Wie groß sollte eine Einsteigerbankroll sein?
Einleitung
In diesem Artikel:
- Sind $50 besser als $1000?
- Wie hoch sollte ein Einsteigerbankroll sein?
Jedes neue Mitglied von PokerStrategy.com erhält kostenlos ein Startkapital von $50 bei einem der Partnerpokerräume von PokerStrategy.com. Ganz bewusst heißen die $50 Startkapital und nicht einfach „kostenlose Bankroll“ oder „no deposit bonus“, wie sonst üblich.
Das Geld ist für viele Mitglieder der Grundstock ihrer Pokerkarriere gewesen. Es stellt sich aber natürlich die Frage, ob die $50 wirklich ausreichen oder ob es für einen ambitionierten Spieler nicht besser wäre, einen größeren Betrag aus eigener Tasche zum Start seiner Pokerkarriere einzusetzen.
Dieser Artikel geht dieser Frage nach und versucht den Unterschied darzustellen zwischen einem Spieler, der mit $50 startet, und einem, der mit $1000 startet. Hat der Spieler mit der größeren Startbankroll tatsächlich einen Vorteil?
Die Ergebnisse der Untersuchung lassen sich auf jeden Spieltyp anwenden, auch wenn im Artikel No-Limit Hold’em Bigstackstrategie stellvertretend für alle steht.
Die Vorgehensweise
Der absolute monetäre Erfolg eines Pokerspielers hängt grundlegend von zwei Faktoren ab:
Von seinem Skill: Wie gut spielt er? Wie groß ist seine Edge auf seine Gegner auf einem jeweiligen Limit? Der Begriff sollte bewusst allgemein gesehen werden und umfasst auch Dinge wie z.B. Tableselection oder psychologische Aspekte des Selbstmanagements.
Vom gespielten Limit: Welche Limits kann er spielen? Je höher er spielt, desto höher sind entsprechend seiner Winrate natürlich auch die absoluten Gewinne, sofern seine Winrate positiv ist.
Um die Unterschiede zwischen Spielern mit unterschiedlicher Startbankroll herauszufinden, werden im nächsten Abschnitt vier verschiedene Spielertypen modelliert. Es werden Annahmen über die Entwicklung ihres Skills getroffen, die gespielten Limits und ihr Bankrollmanagement.
Diese Spieler-Modelle werden anschließend in einer Simulation eine Pokerkarriere nachstellen und im Anschluss schauen wir, wie sie im Vergleich abgeschnitten haben.
Vorannahmen für die Simulation
Nehmen wir an, es gäbe vier verschiedene Spieler A, B, C und D:
- Spieler A startet mit $50, ist also ein typischer PokerStratege.
- Spieler B, C und D starten jeweils mit $1000.
Alle vier Spieler haben die gleichen Vorkenntnisse in Sachen Pokerstrategie und sind anfangs auf dem Level eines typischen Einsteigers, der sich mit der Basisstrategie vertraut gemacht hat.
Annahmen über den Skillverlauf und Limits
Um eine Simulation durchführen zu können, wird den Pokerfähigkeiten eines jeden Spielers ein Wert zugewiesen. Dieser wächst mit der Zeit an, und zwar für alle vier Spieler gleich. Der Verlauf des Skills soll durch eine quadratische Wurzelfunktion gegeben sein, steigt also erst stark an und flacht dann im Anstieg mehr und mehr ab.
Außerdem wird davon ausgegangen, dass für jedes Limit ein bestimmter Skill notwendig ist, um es break even zu spielen (break even = +-0, kein Gewinn, kein Verlust). Ist der Skill eines Spielers kleiner als dieser Wert, so macht er Verlust. Ist der Skill des Spielers größer, macht er Gewinn. Der Gewinn hängt somit zum einen vom individuellen Skill ab, als auch von dem Limit (größerer Einsatz bedeutet größeren Hebel). Für diese konkrete Betrachtung werden die Limits NL2, NL5, NL10, NL25, NL50 und NL100 verwendet.
Zusammen mit der Skillkurve ergibt sich folgende Darstellung:
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Skillfunktion: Angenommenes, idealisiertes Wachstum des Skills im Laufe der Zeit
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Als Parallelen zur x-Achse sind die benötigten Skillwerte zum Schlagen der jeweiligen Limits aufsteigend dargestellt.
