Wahrscheinlichkeiten im Texas Hold'em

Einleitung

Die Kenntnis der grundlegenden Wahrscheinlichkeiten helfen dir, dein Poker fundamental zu verbessern, und zwar in allen Spielarten. Aus diesem Grund werden dir in diesem Artikel wichtige und interessante Wahrscheinlichkeiten vorgestellt. 

Wahrscheinlichkeit im Poker

Unter Wahrscheinlichkeit versteht man den Grad der Gewissheit von möglichen Ereignissen. Nach einer klassischen Definition ist Wahrscheinlichkeit das Verhältnis der günstigen Ereignisse zur Gesamtzahl der Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeit bei einem Münzwurf Kopf zu erhalten, ist also 1 aus 2 oder 50%.

Für Pokerspieler ist dabei die Stochastik der interessanteste Teil der Wahrscheinlichkeitslehre. Sie befasst sich mit Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten. Zu ihr gehören unter anderem die Kombinatorik (Kartenkombinationen), die Statistik (Samplesize) und weitere Teilgebiete.

Wahrscheinlichkeiten sind immer Zahlen zwischen 0 und 1 und werden meistens in Prozent ausgedrückt. Alternativ gibt es die Odds Schreibweise, die angibt, in wievielen Fällen das eine im Verhältnis zum anderen Ereignis eintritt (1:2).

In den folgenden Abschnitten bekommst du einen Überblick über viele nützliche Wahrscheinlichkeiten, die dir bei deinem alltäglichen Spiel sehr behilflich sein werden. Auf Seite 2 findet ihr die Rechenwege, die zu diesen Ergebnissen führen.

Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Starthand

Das folgende Chart gibt dir genauere Informationen darüber, mit welcher Wahrscheinlichkeit du eine bestimmte Starthand erhältst. Diese Werte können schon sehr hilfreich sein, um die Stärke deiner Starthand einzuschätzen.

Wahrscheinlichkeit eines höheren Paars, wenn du ein Paar hältst

Anhand der beiden nun folgenden Charts kannst du ablesen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass du mit deiner Starthand hinten liegst, obwohl du ein Paar hältst. Die erste Tabelle gibt die prozentuale Wahrscheinlichkeit dafür an, dass es genau ein einziges höheres Paar bei einem deiner Gegner gibt.

Wahrscheinlichkeit mehrerer höherer Paare, wenn du ein Paar hältst

Anhand dieser Werte ist kalkulierbar, wie wahrscheinlich es ist, dass du mit deinem Paar vor dem Flop sogar gegen mehrere Gegner im Hintertreffen bist.

Wahrscheinlichkeit eines höheren A, wenn du ein A hältst

Das nächste Chart geht davon aus, dass du selber ein A hältst. Wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass dein Gegner ebenfalls ein A hält, aber über einen besseren Kicker verfügt, kannst du den Werten entnehmen.

Wahrscheinlichkeit, dass keine Overcard kommt

Du hältst preflop ein Paar und willst wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass im Flop eine Overcard aufgedeckt wird und deine Hand damit angreifbarer wird? Dann ist das folgende Chart für dich sehr aufschlussgebend.

Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Hand (5 aus 52)

Anhand der folgenden Werte kannst du ablesen, mit welcher Wahrscheinlichkeit du eine bestimmte Hand erhältst. Während ein Paar noch ein relativ häufiges Vergnügen ist, wird dir ein Straight oder gar Royal Flush wohl eher selten über den Weg laufen. 5 aus 52 heißt, dass du deine Hand aus 5 Karten bildest.

Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Hand (7 aus 52)

Anhand der folgenden Werte kannst du ablesen, mit welcher Wahrscheinlichkeit du eine bestimmte Hand erhältst. Während ein Paar noch ein relativ häufiges Vergnügen ist, wird dir ein Straight oder gar Royal Flush wohl eher selten über den Weg laufen.

