Concepts mathématiques pour le NL Hold'em (4) - Equity de bluffs et G-bucks

Introduction

Dans cet article

• L'equity d'un 5-bet
  
• La bluff equity
  
• L'analyse G-bucks
  

Dans la quatrième et dernière partie de cette série, nous allons présenter des exemples d'applications de bluffs encore plus singuliers, ainsi qu'une forme d'analyse alternative : les G-Bucks.

Analyse de 5-bet

Dans la partie précédente, nous avons traité, entre autre chose, des 4-bets de bluff préflop. Vous y avez vu avec quelles mains vous devriez plutôt jouer en 4-bet/call ou en 4-bet/fold. Cette analyse a accordé une place particulière aux pocket paires, en raison de leur equity élevée.

Dans cette partie, nous allons présenter une contre-stratégie face à ces 4-bets : les 5-bets de bluff. Bien entendu, il ne s'agit jamais de bluff pur, mais plutôt de semi-bluff.

Dans les situations avec 100 BB de stack effectif, vous n'allez pas pouvoir faire un 5-bet pour vous coucher ensuite. Dans ce cadre, votre equity joue donc un rôle primordial. Voici un petit calcul rapide afin de bien réaliser cela : il s'agit d'un scénario fréquent en heads-up, où un joueur fait un 3-bet à 12 BB, et un autre un 4-bet à 28 BB. De combien de fold equity le sur-relanceur doit-il disposer en cas de all-in, pour avoir une espérance de gain neutre avec 35 % d'equity ?

EV = 0 = pFold*(12+28)BB + (1-pFold)*(0.35*112-0.65*88)BB
0 = pFold*40BB - (1-pFold)*18BB
pFold = ~0.3

Dans ce scénario particulier, le 4-better ne doit donc se coucher que dans un cas sur trois pour rendre un rebluff profitable. Afin de pouvoir y recourir plus loin dans l'article, voici un petit rappel de différentes equity préflop :

Les petites paires ont une bonne equity, même face aux éventails tights. On le savait déjà. Contre des éventails plus looses, une main forte comme AQ est également envisageable. Dans cette partie, on ne parle pas de l'effet card removal : contre TT+, AQ+, AQs a environ 35 % d'equity, tout comme une petite paire.

Bien entendu, l'effet card removal plaide en faveur d'un push de AQs plutôt que de 55 car, avec AQs, l'éventail TT+, AQ+ devient environ 30 % moins probable qu'avec 55, comme nous l'avons déjà évoqué dans l'article précédent. Un phénomène comparable peut être observé avec A2s, bien que l'effet card removal ne soit pas aussi prononcé. Par ailleurs, l'equity de cette main est nettement inférieure à celle des pocket paires, ce qui fait que ces dernières se prêtent bien mieux à ce move.

Nous n'avons pas non plus encore pris en compte les éventails de all-in différents :

Face à un joueur qui investit volontiers son argent avant le flop avec bon nombre de pocket paires, mais peu de broadways, alors il est naturellement judicieux de recourir soi-même à des paires élevées. La raison en est simple : si vous ne pourrez pas suivre un 4-bet avec votre paire, mais souhaitez placer un 5-bet, alors un éventail qui ne contient pas de pocket plus petite que la votre offrira environ la même equity à votre paire, que celle-ci soit petite ou grosse (22 vs. TT+, AQ+ : 36% Equity, 99 face au même éventail : 37% Equity).

Mais sitôt que cet éventail adverse ne contient ne serait-ce que quelques petites pocket paires, alors votre equity monte en flèche avec une paire élevée (22 vs. 88+, AQ+: 36% Equity, 99 contre le même éventail : 41%). Il existe donc deux possibilités : soit les deux mains ont la même equity, soit 99 est meilleure. Il semble superflu de vous préciser pour laquelle des deux mains vous devriez opter.

