- \n
- Warum Mathematik im Poker wichtig ist
\n\t<\/i><\/li>\n- Was hinter dem Begriff \"Equity\" steckt
\n\t<\/i><\/li>\n- Wie du deinen Erwartungswert berechnest
\n\t<\/i><\/li>\n<\/ul>\n![](\"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/download\/content\/bilder\/ps_trennlinie.jpg\")
\n<\/div>In dieser Artikelserie wirst du grundlegende und fortgeschrittene mathematische Konzepte im
\nNo-Limit Hold’em kennenlernen. Zum einen lernst du die mathematischen Zusammenhänge kennen und verstehen, zum anderen aber auch ihre direkten Anwendungsmöglichkeiten. Hierbei geht es größtenteils um die exakte Berechnung oder um die Abschätzung von Ergebnissen von verschiedenen möglichen Entscheidungen innerhalb einer Hand. <\/p>Häufig wird zum Beispiel in einem Video, einem Handbewertungsforum oder auch hier im Artikel gesagt: \"Das ist +EV\". Zu einer genauen Erklärung später, aber was dies bedeutet ist klar: Dieser Spielzug ist gut\/richtig, er erzeugt Profit. <\/p>
Soweit so gut.
\nEin Problem tritt allerdings auf, wenn zwei Meinungen voneinander abweichen. Spieler A sagt: \"Das ist +EV\", Spieler B sagt: \"Nein, es ist -EV oder maximal +-0
\nEV\".
\nWie geht es jetzt weiter? <\/p>In einigen Situationen kann kein mathematisches Konzept die
\nFrage klären. Häufig ist es aber möglich, diese Frage entweder zu entscheiden oder zumindest auf eine fundierte Diskussionsbasis zu heben. Besonders diese Fälle werden in Mathematical Concepts of No-Limit Hold’em behandelt.<\/p>Teil 1 - EV & Ranges
\n<\/h1>\nDer erste Teil enthält eine mathematische Einleitung in Begrifflichkeiten und Definitionen. Der rein mathematische Unterbau ist recht simpel und sollte niemandem abschrecken, es handelt sich dabei höchstens um den Stoff der gymnasialen Oberstufe Grundkurs Mathematik und auch dabei nicht um den komplexeren Teil. Dieser wird nicht vorausgesetzt.\n<\/p>
\nNach diesem Klären von mathematischen Begriffen soll noch ein wichtiger Begriff aus dem Poker eingeführt und erklärt werden: die Equity. Schon hiermit ist es möglich, erste Analysen zu berechnen und zu interessanten Ergebnissen zu kommen. Abschließend werden einige einfache Beispiele vorgerechnet, um die Anwendung der vorgestellten Konzepte zu demonstrieren.\n<\/p>
Mathematische Grundlagen<\/h1>
\nDer Erwartungswert\n<\/div>\nIn diesem Teil des Artikels werden Formeln auftauchen. Diese werden sowohl in einer mathematisch
\nmöglichst korrekten Form dargestellt, als auch ausführlich erklärt. Es ist nicht
\nnotwendig, diese Formeln alle auswendig zu kennen.\n<\/p>\nBeginnen wir mit dem Erwartungswert (auch EV für Expected Value genannt). Es stellt sich natürlich die Frage: Was ist der Erwartungswert?\n<\/p>
\nEs handelt sich dabei um einen Begriff aus der Stochastik, einem Teil der
\nMathematik, der sich mit Wahrscheinlichkeiten befasst. Hier gibt es so genannte Zufallsexperimente, zum Beispiel einen Münzwurf. Diese Zufallsexperimente haben mögliche Ergebnisse xi (i ist hierbei ein Index zum Durchnummerieren der Ergebnisse), im Beispiel Zahl oder Kopf.\n<\/p>\nSie treten mit einer jeweils zugehörigen Wahrscheinlichkeit p(xi) (i ist hierbei wieder zur Nummerierung) auf, zum Beispiel 50%. Der Erwartungswert eines Zufallsexperimentes ist nun der Wert, welcher sich bei häufigem Wiederholen des Experimentes als durchschnittliches Ergebnis einstellt.\n<\/p>
\nIm hier relevanten diskreten Fall ergibt sich der Erwartungswert E(X) unter der Annahme, man habe N verschiedene mögliche Ergebnisse zu:\n<\/p>
\n
