Yksinkertaisia todennäköisyyslaskuja vailla ratkaisua

    • IPoker4k1I
      IPoker4k1I
      Silver
      Joined: 06.11.2009 Posts: 1,893
      Opetellaan kaikki laskemaan, mä oon ainakin unohtanu kaikki mitä lukiossa opin.

      Matti ja Pekka ottavat 1€ arvoisia kolikonheittoja, Matilla aina klaava ja Pekalla aina kruuna. Mikä on todennäköisyys, että Matti on 1000 heiton aikana vähintään 30€ voitolla?

      Anyone?

      E: jos jollain on omia ongelmia todennäköisyyslaskujen kanssa, niin tänne vain.
  • 6 replies
    • HuhtalaJ
      HuhtalaJ
      Bronze
      Joined: 19.04.2010 Posts: 7,166
      Kolikonheitto on toistokoe, jossa edelliset tulokset eivät vaikuta tuleviin tuloksiin, jotenka kyseessä on binmijakauma. Koska toistoja taasen on niin paljon, alkaa jakauma muistuttaa normaalijakaumaa, joten kysymykseen on kätevin laskea vastaus normaalijakauman avulla.

      Jotta Matti olisi 30€ voitolla, on hänen voitettava 515 tai enemmän kolikonheitoista. Todennäköisyys yhden heiton voittoon on 0,5 ja merkitään nyt tätä p=0,5. Todennäköisyys yhden heiton häviöön on vastaavasti 0,5 ja merkitään tätä q=0,5. Toistoja on tuhat ja merkitään tätä n=1000.
      Näistä saadaan odotusarvo µ=np ja keskihajonta σ=(npq)^(1/2).
      Siis µ = 1000*0,5 = 500 ja σ = (1000*0,5*0,5)^(1/2) = 250^(1/2).

      Meillä on siis satunnaismuuttuja X, joka noudattaa normaalijakaumaa parametreillä µ = 500 ja σ = 250^(1/2), eli X ~ N(500 , 250^(1/2)). Jotta voisin heittää vastaukset kysymykseen, tulisi jakauman olla ns. normitettu, eli parametrit olisivat 0 ja 1. Onneksi normaalijakauma voidaan aina normittaa seuraavalla tavalla:
      Jos X ~ N(µ,σ), niin Z = (X - µ)/σ ~ N(0,1)
      Tämä tarkoittaa sitä, että saadan normitettu satunaismuuttuja Z, jonka avulla voidaan laskea X:n jutskupuikkeleita.
      Tahdotaan siis tietää millä todennäköisyydellä X on 515 tai enemmän, P(X≥515).
      Tämä on sama kuin 1 - P(X<515).
      Koska Z = (X - µ)/σ ~ N(0,1), niin meitä kiinnosta tapaus
      1 - P[Z < (515 - 500)/250^(1/2)] = 1 - Φ(0,95) = 1 - 0,8289 = 0,1711
      Eli Matti on 1000 heiton jälkeen 30€ tai enemmän voitolla todennäköisyydellä 17%. Ja tässä vaiheessa tuntuu siltä että olen tehnyt jonkun virheen kun vastaus on noin pieni, kertokaa jos löydätte virheen. Mutta niin tuon Φ(0,95) 0,95 tulee tuolta (515 - 500)/250^(1/2) ja Φ(0,95) arvo 0,8289 löytyy taulukoista. Varmastikaan homma ei auennut jos ei ole koskaan ennen kuullutkaan tällaisesta, mutta jos homma on joskus osattu ja unohdettu, saa tästä varmaan jotain muistikuvaa miten homma hoidetaan. Itse olen ehkä maailman paskin selittämään mitään :D
      Niin ja saattoi tähän olla joku yksinkertaisempikin laskutapa, jota en nyt keksi tähän hätään.
    • IPoker4k1I
      IPoker4k1I
      Silver
      Joined: 06.11.2009 Posts: 1,893
      Alkuperäinen kirjoittaja HuhtalaJ
      ...
      Kyllä laskutapa ainakin oikealta vaikuttaa. Pitää selata pariin kertaan ajatuksen kanssa että näkee onko tämä ihan oikein, muttei mitään dramaattisen väärää ainakaan heti napsunut silmään. Kiitos.
    • PokkAA
      PokkAA
      Bronze
      Joined: 05.05.2008 Posts: 8,043
      Kysymysasettelussa oli yksi asiaa todella paljon vaikeuttava tekijä, jota vastauksessa ei otettu huomioon.

      Kysymyksessä oli muoto: "Mikä on todennäköisyys, että Matti on 1000 heiton aikana vähintään 30€ voitolla?"

      Vastaus annettiin kuitenkin kysymykseen: "Mikä on todennäköisyys, että Matti on 1000 heiton jälkeen vähintään 30€ voitolla?"

      Eikö todennäköisyyttä pitäisi nostaa seikka, että Matille sallitaan 30 euron voitto 950 heiton kohdalla tilanteessa, jossa 1000 heiton jälkeen voittoa on ainoastaan 28 euroa? :f_cool:


      PS. Ja en - en osaa laskea tuota...
    • IPoker4k1I
      IPoker4k1I
      Silver
      Joined: 06.11.2009 Posts: 1,893
      Alkuperäinen kirjoittaja PokkAA
      ...
      Ah, PokkAA, aina hereillä.
    • HuhtalaJ
      HuhtalaJ
      Bronze
      Joined: 19.04.2010 Posts: 7,166
      Itte kans huomasin ton, mutta ajattelin sit ettei kysyjä ole niin kiero :f_biggrin:

      Tuon laskemiseen pitäis määrittää funktioita, jotka kuvaavat Matin rahatilanteen mahdolliset muutokset heittojen funktiona. Saataisiin semmonen hervoton käyräparvi. Sitten siitä laskettaisiin todennäköisyys jolla rahatilanteen muutos on 30 tai enemmän. Itehän en keksi kyllä äkkiseltään kätevää keinoa ilman tietokone simulaatiota...

      EDIT: toihan ei sittenkään toimis ihan noin, koska nyt jos sama käyrä on 10 heittoa tai 2 heittoa yli 30, niin kysymyksen mukaan vastaus ois sama mut tolla äsken kirjottamalla keinollani ei. Eli pitäisikin tehdä niin, että laskee kaikki käyrät, jotka käy 30 tai enempi ja jakaa sen kaikkien mahdollisten käyrien määrällä. Mahdollisia käyriähän taitaa muuten olla 2^1000...
    • IPoker4k1I
      IPoker4k1I
      Silver
      Joined: 06.11.2009 Posts: 1,893
      Alkuperäinen kirjoittaja HuhtalaJ
      ...
      Noniin, täähän tässä olikin.

      Me spotattiin tää kysymys parin kaverin kanssa PTsta, ja saatiin yhteensä pyöriteltyä jotain tollaista mitä Huhtalan ensimmäinen vastaus piti sisällään. Joku sitten sanoi että ei tää ole ihan oikein, kysytään netistä. Laitoin sitten tänne.

      Kukaan muuten ei ole edes PTn puolella saanut tätä ratkaistuksi.