{"id":57275,"date":"2008-08-17T09:21:00","date_gmt":"2008-08-17T09:21:00","guid":{"rendered":"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/de\/strategy\/257\/"},"modified":"2026-07-06T04:49:36","modified_gmt":"2026-07-06T04:49:36","slug":"257","status":"publish","type":"strategy","link":"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/de\/strategy\/sss\/257\/","title":{"rendered":"Nash-Gleichgewichte und Bluffing\/Calling Frequencies"},"content":{"rendered":"<?xml encoding=\"utf-8\" ?><h1>Nash-Gleichgewichte und Bluffing\/Calling Frequencies<\/h1><h1><b>Einleitung<\/b><br>\n<\/h1><p> Die Spieltheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Analyse bestimmter Konfliktsituationen bzw. von Spielen besch&auml;ftigt. Als Spiel wird in diesem Sinne eine Situation verstanden, in der mehrere Teilnehmer miteinander um eine Ressource konkurrieren, jeder f&uuml;r sich eine Strategie verfolgt, die durchaus auch kooperative Z&uuml;ge tragen kann, und es einen feststellbaren Profit geben kann.<\/p><p>Ein zentraler Begriff der Spieltheorie ist das so genannte Nash-Gleichgewicht, das einen Zustand beschreibt, in dem ein strategisches Gleichgewicht zwischen den Spielern herrscht, sie wechselseitig immer die beste Antwort auf eine Aktion des Gegners parat haben und niemand seinen Profit vergr&ouml;&szlig;ern kann, wenn er nur einseitig von seiner Strategie abweicht.<\/p><p>Dieser Artikel gibt euch einen Einblick in die Spieltheorie, Nash-Gleichgewichte als L&ouml;sungsstrategien und deren konkrete Anwendung am Beispiel Betting und Calling Frequencies. F&uuml;r das Verst&auml;ndnis des Textes sind einige grundlegende Kenntnisse im Bereich Matrizenrechnung Voraussetzung.<\/p><h1><b>Kurze Einf&uuml;hrung in die Spieltheorie<\/b><br>\n<\/h1><p> Ein Spiel im mathematischen Sinne ist gegeben durch:<\/p><ul>\n<li>die \tMenge der Spieler<\/li>\n<li>die \tMengen der (puren) Strategien f&uuml;r jeden Spieler<\/li>\n<li>eine \tAbbildung, die jedem Strategieprofil (d.h. jeder Spieler w&auml;hlt \teine Strategie) ein Auszahlungstupel zuordnet, durch das f&uuml;r \tjeden Spieler eine Auszahlung festgelegt ist. Durch diese Abbildung \twird also ein Ergebnis festgelegt, das eintritt, wenn sich die \tSpieler f&uuml;r eine bestimmte Strategie entscheiden und das Spiel \tdann gespielt wird.<\/li>\n<\/ul><p>\nIm weiteren Verlauf dieses Artikels werden nur Spiele mit zwei Teilnehmern betrachtet. Das Spiel kann dann sehr einfach durch zwei <i>m <\/i>x<i> n<\/i> Matrizen <i>A<\/i> und <i>B<\/i> dargestellt werden. Spieler 1 besitzt dann m Strategien <i>S1,...,Sm<\/i> und Spieler 2 besitzt n Strategien <i>S'1,...,S'n<\/i>. W&auml;hlt Spieler 1 die Strategie <i>Si<\/i> und Spieler 2 die Strategie <i>Sj<\/i>, so ist die Auszahlung f&uuml;r Spieler 1 <i>Aij<\/i> und f&uuml;r Spieler 2 <i>Bij<\/i>.