Annahmen über das Bankrollmanagement
Spieler A und B werden nach einem 20-Stack Bankrollmanagement spielen. Sie spielen immer das höchste Limit, für welches sie eine Bankroll von 20 Stacks zur Verfügung haben. Haben sie weniger als 20 Stacks zur Verfügung, steigen sie ab.
Spieler C und D sind eher hypothetische Spieler. Spieler C spielt immer das höchste Limit, auf dem seine Winrate positiv ist. Spieler D spielt immer das Limit, auf dem seine Winrate in $ am höchsten ist.
Zusammengefasst ergibt sich:
| Spieler A | Spieler B | Spieler C | Spieler D | |
| Startbankroll | $50 | $1000 | $1000 | $1000 |
| Bankrollmanagement | 20 Stacks | 20 Stacks | Spielt immer auf dem höchsten Limit, welches er break even spielen kann. | Spielt immer auf dem Limit, welches ihm die höchste Winrate in $ verspricht. |
Keine Varianz
Auch wenn kurzfristige Schwankungen natürlicher Teil des Pokerspiels sind, wird die Varianz zur Beantwortung der Fragestellung dieses Artikels außer Acht gelassen.
Wie die Simulation funktioniert
Dieser Abschnitt ist eher an Interessierte gerichtet, die im Detail wissen wollen, wie es funktioniert. Die Simulation kann man auf mehreren Wegen realisieren, hier wurde wie folgt vorgegangen:
Als Skillfunktion wurde angenommen: skill(t) = t^(0.55)
Diese Funktion beschreibt das Wachstum der Pokerfähigkeit eines Spielers. Es wurde nicht genau die Wurzelfunktion gewählt, um die Schnitte durch die Break-Even-Werte der unterschiedlichen Limits plausibler zu gestalten.
Alternativ hätten auch die einzelnen Werte variiert werden können. Eine Änderung hier hat einen recht geringen Einfluss auf das Ergebnis.
Für die Break-Even-Skills der verschiedenen Limits wurde verwendet:
| NL2 | NL5 | NL10 | NL25 | NL50 | NL100 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Diese Werte muss ein Spieler als Skill erreichen, um weder Gewinn, noch Verlust zu machen. Liegt er darunter, macht er Verlust. Liegt er darüber, macht er Gewinn.
Für die Simulation wird eine Funktion benötigt, welche für einen bestimmten Wert der Bankroll das gespielte Limit ergibt. Hier unterscheiden sich genau die Spieler A und B von Spieler C und D.
Nun wird iterativ die Bankroll in Schritten berechnet. Dies funktioniert mit einer Schrittweite von 1 so:
roll(0) = Startbankroll
roll(t+1) = roll(t) + limit( roll(t) ) * ( skill(t) - skill2( limit( roll(t) ) ) )
limit( roll(t) ) ergibt sich je nach Spielertyp über die Abfrage, ob der Spieler winning Player ist oder über die 20-Stacks-Regel.
skill2(limit) ergibt den Wert, der für ein Break-Even-Spiel benötigt wird. In jedem Zeitschritt erhöht sich die Bankroll also um die Winrate (skill(t)-skill2(limit)) multipliziert mit dem gespielten Limit. Dasselbe Prinzip wie im Poker.
Man kann diese Berechnung natürlich quasi-kontinuierlich gestalten, indem man eine geringe Schrittweite in der Zeit sowie eine große Schrittanzahl verwendet. Dies hat allerdings einen ungewünschten und wenig realistischen Effekt.
Nehmen wir an, ein Spieler steht vom Skill und der Bankroll her zwischen zwei Limits. Erreicht dieser Spieler die Bankroll für das höhere Limit, so steigt er sofort wieder ab, da er einen kleinen Betrag verliert. Danach steigt er sofort wieder auf, da er wieder einen kleinen Betrag gewinnt. Bei einer hohen Zahl von Rechenschritten ergibt sich also eine Gerade, genau auf der Kante, welche für ein Break-Even-Spiel auf dem höheren Limit benötigt wird, bis der Spieler das höhere Limit schlägt. Kurven dieser Art geben ein wenig realistisches Bild, weswegen eine grobe Schrittweite gewählt wurde. Diese erlaubt kleine Schritte in das jeweils höhere oder niedrigere Limit, bis das höhere Limit geschlagen wird.