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\n<\/p>\nWem diese Betrachtungen zu mathematisch sind, der kann auch in den pokertechnisch konkreteren Kapiteln (beginnend mit der Handrange) fortfahren. Für ein besseres Verständnis ist aber auch das Lesen des mathematischen Abschnittes empfehlenswert.\n<\/p>
\nHierbei ist nun zu beachten, dass die einzelnen Ergebnisse selbst auch wieder zusammengesetzt sein können, falls zum Beispiel drei Spieler beteiligt sind.\n<\/p>
\nHier sind die Fälle „Kein Spieler callt“, „Spieler A callt“, „Spieler B callt“, „Spieler A und B callen“ getrennt zu behandeln und für jeden einzeln eine Analyse für die möglichen Resultate sowie die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten anzustellen. Hierzu sei auch auf den nächsten Abschnitt über Pfaddiagramme verwiesen, einer übersichtlichen Anordnung solcher Berechnungen.\n<\/p>
\nDer Erwartungswert in Geld wird im Poker dann EV genannt. Um dies logisch verstehen zu können, bietet sich eine Zuordnung von Ergebnis zu Zahl an, zum Beispiel Zahl entspricht 1, Kopf entspricht -1.\n<\/p>
\nIm Rechenbeispiel des Münzwurfes kann man einfach das gesamte Ergebnis aufschreiben. Die Möglichen Ergebnisse sind dann x1 = 1, x2 = −1 und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten:\n<\/p>
\n
\np(x1) = 0.5, p(x2) = 0.5.
\n<\/i>\n<\/p>\np(x) bedeutet in etwa so viel wie Probability (=Wahrscheinlichkeit) von x. Für den Erwartungswert ergibt sich damit:\n<\/p>
\n
\nEV=x1 • p(x1)+x2 • p(x2) = 0.5 • 1+0.5 • (−1) = 0.
\n<\/i>\n<\/p>\nHoffentlich für niemanden ein überraschender Wert. Das Beispiel war zugegeben auch sehr einfach gewählt. Nehmen wir ein etwas schwierigeres, um das Konzept zu verdeutlichen. Ein Casino bietet folgendes Spiel an:\n<\/p>
\nFür 10 Chips darf ein Spieler einmal Würfeln. Bei einer 1, 2 oder einer 3 verliert er seinen Einsatz, bei einer 4 bekommt er 5 Chips zurück, bei einer 5 bekommt er 20 Chips und bei einer 6 gibt es 30 Chips zurück. Ist das Spiel +EV?\n<\/p>
\nUm den Erwartungswert zu bestimmen, brauchen wir zunächst alle möglichen Ergebnisse. Hier gibt es zunächst sechs davon, nämlich die Würfelzahlen 1-6. Allerdings sind drei davon identisch und lassen sich zusammenfassen, womit wir also folgende Gleichung erhalten:\n<\/p>
\n
\nx1 = −10, p(x1) = 1\/6 +1\/6 + 1\/6 = 1\/2
\nsowie x2 = −5, p(x2) = 1\/6 (er verliert ja den halben Einsatz),
\nx3 = 10, p(x3) = 1\/6
\nund
\nx4 = 20, p(x4) = 1\/6
\n<\/i>\n<\/p>\nDamit sind auch wieder alle benötigten Größen bekannt und mit Taschenrechner, Stift und Papier oder im Kopf lässt sich schnell der Erwartungswert berechnen. Er ist in diesem Fall\n<\/p>
\n
![](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/Education\/articles\/Math_Concepts\/monlh_part1_2.png\")
\n<\/p>\nAber dir ist sicher klar, dass Casinos nicht so dumm sind, dir ein Spiel mit positivem Erwartungswert anzubieten, welches du gegen die Bank spielen kannst.\n<\/p>
\nEin einfaches Beispiel aus dem Pokerbereich\n<\/div>\nZur weiteren Illustration noch ein einfaches Beispiel aus dem Pokerbereich.\n<\/p>
\nFR , 100BB Stacks\n<\/p>
\nPreflop:<\/b> Hero is BU with AA\n<\/p>
\n6 folds<\/i><\/font>, CO raises 4BB,<\/font> Hero raises 12BB<\/font>, 2 folds<\/font><\/i>,
\nCO is All-In<\/font>.\n<\/p>\nEine erfreuliche Situation. Du hast zwei Asse und kannst dein Geld komplett vor dem Flop
\nin die Mitte stellen, besser geht es kaum. Dass du hier callst, ist klar. Weiterhin ist es auch klar, dass du damit Gewinn machen wirst (Der EV ist hier größer als 0).\n<\/p>\nDu könntest dich aber natürlich fragen, wie groß der EV genau ist. Dazu musst du zuerst verschiedene Ergebnisse bestimmen.
