- \n
- Der mathematische Hintergrund der Bluffs
<\/i><\/li>\n- Die optimale Strategie
<\/i><\/li>\n- Das Nash-Equilibrium
<\/i><\/li>\n<\/ul>![\"\"](\"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/wp-content\/uploads\/download\/content\/bilder\/ps_trennlinie.jpg\")
<\/div>Bluffs sind ein essentieller Bestandteil des Pokerspiels und jeder gute Spieler sollte sie in seinem Repertoire haben. Wer niemals blufft, macht einen großen Fehler und wer zu viel Blufft, ebenso. Aber wie stellst du das richtige Gleichgewicht her? Wie stellst du fest, wann ein Bluff sinnvoll ist, woran erkennst du, wann und wie oft du gegen einen bestimmten Spieler bluffen solltest, um profitabel gegen ihn zu spielen?<\/p>
Dieser Artikel beschäftigt sich mit dem mathematischen Hintergrund des Bluffs und zeigt dir mit einer spieltheoretischen Herangehensweise mögliche Strategien auf.<\/p>
Solltest du bluffen?<\/h1>
Du bist am River und auf dem Board liegt
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<\/p>Du bist ziemlich sicher, dass dein Gegner eine made Hand hält. Aus seiner Spielweise schließt du, dass er sehr wahrscheinlich AA, KK oder AK hat. Du selber hast
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.<\/p>Dein Draw ist nicht angekommen. Im Pot liegen $100 und ihr beide habt noch Stacks von ebenfalls $100. Du bist dran. Wenn du checkst, verlierst du. (Entweder checkt der Gegner behind und gewinnt den Showdown oder er bettet und dein Stack reicht nicht, um einen Bluff zu versuchen.)<\/p>
Nehmen wir nun an, dass der Gegner deine Hand korrekt gelesen hat und dich vor dem River auf einen Draw gesetzt hat. Der Einfachheit halber nehmen wir auch an, dass er die Wahrscheinlichkeit eines verpassten Flushs (oder Gutshots) bei 80% einschätzt und er zu 20% davon ausgeht, dass du mit 87 am River eine Straight getroffen hast.<\/p>
Wenn du mit 87 eine Straight gemacht hättest, würdest du for Value betten. Leider hast du aber dieses Mal nichts getroffen. Du hast zwei Möglichkeiten: Du gibst auf und checkst oder du versuchst, den Pot mit einem Bluff zu kaufen. Wir nehmen dabei an, dass du im Falle eines Bluffs mit den restlichen $100 All-In gehst, also genau Potsize bettest. Wie oft solltest du dann bluffen?<\/p>
Wie können wir diese Frage beantworten?<\/p>
Dazu brauchen wir etwas Mathematik. Aber keine Sorge, es wird nicht allzu schwer. Man benötigt nur ein bisschen Algebra aus der Unterstufe und etwas gesunden Menschenverstand. Oh, fast vergessen – die Spieltheorie brauchen wir auch noch. Aber die gehört eigentlich zum gesunden Menschenverstand.<\/p>
Die mathematische Fragestellung<\/h1>
Wir benötigen ein paar Bezeichnungen. P steht für die Potsize, während B die eigene Betsize ist. Die Wahrscheinlichkeit, mit der du (aus Sicht des Gegners) die beste Hand hältst, nennen wir q. Für unser Beispiel gilt dann also P = $100, B = $100 und q = 0,20. Falls du deine Annahme von 20% für nicht realistisch hältst, kannst du die Zahl gerne verändern, an der Berechnung ändert sich nichts, nur das Ergebnis. Analog könnte man auch die Potsize oder die Größe der eigenen Bet verändern. Deine Bezeichnungen verallgemeinern nur die Fragestellung.<\/p>
Wenn du bettest, musst du außerdem deine Blufffrequenz und die Callfrequenz des Gegners benennen. Ersteres wird mit x, Letzteres mit y bezeichnet. Mit x bezeichnen wir also die Wahrscheinlichkeit eines Bluffs. Wenn du beispielsweise mit 30%iger Wahrscheinlichkeit (x = 0,3) bluffst, so wird deine Blufffrequenz auf lange Sicht bei 30% liegen. Entsprechend dazu steht y für die Wahrscheinlichkeit, dass der Gegner deine Bet callt.<\/p>
Deine Ausgangsfrage dreht sich also um den optimalen Wert für x.<\/p>
Der erwartete Gewinn und reine Strategien<\/h1>