SH, 100BB Stacks

Preflop: Hero is BU with XY
CO raises 3.5BB, Hero raises 11BB, 2 folds, CO raises 28BB, Hero is All-In

Il s'agit à peu près de la situation utilisée dans l'évaluation ci-dessus. L'espérance de gains de Hero peut être établie comme suit, en fonction de son equity et de sa fold equity lors d'un all-in :

EV = pFold*40.5BB + (1-pFold)*(Equity*112.5-(1–Equity)*89)BB

Si on exige, comme toujours dans ce type d'analyse, que l'EV=0, alors on peut résoudre le problème afin de trouver pFold, par exemple. On obtient alors pFold sous forme d'une fonction de la taille des relances et des tapis, ainsi que de l'equity, que l'on peut représenter graphiquement.

pFold = (112.5*Equity-89*(1–Equity)) / (112.5*Equity-40.5–89*(1-Equity))

Voici à quoi ressemble cette fonction, en la limitant à la zone d'equity située entre 25 % et 45 % :

Pour une equity supérieure à 45 %, une telle évaluation n'a aucun intérêt, car une fold equity négative n'est pas réaliste. La zone inférieure à 25 % d'equity ne nous intéresse pas non plus, dans la mesure où, dans la plupart des cas, vous aurez une equity supérieure. Voici certaines valeurs étalons :

• pFold ( 25% Equity ) = 0.48
• pFold ( 30% Equity ) = 0.41
• pFold ( 35% Equity ) = 0.31
• pFold ( 40% Equity ) = 0.17

Comme on pouvait s'y attendre, la fold equity nécessaire varie en fonction de votre equity. Dans cette situation, avec une main de semi-bluff, il vous faut une probabilité de fold située entre 25 % et 32 %.

Il est également possible d'analyser l'influence de la taille des tapis des joueurs impliqués. Pour ce faire, on modifie la partie suivante, dans la formule pour l'espérance de gain :

Equity*112.5BB - (1–Equity)*89BB

Ici aussi, il est possible d'établir des fonctions et de les afficher. Voici quelques exemples :

De bas en haut, les tapis effectifs en BB : ( 90, 100, 110, 120, 130 ) suivis de la fold equity nécessaire avec une propre equity de 35 % :

• pFold(35% Equity, 90BB Stacks) = 27%
• pFold(35% Equity, 100BB Stacks) = 31%
• pFold(35% Equity, 110BB Stacks) = 34%
• pFold(35% Equity, 120BB Stacks) = 37%
• pFold(35% Equity, 130BB Stacks) = 40%

Il était clair, dès le départ, que la fold equity nécessaire augmenterait avec l'augmentation des tapis. Cependant, l'ascension me semble moins importante que la perte de propension des joueurs à se mettre all-in avec 130 BB. Bien souvent, les joueurs vont se mettre plus de 1.48 fois plus facilement all-in avec 90 BB qu'avec 130 BB. Ce rapport (27/40) détermine pourtant avec exactitude la profitabilité d'un bluff.

En même temps, il est vrai que bon nombre de joueurs font plus de 4-bets de bluffs avec 130 BB qu'avec 100, précisément car ils partent du principe que votre éventail aussi va devenir plus tight, leur offrant ainsi plus de fold equity. Voici donc un point sur lequel un concept mathématiquement découvert peut trouver une application directe à la table. Il revient cependant à vous de décider si vous souhaitez faire des 5-bet de bluff avec 130 BB préflop.

Pour finir, analysons l'influence des différentes tailles de relances possibles avant le flop. Comme on peut s'y attendre, plus le 4-bet est petit, plus la fold equity nécessaire est élevée (avec une equity semblable). En voici une illustration :

De haut en bas :

2.5BB → 8BB → 20 BB;

3.5BB → 11BB → 28BB;

4BB → 14BB → 32BB

Ici aussi, utilisons une equity de 35 % :

2.5BB open → pFold = 42%,
3.5BB open → pFold = 31%,
4BB open → pFold = 24%.

Comme on peut le voir, l'influence de la taille des relances est grosse. Voici donc encore une idée de variation que l'on pourrait apporter à son jeu : une observation des statistiques de 4-bet/fold des adversaires en fonction des différentes tailles de relances.

