Concepts mathématiques pour le No-Limit Holdem (2) - Combos & Odds Advanced

Introduction

Dans cet article

• Éventails de mains d'un point de vue mathématique
• Rôle joué par la cote implicite et implicite inversée
• Analyses d'EV complexes
  

Dans le premier article, vous avez appris comment calculer l'espérance de gain associée à différentes situations de jeu, ce que nous avons illustré à travers quelques exemples simples. Nous reviendrons d'ailleurs dans les prochains articles sur certaines spécificités liées aux calculs d'espérance de gain (calculs d'EV).

Dans l'article qui nous intéresse aujourd'hui, nous allons aborder les éventails de mains d'un point de vue mathématique et nous intéresser à la cote implicite et implicite inversée. L'introduction de ces nouveaux éléments nous permettra de calculer l'EV pour des situations plus complexes que dans l'article précédent. Il sera également possible de répondre à d'autres types de questions que celles qui ont été abordées à travers les méthodes analytiques utilisées dans le premier article.

Éventails de mains : point de vue mathématique

Les éventails de mains ont déjà été introduits dans l'article précédent. Un éventail représente un ensemble de mains données. Dans les calculs d'EV, il est souvent question de probabilités. L'Equilator est capable de vous donner le pourcentage correspondant à un groupe de mains donné par rapport à l'ensemble des mains possibles. Il vous indique par exemple que l'éventail TT+, AQ+ représente 4.68% des mains possibles.

Voici une question qui peut avoir son importance : avec quelle fréquence votre adversaire possède-t-il une main donnée ? Les 4.68% indiqués précédemment seraient la réponse à la question suivante : quelle est la probabilité qu'un joueur possède une main appartenant à l'éventail TT+, AQ+ en comparaison avec any two ? On pourrait alors poser une autre question : Sachant qu'un joueur possède l'éventail TT+, AQ+, quelle est la probabilité qu'il ait AA ou KK ?

Si vous voulez continuer à raisonner en terme de pourcentages, cela devient un peu laborieux. Vous devez commencer pas sélectionner AA, KK dans l'Equilator. Vous obtenez que cet éventail représente 0.9% des mains. La probabilité d'avoir AA, KK à partir de l'éventail TT+, AQ+ est donc 0,9/4,68 = 0,192 = 19,2%. Si vous voulez par exemple distinguer entre les couleurs ou bien ne tenir compte que d'une partie des combinaisons correspondant à une main donnée, ce type de calcul devient vite compliqué. Prenons par exemple la question suivante : Sachant qu'un joueur possède TT+, AQ+, quelle est la probabilité qu'il ait XcYc (à savoir AcKc ou AcQc) ?

Pour répondre à des questions aussi complexes, il est préférable de passer par un calcul direct. Au Hold'em, il y a 1326 combinaisons de mains différentes, à savoir 52 * 51 /2. Le facteur 52 correspond au choix de la première carte. Si vous voulez obtenir toutes les combinaisons possibles, vous devez combiner cette première carte avec toutes les autres. Une fois que vous avez la première carte, il reste 51 cartes possibles á choisir, ce qui donne 52*51=2652 combinaisons.

Cependant, au poker on ne fait pas de différence entre AsKs et KsAs, ce qui fait que seul la moitié de ces 2652 combinaisons représentent des mains différentes, soit 52*51/2 = 1326. De la même façon, vous pouvez déterminer pour un éventail donné le nombre de combinaisons qui le composent. Voici quelques résultats :

Afin de pouvoir procéder à de nouveaux calculs par la suite, expliquons ici comment ces résultats sont obtenus. Vous pourriez bien entendu prendre un jeu de carte et commencer à compter. Cela risque cependant de ne pas vous amuser très longtemps. Il est plus pratique de procéder à l'aide d'un raisonnement logique qui, dans son principe, se rapproche du calcul du nombre total de combinaisons vu précédemment. Si vous voulez former une paire donnée, alors vous avez quatre choix possibles pour la première carte. Il vous reste ensuite trois possibilités pour la deuxième carte. Vous devez là encore diviser le résultat par deux car sinon vous comptez AsAd et AdAs comme deux combinaisons différentes.

