Équilibres de Nash et fréquences de bluff/call

Introduction

La théorie des jeux est un domaine des mathématiques qui porte sur l'analyse de certaines situations conflictuelles. Dans ce contexte, on entend par jeu une situation dans laquelle différents acteurs se disputent une ressource, chacun suivant sa propre stratégie (stratégie qui peut tout à fait conduire à des décisions relevant de la coopération), et dans laquelle on peut calculer le profit généré pour chacun des participants.

Un concept central de cette théorie des jeux est l'équilibre de Nash, qui décrit un état dans lequel un équilibre stratégique est atteint entre les différents joueurs. Ceux-ci ont à leur disposition la meilleure riposte à chaque action adverse, et personne ne peut augmenter son profit en s'écartant de cette stratégie.

Cet article constitue une introduction à la théorie des jeux, aux équilibres de nash en tant que solution stratégique ainsi qu'à leur utilisation concrète dans le cas de la fréquence de bet/call. La bonne compréhension de cet article requiert quelques connaissances de base concernant les calculs matriciels.

Brève introduction à la théorie des jeux

Du point de vue mathématique, un jeu est défini par :

• le nombre de joueurs

• le nombre de stratégies (pures) à la disposition de chaque joueur

• une application qui associe à chaque profil stratégique un vecteur à n (n = le nombre de joueurs) éléments, chaque éléments correspondant au résultat obtenu par chacun des joueurs. Cette application permet donc d'obtenir le résultat obtenu à la fin du jeu lorsque chaque joueur opte pour une certaine stratégie.

Dans la suite de cet article nous allons nous intéresser uniquement à des jeux à 2 joueurs. Le jeu peut alors être simplement représenté par deux matrices m x n A et B. Le joueur 1 a à sa disposition m stratégies S1,..., Sm et le joueur 2 n stratégies S'1,...,S'n. Si le joueur 1 opte pour la stratégie Si et le joueur 2 pour la stratégie Sj, alors le gain est Aij pour le joueur 1 et Bij pour le joueur 2.

Résultats pour le joueur 1 :

Imagions que l'on a A=B=I2 (matrice identité 2x2) :

Ici chacun des deux joueurs gagne 1 si tous les deux choisissent la première ou la deuxième de leurs stratégies, sinon ils gagnent 0.

Les joueurs ont bien entendu tout à fait le droit de jouer des stratégies combinées. Cela signifie que chacune des stratégies pures peut être jouée selon une certaine probabilité, la somme de ces probabilités étant bien entendu de 100%. On peut représenter une stratégie combinée à l'aide d'un vecteur p, où pi représente la probabilité selon laquelle le joueur choisit la i-ème stratégie.

Si le joueur 1 joue suivant la stratégie combinée p et si le joueur 2 suivant la stratégie combinée q, alors on obtient les matrices résultats pAq et pBq (on retrouve donc les résultats correspondant aux différentes stratégies pures dans les entrées de la matrice résultat obtenue).

Une stratégie p du joueur 1 sera considérée comme étant la meilleure réponse à une stratégie q du joueur 2, si p garantit le meilleur résultat possible au joueur 1, c'est à dire si :

pAq >= p'Aq pour toutes les stratégies p' du joueur 1.

De façon analogue on dira qu'une stratégie q du joueur 2 sera la meilleure réponse à une stratégie p du joueur 1, si q garantit le meilleur résultat possible au joueur 2, c'est à dire si :

pBq >= pAq' pour toutes les stratégies q' du joueur 2.

Un couple (p,q) avec p la stratégie du joueur 1 et q la stratégie du joueur 2 sera appelé Équilibre de Nash (noté EQN dans la suite) si p est la meilleure réponse à q et q la meilleure réponse à p. Nous admettrons que pour tout jeu existe au moins un EQN (inutile dans le cas d'une seule stratégie pure).

Un EQN ne correspond pas forcément à un optimum de pareto. Un optimum de pareto correspond à un état dans lequel il n'est pas possible d'améliorer le résultat d'un joueur, sans que ceci se fasse au détriment d'un autre joueur.

De la même façon, un couple de stratégie correspondant à un optimum de pareto ne correspond pas forcément à un EQN. Un exemple bien connu est celui du dilemme des prisonniers. Nous n'allons pas cependant nous intéresser plus longtemps à ce sujet, ni à d'autres concepts intéressants portant également sur les équilibres telles que Les stratégies évolutives stationnaires ou encore les équilibres corrélés.

Si les deux joueurs suivent tous les deux une stratégie pure, alors il existe un moyen très simple de calculer l'EQN correspondant. Nous allons illustrer ceci à l'aide de l'exemple A=B=I2 de l'exemple précédent.