Nun sind alle notwendigen Funktionen erläutert. Mit Hilfe der Iteration kann man für verschiedene Startingbankrolls sowie Schrittweiten und Schrittanzahlen ein Tupel von Zahlen erstellen und grafisch darstellen.
Die absoluten Ergebnisse
Lassen wir also die vier postulierten Spielertypen eine Weile pokern, entsprechend ihrer Skillfunktion ihre Pokerfähigkeiten ausbauen und entsprechend ihrem Bankrollmanagement in den Limits aufsteigen. Wie sieht nach einer gewissen Zeit ihre Bankroll aus?
Zunächst das Wachstum der Bankroll für Spieler A, der mit $50 gestartet ist.
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Bankroll Spieler A
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Das Bild ist so – oder ähnlich – zu erwarten, solange keine Varianz beachtet wird. Der Gewinn pro Zeiteinheit, die Steigung der Kurve, steigt zum einen aufgrund des größer werdenden Skills, zum anderen aufgrund des höheren gespielten Limits. Somit wächst die Steigung mit der Zeit immer weiter an. Wichtig war ja vor allem der Vergleich. Deswegen nun das Ergebnis für Spieler B.
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Bankroll Spieler B
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Wie anhand der Skillkurve zu erwarten war, verliert der Spieler zunächst einen Teil seines Geldes, weil er auf einem Limit einsteigt, das seine aktuellen Pokerfähigkeiten übersteigt.
Während Spieler A nur kurze Zeit loosing Player ist und ab dem Punkt, an dem er NL2 schlägt offensichtlich immer Winning Player ist, wird Spieler B erst von NL50 bis auf NL25 durchgereicht, bis sein Skill soweit angestiegen ist, dass er das Limit schlägt.
Erst ab diesem Punkt gewinnt auch Spieler B Geld. Danach zeigt seine Kurve eine ähnliche Charakteristik wie die von Spieler A. Das ist nur logisch, da beide denselben Skill als auch dasselbe Bankrollmanagement verwenden.
Weiter gab es noch Spielertyp C. Er spielt immer auf dem höchsten Limit, das er schlägt (sonst auf dem kleinsten, verfügbaren). Sein Graph sieht so aus:
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Bankroll Spieler C
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Im Gegensatz zu Spieler B verliert er keine größeren Summen, ist allerdings auch nicht in der Lage ein wesentlich besseres Endergebnis zu erzielen. Auch sieht man einen offensichtlichen Fehler, den dieser Spieler begeht: Seine Winrate beträgt für jeweils einen Zeitschritt näherungsweise 0, da er ja aufsteigt, sobald er break even spielt. Er benötigt noch Zeit, um sich auf dem höheren Limit auch eine Edge und damit Gewinn zu erarbeiten.
Zu guter Letzt noch der optimale Spieler D. Er nutzt zu jeder Zeit die höchste vorhandene Winrate, wird also auch besser als jeder seiner Kontrahenten performen. Die Frage ist: Wie gut performt er? Die Antwort:
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Bankroll Spieler D
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Die Kurve weist deutlich weniger Knicke auf, da seine Limitaufstiege niemals eine starke Änderung der Winrate zur Folge haben, da er ja im optimalen Punkt aufsteigt. Sein Resultat liegt deutlich über dem der anderen Spieler.
Interessant wird nun insbesondere der Vergleich der Spielertypen B, C und D mit viel Startkapital und Spieler A mit $50 als Startkapital.
Vergleich der Ergebnisse
Da die Spieler jeweils ein unterschiedliches Startkapital zur Verfügung hatten, sollte eine Betrachtung für die simulierte Zeitspanne der jeweiligen Differenz der Bankrolls Aufschluss über den monetären Erfolg der Spieler geben. Also wie viel mehr Geld hat ein Spieler zu einem bestimmten Zeitpunkt in seiner Pokerkarriere verglichen mit einem anderen Spieler?