Pour une main suited, vous avez huit possibilités pour la première carte (par exemple pour 67s, quatre possibilités pour le 6 et quatre pour le 7). Une fois que vous avez choisi la première carte, l'autre carte est obtenue automatiquement. Là encore il faut prendre la moitié de 8, soit 4. Pour une main offsuited XsYd, vous avez également huit possibilités de choisir la première carte (4X, 4Y), mais pour la deuxième carte vous avez cette fois-ci trois possibilités (si vous avez choisi Xs, alors Ys n'est plus une option car sinon la main serait suited). 8*3/2, soit 12 combinaisons. Notons au passage qu'il existe évidemment bien d'autres façons de calculer le nombre de combinaisons possibles.

Cote du pot, cote implicite, cote implicite inversée

Les cotes et outs permettent avant tout de calculer l'espérance de gain d'un call et de prendre des décisions, même approximatives, à la table. Nous ne reviendrons pas sur les explications associées dans cet article et vous renvoyons pour cela à la section stratégique Bronze. Les concepts de cote implicite et de cote implicite inversée sont un peu plus intéressants pour nous en ce sens qu'ils sont souvent indissociables des calculs d'EV plus complexes.

S'inspirant de la cote du pot, la cote implicite est une grandeur qui représente la quantité d'argent qui ne se trouve pas encore dans le pot, mais qui, d'après nos estimations, pourrait être investi par l'adversaire dans la suite du coup. La cote implicite est particulièrement importante pour jouer les tirages. Une analyse d'un tirage basée uniquement sur l'EV sans tenir compte de la cote implicite débouchera le plus souvent sur un fold direct au flop. Si à l'inverse on intègre la cote implicite dans le calcul, le résultat obtenu est plus réaliste et s'avère en général bien différent.

Vous avez sans aucun doute déjà rencontré cet exemple d'utilisation de la cote implicite : la règle du Call-20 pour les paires avant le flop. Cette règle vous oblige à avoir une cote implicite d'au moins vingt fois le montant à payer pour voir le flop. Pour les calculs d'EV, il est surtout important de tenir compte de cotes implicites réalistes, c'est-à-dire non pas ce vous pouvez gagner au maximum, mais ce que vous allez gagner en moyenne (même si bien entendu ces deux valeurs sont liées).

On pourrait dire que c'est exactement l'inverse de la cote implicite. Il s'agit d'une mesure du montant que vous pouvez encore perdre dans la suite du coup si au final vous ne possédez pas la meilleure main. On se réfère ici avant tout à des tirages qui, même s'ils se réalisent, ne vous donnent pas la meilleure main. Les mains dominées s'accompagnent également d'une grosse cote implicite inversée : vous touchez une bonne main qui n'est cependant pas gagnante.

Il est généralement possible de donner une estimation de la cote implicite ou de la cote implicite inversée, voire même parfois d'obtenir une valeur exacte. Ceci permet de les intégrer dans les calculs d'EV. Elles permettent de décrire de façon plus précise un grand nombre de situations dans lesquelles vous n'êtes pas encore all-in. Vous trouverez un exemple sur le sujet dans l'article suivant.

Exemple de calcul

Lorsqu'on parle de calculs d'EV, les considérations liées aux éventails de mains ainsi qu'aux cotes implicites et implicites inversées peuvent sembler au premier abord relativement théoriques. C'est pourquoi nous allons illustrer leur influence à travers quelques exemples un peu plus complexes. Encore une fois, nous serons amenés à effectuer un certain nombre d'hypothèses assez fortes sur les adversaires, grâce à quoi nous nous focaliserons sur les scénarios les plus réalistes.