\nEntweder gewinnst du alles, was schon im Pot ist, also 100BB vom CO sowie 12BB von dir und 1.5BB von den Blinds, also 113,5BB.\n<\/p>\nDieses Ergebnis nennst du x1 = 113, 5BB.\n<\/p>
\nDie andere Möglichkeit ist der Verlust von 88BB, die du noch callen musst, also x2 = −88BB.\n<\/p>
\nNun musst du noch die Wahrscheinlichkeit für die beiden Ereignisse bestimmen. Nimmst du an, CO geht hier mit QQ, KK, AA und AKs All-In, so beträgt dein Anteil am Pot 77,3% und der Anteil deines Gegners somit 22,6%.\n<\/p>
\nDer Erwartungswert ergibt sich damit zu\n<\/p>
\n
\nEV = x1p(x1) + x2p(x2) = (113, 5 • 0.773 − 88 • 0, 226)BB = (87, 73 − 19, 9)BB = 67,8BB.
\n<\/i>\n<\/p>\nPfaddiagramme\n<\/div>\nIn Fällen bei denen sich einzelne Ergebnisse des Erwartungswertes ihrerseits wieder als Erwartungswerte einer bestimmten Situation ergeben, bietet sich eine Pfaddiagrammdarstellung an. In dieser kannst du übersichtlich alle Ergebnisse und Wahrscheinlichkeiten auflisten und dann den Erwartungswert berechnen.\n<\/p>
\nEs ist nun der Erwartungswert der gesamten Situation die Summe der jeweiligen Endergebnisse, multipliziert mit ihren zugehörigen Ereignissen, wie immer.\n<\/p>
\nBeachte dabei:\n<\/p>
\nDie Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis in der ersten Ebene ist direkt angegeben, die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis in zweiter Ebene ergibt sich durch Multiplikation
\nder Wahrscheinlichkeit im Ast der ersten Ebene zu diesem Ergebnis, multipliziert mit
\nder Wahrscheinlichkeit im zweiten Ast.\n<\/p>\nZur Übersicht schreibt man ans Ende eines Pfades sein Ergebnis, sowie an jeden Ast die jeweilige Wahrscheinlichkeit. Der Erwartungswert ist dann die Summe aller Ergebnisse multipliziert mit ihren Wahrscheinlichkeiten.\n<\/p>
\nFür ein Würfelspiel nach folgenden Regeln ist ein Beispieldiagramm gegeben:\n<\/p>
\nDer Spieler zahlt nichts, um teilzunehmen. Würfelt er eine 1, 2 oder 3, hat er verloren. Würfelt er eine 4 oder 5, gewinnt er einen Schokotaler, würfelt er eine 6, darf er noch einmal würfeln. Würfelt er im zweiten Wurf eine weitere 6, gewinnt er drei Schokotaler, würfelt er im zweiten Wurf keine 6, gewinnt er zwei Schokotaler.\n<\/p>
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<\/p>\nDer Erwartungswert ist damit:\n<\/p>
\n
\n0.5 • 0+0.33 • 1+0.16 • 0.16 • 3+0.16 • 0.83 • 2 = 0.5 • 0+0.33 • 1+0.16 • (0.16 • 3+0.83 • 2) = 0.694.