Certains joueurs n'en seront pas forcément conscients, car un 4-bet à 32 BB n'est pas non plus énorme. Cependant, vous devriez en avoir conscience. Cela ne peut avoir d'influence sur votre jeu que si vos adversaires en ont conscience. Chez les mauvais joueurs, ce n'est pas le cas, et vous ne devez donc rien changer.

Bluff vs. 2nd Barrel

Le principe de 2nd barrel ne vous est certainement pas étranger : bien souvent, on entend par-là jouer deux fois un bluff agressivement. Puisque le terme provient du deuxième continuation bet sur le turn, on considère une telle mise comme un second barrel, quelle que soit la main de l'agresseur. Bien souvent, il peut s'agir d'une mise avec une main qui joue en bet/fold. Une fréquence élevée d'un tel move sur le turn forme la base d'analyse de la situation suivante :

SH, 100BB Stacks

Preflop: Hero is BU with A, T, CO has K, Q
CO raises 4BB, Hero calls 4BB , 2 folds

Flop: (9.5 BB) 6, Q, 5 (2 players)
CO bets 8BB, Hero calls 8BB

Turn: (25.5 BB) 9 (2 players)
CO bets 17BB, Hero raises 50BB

Il est évident que Hero peut jouer sa main différemment. Une relance sur le flop est aussi envisageable qu'un call sur le turn, ou un 3-bet préflop. Mais ce n'est pas ici le sujet dont nous voulons traiter. Ce qui nous intéresse ici, c'est la relance de Hero sur le turn. Pour ce faire, il est important de bien comprendre que, dans cet exemple précis, un bluff ou un semi-bluff ne peut être justifié que lorsque Hero pourrait également jouer des mains faites de cette façon.

Sans cela, son éventail est si fortement concentré vers les bluffs, qu'il provoquera des calls light de la part de bon nombre des mains qu'il voulait pousser à se coucher. Cependant, si c'est le cas, alors il convient d'analyser ce semi-bluff inhabituel :

Comme à chaque fois pour un semi-bluff, l'espérance de gain se calcule comme suit :

EV = pFold * 42.5BB + ( 1 – pFold ) * ( 0.2 * 113.5 BB – 0.8 * 88BB )

En partant du principe qu'on a environ 20 % d'equity face à l'éventail avec lequel CO se mettra all-in sur le turn, Hero ne peut plus se coucher face à celui-ci, et l'EV est donc correctement indiquée. En modifiant l'opération pour obtenir un pFold avec EV=0, on obtient une fold equity nécessaire de 53 %. Est-ce atteignable dans cet exemple ?

Une précision s'impose quant à ce type d'exemple : le but de cet article n'est pas d'effectuer un handreading parfait, mais bien plus de déterminer le caractère de cette analyse et d'autres analyses de même type. On y indique donc un éventail de mises possible, ainsi qu'un éventail de all-in, avant d'en déduire une évaluation de pFold. Ceux qui préfèrent choisir d'autres éventails peuvent évidemment le faire et calculer une autre probabilité de fold afin d'obtenir un résultat différent.

On pourrait envisager l'éventail qui suit : CO mise sur le turn avec top paire+, soit : QT, QJ, KQ, AQ, 55, 66, 99, AA, KK, QQ. Cela représente 63 combinaisons possibles. Après la relance, CO se mettra all-in avec les sets et les overpairs, soit 55, 66, 99, KK, QQ, AA. Ce qui nous donne 21 combinaisons possibles, soit la fold equity suivante : 1-21/63 = 67%.

Si on ajoute 56s et Q9 à son éventail de mise ainsi que de all-in, on obtient  63+3+9 = 75 combinaisons de mise sur le turn, puis 21 + 9 + 3 = 33 pour le all-in. Ici aussi le semi-bluff serait encore tout juste EV+, avec une fold equity de = 56%. Nous n'avons par ailleurs pas pris en compte des bets/folds possibles avec des mains comme TT, JJ, 9x ou un tirage plus faible (certes, il s'agirait là d'une main que Hero bat, mais le fold resterait fortement profitable pour Hero).