Dans ce qui suit nous allons essayer de calculer l'EV d'un call pour la set value sous certaines hypothèses. Prenons la situation suivante :

Stacks:

UTG 100BB
Hero 100BB

Preflop: Hero is BU with 4, 4
UTG raises 4BB, folds, Hero calls 4BB, folds

Voici déjà la première hypothèse : les joueurs dans les blinds n'interviendront pas. Pour une analyse EV exhaustive il serait nécessaire d'envisager tous les cas, mais nous allons ici nous restreindre à un cas particulier qui se produira très souvent. Dans le cas contraire les calculs exploseraient sans apporter pour autant une grande quantité d'informations supplémentaires.

L'hypothèse suivante concerne le joueur UTG. Son éventail est ici TT+, AQ+. Autre hypothèse réaliste : UTG misera systématiquement au flop et vous ne continuerez à jouer que si vous touchez un set.

La probabilité de toucher au flop un des deux 4 restants, ou les deux, est la suivante :

3 * (2 * 48* 47 ) / ( 50 * 49 * 48 ) + 3 * (2 * 1 * 48) / ( 50 * 49 * 48 ) = 0.118

2/50 représente la probabilité de tirer l'un des deux 4 restants. Les deux cartes suivantes ne doivent pas être un 4, d'où 48/49 (la probabilité ne pas tirer un 4 alors qu'un 4 est déjà sorti) et 47/48 (la probabilité de ne pas tirer un 4 alors qu'un 4 et une autre carte sont déjà sortis). On multiplie ces probabilités afin d'obtenir la probabilité de tirer un 4 dans un ordre donné.

Étant donné que l'ordre dans lequel est tiré le 4 n'importe pas, nous multiplions par trois (le 4 peut correspondre à la 1ère, la 2ème ou la 3ème carte tirée, d'où 3 possibilités). De la même façon, il existe trois possibilités de tirer deux 4 parmi trois cartes (1ère et 2ème cartes, 2ème et 3eme, 1ère et 3ème). Les probabilités sont alors de 2/50 pour la première carte,1/49 pour la deuxième et 48/48 pour la troisième.

Voici  une nouvelle simplification : nous considérons uniquement le cas où un seul 4 est tiré. La probabilité associée est de 3 * (2 * 48* 47 ) / ( 50 * 49 * 48 ) = 0.1155, alors que celle d'obtenir un carré est de 0.0025. Il est donc 45 fois plus probable de toucher un set que de toucher un carré, ce qui nous permet d'ignorer le carré afin de simplifier notre calcul. Nous pouvons commencer notre calcul d'EV :

 EV = 0.880 * (-4BB) + 0.120 * EV(Set)

Reste donc à déterminer la valeur de EV(Set). Étant donné que ce résultat dépend de la structure du board et que l'éventail de l'adversaire est relativement tight, on peut se permettre de calculer l'EV contre chacune des mains adverses (toujours sous certaines hypothèses) avant de faire la somme des EV obtenues. Nous commençons par AQ en supposant afin de simplifier qu'aucun tirage couleur n'est apparu au flop.

AQ touche une paire d'As ou mieux avec une probabilité de P(As) = 2 * ( 3 * 46 ) / ( 47 * 46 ) = 0.12766, une paire de Dame avec une probabilité P(Dame) 2 * ( 3 * 41 ) / ( 47 * 46 ) = 0.114 et un brelan de Dame avec une probabilité P(TripsDame) = 1 * ( 3 * 2 ) / ( 47 * 46 ) = 0.0028. Soit

P(As+) =P(As)+P(TripsDame) = 0.13046

La probabilité P(Dame) est ici inférieure à celle de P(As) étant donné que les combinaisons pour la double paire sont déjà prises en compte pour l'As. Il est à noter que seules deux cartes du flop permettent de toucher étant donné qu'une carte est déjà réservée au 4. P(Dame) = 2 * (3 * 44)/(47 * 46) = 0.12211.