7 aus 52 bedeutet, dass du deine Hand zwar auch noch aus 5 Karten bildest, du aber 7 Karten zur Auswahl hast. Im Fall von Texas Hold'em also deine zwei HoleCards und das Board. Es ist der eigentlich korrekte Weg, die Wahrscheinlichkeiten im Holdem zu berechnen. Allerdings ist die Annäherung 5 aus 52 absolut praxistauglich und sehr viel leichter zu berechnen.

Verbesserung der Starthand am Flop

Wenn du preflop eine mehr oder weniger vielversprechende Hand hältst, hilft dir das folgende Chart weiter. Hierin ist aufgelistet wie die Chancen auf eine Aufwertung der Hand am Flop stehen.

Verbesserung deiner Hand am Turn

Nach dem Flop folgt bekanntlich der Turn und auch hier gibt es einen Chart der dir anzeigt, wie wahrscheinlich eine Verbesserung deiner Hand ist.

Verbesserung deiner Hand am River

Wenn du mit der letzten Karte noch eine Aufbesserung deiner Hand benötigst, zeigt dir der folgende Chart die Wahrscheinlichkeiten hierfür an.>

Verbesserung deiner Hand vom Flop zum River

Der Chart zeigt dir an, wie deine Chancen zur Verbesserung deiner Hand nach dem Flop und bis zum River zusammengefasst stehen. Turn und River werden hier als sozusagen zusammengefasst. Dies kann dir für das Berechnen des gesamten Postflopspiels sehr hilfreich sein.

Wahrscheinlichkeit auf ein bestimmtes Board am Flop

Dieser Chart kann preflop für dich wichtig sein. Du siehst hier, wie wahrscheinlich bestimmte Boards am Flop sind. Während du häufiger z.B. mit einem Paar auf dem Board zu tun haben wirst, ist ein Drilling im Normalfall eher die Ausnahme. Du kannst durch diese Werte besser einschätzen, was deine Hand preflop wirklich wert ist.

Rechenwege der Wahrscheinlichkeiten

1. Wahrscheinlichkeiten einer bestimmten Starthand

Anzahl Starthände: 169
Davon:
- Pocket Pairs: 13
- Suited Hands: 78
- Offsuited Hands: 78 (ohne Pockets)

Anzahl aller möglichen Kombinationen:

Anzahl: 13

Suit-Kombinationen je Hand:

(Bsp.: 22, 22, 22, 22, 22, 22)

Kombinationen (gesamt): 13 x 6 = 78

Wahrscheinlichkeiten

Bestimmte Hand:

- In Odds: 220:1

Beliebige Hand:

- In Odds: 16:1

Anzahl: 78

Suit-Kombinationen je Hand:

(Bsp.: AK; AK; AK; AK)

Kombinationen (gesamt): 78 x 4 = 312

Wahrscheinlichkeiten

Bestimmte Hand:

- In Odds: 331:1

Beliebige Hand:

- In Odds: 3,25:1

Anzahl: 78 (ohne Pocketpairs)

Suit-Kombinationen je Hand:

(Bsp.: AK; AK; AK; AK; AK; AK; AK; AK; AK; AK; AK; AK)

Komibnationen (gesamt): 78 x 12 = 936

Wahrscheinlichkeiten

Bestimmte Hand:

- In Odds: 110:1

Beliebige Hand:

- In Odds: 0,417:1

Für bestimmte Ranges ändert sich im Grunde genommen nichts. Du teilst einfach die Anzahl der jeweiligen Kombinationsmöglichkeiten durch die Anzahl aller Kombinationsmöglichkeiten.