Voici maintenant un exemple avec une autre variation :

SH, 100BB Stacks

Preflop: Hero is BU with T, 9
MP raises 4BB, CO folds, Hero calls 4B, 2 folds

Flop: (9.5 BB) 8, Q, 3 (2 players)
MP bets 6BB, Hero calls 6BB

Turn: (21.5 BB) 7 (2 players)
MP bets 13BB, Hero raises 38BB

Comme dans l'exemple précédent, Hero pourrait fort bien jouer cette main autrement. Mais il ne le fait pas. L'analyse se concentre avant tout sur le semi-bluff sur le turn. Mais il y a un élément qui diffère ici : Hero n'a qu'une equity de 18 % face à un éventail de all-in. Or il lui faut 26 % pour pouvoir suivre profitablement un push de MP. L'espérance de gains de ce move dépend donc fortement de la fréquence à laquelle MP suivra ou sur-relancera directement sur le turn. 

Par souci de simplicité, partons du principe que MP ne se couchera jamais sur la river s'il suit sur le turn (il lui reste environ 50 BB pour un pot de 100 BB). On peut donc calculer une fonction de probabilité de fold et de all-in :

EV = pFold*34.5BB + (1–pFold)*[-p(Push)*38+(1-p(Push))*(0.18*111.5–0.82*38)]BB

En cas de non-réalisation du tirage, Hero perd 38 BB, mais en cas de réalisation, il remporte le pot complet auquel s'ajoute le tapis restant de MP. En considérant EV=0, on peut en déduire le rapport entre probabilité de fold et de all-in comme suit :

Les valeurs étalons sont :

• pFold(p(Push)=1)=52%
• pFold(p(Push)=0.5)=42%
• pFold(p(Push)=0)=24%

Cela signifie que : si l'adversaire ne se met jamais all-in avec les mains qu'il souhaite continuer à jouer, alors il ne vous faut voir un fold que dans un cas sur 4. S'il se met toujours all-in avec ces mains, il vous faut une fold equity d'environ 50 %.

La question que l'on peut donc se poser maintenant est : à quelle fréquence l'adversaire joue en bet/fold et à quelle fréquence il préférera un bet/call et un bet/3-bet. Si Hero n'avait pas la position dans une situation comme celle-ci, alors cela pourrait même être à son avantage : l'adversaire se mettra alors encore moins souvent all-in, car sur un tableau comme celui-ci, il ne doit pas se sentir tenu de protéger et peut être sûr de réussir à se mettre all-in sur la river.

Nous n'allons pas considérer d'éventail dans cet exemple, et en resterons aux chiffres. Ceux d'entre vous que cela intéresse peuvent s'essayer à déterminer des éventails et à en déduire si le move est envisageable ou non.

Continuité de bluff

Un concept important que l'on peut également saisir mathématiquement est le suivant : si, au cours d'une main, une mise profitable en soi est possible, alors toutes les actions qui l'amènent sont également EV+.

Cela signifie qu'un continuation bet sur le flop peut tout à fait avoir une espérance de gain négative tant qu'il génère un continuation bet profitable sur le turn. Cela est tout simplement dû aux valeurs isolées de la différenciation des cas dans la formule d'espérance de gains : si assez d'entre elles (ou chacune) deviennent positives via la première mise, alors l'espérance de gains totale devient également positive, quelle que soit votre main.

                                    Devient EV+                                                                     EV totale devient positive

Un facteur important de cette partie : les "outs de bluff". Sans qu'on les ait vraiment évoqués, ils étaient déjà présents dans l'exemple 3. Le 9 sur le turn a complété un tirage quinte possible. Hero ne l'avait certes pas, mais la fold equity devrait en être légèrement plus haute que si un 2 était tombé. Ici aussi, il convient de s'appuyer sur un exemple :