Nous allons donc pouvoir avancer dans notre calcul d'EV en ce qui concerne EV(Set). EV(Set) est la somme des EV élémentaires contre les différentes mains adverses. Nous venons de calculer la première partie :

EV(Set,AQ) = EV(Miss) * P(Miss) + EV(As+) * P(As+) + EV(Dame) * P(Dame),

l'EV contre AQ.

Les EV associées aux différents événements sont encore inconnues. Afin de ne pas trop compliquer les choses, l'éventualité que l'adversaire touche au turn ne sera pas prise en compte. Si l'adversaire ne touche pas (miss), alors vous empochez seulement son continuation bet aux 3/4 du pot, soit 9.5*3/4 = 7.125BB avec P(Miss) = 1 - P(As+) - P(Dame) = 0.74743.

Si jamais il touche son As, vous obtenez la totalité de son stack au milieu, avec cependant une equity inférieure 100% qui reste à déterminer. Si vous voulez effectuer le calcul exact alors vous devez calculer l'equity globale à partir des probabilités pour les différentes mains et des equities associées.

Étant donné que la double paire et le trips sont assez peu probables, comme vu plus haut, et que l'equity d'une top paire est d'environ 3%, nous allons tout simplement l'arrondir à 5% et ignorer les autres cas. On obtient donc pour EV(As+) :

EV(As+) = 0.95*(96+9.5)BB – 0.05 * 96BB = 100.225BB - 4.8BB = 95.4BB

Si l'adversaire touche sa Dame, alors on pourrait distinguer entre les boards K-high et les autres. Que vous en teniez compte ou non, la différence au niveau du résultat sera mineure.

Il faudrait tout d'abord calculer la probabilité d'avoir un board K-high. Elle est de 4/46 = 0.09. Vous avez ensuite besoin de connaître le montant que votre adversaire est prêt à investir en moyenne sur un board K-high, par exemple 30 BB. On obtient alors

EV(Dame) = 0.09*30BB + 0.91*( 0.975 * (96+9.5)BB – 0.025 * 96BB) = 94.1BB

Notre calcul est donc complet :

EV(Set,AQ) = EV(Miss) * P(Miss) + EV(As+) * P(As+) + EV(Dame) * P(Dame) = 7.125BB * (0.75) + 95.4BB * (0.130) + 94.1BB * (0.120) = 28.4BB

Si votre adversaire possède AQ, vous gagnez en moyenne 28.4BB avec les hypothèses effectuées. Il faut maintenant faire de même pour AK. Par chance, l'EV est presque identique à celle obtenue pour AQ. La seule différence provient du cas où la Q ne donne que 2nd pair sur un board K-high, ce qui reste peu probable. On obtient pour AK : EV(Set, AK) = 29.7BB.

Nous allons maintenant calculer votre EV contre les pocket pairs. Voici l'hypothèse associée : l'adversaire go broke avec une overpair et investit en moyenne 30BB avec une 2nd pair. Cette valeur pourrait bien entendu être totalement différente, c'est pourquoi nous n'allons pas la fixer de façon définitive. Ceci nous permettra par la suite d'étudier les différents résultats obtenus pour des variations de cette variable. Les modifications de la structure du board au turn seront ignorées. Pour toutes les pocket pairs, l'EV compte donc trois composantes :

• L'adversaire touche une overpair au flop P(Set, Overpair)
• L'adversaire touche une 2nd Pair au flop P(Set, 2nd Pair)
• L'adversaire touche un set au flop P(Set, Overset)

Ce qui nous donne la formule suivante pour l'EV totale contre les pockets :

EV(Set,Pocket) = P(Set,Overpair) * EV(Overpair) + P(Set,2ndPair) * EV(2ndPair) + P(Set,Overset) * EV(Overset)

L'EV contre l'ensemble des pockets est donc la somme des EV contre les différents types de mains obtenues multipliées par les probabilités pour UTG d'avoir ces mains.