Fangen wir am besten ganz von vorne an. Was ist dein Ziel beim Poker? Geld zu gewinnen. Um genau zu sein: So viel Geld wie möglich zu gewinnen. Wann immer du vor einer Entscheidung stehst, solltest du dich fragen, welche Aktion den größten Profit verspricht.<\/p>
In deinem Beispiel würdest du die bestmögliche Hand natürlich for Value betten. Wenn du das tust, callt der Gegner entweder die Bet (in y% der Fälle) oder er foldet seine Hand (1 – y% der Fälle). Wenn er callt, gewinnst du den aktuellen Pot und den Betrag, mit dem der Gegner deine Bet callt: P + B.<\/p>
Wenn er foldet, gewinnst du nur den aktuellen Pot: P. („Aktueller Pot” bezieht sich immer auf die Potsize vor deiner Bet.) Solltest du also die beste Hand halten, so beträgt dein erwarteter Profit Ew (w steht für „winning”):<\/p>
Ew = y(P + B) + (1 – y)P <\/i><\/p>
Ohne die beste Hand zu halten (mit einem Busted Draw), wird die Sache schon etwas schwieriger. Hier bluffst du entweder (in x% der Fälle) oder gibst die Hand auf und checkst (1 – x% der Fälle).<\/p>
Wenn du bluffst, callt der Gegner entweder deine Bet (y% der Fälle) oder er foldet seine Hand (1 – y% der Fälle). Wenn er callt, verlierst du deine Bet und deine Gewinnerwartung ist negativ: -B. Wenn er foldet, gewinnst du den aktuellen Pot: P. Bei einem Bluff hängt deine Gewinnerwartung also von diesen beiden Fällen ab und beträgt<\/p>
(1 – y)P – yB<\/i><\/p>
Wenn du checkst (und aufgibst), gewinnst du nichts und dein erwarteter Gewinn ist Null. Daher beträgt dein erwarteter Gewinn El (l steht für losing) mit einer wertlosen Hand<\/p>
El = (1 – x)0 + x[(1 – y)P – yB] <\/i><\/p>
(man muss nur die obigen Fälle mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten kombinieren). Der erste Teil ergibt natürlich Null und kann gestrichen werden. Somit bleibt:<\/p>
El = x[(1 – y)P – yB]<\/i><\/p>
Wenn du weißt, dass dein Gegner nie callt (y = 0) - wenn er beispielsweise disconnected wurde - dann wäre dein erwarteter Gewinn einfach:<\/p>
El, y=0 = xP<\/i><\/p>
Um in diesem Fall deinen Profit zu steigern, wählen wir x = 1. Das heißt, du bluffst immer.<\/p>
Wenn du auf der anderen Seite aber weißt, dass dein Gegner immer callt (y = 1), so beträgt dein erwarteter Gewinn:<\/p>
El, y=1 = – xB<\/i><\/p>
Um diese Situation optimal auszunutzen, setzen wir x = 0 und du bluffst somit nie. (Erinnere dich nur an den Spruch „Never bluff a Callingstation!”)<\/p>
Mit dem Wissen über die Strategie des Gegners haben wir nun in zwei Spezialfällen optimale Gegenstrategien erarbeitet. Das waren jedoch Extremfälle, die sogenannten „pure Strategies”. In der Wirklichkeit werden die Gegner wesentlich unvorhersehbarer sein. Sie werden die Bet mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit callen, die zwischen 0 und 1 liegt. Spieltheoretisch ausgedrückt wäre das eine mixed Strategy.<\/p>
Optimale Strategien<\/h1>
Es ist interessant, dass dein Gegner eine Callfrequenz y wählen kann, bei der dein erwarteter Gewinn unabhängig von deiner Strategie (x ist beliebig) immer der gleiche ist. Nennen wir diese Callfrequenz nun yopt (im Sinne eines optimalen Wertes von y).<\/p>
Den Wert von yopt zu berechnen ist recht einfach. Wenn du an den Details dieser Berechnung interessiert bist, so kannst du sie im Anhang finden. Das Ergebnis sieht auf jeden Fall so aus:<\/p>
yopt = P\/(P + B)<\/i><\/p>
In deinem Beispiel gilt P = B = $100, und yopt = ½. Wenn dein Gegner also genau jedes zweite Mal callt, spielt er gegen dich optimal. Wenn der Gegner also nach der Strategie y = yopt spielt, so wird dein erwarteter Gewinn<\/p>
El,y=yopt = x[PB\/(P + B) – PB\/(P + B)] = 0<\/i><\/p>
entsprechen.<\/p>