Spieler A vs. Spieler B
Vergleichen wir zunächst Spieler A und B. A startete mit $50, während B mit $1000 anfing. Beide verfolgten das gleiche Bankrollmanagement von 20 Stacks.
Im Bild ist für jeden Zeitpunkt die Bankroll von Spieler A von der von Spieler B abgezogen. Der Graph startet also bei einem Wert von $950 ($1000 - $50).
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Differenz der Bankrolls von Spieler A und Spieler B
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Da Spieler B zu Beginn auf dem hohen Startlimit viel Geld verliert, nähern sich beide Werte schnell stark an, bis die Differenz nur noch rund $300 beträgt. Erst als Spieler B seinen Skill soweit steigern konnte, dass er Gewinne einfuhr, wächst der Differenz wieder an aufgrund des immer noch größeren finanziellen Hebels, den er durch das Spiel auf einem höheren Limit hat.
Die Differenz beider Bankrolls pendelt sich schließlich bei $700 auf einen festen Wert ein. In diesem einfachen Modell wird dieser Wert für alle Zeiten erhalten bleiben, da beide Spieler nun das maximal vorhandene Limit mit derselben Winrate pro Zeit spielen.
Halten wir also fest: Spieler B, welcher zu Beginn der Karriere $950 Vorsprung auf Spieler A hatte, war nicht in der Lage, hieraus einen Vorteil zu ziehen. Im Gegenteil! Hätte er nur mit $50 seiner $1000 gespielt, hätte er im Vergleich zum Start sogar etwa $150 mehr. Der Grund dafür liegt natürlich im Spielen der zu hohen Limits, durch die er zu Beginn sehr viel verliert.
Spieler A vs. Spieler C
Vergleichen wir jetzt Spieler C mit Spieler A. Spielertyp C war zwar eher theoretischer Natur, aber er vermeidet es zumindest, größere Beträge zu verlieren.
Hier sind deutlich weniger Schwankungen als im ersten Vergleich zu erkennen. Nach etwas mehr als der Hälfte der Zeit erarbeitet sich Spieler C einen Vorteil, da Spieler A NL25 schon schlagen würde, es aber aufgrund der zu geringen Bankroll noch nicht spielen kann.
Wenn Spieler A aufsteigt, wird der Vorteil wieder relativiert. Gegen Ende liegt die Differenz noch bei etwa $900. Also hat auch hier Spieler A besser performt, obwohl er nur mit $50 und damit $950 weniger gestartet ist.
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Differenz der Bankrolls von Spieler A und Spieler C
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Spieler A vs. Spieler D
Zu guter Letzt der Vergleich mit dem optimalen Spieler D, der mit $1000 gestartet ist und immer das Limit spielt, auf dem er den höchsten absoluten Gewinn einfährt. Hier sieht die Differenz so aus:
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Differenz der Bankrolls von Spieler A und Spieler D
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Spieler D ist in der Lage, sich über die Zeit einen Vorteil von gut $1500 zu erarbeiten, was gegenüber der Startsituation einem Gewinn von $550 entspricht. Spieler D nutzt den Vorteil, dass er durch seine größere Startbankroll auf ein höheres Limit aufsteigen kann, sobald er den notwendigen Skill dafür hat. Spieler A muss hingegen erst die Bankroll dafür auf dem kleineren Limit erspielen.
Heißt das also, dass der optimale Start in die Pokerkarriere darin liegt, $1000 aus eigener Tasche einzuzahlen?
Diskussion der Ergebnisse
Hier gilt es, noch einige Faktoren zu betrachten. Zum einen verhalten sich Spieler B und C auf jeweils ihre Art und Weise “dumm”. Spieler B nimmt durch sein schlechtes Bankrollmanagement in Kauf, große Teile seines Geldes zu verlieren, anstatt vorher abzusteigen.
Spieler C gibt bei jedem Aufstieg auf ein Limit, auf dem er break even Player ist, einen Teil seiner Winrate in $ auf. Dies erkennt man gut an der Tatsache, dass im Verlauf seiner Bankroll viele Stellen mit einer Steigung von 0 (Parallelen zur Zeit-Achse) vorhanden sind. Hätte er auf dem tieferen Limit weitergespielt, hätte er offensichtlich mehr gewonnen.