Range: AKs, KQs, QJs, JTs
Anzahl Kombinationen: 16 (jeweils 4/Hand)
(Bsp.: AK; AK; AK; AK; KQ; KQ; KQ; KQ; QJ; QJ; QJ; QJ; JT; JT; JT; JT)

Wahrscheinlichkeit:

In Odds: 81,9:1

Range: AA, KK, QQ
Anzahl Kombinationen: 18 (jeweils 6/Hand)

Wahrscheinlichkeit:

In Odds: 72,7:1

2. Wahrscheinlichkeit eines höheren Paares, wenn du ein Paar hältst

r = Rang des eigenen Pocket Pairs (2=2,... ,J=11, Q=12, K=13, A=14)

Es gibt (14 – r) x 4 Karten eines höheren Rangs, 50 Karten kann dein Gegner noch bekommen (2 hast du bereits). Hat er die erste Karte erhalten, bleiben von 49 Karten noch 3 Karten übrig, die ihm ein höheres Pocket Pair geben können.

Zunächst multiplizierst du die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler ein höheres Paar hält, mit der Anzahl der noch verbliebenen Spielern (n). Dann subtrahierst du davon die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als nur ein Gegner ein höheres Paar hält ().

n = Anzahl der Spieler, welche sich noch in der Hand befinden
Wahrscheinlichkeit, dass mehrere Gegner noch ein Pocket Pair halten, wobei

Wahrscheinlichkeit, dass genau n Spieler ein höheres Paar halten, wobei .

3. Wahrscheinlichkeit mehrerer höhere Paare, wenn du ein Paar hältst

Berechnet sich im Grunde wie oben jedoch gilt: , wobei

4. Wahrscheinlichkeit eines höheren A, wenn du ein A hältst

Es verbleiben bei 50 Karten (2 haben wir, davon 1 Ass) noch 3 Asse im Deck. Nachdem der Gegner ein Ass erhalten hat, bleiben bei 49 Karten noch 2 Asse, die ihm das Paar geben können.

 
n = Anzahl der Gegner.

 
wobei r den Rang deiner zweiten Karte (Kicker) darstellt (2=2,..., J=11, Q=12, K=13)

5. Wahrscheinlichkeit, dass keine Overcard kommt, wenn du ein Pocketpair hältst

Mögliche Flops, bei beliebiger Starthand:

Mögliche Turns, bei beliebiger Starthand:

Mögliche River, bei beliebiger Starthand:

, wobei r den Rang des eigenen Pocket Pairs darstellt (2=2,..., J=11, Q=12, K=13)

, wobei r den Rang des eigenen Pocket Pairs darstellt (2=2,..., J=11, Q=12, K=13)

, wobei r den Rang des eigenen Pocket Pairs darstellt (2=2,..., J=11, Q=12, K=13)

6. Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Hand

Die Wahrscheinlichkeit bestimmt sich aus der Anzahl der Möglichen Kombinationen für eine Hand, dividiert durch die Anzahl aller möglichen Kombinationen:

Royal Flush: Möglichkeiten:

Wahrscheinlichkeit:

Straight Flush: Möglichkeiten:

Wahrscheinlichkeit:

Vierling: Möglichkeiten:

Wahrscheinlichkeit:

Full House: Möglichkeiten:

Wahrscheinlichkeit:

Flush: Möglichkeiten:

Wahrscheinlichkeit:

Straight: Möglichkeiten:

Wahrscheinlichkeit:

Drilling: Möglichkeiten:

Wahrscheinlichkeit:

Zwei Paare: Möglichkeiten:

Wahrscheinlichkeit:

Ein Paar: Möglichkeiten:

Wahrscheinlichkeit:

High Card: Möglichkeiten:

Wahrscheinlichkeit:

7. Verbesserung der Starthand am Flop

x steht hier für die Anzahl der Outs, die deine Hand Preflop hat, y beschreibt, wie viele dieser Outs du treffen willst. a beschreibt die verbleibenden Karten, also die 50, abzüglich der Outs. b beschreibt dann, wie viele Karten du aus dieser Menge treffen willst.

Willst du keine Karten aus dieser Menge treffen, entfällt

steht dabei für die möglichen Flopkombinationen (19600).