Nous allons commencer par calculer les probabilités avant de passer aux espérances. P(Set,Overset) est identique pour toutes les paires. Il s'agit pour l'adversaire de la probabilité de toucher une des deux cartes restantes, ou les deux en tentant compte du carré, sachant que l'une des trois cartes du flop vous donne un set P(Set, Overset)= 2 * ( 2 * 44 ) / ( 47 * 46 ) + ( 2 * 1 ) / ( 47 * 46 ) = 0.08233.

L'adversaire touche une overpair quand

• il ne touche pas de set
• le board ne contient pas d'overcard

La probabilité que nous venons de calculer pour un set est P(Set,OverSet)=0.0823. Dans le cas des As, il n'est pas possible d'avoir une carte supérieure sur le board, ce qui fait que si le joueur ne touche pas un set, il obtient automatiquement une overpair. La probabilité de l'overpair est donc 1- 0.0823.

Dans le cas de Rois, il y a exactement quatre As qui peuvent se convertir en overcard, la probabilité d'avoir une overpair est donc 1-0.0823-2*(4*44) / (47*46).

2*(4*44) / (47*46) donne la probabilité pour qu'une des deux cartes du flop autre que le 4 soit un As. Pour les Dames, il y a deux types d'overcards possibles, les As et les Rois. Le tableau suivant résume les probabilités pour les différentes paires : 

Reste à déterminer l'espérance contre ces différentes paires.

Si l'adversaire touche une overpair, il se met all-in conformément à notre hypothèse. Son equity dans ce cas est d'environ 10%, l'EV(Overpair) s'obtient donc comme suit :

EV(Overpair) = 0.9 * (96+9.5)BB – 0.1 * 96BB = 85.3BB.

Si l'adversaire a touché un overset, vous avez encore à peu près 5% d'equity. L'espérance EV(Overset) vaut donc 0.05*(96+9.5)BB-0.95*96BB = -85.92BB.

Ces deux valeurs sont indépendantes de la main exacte de l'adversaire, puisque seul importe le nombre d'outs encore disponibles. Le tableau suivant contient l'EV contre les paires :

Nous disposons donc de toutes les probabilités et espérances dont nous avions besoin et il ne nous reste plus qu'à les regrouper.

EV = 0.88 * (-4BB) + 0.12 * EV(Set) = 0.88 * (-4BB) + 0.12 *(P(AK) * EV(AK) + P(AQ) * EV(AQ) + P(AA) * EV(AA) + P(KK)* EV(KK) + P(QQ)*EV(QQ) + P(JJ)*EV(JJ) + P(TT)*EV(TT))

Afin de pouvoir effectuer le calcul final, il ne nous reste plus qu'à déterminer les probabilités des différentes mains de départ. L'adversaire possède un total de 62 combinaisons différentes dans son éventail. 16 combinaisons pour AK et AQ, 6 combinaisons pour chaque paire. P(AK) = P(AQ) = 16/62 = 0.258, P(AA) = P(KK) … = 6/62 = 0.097.

On obtient l'EV totale en remplaçant tous les termes par leur valeur :

EV=0.88*(-4BB) + 0.12 *(0.258*29.7BB + 0.258*28.4BB + 0.097*71.2BB + 0.097* 62.2BB + 0.097*52.3BB + 0.097*41.5BB + 0.097*29.9BB ) = 1.27BB

Il s'agit d'une valeur assez faible qui se situe en deçà d'une valeur réaliste pour un bon joueur full ring. L'une des raisons est qu'un bon joueur full ring sera suffisamment souvent capable de jouer sa main profitablement même sans avoir touché de set. L'espérance pour le cas où il ne touche pas son set est donc supérieure à -4BB.

Notre équation contient également d'autres variables dont nous pouvons modifier la valeur afin de voir comment évolue le résultat. Il se pourrait d'une part que vous gagniez en moyenne davantage qu'un simple continuation bet contre les mains AK et AQ n'ayant pas touché.