Une stratégie p du joueur 1 se présente sous la forme (a, 1-a) avec a appartenant à l'intervalle [0,1]. Une stratégie q du joueur 2 sous la forme (b, 1-b) avec b appartenant à [0,1]. On cherche donc maintenant la meilleure réponse du joueur 1 face à une stratégie (b,1-b) du joueur 2, en comparant les résultats des stratégies (1,0) et (0,1) (à savoir les résultats obtenus pour chacune des stratégies pures, soit pour chacune des lignes de la matrice).

Si le joueur 1 choisit la première ligne, alors le résultat est b, s'il choisit la deuxième ligne le résultat est (1-b). Pour b > 1-b <=> b>0.5, c'est la première ligne qui correspond à la meilleure réponse, à savoir a=1. Pour b<0.5 c'est la deuxième ligne qui représente la meilleure réponse, soit a=0. Pour b=0.5 alors il obtient dans tous les cas 0.5, et donc chacune des deux stratégies correspond à la meilleure réponse.

On effectue le même raisonnement pour le joueur 2. Du fait de la symétrie de l'exemple on obtient b=1 pour a>0,5, b=0 pour a<0,5 et b appartenant à [0,1] pour a=0,5.

D'après la définition l'EQN correspond ici à un couple stratégies, chacune des stratégie étant la meilleure réponse à l'autre stratégie. Celles-ci seront obtenues comme étant l'intersection des courbes représentant les deux grandeurs.

Les EQN de ce jeu sont donc ((1,0),(1,0)), ((0,1),(0,1)) et ((0.5,0.5),(0.5,0.5)).

Fréquences de bet/de call

Considérons la situation suivante : Joueur1 (OOP) et Joueur2 (IP) se trouvent sur la river, la main du joueur 2 est parfaitement connue. Joueur1 sait donc s'il est en tête ou non, et Joueur2 sait que Joueur1 sait.

Si Joueur1 bat la main de Joueur2, il va bien entendu faire un value bet (Joueur2 ferait toujours un check/behind étant donné que Joueur1 sait s'il est en tête ou non). S'il ne bat pas la main de Joueur2, la question pour lui est de savoir s'il doit bluffer, et si oui avec quelle fréquence, ce qui dépend du type de joueur qu'il a en face. Face à une calling station, il ne devrait bien évidement pas bluffer, alors qu'il devrait le faire contre un joueur plus weak. Et bien entendu à l'inverse, la décision relative à un call pour Joueur2 dépend du Joueur1.

On peut modéliser la situation de la manière suivante :

• Joueur1 dispose de deux stratégies pures Bluffer et Ne pas bluffer. Une stratégie combinée (a, 1-a) signifie que Joueur1 va bluffer avec une probabilité de a si il mise (et non pas qu'il bluffe avec une probabilité de a s'il a une main inférieure... mais nous reviendrons sur ce point dans la suite)

• Joueur2 dispose de deux stratégies pures, Call ou Fold. Une stratégie (b,1-b) signifie qu'il paye avec une probabilité de b en cas de mise de Joueur1.

Les meilleures réponses à la stratégie adverse son assez faciles à obtenir (le bet de Joueur1 s'élève à x fois le pot) :

Pour que son call soit profitable Joueur2 doit être en tête dans x*Pot / (x+2) * Pot = x/(1+2x) des cas. Cela signifie donc que contre une stratégie (a, 1-a) la meilleure réponse est Fold (soit une stratégie (0,1) ou b=0), si a < x/(1+2x).

La meilleure réponse est Call (soit (1,0) ou b=1) si a>x/(1+2x). Pour a=x/(1+2x) , n'importe quelle stratégie (b,1-b) avec b appartenant à [0,1] est une réponse optimale.

Pour que Joueur1 puisse bluffer de façon profitable, le bluff doit fonctionner dans x*Pot/((x+1)*Pot) = x/(x+1) des cas, c'est à dire que Joueur2 doit se coucher dans au moins x/(x+1) des cas.

Cela signifie que la meilleure réponse pour le Joueur1 à une stratégie (b,1-b) avec b>x/(x+1) est de ne jamais bluffer (donc (0,1) ou a=0). La meilleure réponse pour le Joueur1 à une stratégie (b) est de toujours bluffer (donc (1,0) ou a=1) et toutes les stratégies sont la meilleure réponse pour b=x/(x+1).

Nous obtenons donc un seul et unique EQN ((x/(1+2x)),1-x/(1+2x)),(x/(x+1),1-x/(x+1))).