(Setze einfach dein Ergebnis für yopt in die allgemeine Formel, die wir für El erhalten haben, ein). Da x in dieser Formel nicht auftaucht (eigentlich nur die Null), kannst du mit keiner Strategie (egal welcher Wert für x gilt) deinen erwarteten Gewinn steigern oder verringern.<\/p>
Interessanterweise hängt yopt nur von der Größe des Pots und der Größe der Bet ab und ist beispielsweise von q unabhängig. Das zeigt, dass yopt nicht das Optimum von y in einer absoluten Art und Weise ist. Wenn zum Beispiel q = 1 gilt, also der Gegner sicher ist, dass du die beste Hand hältst, wird er dich nicht jedes zweite Mal callen, er wird nämlich überhaupt nicht callen. Er würde dann also die Strategie analog zu y = 1 wählen. Aber wir werden später sehen, ich welchem Sinn yopt doch optimal ist.<\/p>
Analog dazu können wir x so bestimmen, damit der erwartete Gewinn des Gegners bei jedweder Strategie (y ist beliebig) unverändert bleibt. Wie oben beschreiben wir diesen besonderen Wert von x als xopt. Diesen Wert zu berechnen, ist jedoch ein kleines bisschen schwieriger. Unter Auslassung der Details erhalten wir am Ende:<\/p>
xopt = qB\/[(1 – q)(P + B)]<\/i><\/p>
(Wenn du an den Details interessiert bist: Um obige Formel zu berechnen, musst du zuerst {den \"erwarteten Gewinn aus Sicht des Gegners\", siehe Anhang} annehmen, womit die {\"Berechnung des Wertes von xopt\", siehe Anhang} dann einfach ist.)<\/p>
Wenn du so oft mit der schlechteren Hand bluffst, wird {der erwartete Gewinn des Gegners}<\/p>
Eop = (1 – q)P – qPB\/(P + B)<\/i><\/p>
sein.<\/p>
Da y in dieser Formel nicht auftaucht, kann er seinen erwarteten Gewinn ganz einfach nicht ändern.<\/p>
In deinem Beispiel gilt P = B = $100 und q = 0,2. Damit ist xopt = 1\/8. Wenn du mit einer Wahrscheinlichkeit von 1\/8 bluffst, kann der Gegner, auch wenn er noch so aufmerksam ist und deine Strategie kennt (er also weiß, dass x = xopt), dich nicht ausspielen. Wenn du seltener oder häufiger bluffst, kann das von einem aufmerksamen Gegner durch die entsprechende Antwort ausgenutzt werden. Gegen einen sehr guten Gegner sichert dir xopt also die optimale Strategie.<\/p>
Wie häufig wird solch ein guter Spieler deine Bet callen? Die Antwort liefert yopt . Wenn du nach einer x = xopt-Strategie spielst, könnte er im Grunde jede beliebige Strategie wählen. Wie du gesehen hast, verändert sich dadurch sein erwarteter Gewinn nicht. Wenn er aber keine Strategie wählt, in der y = yopt ist, dann kannst du als aufmerksamer Spieler diesen Fehler ausnutzen und mit einer optimalen Strategie antworten. Nur wenn er y = yopt wählt, kannst du seine Strategie nicht ausnutzen – egal welche Strategie man selber spielt, der erwartete Gewinn wird gleich bleiben. Man sollte immer beachten, dass ein Abweichen von der xopt-Strategie dem Gegner durch Anpassung die Ausnutzung der eigenen Strategie erlaubt.<\/p>
Du siehst nun, in welchem Sinne xopt und yopt optimal sind: Sie sind „unexploitable Strategies.“ In der Spieltheorie wird ein solches Paar an Strategien (xopt, yopt) auch Nash-Equilibrium genannt, das als wichtiges Konzept auch in der Wirtschaft Anwendung findet. (Ja, das ist der gleiche Nash wie der Protagonist des Films „A Beautiful Mind” und Gewinner des Wirtschafts-Nobelpreises von 1994). Und wie du jetzt weißt, spielt es auch beim Poker eine zentrale Rolle.<\/p>
Erwarteter Gewinn in einigen besonderen Fällen<\/h1>
Zum Schluss betrachten wir zwei Tabellen mit den erwarteten Gewinnen in einigen Ausnahmefällen. Die erste Tabelle zeigt den Gewinn für einen verpassten Draw (Verliererhand):<\/p>
\n\n
\n Deine Strategie<\/td>\n Strategie des Gegners<\/td>\n Erwarteter Gewinn (El<\/sub>)<\/td>\n Bemerkungen<\/td>\n<\/tr>\n \n x = 0<\/td>\n y = 0<\/td>\n $0<\/td>\n Du liegst hinten.