Beide Spieler, sowohl der näherungsweise realistische Spieler B als auch der theoretische Spieler C performen trotz des größeren Startkapitals schlechter als der $50 Beginner. Einzig der optimale Spieler D ist über die Zeit in der Lage, seine größere Startbankroll zu einem Vorteil zu machen. Dieser ist zwar offensichtlich vorhanden, beträgt zum Ende der Simulation allerdings immer noch nur rund 20% der Bankroll von Spieler A.
Aus der Diskussion kann man folgern: Unter den gemachten Annahmen ergibt sich für einen Einsteiger kein Vorteil aus einem Start mit einem hohen Kapital. Nur wenn er in der Lage wäre, seine Winrate in $ auf unterschiedlichen Limits perfekt abzuschätzen, ließe sich ein geringer Vorteil von 20% erarbeiten, bei einem 2000% höheren Startkapital.
Dies liegt schlicht daran, dass ein Spieler mit geringem Startkapital recht selten auf einem Limit, für das ihm die Bankroll fehlt, eine höhere Winrate hätte als auf dem Limit, welches er mit seiner Bankroll spielen kann.
Das System reguliert sich recht optimal selbst. Einen in diesem Modell nicht zu berücksichtigenden Vorteil hätte die größere Startbankroll allerdings: Sie wäre in der Lage, Swings auszugleichen. Am geschicktesten würde sich ein Anfänger mit einem höheren Startkapital wohl anstellen, wenn er auch auf den kleinsten Limits beginnt und nach bestimmten Zeitspannen und auch nach dem eigenen Ermessen aufsteigt.
Dadurch könnte der Einfluss der Varianz auf die Bankroll des $50-Anfängers ausgeglichen werden. Dieser Spieler könnte, wenn er in der Lage ist, seinen eigenen Skill relativ neutral zu bewerten, einen echten Vorteil aus seinem höheren Startkapital ziehen.
Notwendig ist dieser Vorteil allerdings in keiner Weise, um erfolgreich Poker zu spielen, und relativiert sich schnell an dem Fakt, dass die $50 kostenlos von PokerStrategy.com kommen, während die $1000 aus eigener Tasche gezahlt werden müssten, und man diese Investition zum Abfedern von Swings auf NL10 mehrfach überlegen sollte.
Fazit
Der Start mit $50 stellt sich als recht optimal heraus. Unter gewissen Umständen könnte der Einsatz eines deutlich höheren Startkapitals zu einem geringfügig besseren Ergebnis führen. Wie reproduzierbar dieser Idealfall jedoch in der Realität ist, bleibt fraglich.
Auch ist der relative Vorteil bei einer 2000% höheren Startbankroll mit nur 20% der finalen Bankroll recht gering. Selbstverständlich wird der relative Vorteil bei einer kleineren Startingbankroll als $1000 – aber größer als $50 – kleiner als 20% sein. Hier ergibt sich also im besten Fall ein sehr geringer Vorteil durch den Einsatz von deutlich mehr Kapital.
Der einzige - in diesem Modell nicht quantifizierbare - Vorteil der höheren Bankroll liegt in der Vermeidung von Varianz und Swings nach unten. Stellt man diesem Vorteil das deutlich größere notwendige initiale Investment und das damit größere Risiko, sowie weitere Risiken wie das falsche Einschätzen des eigenen Skills oder das Spielen zu hoher Limits (Siehe Spielertyp B) gegenüber, so ist abschließend eine Startbankroll für Pokereinsteiger von $50 oder $100 zur Varianzminimierung als optimal anzusehen.
Zum Abschluss noch einmal die Winnings aller vier Spieler in einem Graphen zusammengefasst.
- Gelb: Spieler A - $50 Startbankroll, 20 Stacks Bankrollmanagement
- Grün: Spieler B -$1000 Startbankroll, 20 Stacks Bankrollmanagement
- Rot: Spieler C - $1000 Startbankroll, spielt das Limit, das er mindestens break even spielt
- Blau: Spieler D - $1000 Startbankroll, spielt das Limit, auf dem er das meiste Geld macht
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Entwicklung der Gewinne aller vier Spieler
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