Signification pratique de l'équilibre de Nash

Examinons la situation par exemple du point de vue de Joueur2. Prenons x=1, à savoir que Joueur1 mise à hauteur du pot. Ceci correspond donc pour l'EQN à une stratégie (0.5, 0.5). Si paye dans 50% des cas et si on se couche dans 50% de façon totalement aléatoire, alors notre jeu n'est pas exploitable, c'est à dire que notre adversaire ne pourra pas améliorer son gain quelle que soit la décision qu'il prenne.

Les deux stratégies de Joueur1 sont donc équivalentes. La stratégie (0.5, 0.5) n'est cependant pas toujours la meilleure réponse à la stratégie de Joueur1. Si par exemple l'adversaire est un rock, il est assez facile de modifier sa stratégie et de prendre la meilleure décision. Il serait impensable de payer dans 50% des cas face à un tel adversaire.

Un bon adversaire va cependant essayer de toujours changer de stratégie dans de telles situations et essayer de s'adapter à notre style de jeu, pendant que nous allons nous-même de nous adapter à cette adaptation, etc. L'idéal est bien entendu d#avoir toujours un temps d'avance sur l'adversaire, c'est à dire de penser à un niveau de plus que lui. Nous pourrons alors prédire avec un certain succès s'il est en train de nous bluffer ou non à cet instant du jeu.

Le problème c'est que nous trouverons des adversaires qui maîtrisent mieux cet exercice que nous. Et contre ces adversaires il est préférable de jouer une stratégie qui n'est pas exploitable. Il leur sera alors impossible de tirer des gains supplémentaires du fait qu'ils nous lisent mieux que nous ne les lisons nous-même. (et si les rôles étaient inversés nous serions tout à fait capables de gagner autant que lui du fait que nous pourrions également jouer selon l'EQN).

Remarques

a) Si l'on veut effectuer une action dans 50% des cas, il faut bien entendu que cela soit fait de façon totalement aléatoire et ne soit pas le résultat d'un système facilement identifiable. On pourra par exemple utiliser l'affichage des secondes de notre montre ou encore la parité de la carte de la river (call si paire, fold si impaire). Ce dernier système pourrait cependant être identifié par un adversaire vraiment attentif.

b) Comme déjà évoqué dans le paragraphe 2, la stratégie (a, 1-a) du joueur 1 signifie qu'il bluffe avec une probabilité totale de a, et non pas qu'il bluff avec une probabilité de a lorsqu'il a une main inférieure. Cette dernière information ne sert à rien. Ce qui compte c'est les fois où il a la main qu'il représente et les fois où ce n'est pas le cas.

Prenons le tableau JT42. Joueur1 est apparemment sur un tirage (quinte ou couleur) et Joueur2 a une main faite. La river est un le 6 de la couleur et Joueur1 a KQ. Afin de définir la fréquence avec laquelle il devrait bluffer, il doit tout d'abord définir a fréquence avec laquelle il aura la couleur.

(A9-A5, A3, A2, 97, 87, 86, 76, 75, 65, 53) serait un éventail relativement réaliste, soit un total de 14 mains. On aura un busted straight draw avec la même probabilité (les 7 combinaisons de KQ et de 98, si on part du principe qu'on aurait joué autrement un tirage OESD+FD).

Si l'on veut maintenant bluffer avec une probabilité de 1/3, il nous faut 7 mains avec lesquelles on va bluffer (7/(14+7)=1/3). Si on a un busted draw on doit donc bluffer dans 50% des cas : (7/14 = 1/2).

Si l'on élimine 98 dans cette situation (éventuellement à cause du jeu préflop), alors il arrivera seulement dans 33% des cas qu'on ait pas la couleur et on devra donc bluffer dans 100% des cas.

c) Si on pense, en tant que Joueur2, que l'adversaire va bluffer suivant une fréquence correspondant à peu près à l'EQN, alors on devrait payer si on a un 'blocker' dans sa main. Ce sont toutes les cartes qui appartiennent à la main qu'essaye de représenter l'adversaire.

Si on a par exemple AJ en main dans l'exemple b), alors 7 des 14 couleurs ne sont plus possibles, car elles contiennent l'As de la couleur (ces mains sont donc 'bloquées'). Si l'adversaire raisonne alors comme en b), son calcul de la fréquence de bluff sera erroné car il comptabilise trop de cas où il aura la couleur. Il va alors bluffer dans 50% des cas alors qu'il devrait bluffer seulement dans 33% des cas.

On aurait la même situation si un 9 tombait au lieu d'un 6 sur la river, et que nous avions QQ. En misant l'adversaire représente KQ et là encore la moitié des combinaisons ne sont pas possibles.