Le bluff du point de vue de la théorie des jeux

Introduction

Dans cet article

• Approche mathématique du bluff
  
• Stratégie optimale
  
• Équilibre de Nash
  

Le bluff est une composante essentielle du poker, que tout bon joueur doit posséder dans son répertoire. Celui qui ne bluffe jamais commet une grosse erreur, tout comme celui qui bluffe trop souvent. Mais comment trouver le bon équilibre ? Comment déterminer si un bluff est judicieux dans une situation donnée ? Comment savoir avec quelle fréquence bluffer contre un adversaire donné, afin de jouer profitablement contre lui ?

Cet article traite des concepts mathématiques qui régissent le bluff et vous présente différentes stratégies possibles, obtenues à partir d'une approche basée sur la théorie des jeux.

Ai-je intérêt à bluffer ?

Vous êtes à la river et le tableau est le suivant .

Vous êtes pratiquement sûr que l'adversaire possède une bonne main. Vu sa façon de jouer jusqu'ici, vous en déduisez qu'il a très probablement AA, KK ou AK. Vous avez vous-même .

Votre tirage n'est pas rentré. Le pot contient 100$ et vous avez tous les deux des tapis d'environ 100$. C'est à vous de jouer. Si vous checkez, vous perdez (soit l'adversaire prend le check behind et l'emporte à l'abattage, soit il mise et votre tapis ne suffit plus pour tenter un bluff).

Imaginons maintenant que votre adversaire ait lu correctement votre jeu et vous ait mis précisément sur un tirage avant la river. Afin de simplifier, supposons également qu'il vous ait mis à 80% sur un tirage couleur ou un gutshot (non réalisés), et à 20% sur 87, main avec laquelle vous possédez maintenant une quinte.

Si vous aviez touché votre quinte avec 87, vous miseriez bien entendu pour la value. Malheureusement, ce n'est pas le cas ici. Vous avez donc deux possibilités : vous abandonnez en jouant check/fold, ou alors vous essayez d'arracher le pot en misant. Nous partons du principe que si vous décidez de miser, alors vous mettez vos 100$ restants au milieu, ce qui revient à miser à hauteur du pot. Avec quelle fréquence devriez-vous bluffer ?

Comment peut-on répondre à cette question ?

Pour y parvenir, nous avons besoin d'un peu de mathématiques. Pas de panique, cela restera assez simple. Quelques notions d'algèbre et un peu de bon sens devraient suffire. Ah oui, j'oubliais, nous aurons également besoin de faire appel à la théorie des jeux, mais là encore, nous devrions pouvoir nous en remettre à votre bon sens.

Formulation mathématique de la question

Nous devons tout d'abord définir la notation utilisée. P pour Pot (montant du pot), B pour Bet (montant de la mise). La probabilité que vous ayez la meilleure main (du point de vue de l'adversaire) sera notée q. Dans notre exemple, nous aurions donc P = 100$, B=100$ et q = 0,2. Si vous considérez que l'hypothèse de 20-80% n'est pas réaliste, vous pouvez volontiers changer les valeurs. Seul le résultat obtenu sera modifié, le calcul restera le même. De la même façon, on pourrait également faire varier la taille du pot ou de votre mise. L'utilisation de variables nous permet simplement de généraliser la formulation mathématique de la question.

Le cas où vous misez doit faire intervenir votre fréquence de bluff ainsi que la fréquence de call adverse. La première sera notée x, la deuxième y. x correspond donc à la probabilité d'un bluff de votre part. Si vous bluffez avec une probabilité de 30% (x = 0,3), alors la fréquence de bluff sur le long terme est de 30%. De la même manière, y correspond à la probabilité que votre adversaire paie votre mise.

La question qui nous intéresse revient donc à trouver la valeur optimale pour x.

Espérance de gain et "stratégies pures"

Le mieux est de reprendre depuis le début. Quel est votre objectif au poker ? Gagner de l'argent. Pour être plus précis : gagner le plus d'argent possible. À chaque fois que vous avez une décision à prendre, vous devriez vous demander quelle est l'action qui vous garantit le profit le plus élevé.

Lorsque vous avez la meilleure main dans la situation correspondant à notre exemple, vous misez bien évidemment pour la value. L'adversaire peut alors soit payer votre mise (dans y% des cas), soit coucher sa main (dans 1-y% des cas). S'il paie, vous gagnez le pot actuel, plus la mise adverse, soit P + B.