SH, Hero avec 100BB

Preflop: Hero is UTG with XY
Hero raises 4BB, 2 folds, BU calls 4B, 2 folds

Flop: (9.5 BB) 5, 3, 5 (2 players)
Hero bets 6BB, CO calls 6BB

La main de Hero n'importe pas vraiment dans le cadre de cette analyse. La fold equity nécessaire est de 39 %, pour une mise avec une EV=0. En fonction de l'éventail de call sur le flop et de la fréquence de bluff sur de tels flops, cette fold equity n'est pas souvent donnée, ce qui fait que, considéré isolément, une telle mise est EV-. Observons maintenant comment la main évolue :

Turn: (21.5 BB) X (2 players)
Hero bets 14BB, CO calls 14BB

River: (49.5 BB) X (2 players)
Hero bets 28BB

La mise sur la river comparée à la taille du pot est un peu plus faible que la mise sur le flop. Hero a besoin d'environ 39 % de fold equity. La question est donc : Hero peut-il envisager cela de manière réaliste ?

La réponse à cette question va, bien sûr, dépendre fortement du comportement de l'adversaire dont il s'agit. Quoi qu'il en soit, on peut en délimiter la vraisemblance selon la probabilité d'une main forte chez CO :

Partons du principe qu'il sur-relancerait TT+ préflop, les mains fortes qui lui restent sont trips, full ou pocket de neuf. Avec 99, une de ses meilleures mains sur le flop, il n'a plus qu'un bluff catcher sur la river. Effectivement, il ne peut justifier un call des trois barrels par autre chose qu'un Herocall.

Prenons un exemple d'éventail de CO composé de 22-99. À quelle fréquence a-t-il désormais une main forte ? Il reste une combinaison de 55 et trois de 33. Face à cela, il reste 6x6 = 36 combinaisons de mains qui ont une simple double paire. Sur le flop, il n'aura une main forte qu'il pourra suivre ou relancer sans problème sur la river que dans environ un cas sur 10. Dans 9 cas sur 10 il a une main qui n'est plus qu'un bluffcatcher sur la river, si toutefois ni le turn ni la river ne l'ont pas aidé.

Cela est dû au fait que le flop est extrêmement difficile à toucher. Statistiquement, Villain n'aura quasiment jamais une main forte, tandis que Hero peut représenter un éventail plus large (il pourrait tout à fait miser TT+ pour la value).

Bien entendu, l'éventail de CO va s'amincir d'ici la river, il existe cependant certains joueurs contre qui un triple barrel de bluff est profitable (même si, en étant joué avec any 2, il ne peut être équilibré). Ce qui importe ici, ce sont les questions suivantes :

• À quelle fréquence Villain suit-il avec une main faible sur le flop et le turn ?
• À quelle fréquence fait-il un Herocall ?

Dans ce cadre, on peut également considérer la probabilité des différentes cartes du turn et de la river. On pourrait également envisager de ne miser le turn et la river qu'en cas de scarecard. Cette probabilité est assez rapide à calculer.

Prenons les scarecards J+. La probabilité qu'une de ces 16 cartes tombe est donc 16/49 = 0.32.

La probabilité de voir une de ces cartes d'ici la river est 16/49 + ( 1-16/49 ) * 16 / 48 = 0.55 !

On pourrait également construire un scénario comparable sur les tableaux monocolores. On compte donc, soit sur le fait que l'adversaire a une main qui ne peut que rarement suivre face à votre éventail de value, ou que certaines cartes à venir pourraient vous permettre de continuer à jouer agressivement, même si elles ne vous ont pas aidées (bluffouts).

G-Bucks

La dernière partie de cette série est dédiée aux G-bucks, ou Galfond Bucks. Si je ne me trompe pas, le terme apparaît pour la première fois dans un article de Phil Galfond dans le Bluff Magazine d'avril 2007, dans lequel il introduit le concept. Il s'agit d'une forme particulière d'analyse, qui a pour but de calculer une certaine espérance de gains.

Dans les situations finissant par un abattage, les G-bucks considèrent l'espérance de gains de votre adversaire face à l'éventail complet de Hero. (Dans son article, Phil Galfond calcule un peu différemment, mais parvient au même résultat. Il s'agit de savoir si les combinaisons de l'éventail de Hero qui sont bloquées par la main adverse doivent être explicitement prises en compte ou non).

