Pokerin matematiikasta ei ole kirjoitettu niin paljon, kuin pokerbuumin kyllästämä mieli luulisi. Alan standarditeos vaikuttaa edelleenkin olevan tyyliltään ja esimerkeiltään vanhahtava - ketä enää kiinnostaa viiden kortin ostopokeri? - Epsteinin The Theory of Gambling and Statistical Logic. Epsteinin kirjaan ei mielellään tartu kuin matematiikalle liikaa elämästään antanut, mutta vaihtoehdot eivät vakuuta. Lähinnä mieleen tulee Packelin The Mathematics of Games and Gambling. Tuo jälkimmäinen onkin sujuvasti kirjoitettu ja mukavaa luettavaa lukiolaajuisen matematiikan suorittaneelle tai hiukan itseopiskelua harjoittaneelle. Kirjoitustyyli ei ole raskaimmasta päästä ja esimerkeissä käsitellään esimerkiksi bluffien matematiikkaa Texas Hold'emissa. Packelin kirja on kuitenkin selvä johdatusteos, eikä yritäkään antaa enempää kuin käsitteellisen perustan.

Chenin ja Ankenmanin The Mathematics of Poker on hurja suoritus. Teksti on sujuvaa ja ajatuksella kirjoitettua. Parasta on heidän lähestymistapansa pokeriin. Chen ja Ankenman tutkivat pokeria pilkkomalla sen yksinkertaisempiin osapeleihin. Syynä on pokerin vaikeus. Heads up no limit hold'eminkin ratkaiseminen on nykyisen tietokonetehon puitteissa mahdotonta (vaikka teoreettinen tietämys siihen on), ja monen pelaajan peleissä optimaalista strategiaa ei edes ole.

Mathematics of Pokerin lähestymistavasta saa kuvan katsomalla paria kirjan käsittelemää pokeripelin karkeistusta. Ensimmäinen vakavampi peliesimerkki kirjassa on nk. "[0,1] Jam-or-Fold"-peli. Siinä molemmille pelaajille annetaan satunnainen desimaaliluku väliltä 0-1. Kummallakin on samankokoinen stäkki S, ja huppipelien tapaan jakaja maksaa kierroksesta 0,5 panosta, toinen pelaaja yhden panoksen. Jotta peli olisi mahdollisimman yksinkertainen, vain jakaja voi tehdä päätöksen: all-in tai kippi. Jos jakaja kippaa, voittaa puolustaja 0,5 panosta. Jos jakaja menee all-in (jam), saa puolustaja päättää, maksaako hän vai luovuttaako. Jos puolustaja maksaa, voittaa se pelaajista, jonka luku on isompi. Chen ja Ankenman analysoivat peliä muutaman sivun ja antavat vastauksen: jakajan optimaalinen strategia on tuutata all-in täsmälleen parhaalla 3S/(1+S)^2 osalla käsiään, ja puolustajan pitäisi maksaa täsmälleen parhaalla 3/(2+2S) osalla käsiään.

Edellinen esimerkki oli niin yksinkertainen, että bluffaaminen oli huono strategia. Oliko kyse edes pokerista? Pokeriblueffien merkitystä havainnollistaa seuraava yksinkertainen AKQ-peli. Pelissä molemmille pelaajille jaetaan pakasta yksi kortti. Pakka sisältää vain kolme korttia: A, K ja Q. Showdownissa isoin kortti voittaa. Kuten edellisessäkin pelissä, vain jakaja voi korottaa. Potti on aluksi 2 yksikköä, ja jakaja voi lyödä yhden yksikön halutessaan.

Hiukan miettimällä selviää, että kunkulla ei kannata lyödä - maksu tulee vain paremmalta kädeltä, eikä huonompi käsi kippaa. Ässällä taas kannattaa tietysti lyödä aina. Mutta miten pelata rouvat? Niilläkin lyödessä maksu tulee vain paremmalta kädeltä, mutta K varmaankin kippaa joskus? Jos Q lyö aina, K maksaa aina; jos taas Q ei lyö koskaan, K ei maksa koskaan. Mutta mitä jos Q lyö silloin tällöin? Millä prosentilla Q:n pitäisi lyödä? Chen ja Ankeman väittävät: optimaalinen strategia on lyödä 33 prosentilla rouvista.

Edelliset kaksi olivat vain yksinkertaisia esimerkkejä. Kirjan edetessä Chen ja Ankenmann lyövät jatkuvasti lisää löylyä. He tarkastelevat monimutkaisempia no limit pelejä, pelejä, joissa tarvitaan monenlaisia bluffeja ja pelejä, joissa käden vahvuus voi muuttua pelin edetessä. Osansa saa myös pokerin riskianalyysi. Lienee tarpeetonta sanoa, että kirja on mahdotonta lukaista muutamalta istumalta.

Viimeisessä luvussa tekijät yrittävät antaa joitakin käytännön vinkkejä turnaus- ja käteis-hold'emiin. Se on valitettavasti kirjan heikoin osa, mutta tekijät myöntävätkin, että matemaattisten tulosten soveltaminen suoraan käytäntöön on hyvin haastavaa. Minulle kirjan paras anti olikin toimia ajatusten ruokkijana. On mielenkiintoista tutustua tekijöiden esittelemiin pokerin yksinkertaistuksiin ja miettiä, kuinka heidän paljastavansa lainalaisuudet näyttäytyvät oikeassa ja niin hankalassa Texas hold'emissa. Ehkäpä tuollainen pohdiskelu vie hitaasti peliäkin eteenpäin? Niin tai näin, matematiikasta ja pokerista innostuneille pakko-ostos!

"If you think the math isn't important, you don't know the right math."

- Chris Ferguson, vuoden 2000 WSOP-voittaja

  • Chen, Bill, Ankenman, Jerrod, 2006, Mathematics of Poker, CJC, Pittsburgh, 382 s.
  • Epstein, Richard A., 1977, The Theory of Gambling and Statistical Logic, revised edition, Academic Press, San Diego, 450 s.
  • Packel, Edward, 2006, The Mathematics of Games and Gambling, 2nd edition, Mathematical Association of America, 175 s.