<\/p><p>Auszahlungen Spieler 1:<\/p><table border=\"0\" cellpadding=\"7\" cellspacing=\"0\" width=\"220\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"width: 31px\">\n<p>\n\t\t\t<\/p><\/td>\n<td style=\"width: 33px\"> \t\t\t<b><i>S'1<\/i><\/b>\n<\/td>\n<td style=\"width: 33px\"> \t\t\t<b><i>S'2<\/i><\/b>\n<\/td>\n<td style=\"width: 24px\"> \t\t\t...\n<\/td>\n<td style=\"width: 28px\"> \t\t\t<b><i>S'n<\/i><\/b>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 31px\"> \t\t\t<b><i>S1<\/i><\/b>\n<\/td>\n<td style=\"width: 33px\"> \t\t\t<i>A11<\/i>\n<\/td>\n<td style=\"width: 33px\"> \t\t\t<i>A12<\/i>\n<\/td>\n<td style=\"width: 24px\"> \t\t\t...\n<\/td>\n<td style=\"width: 28px\"> \t\t\t<i>A1n<\/i>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 31px\"> \t\t\t<b><i>S2<\/i><\/b>\n<\/td>\n<td style=\"width: 33px\"> \t\t\t<i>A21<\/i>\n<\/td>\n<td style=\"width: 33px\"> \t\t\t<i>A22<\/i>\n<\/td>\n<td style=\"width: 24px\"> \t\t\t...\n<\/td>\n<td style=\"width: 28px\"> \t\t\t<i>A2n<\/i>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 31px\"> \t\t\t...\n<\/td>\n<td style=\"width: 33px\"> \t\t\t...\n<\/td>\n<td style=\"width: 33px\"> \t\t\t...\n<\/td>\n<td style=\"width: 24px\"> \t\t\t...\n<\/td>\n<td style=\"width: 28px\"> \t\t\t...\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 31px\"> \t\t\t<b><i>Sm<\/i><\/b>\n<\/td>\n<td style=\"width: 33px\"> \t\t\t<i>Am1<\/i>\n<\/td>\n<td style=\"width: 33px\"> \t\t\t<i>Am2<\/i>\n<\/td>\n<td style=\"width: 24px\"> \t\t\t...\n<\/td>\n<td style=\"width: 28px\"> \t\t\t<i>Amn<\/i>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table><p>\nGilt z.B. <i>A=B=I2<\/i> (2x2 Einheitsmatrix), so erhalten beide Spieler die Auszahlung <i>1<\/i>, wenn sie beide die erste oder beide die zweite Strategie w&auml;hlen, ansonsten erhalten beide die Auszahlung 0.<\/p><p>Es ist auch zugelassen, dass die Spieler gemischte Strategien spielen. Dies bedeutet, dass mehrere pure Strategien mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit gespielt werden, wobei man insgesamt nat&uuml;rlich auf 100% kommt. Eine gemischte Strategie kann man durch einen Vektor <i>p<\/i> darstellen, wobei <i>pi<\/i> f&uuml;r die Wahrscheinlichkeit steht, dass die <i>i<\/i>-te Strategie gespielt wird.<\/p><p>Spielt Spieler 1 die gemischte Strategie <i>p<\/i> aus <i>Rm<\/i> und Spieler 2 die gemischte Strategie <i>q<\/i> aus <i>Rn<\/i>, so erh&auml;lt man die Auszahlungen als <i>pAq<\/i> bzw. <i>pBq<\/i>. (Dies f&uuml;hrt f&uuml;r pure Strategien insbesondere wieder auf den entsprechenden Eintrag der jeweiligen Matrizen.)<\/p><p>Eine Strategie <i>p<\/i> von Spieler 1 bezeichnet man als <u>beste Antwort<\/u> auf eine Strategie <i>q<\/i> von Spieler 2, wenn <i>p<\/i> die maximale Auszahlung f&uuml;r Spieler 1 bringt, d.h. wenn gilt:<\/p><p><i>pAq &gt;= p'Aq<\/i> f&uuml;r alle Strategien p' von Spieler 1.