\n<\/i>\n<\/p>\nDiese Art, eine Erwartungswertberechnung aufzuschreiben, bietet sich besonders an, wenn
\nviele Fälle berücksichtigt werden müssen. Sie ist natürlich nicht grundlegend verschieden von der rein schriftlichen Rechnung.\n<\/p>\nDie Varianz\n<\/div>\nDer folgende Abschnitt ist recht mathematisch, aber noch zu verstehen. Wenn es dir hilft, schau dir zuerst das Beispiel an.\n<\/p>
\nEin weiterer wichtiger Begriff ist die Varianz. Sie hilft dir nicht bei der Berechnung von Erwartungswerten, ist allerdings über die Zeit beim Spielen dein ständiger Begleiter, weswegen auch sie hier etwas erklärt werden soll. Mathematisch ist sie ein Maß für die durchschnittliche Abweichung eines Ergebnisses eines Zufallsexperimentes von seinem Erwartungswert.\n<\/p>
\nIm Poker wird damit oft die Tatsache bezeichnet, dass jeder noch so gute Spieler Swings in beide Richtungen erfährt, was eigentlich eine Auswirkung der Varianz ist. Sie ist im hier relevanten Fall über folgende Formel gegeben:\n<\/p>
\n
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\n<\/p>\nDas sieht zunächst nicht schön aus, ist aber so. Es handelt sich hierbei also um das Quadrat
\ndes Erwartungswertes der Differenz von einem beliebigen Ergebnis X vom Erwartungswert
\ndes Experimentes. Die Varianz misst die durchschnittliche Abweichung vom Erwartungswert.
\nZusammen mit ihr ergibt sich die Standardabweichung:\n<\/p>![](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/Education\/articles\/Math_Concepts\/monlh_part1_5.png\")
\n
\nalso der Wurzel der Varianz.<\/font> <\/font>Diese ist nicht, wie man denken könnte, sinnfrei, sondern sorgt für ein strikt positives Vorzeichen der Standardabweichung. Die Standardabweichung ist wieder eine greifbare Größe, sie gibt nämlich direkt die durchschnittliche Abweichung vom Erwartungswert an. <\/p>\nFür beliebige, normal verteilte Ergebnisse liegen
\nzum Beispiel 68.3% der Ergebnisse um maximal eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt. Schon etwa 95% sind um maximal die doppelte Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt.\n<\/p>\nBerechnen wir zum besseren Verständnis einmal ein Beispiel aus dem
\nPoker. Spieler A hat eine Bankroll von 2000$. Ein Spieler B bietet ihm folgenden Deal an:\n<\/p>\nA bekommt AA, B bekommt eine zufällige Hand und es wird bis zum Showdown gedealt. Spieler A darf entweder (Szenario 1) einmal seine ganze Bankroll oder (Szenario 2) zehnmal 200$ setzen.
\nOhne eine Wertung wollen wir einmal ausrechnen, was wir berechnen können.\n<\/p>\nDer Erwartungswert beträgt für Szenario 1:<\/b>\n<\/p>
\n
\n0.85 • 2000$ + 0.15 • (−2000$) = 1400$
\n<\/i>\n<\/p>\nIn Szenario 2 <\/b>wird ja zehnmal dasselbe Experiment durchgeführt, der Erwartungswert ist also:\n<\/p>
\n
\n10 • (0.85 • 200$ + 0.15 • (−200$)) = 1400$
\nwie in Szenario 1.