Votre adversaire pourrait bluffer au turn, ou encore toucher quelque chose. On pourrait augmenter l'EV correspondant à ce cas afin de voir comment le résultat global évolue. Idem avec une 2nd pair, l'adversaire pourrait investir davantage. L'EV complète est donnée ci-dessous en faisant également apparaître les valeurs qui peuvent varier :

Si vous ne touchez pas, vous perdez votre call préflop : EV=(1-P(set))*(-4BB)

Si vous touchez votre set :

- l'adversaire possède AK :

P(set)*(P(AK)*(EV(AK,miss)*P(AK,miss)+P(AK,king+)*EV(AK,king+)

Les probabilités et espérances ont déjà été calculées.

- l'adversaire possède AQ :

P(AQ)*(EV(AQ,miss)*P(AQ,miss)+EV(AQ,As+)*P(AQ,As+)+EV(AQ,Dame)*P(AQ,Dame)

- l'adversaire possède AA :

P(AA)*(P(AA,overpair)*EV(overpair)+P(AA,2ndpair)*EV(2ndpair) +P(overset)*EV(overset)

P(AA,2ndpair) = 0.

- l'adversaire possède KK :

P(KK)*(P(KK,overpair)*EV(overpair)+P(KK,2ndpair)*EV(2ndpair)+P(overset)*EV(overset)

- l'adversaire possède QQ, JJ ou TT :

Même calcul pour toutes les pockets. La probabilité d'avoir une 2nd pair augmente bien entendu lorsque le rang de la main diminue :

P(QQ)*(P(QQ,Overpair)*EV(Overpair)+P(QQ,2nd Pair)*EV(2nd Pair)+P(Overset)*EV(Overset))+ P(JJ)*(P(JJ,Overpair)*EV(Overpair)+P(JJ,2nd Pair)*EV(2nd Pair)+P(Overset)*EV(Overset))+ P(TT)*(P(TT,Overpair)*EV(Overpair)+P(TT,2nd Pair)*EV(2nd Pair)+P(Overset)*EV(Overset)))

Le tableau ci-dessous contient une liste des probabilités qui interviennent et qui ont déjà été calculées. Il contient également une liste des EV qui ont été prises en compte, et qui sont pour la plupart discutables :

En modifiant les valeurs EV(AK, Miss), EV(AQ, Miss) et EV(2nd Pair), on obtient l'espérance de gain suivante :

EV = 1,62BB

Comme vous le voyez, l'espérance de gain dépend fortement de ces valeurs. Si vous arriviez également à améliorer votre EV pour le cas où vous ne touchez pas votre set, on se retrouverait rapidement dans une zone correspondant à des valeurs réalistes. Cela reste cependant très difficile à évaluer, c'est pourquoi je préfère ne pas en tenir compte ici.

Vous pouvez également reconnaître l'une des caractéristiques principales du NL Hold’em Poker : le jeu sans showdown est extrêmement important pour le résultat global. Cela signifie en particulier qu'après ce long calcul, vous devriez probablement revenir sur votre propre jeu, en vous intéressant tout particulièrement aux cas où vous ne touchez pas votre set. Essayez de voir dans quelle mesure vous êtes capable de vous rapprocher de l'EV d'un set dans ces situations.

Ce genre d'analyse fera l'objet du prochain article. J'aimerais avant tout féliciter ceux d'entre vous qui ont suivi et compris l'analyse jusqu'à ce stade. Je suis prêt à parier que ce n'est pas le cas de tout le monde.

Encore deux points sur lesquels j'aimerais conclure cette partie : Les analyses mathématiques sont importantes et peuvent permettre au joueur de s'améliorer. Malgré tout elles ne peuvent en aucun cas remplacer l'expérience et les échanges avec d'autres joueurs. Sans parler du fait qu'elles peuvent s'avérer particulièrement laborieuses.