Wenn du nicht bluffst,
kannst du nicht gewinnen.<\/td>\n<\/tr>\n\n y = 1<\/td>\n $0<\/td>\n<\/tr>\n \n y = yopt<\/sub><\/td>\n $0<\/td>\n<\/tr>\n \n x = 1<\/td>\n y = 0<\/td>\n $100<\/td>\n Bluff the rocks!<\/td>\n<\/tr>\n \n y = 1<\/td>\n - $100<\/td>\n Never bluff a fish!<\/td>\n<\/tr>\n \n y = yopt<\/sub><\/td>\n $0<\/td>\n <\/td>\n<\/tr>\n \n x = xopt<\/sub><\/td>\n y = 0<\/td>\n $12.5<\/td>\n xopt<\/sub> ist keine „generelles Optimum“.
Wenn du weißt, dass er callt,
dann bluffe nicht.<\/td>\n<\/tr>\n\n y = 1<\/td>\n – $12.5<\/td>\n<\/tr>\n \n y = yopt<\/sub><\/td>\n $0<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table> Der erwartete Gewinn des Gegners ist einfach das Negativ des eigenen, plus die $100, die schon im Pot sind. (Er erhält den eigenen Netto-Verlust der Setzrunde und den aktuellen Pot. Wenn du den Pot gewinnst, ist dein Netto-Verlust -$100 und er bekommt nichts. Oder stell dir den einfachsten Fall vor: Wenn dein erwarteter Gewinn Null ist, bleibt dein Stack intakt – genau wie in dem Moment, in dem die Riverkarte ankommt. Der Pot kann also nicht dir gehören, obwohl ihn ja einer bekommen muss – er wird also dem Gegner gehören. In der Sprache der Spieltheorie könnte man also sagen, dass unser Beispiel – weil wir ja schon am River sind – kein Nullsummenspiel ist.)<\/p>
Während du immer weißt, wann du bluffst und wann du valuebettest, weiß das dein Gegner nicht. Für ihn (und wahrscheinlich für dich auch) könnte folgende Tabelle sehr aufschlussreich sein. Sie zeigt deinen erwarteten Gewinn anhand des Mixes aus Winning und Losing Hands. In ähnlichen Situationen liegst du zu 20% vorne und zu 80% hinten. Dein gesamter erwarteter Gewinn ist also qEw + (1 – q)El. (Erneut beschreibt das Negative davon plus den $100 aus dem aktuellen Pot den erwarteten Gewinn des Gegners, Eop).<\/p>
\n\n
\n Deine Strategie<\/td>\n Strategie des Gegners<\/td>\n Erwarteter Gewinn<\/td>\n Bemerkungen<\/td>\n<\/tr>\n \n x = 0<\/td>\n y = 0<\/td>\n $20<\/td>\n Darum lieben wir
Callingstations!<\/td>\n<\/tr>\n\n y = 1<\/td>\n $40<\/td>\n<\/tr>\n \n y = yopt<\/sub><\/td>\n $30<\/td>\n<\/tr>\n \n x = 1<\/td>\n y = 0<\/td>\n $100<\/td>\n Bluff the rocks!<\/td>\n<\/tr>\n \n y = 1<\/td>\n - $40<\/td>\n Never bluff a fish!<\/td>\n<\/tr>\n \n y = yopt<\/sub><\/td>\n $30<\/td>\n <\/td>\n<\/tr>\n \n x = xopt<\/sub><\/td>\n y = 0<\/td>\n $30<\/td>\n xopt<\/sub> ist daher optimal,
da der Gegner dich
nicht ausspielen kann.<\/td>\n<\/tr>\n\n y = 1<\/td>\n $30<\/td>\n<\/tr>\n \n y = yopt<\/sub><\/td>\n $30<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table> Zusammenfassung<\/h1>