\n<\/i>\n<\/p>\nDie jeweiligen Standardabweichungen sind aber (Aus Platzgründen nicht
\nvorgerechnet) in Szenario 1<\/b> 1<\/font>317$<\/font> sowie in Szenario 2<\/b> bei 451$<\/font>. Das Risiko eines Totalverlustes liegt für Szenario 2 <\/b>bei lächerlichen 5.7665• 10−7<\/sup>% = 0.00000057665%, bei Szenario 1<\/b> immerhin bei 15%.\n<\/p>\nJe weiter die möglichen Ergebnisse vom Erwartungswert entfernt liegen, desto
\ngrößer wird auch die mittlere Abweichung von diesem sein. Ein NL50-Spieler wird sehr viel
\neher gewillt sein, seine gesamte Bankroll mit Szenario 2 anstelle von Szenario 1 zu riskieren.\n<\/p>\nInteressanter als ein direktes Berechnen von Standardabweichungen ist allerdings folgende
\nBetrachtung. Pokeranalysetools wie Pokertracker können unter anderem die Standardabweichung in BB\/100 als Wert ausgeben. Verfügt man über eine ausreichend große Datenbank, so lassen sich Simulationen errechnen, die verschiedene Graphen für unterschiedliche Handanzahlen auf Basis der Winrate und Standardabweichung simulieren.\n<\/p>\nOhne hier noch weiter ins Detail gehen zu wollen, sei erwähnt, dass als Ergebnis mathematischer Simulationen auf Grundlage von realistischen Standardabweichungen für NL BSS Spieler Swings von bis zu 60 Stacks absolut realistisch sind und durchaus vorkommen können, sogar bei Spielern mit einer Winrate von 4BB\/100hands.\n<\/p>
\nMit der Erläuterung von Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung sowie der Einführung von Pfaddiagrammen zur anschaulichen Berechnung von Erwartungswerten sind die einführenden mathematischen Bemerkungen abgeschlossen. Nun wirst du nach der Vorstellung der Equity und Handrange die ersten einfachen Beispiele zu EV-Berechnungen
\nkennenlernen.\n<\/p>Die Handrange<\/h1>
\nDie Handrange wird ausführlich im zweiten Teil der Serie behandelt, hier wird lediglich eine Erklärung gegeben. Was ist also eine Handrange?\n<\/p>
\nEine Handrange bezeichnet eine Menge von Händen, zwischen denen ein Spieler in einer Spielsituation nicht mehr differenziert. Das bedeutet, dass er jede Hand dieser Menge genau so spielen würde, wie er sie gespielt hat. Es handelt sich dabei um ein wichtiges Konzept, da man sich bewusst machen muss, dass jeder Spieler in jeder Situation eben nicht eine einzelne Hand, sondern eine komplette Range spielen kann.\n<\/p>
\nDas bedeutet, dass Gewinnwahrscheinlichkeiten auch immer gegen die gesamte Handrange betrachtet werden müssen. Genauso musst du dir, wenn du eine Entscheidung triffst, immer überlegen, wie der Spieler mit welchem Teil seiner Range auf deine Aktion reagieren wird (nämlich nicht immer gleich, oft spaltet sich seine Range insofern, als dass er mit einem Teil Entscheidung A, mit einem anderen Teil Entscheidung B treffen würde).\n<\/p>
\nHandranges werden im allgemeinen so angegeben, dass die schwächste Hand einer Kategorie mit einem + versehen wird, zwischen offsuited und suited unterscheidet der Zusatz „o” beziehungsweise “s”. Fehlt er, sind beide Möglichkeiten gemeint. AK bezeichnet zum Beispiel alle 16 möglichen Kombinationen von AK. QQ+, AQs+, AK bezeichnet QQ, KK, AA sowie die vier suited Kombinationen AQ sowie alle Kombinationen AK.<\/p>
Die Equity<\/h1>
\nWas bedeutet Equity?\n<\/div>\nSicher hast du schon einiges von der “Equity” gehört. Auch die Equity ist ein eher mathematischer Begriff. Er beschreibt die Gewinnwahrscheinlichkeit von Spielern in vorgegebenen Situationen.\n<\/p>
\nDie Equity ist genau genommen der Anteil am Pot, der einer Hand oder Menge von Händen in einer bestimmten Situation gegen eine andere Hand oder Menge von Händen zusteht. Dieser Anteil am Pot berücksichtigt auch die Situation eines Splits und differiert deswegen meist leicht von der exakten Gewinnwahrscheinlichkeit.\n<\/p>