<\/p><p>Analog hei&szlig;t eine Strategie <i>q<\/i> von Spieler 2 beste Antwort auf Strategie <i>p<\/i> von Spieler 1, wenn gilt:<\/p><p><i>pBq &gt;= pBq'<\/i> f&uuml;r alle Strategien q' von Spieler 2.<\/p><p>Ein Paar <i>(p,q)<\/i> mit Strategie <i>p<\/i> von Spieler 1 und Strategie <i>q<\/i> von Spieler 2, hei&szlig;t <u>Nash-Gleichgewicht (NGG)<\/u>, wenn <i>p<\/i> beste Antwort auf <i>q<\/i> und <i>q<\/i> beste Antwort auf <i>p<\/i> ist. Ohne Beweis sei hier bemerkt, dass in jedem Spiel mindestens ein NGG existiert (allerdings nicht notwendig in puren Strategien).<\/p><p>Ein NGG muss nicht pareto-optimal sein. Ein pareto-optimaler Zustand ist dann erreicht, wenn der Zustand nicht mehr ge&auml;ndert werden kann, so dass ein Spieler eine h&ouml;here Auszahlung erh&auml;lt, ohne dass ein anderer Spieler schlechter gestellt wird.<\/p><p>Ebenso muss ein pareto-optimales Paar von Strategien kein NGG sein. Bekanntes Beispiel hierf&uuml;r ist das <u><a href=\"https:\/\/de.wikipedia.org\/wiki\/Gefangenendilemma\">Gefangenendilemma<\/a><\/u>. Darauf werden wir allerdings nicht n&auml;her eingehen, ebenso wenig auf weitere interessante Gleichgewichtsbegriffe wie <u><a href=\"https:\/\/de.wikipedia.org\/wiki\/Evolution%C3%A4r_stabile_Strategie\">evolution&auml;r stabile Strategien<\/a><\/u> und korrelierte Gleichgewichte.<\/p><p>Haben beide Spieler nur zwei pure Strategien, gibt es eine sehr einfache Methode zur Berechnung des NGG. Diese soll anhand des obigen Beispiels <i>A=B=I2<\/i> erl&auml;utert werden. <\/p><p>Eine Strategie <i>p<\/i> von Spieler 1 hat nat&uuml;rlich die Form <i>(a,1-a) <\/i>mit<i> a <\/i>aus<i> [0,1]<\/i>, eine Strategie von Spieler 2 hat die Form <i>(b,1-b)<\/i> f&uuml;r <i>b <\/i>aus<i> [0,1]<\/i>. Man sucht nun f&uuml;r eine Strategie <i>(b,1-b)<\/i> von Spieler 2 die beste Antwort von Spieler 1, indem man die Auszahlung der Strategien <i>(1,0)<\/i> und <i>(0,1)<\/i> vergleicht (also der puren Strategien bzw. der beiden Zeilen in der Matrix). <\/p><p>W&auml;hlt Spieler 1 die erste Zeile, so ist die Auszahlung f&uuml;r ihn <i>b<\/i>, w&auml;hlt er die zweite Zeile, so ist die Auszahlung f&uuml;r ihn <i>1-b<\/i>. F&uuml;r <i>b&gt;1-b &lt;=&gt; b&gt;0,5<\/i> ist die beste Antwort also die erste Zeile, d.h. <i>a=1<\/i>. F&uuml;r <i>b&lt;0,5<\/i> entsprechend die zweite Zeile, d.h. <i>a=0<\/i>, und f&uuml;r <i>b=0,5<\/i> erh&auml;lt er auf jeden Fall die Auszahlung <i>1<\/i>, jede Strategie ist also beste Antwort.<\/p><p>Dasselbe f&uuml;hrt man f&uuml;r Spieler 2 durch. Aufgrund der Symmetrie im Beispiel erh&auml;lt man nat&uuml;rlich <i>b=1<\/i> f&uuml;r <i>a&gt;0,5<\/i>, <i>b=0<\/i> f&uuml;r <i>a&lt;0,5<\/i> und <i>b<\/i> beliebig aus <i>[0,1]<\/i> f&uuml;r <i>a=0,5<\/i>.<\/p><p>NGG sind nun nach Definition Strategienpaare, so dass beide Strategien jeweils beste Antworten auf die jeweilig andere Strategie sind. Diese findet man in der Zeichnung offensichtlich durch die Schnittpunkte der beiden Mengen.