Cote implicite

Nous allons revenir en détail sur le jeu avec des tirages. Pour une analyse plus précise, vous avez besoin ici de la cote implicite. Nous allons examiner la situation suivante du point de vue d'une calling station :

100BB Stacks

Preflop: Hero is CO with XYo, Callingstation is BU with A,2
Folds, Hero raises 4BB, BU calls 4BB, SB calls 3.5BB, BB calls 3 BB.

Flop: (16BB) 5, 9, K (4 Players)
SB checks, BB checks, Hero bets 14BB, BU calls 14BB, SB calls 14BB, BB folds

Turn: (58BB) 6 (3 Players)
SB checks, Hero bets 45BB, BU calls

Nous attribuons ici  à Hero l'éventail 55, 99, KK, AA, AK, KQ. BU a une equity de 21.5% contre cet éventail. Nous allons ici analyser le denier call de BU. Une calling station va toujours payer dans cette situation, mais vous, que feriez-vous ? Êtes-vous sûr qu'un call soit ici une erreur ? Voyons ce qu'il en est. L'EV sans tenir compte de la cote implicite est la suivante :

EV = Equity * (Gain + Investissement) - Investissement

Avec dans ce cas Gain égal à (58+45)BB et Investissement égal à -45BB. L'Equity nécessaire ici est donnée par la formule bien connue Equity = Investissement/(Gain + Investissement). Villain gagne 58BB + 2*45BB et perd 45BB s'il ne touche pas. L'equity nécessaire est donc de 30%. À cause de l'equity trop faible on obtient une EV de -13.2BB.

Mais que se passe-t-il si BU touche sur la river ? Le pot sera alors de 148BB, Hero aura 37BB restants. Indépendamment de la carte qui tombe à la river, Hero ne pourra plus coucher aucune main appartenant à un éventail aussi fort. C'est ce qu'on appelle être pot-committed. C'est la raison pour laquelle il faut corriger la valeur de la variable Gain dans la formule. En effet, s'il finit par toucher, BU ne va pas seulement gagner le pot actuel et les mises du turn, il va également gagner les 37BB supplémentaires se trouvant dans le tapis restant de Hero.

Dans le cas présent on aurait donc Gain = (58+45+37)BB, Investissement restant à 45BB, car même avec une bonne cote BU ne va payer la river avec Ace high. Ainsi corrigée, l'equity nécessaire pour un call passe à 24% et l'EV remonte à -5BB. Ceci malgré le fait que le tapis restant ne représente pas grand-chose en comparaison avec le pot sur la river, pratiquement quatre fois plus gros.

Très bien, la calling station commet donc une erreur en payant, un fold serait ici le bon choix. Jouons un peu sur les variables afin de voir dans quelle mesure ce cas particulier peut être généralisé. L'EV du turn à la river en tenant compte de la cote implicite est la suivante :

   EV = Equity* (Gain + Implicite + Investissement) - Investissement

La cote implicite est comprise entre le montant du tapis restant et un pourcentage du pot que l'on peut considérer encore gagner en moyenne. Que se serait-il passé si Hero au lieu de miser 45BB, soit un peu plus des 3/4 du pot, s'était contenté de miser 40BB, soit environ aux 2/3 du pot ? La cote implicite serait alors passée de 37BB à 42BB, l'equity nécessaire serait tombée à 22.2% et le call aurait eu une EV de -1.3BB. On voit que cela devient plus serré.

Qu'en serait-il maintenant si les deux joueurs, au lieu de 100BB étaient entrés dans la main avec 130BB ? Avec une mise à 45BB au turn, Hero aurait encore eu un tapis de (130-4-14-45) = 67BB sur la river, pour un pot de nouveau à 148BB. Là encore Hero ne pourrait pas coucher sa main en cas de Pique sur la river. Comment l'EV serait-elle modifiée ?

