 100 nehmen). So hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eines deiner Outs ausgeteilt wird.

Anders gesprochen: In gerundet einem von 12 Fällen (100% / 8.7%) kannst du deinen Gutshot zur Straight ausbauen. Die amerikanische Schreibweise für dieses Verhältnis lautet 11:1 – in elf Fällen triffst du kein Out, in einem Fall triffst du. Damit hast du auch auf diesem Weg wieder die dir schon bekannten Odds von 11:1. Du kannst also den Erwartungswert direkt in die Odds- bzw. Pot-Odds-Schreibweise umrechnen.

Das gleiche Prinzip, doch ein anderer Weg.

Fazit

Fassen wir zusammen. Um den Erwartungswert zu berechnen, rechnest du einfach Gewinn und Verlust gegeneinander auf, je nachdem wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass du gewinnst oder verlierst.

EV = Gewinn * Gewinnwahrscheinlichkeit – Verlust * Verlustwahrscheinlichkeit

Damit weißt du, wie viel Gewinn bzw. Verlust du im Durchschnitt machst.

Für viele Anwendungen wirst du aber die allgemeine Formel wählen, in der Gewinn und Verlust nur noch als Auszahlung bezeichnet werden. Ist die Auszahlung negativ, machst du Verlust. Ist sie positiv, machst du Gewinn.

EV = Auszahlung₁ * Wahrscheinlichkeit₁ + Auszahlung₂ * Wahrscheinlichkeit₂ + … + Auszahlung_n * Wahrscheinlichkeit_n

Willst du eine Spielsituation analysieren, kannst du also dahergehen und dir überlegen, welche möglichen Spielverläufe es gibt, wie wahrscheinlich sie sind und wie viel Gewinn oder Verlust jeweils machst. Das fügst du in der Formel zusammen und schon hast du den Erwartungswert.

Stehst du vor mehreren Entscheidungsmöglichkeiten und willst wissen, welche die profitablere ist, dann berechnest du für jede mögliche Aktion den Erwartungswert. Anschließend vergleichst du alle Erwartungswerte. Der höchste zeigt dir an, welche Aktion die beste ist.

Damit hast du jetzt gelernt, wie du mittels Erwartungswert dein Spiel auf ein tieferes mathematisches Fundament legen kannst. Am Anfang mag das „Rumgerechne“ noch etwas kompliziert aussehen, doch im Prinzip ist es ganz einfach. Hast du es noch nicht ganz verstanden oder bist du unsicher, dann frage einfach im Forum nach.

Viele der noch kommenden Spielkonzepte und Strategieartikel setzen voraus, dass du mit dem Erwartungswert zu rechnen weißt. Investiere an dieser Stelle bitte ausreichend Zeit, denn das Verstehen des Erwartungskonzepts ist wie schon das der Outs und Odds ein wichtiger Meilenstein in deiner Pokerausbildung.

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