Wenn man gegen einen guten Gegner spielt, ist eine Strategie nach dem Nash-Equilibrium mit xopt die beste Wahl. In diesem Fall wird der Gegner eine durch yopt vorgegebene Strategie wählen. Ansonsten macht er Fehler (und ist offensichtlich doch kein so guter Spieler), die du durch die beste Gegenstrategie ausnutzen kannst. Wenn er dazu neigt, zu oft callen, bluffst du weniger. Wenn er zu selten callt, bluffst du mehr. Wenn du seine tatsächliche Callfrequenz abschätzen kannst, kannst du berechnen, wie viel weniger (oder mehr) du bluffen solltest, indem du wie oben gezeigt, deinen erwarteten Gewinn maximierst.<\/p>
\n<\/p>
Anhang<\/h1>
Ermittlung des Wertes von yopt<\/div>Wenn y = yopt, dann wird dein erwarteter Gewinn für alle Werte von x gleich sein. Nehmen wir zuerst x = 0. So kannst du nichts gewinnen, was in folgender Formel zum Ausdruck kommt.<\/p>
El, x=0 = 0<\/i><\/p>
Nun setzen wir x = 1. Deine Gleichung nach El aufgelöst ergibt:<\/p>
El, x=1 = (1 – yopt)P – yoptB<\/i><\/p>
Da El, x=0 das gleiche sein muss wie El, x=1, erhalten wir:<\/p>
(1 – yopt)P – yoptB = 0<\/i><\/p>
Daraus folgt:<\/p>
(1 – yopt)P = yoptB<\/i><\/p>
P – yoptP = yoptB<\/p>
P = yopt(P + B)
<\/p>Und schließlich:<\/p>
yopt = P\/(P + B)<\/i><\/p>
{der erwaretete Gewinn aus Sicht des Gegners}, {der erwartete Gewinn des Gegners}:<\/p>
Was dein Gegner sieht<\/div>Sehen wir uns nun die Hand aus dem Blickwinkel des Gegners an. Zuerst benennen wir seinen erwarteten Gewinn als Eop. Da er – im Gegensatz zu dir – nicht weiß, ob du vorne oder hinten liegst, hängt sein erwarteter Gewinn auch von q ab und ist daher etwas komplizierter zu berechnen:<\/p>
Eop = – qyB + q(1 – y)0 + (1 – q)[xy(P + B) + x(1 – y)0 + (1 – x)P]<\/i><\/p>
Der erste Term bezieht sich auf den Fall, in dem man eine Winning Hand bettet und der Gegner durch einen Call diese Bet verliert. Der zweite Term steht für den Fall, dass man die beste Hand hält, der Gegner foldet und man nichts gewinnt oder verliert. Der Rest steht für die Fälle, wenn der Gegner vorne liegt.<\/p>
Der erste Teil in der eckigen Klammer zeigt den Fall, wenn man blufft und der Gegner durch einen Call den aktuellen Pot plus die eigene Bet gewinnt. Der mittlere Teil ist der Fall, wenn man blufft, der Gegner foldet und somit nichts gewinnt oder verliert, während der letzte Term für den Fall steht, dass du einfach aufgibst und der Gegner den Pot gewinnt (entweder durch einen Checkbehind oder dich mit einer Bet zum Folden bringt).<\/p>
Durch Kürzen erhalten wir dann folgende Gleichung:<\/p>
Eop = (1 – q)[xy(P + B) + (1 – x)P] – qyB<\/i><\/p>
Wenn dein Gegner weiß, dass du nie bluffst (x = 0), wie sähe dann seine beste Strategie aus? Natürlich würde er dich nie callen. Das kannst du sehen, indem wir in obige Formel x = 0 setzen.<\/p>
Eop x=0 = (1 – q)P– qyB<\/i><\/p>
Um dies zu maximieren, müssen wir y = 0 setzen (nie callen).<\/p>
Weiß der Gegner auf der anderen Seite, dass du immer bluffst (x = 1), dann ist die beste Strategie für ihn nicht so eindeutig. Bei x = 1 erhalten wir:<\/p>
Eop x=1 = (1 – q)y(P + B) – qyB = y[(1 – q)(P + B) – qB]<\/i><\/p>
Wenn<\/p>
(1 – q)(P + B) – qB > 0<\/i><\/p>