Pocket Pair soll am Flop genau einen Drilling ergeben:

2 Suited Cards sollen am Flop einen Flush treffen:

8. Verbesserung der Hand am Turn

Simples Berechnen nach Odds und Outs.

Es ergibt sich für den Turn:

Beachte: Möchtest du hier berechnen, dass das Ereignis nicht eintrifft, muss du das Ergebnis noch von 1 subtrahieren.

9. Verbesserung der Hand am River

Simples Berechnen nach Odds und Outs.

Es ergibt sich für den River:

10. Verbesserung deiner Hand vom Flop zum River

Auch hier bleibt es beim Berechnen nach den Odds und Outs:

Für (abhängige) Runner Runner Outs ergibt sich die Formel:

wobei Outs hier für die Runner-Runner Outs stehen. Bei einem Backdoor Flush Draw wären es also 10 Outs, die dir zum Flushdraw verhelfen und dann noch mal 9 Outs, die den Flush ergeben.

Beachte: Nicht anwendbar auf Straight- bzw. Straight Flush Draws, da hier die Karten voneinander unabhängig sind.

Hier gilt die Formel:

wobei x die Outs für die erste Karte darstellt und y die Anzahl an Outs für die 2. Karte

11. Wahrscheinlichkeit auf einen bestimmten Flop

Diese Rechnung berücksichtigt nicht, dass du und deine Gegner bereits Karten erhalten haben, sondern stellt die Wahrscheinlichkeit auf einen bestimmten Flop dar, wenn das Deck noch aus 52 Karten besteht.

Variante 1: Eine Möglichkeit zur Berechnung ergibt sich mit Hilfe der Binomialkoeffizienten.

Für die Anzahl aller möglichen Kombinationen von 3 aus 52 ergibt sich

Dann stellst du alle möglichen Kombinationen für einen bestimmten Flop auf und dividierst diesen durch die Anzahl aller möglichen Flopkombinationen:

Zur genaueren Darstellung, hier ein paar Beispiele:

Da 48 der möglichen Kombinationen zeitgleich auch einen Straight Flush darstellen, du aber nur einen normalen Straight berechnen willst, muss du diese hier noch abziehen.

Variante 2:
Eine andere Möglichkeit ist es, mit den Wahrscheinlichkeiten zu arbeiten. Hier musst du nur schauen, dass du die richtigen Wahrscheinlichkeiten bekommst. Die erste Karte ist i.d.R. egal und wird deshalb der Übersicht halber als beschrieben. Du kannst den Bruch aber auch weglassen. Danach schaust du dir die Ereignisse an, die eintreten bzw. nicht eintreten sollen und multiplizierst das Ganze miteinander.

Zur genaueren Darstellung hier ein paar Beispiele:

 
Die  gibt dabei nur an, dass es egal ist, welche Karte zu erst fällt, kann also auch weggelassen werden.  und  beschreiben dann die Wahrscheinlichkeit, dass die 2. und 3. Karte zum gleichen Suit gehören, wie die erste.

Auch hier kann man die erste Karte ignorieren. Nachdem sie jedoch gefallen ist, verbleiben noch 3 von 51 Karten, die dir ein Paar geben. Danach darf keine passende Karte mehr fallen, also muss eine der übrigen 48 unpassenden Karten Fallen. Das Ganze wird mit 3 multipliziert, da die Nicht-Paar Karte bei jeder der drei Karten fallen kann.

Hier multipliziert man die Wahrscheinlichkeiten, dass keine zweite Karte eines Suits kommt miteinander.

Anhang

Umrechnung Wahrscheinlichkeiten in Odds:

Bisher hast du dich noch nicht darum gekümmert, wie du die Wahrscheinlichkeiten in Odds umrechnest. Dazu bedienst du dich folgender Formel:

P stellt dabei die Wahrscheinlichkeit dar. Das „:“ steht in diesem Fall für „zu“ bzw. „to“ und stellt kein „Geteiltzeichen“ dar. Anstatt  kannst du hier auch  schreiben.