Cette forme d'analyse s'appuie sur les fameux Sklansky-bucks. Ces derniers considèrent l'espérance de gains au lieu des résultats effectifs. Puisque l'espérance de gains est sensée s'équilibrer avec le temps, cette approche représente une analyse débarrassée de la variance. Cependant, on ne peut en tirer que partiellement de résultats viables, en analysant une main donnée. En effet, une règle essentielle du poker y est ignorée : les joueurs jouent avec des éventails de mains, et non pas des mains isolées. L'analyse parfaite considérerait le rapport d'espérances de gains de l'éventail de mains des différents joueurs.

C'est dans cette optique que nous avons souvent travaillé dans cette série, lorsque nous avons essayé de donner des éventails aux différents joueurs. Mais un gros problème apparaît alors : on est tenu d'émettre des suppositions. Dans chaque situation, vous ne pouvez que dire : "Je crois que l'éventail adverse est le suivant". Vous ne pouvez jamais en être certain.

C'est pourquoi Phil Galfond élimine l'éventail adverse de son analyse, et en arrive donc à une forme d'analyse avec informations complètes : on considère son propre éventail (que vous connaissez) face à la main adverse (que vous connaissez maintenant). Les G-Bucks indiquent donc l'espérance de gains d'un éventail connu face à une main connue. Un exemple simple pour illustrer ceci :

SH, Hero avec 20BB

Preflop: Hero is MP with A, K, UTG with 7, 7
UTG raises 4BB, folds, Hero raises 20BB, folds, UTG calls 16BB

Pour une raison que l'on ignore, Hero n'a que 20 BB à la table. Et on ne sait pas non plus pourquoi UTG joue comme il joue. Après tout, il ne s'agit que d'un exemple. Le résultat pour Hero sera assez rarement +-0, en enlevant le rake. Dans tous les autres cas, il sera +21,5 BB ou -20BB. Bien entendu, chaque analyse précise nous donnera une valeur se situant entre les deux extrêmes. L'EV de ce all-in est :

EV=-0.523 * 20BB + 0.477 * 21.5BB = -0.2BB

On tend donc vers le +-0, avec un résultat général légèrement négatif. Est-ce une erreur pour autant de se mettre all-in dans cette situation ? Au feeling, le joueur de poker en moi aurait tendance à répondre non. Afin de pouvoir calculer ses G-bucks, Hero doit se donner un éventail. Mettons que celui-ci soit TT+, AQ+. Face à cet éventail, 77 n'a que 37 % d'equity. Les G-bucks de Hero sont donc :

0.63*21.5BB – 0.37 * 20BB = 6.145BB

Hero fait donc un move G-bucks+. On peut considérer le résultat moyen d'UTG face à l'éventail de Hero. Celui-ci donne 0.37*25.5 – 0.62 * 16 = -0.645BB.

Il faut donc une légère erreur face à l'éventail de Hero. Si, par ailleurs, Hero ne se mettait pas systématiquement all-in avec AQ, alors cette erreur serait sensiblement plus élevée. Donnons à Hero l'éventail TT+, AQs+, AK. Alors le résultat de Hero serait de 7,8 BB, et celui de UTG de -2,3 BB.

Ce que l'analyse G-bucks prend en compte sont les cas dans lesquels le résultat est fortement influencé par le fait que Hero a une main à l'extrémité de son éventail. Ce qu'elle ne peut en revanche pas prendre en compte est la chose suivante :

Si UTG a AA dans cette situation, il va bien évidemment gagner des G-bucks, et Hero en perdre, en raison de la main extrêmement forte de Villain. Cependant, le résultat est souvent plus utilisé pour une analyse de théorie du jeu, que pour calculer l'espérance de gains de deux mains précises. C'est surtout en terme de balancing que les G-bucks rendent de précieux services.