<\/p><p>Die NGG dieses Spiels sind also <i>((1,0),(1,0)), ((0,1),(0,1))<\/i> und <i>((0.5,0.5),(0.5,0.5))<\/i>.<\/p><h1><b>Betting\/Calling Frequencies<\/b><br>\n<\/h1><p> Man betrachte folgende Situation: Spieler 1 (out of position) und Spieler 2 (in position) sind am River und die Handst&auml;rke von Spieler 2 ist recht genau definiert. Spieler 1 wei&szlig;, ob er vorne liegt oder nicht, und Spieler 2 wei&szlig; auch, dass Spieler 1 das wei&szlig;. <\/p><p>Kann Spieler 1 die Hand von Spieler 2 schlagen, wird er nat&uuml;rlich valuebetten (Spieler 2 w&uuml;rde immer check behind spielen, da Spieler 1 ja wei&szlig;, ob er vorne liegt oder nicht). Die Frage, ob bzw. wie oft er bluffen soll, h&auml;ngt dann nat&uuml;rlich vom Gegner ab. Gegen eine Calling Station z.B. sollte er nat&uuml;rlich nicht bluffen, gegen einen weaken Gegner schon. Auch f&uuml;r Spieler 2 h&auml;ngt die Entscheidung, ob er nach einer Bet callen oder folden sollte, von Spieler 1 ab.<\/p><p>Diese Situation kann man folgenderma&szlig;en als Spiel modellieren:<\/p><ul>\n<li>Spieler \t1 hat die (puren) Strategien <i>Bluffen<\/i> und <i>Nicht Bluffen<\/i>. \tEine gemischte Strategie <i>(a,1-a)<\/i> bedeutet dann, dass Spieler \t1 mit der Wahrscheinlichkeit <i>a<\/i> blufft, wenn er bettet (und \tnicht, dass er mit der Wahrscheinlichkeit <i>a<\/i> blufft, wenn er \teine schlechte Hand hat .. mehr dazu im dritten Abschnitt).<\/li>\n<\/ul><ul>\n<li>Spieler \t2 hat die (puren) Strategien <i>Call<\/i> und <i>Fold<\/i>. Eine \tgemischte Strategie <i>(b,1-b)<\/i> hei&szlig;t dann, dass er mit der \tWahrscheinlichkeit <i>b<\/i> callt, wenn Spieler 1 bettet.<\/li>\n<\/ul><p>\nDie besten Antworten auf eine Strategie des Gegners sind relativ einfach zu bestimmen (die Bet von Spieler 1 betrage x-fache Potsize):<\/p><p>Um einen profitablen Call zu machen, muss Spieler 2 in <i>x*Pot \/ (x+2) * Pot = x\/x+2<\/i> der F&auml;lle vorne liegen. Das hei&szlig;t auf die Strategie <i>(a,1-a)<\/i> hat er als beste Antwort Fold (also <i>(0,1)<\/i> bzw. <i>b=0<\/i>), wenn <i>a<x><\/x><\/i>.<\/p><p>Er hat als beste Antwort Call (also <i>(1,0)<\/i> bzw. <i>b=1<\/i>), wenn <i>a&gt;x\/x+2<\/i>. F&uuml;r <i>a=x\/x+2<\/i> ist jede Strategie <i>(b,1-b)<\/i> mit <i>b<\/i> aus <i>[0,1]<\/i> eine beste Antwort.<\/p><p>Damit Spieler 1 profitabel bluffen kann, muss der Bluff in <i>x*Pot\/(x+1)*Pot = x\/x+1<\/i> der F&auml;lle erfolgreich sein, d.h. Spieler 2 muss in mindestens <i>x\/x+1<\/i> der F&auml;lle folden. <\/p><p>Das bedeutet, dass Spieler 1 als beste Antwort auf <i>(b,1-b)<\/i> f&uuml;r <i>b&gt;x\/x+1<\/i> nie blufft (also <i>(0,1)<\/i> oder <i>a=0<\/i>), f&uuml;r <i>b<x><\/x><\/i> immer blufft (also <i>(1,0)<\/i> oder <i>a=1<\/i>) und f&uuml;r <i>b=x\/x+1<\/i> ist jede Strategie beste Antwort.<\/p><p>Wir erhalten also als einziges NGG <i>((x\/x+2),1-x\/x+2),(x\/x+1,1-x\/x+1))<\/i>.