so maximiert y = 1 (immer callen) den erwarteten Gewinn des Gegners.<\/p>
Wenn<\/p>
(1 – q)(P + B) – qB < 0<\/i><\/p>
sollte er hingegen y = 0 (nie callen) wählen.<\/p>
(1 – q)(P + B) – qB < 0<\/i><\/p>
bedeutet<\/p>
P + B < q(P + 2B)<\/i><\/p>
und bringt uns am Ende<\/p>
q > (P + B)\/(P + 2B)<\/i><\/p>
In deinem Beispiel ist P = B = $100. Wenn q > 2\/3 ist, sollte dein Gegner die Bet nie callen (auch wenn er weiß, dass du immer bettest), weswegen du in diesem Fall immer bluffen solltest. Wenn q < 2\/3 sein sollte, sollte der Gegner immer callen (wenn er weiß, dass du immer bluffst). Beachte, dass dieser spezielle Wert von q ausschließlich von der Größe des Pot und der Bet abhängt.<\/p>
Ermittlung des Wertes von xopt<\/div>Wenn x = xopt ist, wird der erwartete Gewinn des Gegners für alle y gleich sein. Wie schon vorher setzen wir zuerst y = 0. Deine Gleichung nach Eop ergibt:<\/p>
Eop y=0 = (1 – q)(1 – xopt)P<\/i><\/p>
Setzen wir nun y = 1. Dieses Mal erhalten wir:<\/p>
Eop y=1 = (1 – q)[ xopt (P + B) + (1 – xopt)P] – qB<\/i><\/p>
Da Eop y=0 gleich Eop y=1 sein muss, erhalten wir:<\/p>
(1 – q)(1 – xopt)P = (1 – q)[ xopt (P + B) + (1 – xopt)P] – qB<\/i><\/p>
Das bedeutet:<\/p>
qB = (1 – q) xopt (P + B)<\/i><\/p>
((1 – q)(1 – xopt)P taucht auf beiden Seiten auf und kann somit gekürzt werden), und wir erhalten:<\/p>
xopt = qB\/[(1 – q)(P + B)]<\/i><\/p>
Bezeichnungen: <\/p>
\n\n
\n Bezeichnung<\/td>\n Bedeutung<\/td>\n Wert in deinem Beispiel<\/td>\n<\/tr>\n \n P ($)<\/td>\n Größe des Pots<\/td>\n 100<\/td>\n<\/tr>\n \n B ($)<\/td>\n Größe der Bet<\/td>\n 100<\/td>\n<\/tr>\n \n q<\/td>\n Die Wahrscheinlichkeit,
dass du die beste Hand
hältst (aus Sicht des Gegners)<\/td>\n0,2<\/td>\n<\/tr>\n \n x<\/td>\n Eigene Blufffrequenz<\/td>\n (variabel)<\/td>\n<\/tr>\n \n y<\/td>\n Callfrequenz des Gegners<\/td>\n (variabel)<\/td>\n<\/tr>\n \n xopt<\/sub><\/td>\n Eigene „optimale“ Blufffrequenz<\/td>\n 0,125<\/td>\n<\/tr>\n \n yopt<\/sub><\/td>\n „Optimale“ Callfrequenz des Gegners<\/td>\n 0,5<\/td>\n<\/tr>\n \n Ew<\/sub> ($)<\/td>\n Erwarteter Gewinn mit der besten Hand<\/td>\n 100 (1 + y)<\/td>\n<\/tr>\n \n El <\/sub>($)<\/sub><\/td>\n Erwarteter Gewinn mit der Verliererhand<\/td>\n \n 100x (1 – 2y)<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n
\n Eop <\/sup>($)<\/td>\n Erwarteter Gewinn des Gegners<\/td>\n 80[2xy + 1 – x] – 20y<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table> 1 Beim Arbeiten mit Wahrscheinlichkeiten schreibt man üblicherweise 0,2 anstatt 20%, 0,5 statt 50% usw. Mit dieser Schreibweise ist die Wahrscheinlichkeit eines unmögichen Ereignisses 0 (0%), während ein sicher eintreffendes Ereignis die Wahrscheinlichkeit 1 (100%) hat. Alle anderen Wahrscheinlichkeiten liegen somit zwischen 0 und 1.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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