SH, 100BB Stacks

Preflop: Hero is BB with Q, K, BU with A, T
BU raises 3BB, SB folds, Hero calls 2BB

Flop: (6.5 BB) A, J, 5 (2 players)
Hero checks, BU bets 4.5BB, Hero raises 15BB, BU calls 10.5BB

Turn: (36.5 BB) 3 (2 players)
Hero checks, BU checks

River: (36.5 BB) 8 (2 players)
Hero bets 29BB, BU calls 29BB

Analysons la mise sur la river. Certes, Hero pourrait jouer chaque tour différemment, mais l'approche choisie n'est pas complètement injustifiée. La question est de savoir si Hero peut faire un bon bluff sur la river ou non. La réponse à cette question dépend, bien entendu, de l'éventail de Hero, avec lequel il pourrait jouer ainsi sur le flop, le turn et la river.

Considérons deux scénarios :

• a) Hero joue ainsi chaque Gutshot avec Broadways (9 combinaisons) ainsi que chaque tirage couleur (78, 89, T9, QT, KQ, KT, soit 6 combinaisons) de cette façon.
• b) Hero joue ainsi avec 50 % de ses gutshots (4,5 combinaisons), tous ses tirages couleurs (6 combinaisons) ainsi que 33 % de ses 55, AJ et 0,5 combinaison de A5s (décomptée en raison du jeu préflop) soit 1 + 3 + 0.5 combinaisons.

Dans le cas a), button est battu par 6 mains, et en bat 9. Puisqu'il suit à 29 BB dans un pot de 36.5 à l'abattage, son résultat est :

9/15*(36.5+29)BB – 6/15*29BB = 27.7BB

Avec son call, Button gagne donc de nombreux G-bucks, et ne fait donc en aucun cas une erreur en suivant sur la river. Hero a tout simplement trop rarement une couleur pour pouvoir bluffer profitablement, s'il bluffe tous ses gutshots. Pour sa part, Hero gagne également des G-bucks, en raison de la dead money, mais seulement 8.8 BB, soit nettement moins que BU. L'objectif devrait cependant être au moins de placer BU au-devant d'une décision limite (ici, le rapport risque/récompense est presque de 100%).

Dans le scénario b) la situation est fort différente. Hero a en tout 15 combinaisons, et Villain n'en bat que 4,5. Les G-buks de BU sont donc les suivants :

4.5/15*(36.5+29)BB – 10.5/15*29BB = -0.65BB

Dans cette situation, Villain a donc un call légèrement négatif en terme de G-bucks, et la décision est bien plus difficile face à l'éventail de Hero. Comme vous pouvez le voir, les analyses de G-bucks sont particulièrement intéressantes afin de considérer de plus près votre propre balancing.

Un dernier mot concernant les G-bucks. Il y a une chose que ceux-ci ne prennent pas en compte dans cette forme simplifiée, c'est l'impact de la cote implicite, ou de la cote implicite inversée. On peut prendre la bonne décision en couchant la meilleure main potentielle  sur un tour où on gagnerait directement des G-bucks, s'il est trop probable que l'on perdra beaucoup sur un des tours à venir (hors position avec une main difficile à jouer, ou bien face à un joueur très fort avec une grosse cote implicite).

Et vice versa : il peut être judicieux de jouer à l'encontre des G-bucks sur un tour donné. Par exemple, lorsque l'adversaire est mauvais, la position bonne, la main facile à jouer, ou si la cote implicite est largement plus élevée que la cote implicite inversée.

En résumé

C'est ici que s'achève la dernière partie de la série "Concepts mathématiques pour le No-Limit Hold'em". Dans les quatre articles qui composent cette série, vous avez découvert un certain nombre de bases mathématiques du NL, ainsi que bon nombre de calculs qui peuvent y être appliqués. Ceux-ci ont été présentés sous forme d'exemples illustrants différents scénarios, avant d'être calculés de manière détaillée.

J'espère avoir pu, par ce biais, motiver certains d'entre vous à réaliser eux-mêmes leurs propres analyses, ou tout du moins à réfléchir aux différents résultats présentés ici. Il y a bon nombre de situations dans lesquelles les concepts mathématiques simples que j'ai présentés ici peuvent donner des résultats intéressants à même d'influencer directement votre jeu.

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