\nWie kannst du die Equity deiner Pokerhand berechnen?\n<\/div>\nPrinzipiell ist es möglich, die Equity auch von Hand zu berechnen. Ein sehr einfaches Beispiel, in dem dies mit vertretbarem Aufwand möglich ist, sei hier gegeben:\n<\/p>
\nSpieler A<\/b> hält A<\/b>
![](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/smileys\/diamond.png\")
, K<\/b>![](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/smileys\/heart.png\")
\n<\/p>\nSpieler B<\/b> hält A<\/b>
![](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/smileys\/spade.png\")
, 2<\/b>\n<\/p>\ndas Board<\/b> ist 7<\/b>
, 8<\/b>, K<\/b>![](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/smileys\/club.png\")
\n<\/p>\nWie hoch ist die Equity von Spieler A und B?\n<\/p>
\nHierbei solltest du alle möglichen Ergebnisse in Betracht ziehen. Spieler B gewinnt, wenn er einen Flush trifft, und Spieler A kein Fullhouse, oder wenn er an Turn und River eine 2 bekommt.\n<\/p>
\nDie Wahrscheinlichkeit für eine 2 an Turn und River ist nun 3\/45 * 2\/44\n<\/p>
\nDies ergibt sich wie folgt:\n<\/p>
\nIm Deck sind drei 2er übrig, die 2<\/b>
, 2<\/b>, 2<\/b>. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine davon am Turn kommt, ist dann einfach die Anzahl der „gewünschten“ Karten dividiert durch die Anzahl der vorhandenen Karten. Das sind hier 45. Du kennst 2x2 Karten als Hände von Spieler A und B sowie drei Karten vom Flop.\n<\/p>\nFür den River bleiben zwei „gewünschte“ und 44 mögliche Karten übrig, ergibt also 1\/330 = 0.3%.\n<\/p>
\nDazu kommt die Wahrscheinlichkeit des Flushs. Der Flush kommt am Turn mit einer Wahrscheinlichkeit von 9\/45. Ist diese Karte nicht der K<\/b>
, hat Spieler A keine Gewinnchance mehr, also wird am hier am geschicktesten folgendermaßen unterschieden:\n<\/p>\nIn 8\/45=17,7% der Fälle gewinnt Spieler B direkt, in 1\/45 Fällen kann Spieler A ein Full House oder Quads am River treffen. Dies geschieht in 9\/44% der Fälle für 2xA, 1xK, 3x7, 3x8.\n<\/p>
\nFür Spieler A kommt an Gewinnwahrscheinlichkeit noch 1\/45 (Wahrscheinlichkeit für Ks am Turn) * 35\/44 (Wahrscheinlichkeit, dass Spieler A kein Fullhouse oder Quads trifft) % = 1,7%.\n<\/p>
\nBis hier ergibt sich für Spieler A also eine Equity von 19,7% Equity. Bleibt noch der Fall auszuwerten, dass kein <\/b>
am Turn erscheint. Ist der Turn ein 7, 8 oder K, so muss am River ein <\/b> außer dem K<\/b> für Spieler B fallen. Ist der Turn keine dieser Karten, helfen alle <\/b> am River Spieler B.\n<\/p>\nIm ersten Fall ergibt sich für Spieler B 8 (7, 8 oder K ohne K<\/b>
) \/ 45 * 8\/44 = 3.2%, im zweiten Fall ergibt sich 28 (kein Spade, kein 7, 8 oder K)\/45 * 9\/45 = 12,4%. Insgesamt hat Spieler B also (18,7+3,2+12,4)% = 35,3% Equity.\n<\/p>\nWie du siehst, ist dies enorm umständlich, obwohl es ein sehr einfacher Fall war. Schwierigere Fälle, wie Preflopequity oder Equity für unterschiedliche Handranges, sind so nicht mehr praktikabel zu berechen. Hierfür bedient man sich verschiedener Tools. Diese berechnen meist durch numerische Integration in Sekunden Equities auch in schwierigen Situationen.\n<\/p>
\nEin Tool wie der PokerStrategy.com Equilator kann mit einfachen Methoden in beliebigen Pokersituationen die Equity berechnet werden. Es kann einerseits mit einzelnen Händen gerechnet werden, zum Beispiel AA gegen KK, genauso ist aber auch die Equityberechnung für Ranges möglich, zum Beispiel QQ+, AK gegen JJ+, AQ, AK.\n<\/p>
\nAuch unterschiedliche Boards sowie “tote” Karten, die bei der Berechnung nicht berücksichtigt werden sollen, sind einstellbar. Um ein Gefühl dafür zu bekommen, sollen hier einige Beispielequities aufgelistet werden:\n<\/p>
- Was hinter dem Begriff \"Equity\" steckt
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