<\/p><h1><b>Praktische Bedeutung des Nash-Gleichgewichts<\/b><br>\n<\/h1><p> Betrachten wir die Situation z.B. aus Sicht von Spieler 2. Nehmen wir an <i>x=1<\/i>, also Spieler 1 macht eine Potsize-Bet. Im NGG hat man nun die Strategie <i>(0.5,0.5)<\/i>. Wenn man zuf&auml;llig zu 50% callt und zu 50% foldet, ist man in dieser Situation nicht exploitable, in dem Sinne, dass der Gegner seinen Erwartungswert nicht mit einer guten Entscheidung verbessern kann.<\/p><p>Jede seiner Strategien ist eine gleich gute Antwort auf unsere Strategie. Die Strategie <i>(0.5,0.5)<\/i> ist aber nat&uuml;rlich nicht immer die beste Antwort auf die Strategie von Spieler 1. Optimalerweise wollen wir nat&uuml;rlich immer mit der besten Antwort reagieren. Ist der Gegner z.B. ein Rock, ist es relativ einfach seine Strategie vorherzusagen und die beste Antwort zu w&auml;hlen. Man w&uuml;rde hier nicht auf die Idee kommen in 50% der F&auml;lle zu callen.<\/p><p>Ein guter Gegner wird seine Strategie in einer solchen Situation allerdings immer wieder &auml;ndern und versuchen, sich an unseren Spielstil anzupassen, w&auml;hrend wir versuchen werden, uns an diese Anpassungen anzupassen, usw. Optimal ist es nat&uuml;rlich, dem Gegner immer einen Schritt voraus zu sein, also ein Level h&ouml;her zu denken als er. Dann wird man seine Strategie relativ gut vorhersagen k&ouml;nnen, also absch&auml;tzen k&ouml;nnen, ob er in diesem Moment des Spiels gegen uns einen Bluff versuchen w&uuml;rde oder nicht. <\/p><p>Man wird aber auch Gegner treffen, die dies besser beherrschen als man selbst. Gegen diese ist es dann am besten eine Strategie zu spielen, die nicht exploitable ist. Dadurch kann er in dieser Situation keinen Gewinn daraus ziehen, dass er uns besser readen kann als wir ihn. (Wenn die Karten umgekehrt w&auml;ren, w&uuml;rde man genauso viel gewinnen wie er gegen uns, weil man auch dann die Strategie aus dem NGG spielen kann)<\/p><h1><b>Anmerkungen<\/b><\/h1><p>a) Wenn man z.B. in 50% der F&auml;lle eine Aktion durchf&uuml;hren will, so sollte das nat&uuml;rlich m&ouml;glichst per Zufall und nicht durch ein evtl. leicht erkennbares System bestimmt werden. Als einfache Zufallsgeneratoren k&ouml;nnen hier z.B. Sekundenzeiger einer Armbanduhr benutzt werden oder die Riverkarte, indem man callt, wenn sie einen geraden Wert aufweist oder foldet, wenn ihre Wert ungerade ist. So etwas kann aber evtl. auch vorhersagbar werden, wenn das System zu offensichtlich ist und der Gegner sehr aufmerksam ist.<\/p><p>b) Wie in Abschnitt 2 schon bemerkt bedeutete die Strategie <i>(a,1-a)<\/i> von Spieler 1 dort, dass Spieler 1 insgesamt mit einer Wahrscheinlichkeit von <i>a<\/i> blufft und nicht, dass er mit einer Wahrscheinlichkeit von <i>a<\/i> blufft, wenn er eine schlechte Hand h&auml;lt. Diese Information nutzt einem zun&auml;chst nichts. Man muss noch z&auml;hlen, wie oft man die Hand hat, die man repr&auml;sentiert und wie oft nicht.