Equity, Gain et Investissement restent inchangés, alors que la cote implicite passe de 37BB à 67BB. Dans ces conditions l'equity nécessaire pour un  call break-even est de 20% et l'EV du call est alors positive avec +1.225BB. Une légère modification de la valeur de la variable conduit à un call profitable pour une mise supérieure aux 3/4 du pot. La calling station ne commet plus d'erreur. En adoptant le point de vue opposé, avec les hypothèses effectuées vous auriez vous aussi un call dans cette situation, même si cela reste assez limite.

Afin d'essayer de généraliser, examinons le scénario suivant :

Le pot au turn vaut 1 et vous comptez tous les bets supplémentaires sous forme de fraction du pot au turn. La question est maintenant de savoir quelle est la relation entre l'equity, la taille du bet au turn et la cote implicite pour la river. Faisons de nouveau appel à des mathématiques élémentaires :

EV = Equity * (Pot + 2 * Bet + Implicite ) - Bet

Afin d'établir la relation entre ces différentes grandeurs, nous partons de la condition EV>=0. Pour une représentation bidimensionnelle, nous avons trois possibilités :

• Relation entre l'equity et le bet pour cote implicite donnée (comme dans l'exemple 2 ou la cote implicite correspond au tapis restant)
• Relation entre le bet et la cote implicite pour une equity donnée (quand vous êtes capable d'estimer assez précisément votre equity face à l'éventail adverse)
• Relation entre la cote implicite et l'equity pour un bet donné (afin de se faire une idée de l'equity et de la cote implicite nécessaires pour une mise donnée)

Cette relation vous indique jusqu'à quelle taille de bet (betsize) vous pouvez encore suivre si vous savez combien vous pouvez encore gagner sur la river. Pour le graphique suivant, la cote implicite a été fixée à 0.5, soit un bet à la moitié du pot.

Ceci vous permet de vous faire une idée des mises que vous pouvez payer profitablement ou non.

Vous pouvez voir ici qu'elle est l'equity requise pour une cote implicite donnée (implied odds) dans le cas d'un bet turn aux 3/4 du pot.

Ce graphique vous permet également de vous faire une idée pour votre jeu. Vous voyez notamment que pour une cote implicite élevée correspond à une mise à hauteur du pot sur la river, vous n'avez plus besoin que de15% d'equity pour un call.

Pour le dernier cas de figure, nous allons prendre une equity de 20% et voir comment se comportent la cote implicite et la taille du bet. Le segment correspondant à une cote implicite requise égale à 0 correspond tout simplement aux cas où vous pouvez suivre en vous basant uniquement sur la cote du pot. Le betsize maximum pour que cela soit vérifié est ici 1/3 du pot.

Nous pouvons considérer avoir couvert les cas les plus généraux. Ces considérations ainsi que les graphiques associés sont extrêmement importants pour votre compréhension des interactions entre l'equity d'une main, la taille du bet sur une street donnée et les mises attendus sur les streets suivantes.

Si on veut effectuer la même analyse pour le flop -> river, les choses se compliquent. Il faut distinguer entre les deux cas suivants : Soit vous touchez au turn et vous devez essayer d'évaluer la cote implicite correspondante, soit vous ne touchez pas. Vous devez alors estimer la fréquence avec laquelle vous risquez d'être confronté à un bet de taille donnée, et essayer également d'évaluer la cote implicite pour le scénario "miss turn, hit river". Une analyse d'EV serait alors possible suivant le même principe.

En résumé

Nous sommes donc arrivés au terme de cette deuxième partie. Vous avez pu y découvrir une première analyse d'EV complexe pour un move particulier, et vous familiariser avec l'influence de la cote implicite (inversée). Ces deux points vous seront utiles pour la suite. Dans l'article suivant, nous examinerons quelques moves adverses du point de vue de l'espérance de gains contre votre main et chercherons à identifier les bons spots de bluff.

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