<\/p><p>Man betrachte z.B. das Board JT42. Spieler 1 ist offensichtlich auf einem Draw (Straight oder Flush) und Spieler 2 hat eine Made Hand. Ist der River 6 und man h&auml;lt KQ und will bestimmen, wie oft man bluffen sollte, so muss man sich zun&auml;chst &uuml;berlegen, wie oft man den Flush h&auml;lt. <\/p><p>(A9-A5, A3, A2, 97, 87, 86, 76, 75, 65, 53) k&ouml;nnte beispielsweise eine realistische Range sein, insgesamt 14 H&auml;nde. Einen busted Straight Draw wird man genauso oft halten. (Je 7 Kombinationen von KQ und 98, wenn man davon ausgeht, dass man OESD+FD vorher anders gespielt h&auml;tte). <\/p><p>Will man jetzt insgesamt mit einer Wahrscheinlichkeit von <i>1\/3<\/i> bluffen, so braucht man 7 H&auml;nde, mit denen man blufft <i>(7\/(14+7)=1\/3)<\/i>. H&auml;lt man also einen busted Draw, muss man in 50% der F&auml;lle bluffen: <i>(7\/14 = 1\/2)<\/i>.<\/p><p>Schlie&szlig;t man in dieser Situation 98 aus (evtl. wegen der Preflop-Action), so hat man nur in 33% der F&auml;lle keinen Flush, dann sollte man also immer bluffen.<\/p><p>c) Erwartet man als Spieler 2, dass der Gegner ungef&auml;hr mit einer Frequenz blufft, die dem NGG entspricht, so sollte man callen, wenn man \"Blocker\" in seiner Hand hat. Dies sind Karten, die in den H&auml;nden vorkommen, die der Gegner repr&auml;sentiert.<\/p><p>Hat man z.B. beim Beispiel aus b) AJ auf der Hand, so sind 7 von 14 seiner Flush H&auml;nde nicht m&ouml;glich, weil sie das As enthalten (die H&auml;nde sind \"blockiert\"). Wenn der Gegner das Verfahren aus Teil b) durchf&uuml;hrt, wird er eine falsche Blufffrequenz f&uuml;r seine busted Draws ausrechnen, da er denkt, dass er &ouml;fter einen Flush halten wird. In diesem Fall wird er dann in 50% statt in 33% der F&auml;lle bluffen.<\/p><p>Die gleiche Situation liegt vor, wenn der River 9 statt 6 ist und man QQ h&auml;lt. Der Gegner repr&auml;sentiert KQ, wenn er bettet und auch hier sind die H&auml;lfte der KQ Kombinationen nicht m&ouml;glich.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Hier erhaltet ihr eine Einweisung in die Spieltheorie und dessen Anwendung bez\u00fcglich Poker.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"template":"","meta":{"_acf_changed":false,"inline_featured_image":false,"_lmt_disableupdate":"","_lmt_disable":""},"strategy_category":[141],"strategy_level":[119],"class_list":["post-57275","strategy","type-strategy","status-publish","hentry","strategy_category-sss-platin"],"acf":[],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v28.2 - https:\/\/yoast.com\/product\/yoast-seo-wordpress\/ -->\n<title>Nash-Gleichgewichte und Bluffing\/Calling Frequencies<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Hier erhaltet ihr eine Einweisung in die Spieltheorie und dessen Anwendung bez\u00fcglich Poker.\" \/>\n<meta name=\"robots\" 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