S'il se couche, vous gagnez seulement le pot actuel : P (par "pot actuel", on se réfère au montant du pot avant votre mise). Si vous possédez effectivement la meilleure main, alors votre espérance de gain Ew (w pour "winning") est la suivante :

Ew = y(P + B) + (1 – y)P

Lorsque vous n'avez pas la meilleure main (tirage manqué), alors les choses se compliquent un peu. Soit vous bluffez (dans x% des cas), soit vous abandonnez votre main en checkant (dans 1-x% des cas).

Si vous décidez de bluffer, alors l'adversaire va soit payer votre mise (dans y% des cas), soit coucher sa main (dans 1-y% des cas). S'il paie, alors vous perdez votre mise. Le gain associé est alors négatif : -B. S'il se couche, vous gagnez le pot actuel : P. L'espérance de gain dans le cas d'un bluff dépend donc de ces deux cas de figures :

(1 – y)P – yB

Si vous checkez (vous abandonnez), alors vous ne gagnez rien et votre espérance de gain est nulle. Votre espérance de gain El (l pour "losing") avec une main sans valeur à l'abattage est donc :

El = (1 – x)0 + x[(1 – y)P – yB]

(Il suffit d'associer les probabilités correspondant aux cas de figures envisagés plus haut). Le premier membre est bien entendu égal à zéro et peut être supprimé. Il reste donc :

El = x[(1 – y)P – yB]

Si vous savez que l'adversaire ne va jamais payer (y=0), par exemple suite à une déconnexion, alors l'espérance de gain est la suivante :

El, y=0 = xP

Afin de maximiser votre profit, il suffit de choisir x = 1. Cela signifie que vous misez systématiquement.

Si vous savez en revanche que votre adversaire va payer systématiquement (y=1), alors l'espérance de gain est :

El, y=1 = – xB

Le jeu optimal dans cette situation consiste à choisir x = 0, c'est-à-dire que vous ne bluffez jamais (rappelez-vous l'expression : "ne jamais bluffer une calling station !").

Forts de la connaissance de la stratégie adverse, nous avons réussi à mettre en place les stratégies optimales pour deux cas particuliers. Il s'agit cependant de deux cas extrêmes, correspondant à ce qu'on appelle des "stratégies pures". Dans la réalité, les adversaires seront bien moins prévisibles. Ils paieront votre mise avec une probabilité se situant quelque part entre 0 et 1. Dans le langage de la théorie des jeux, c'est ce qu'on appelle une "stratégie mixte".

Stratégies optimales

Il est intéressant de noter que votre adversaire peut choisir une fréquence de call y, pour laquelle votre espérance de gain est indépendante de votre stratégie (indépendant de la valeur de x). Appelons cette fréquence de call yopt (valeur optimale pour y).

Le calcul de yopt est vraiment très simple. Ceux d'entre vous qui sont intéressés trouveront le détail du calcul en annexe. Quoi qu'il en soit, le résultat est le suivant :

yopt = P/(P + B)

Dans notre exemple, P = B = $100, et yopt = 1/2. Si votre adversaire paie exactement une fois sur deux, alors il joue de façon optimale contre vous. Si votre adversaire joue selon la stratégie y = yopt, alors votre gain est la suivant :

El,y=yopt = x[PB/(P + B) – PB/(P + B)] = 0

(Il suffit de remplacer yopt par sa valeur dans la formule générale que nous avions établie pour El). Étant donné que x n'apparaît pas dans cette formule (qui se résume à l'expression nulle), aucune stratégie (aucune valeur de x) ne vous permettra de faire varier votre gain.

Il est intéressant de voir que yopt dépend uniquement de la taille du pot et de la mise, et ne dépend pas, par exemple, de q. Cela montre que yopt ne correspond pas de manière absolue à la valeur optimale de y. Si par exemple q = 1, c'est-à-dire que votre adversaire est persuadé que vous avez la meilleure main, il ne va pas vous payer une fois sur deux. Il ne va tout simplement jamais payer. Il adopte dans ce cas une stratégie correspondant à y = 1. Nous verrons cependant par la suite, ce qui fait que l'on peut effectivement parler de valeur optimale pour yopt.

De manière analogue, nous pouvons choisir x de telle sorte que l'espérance de gain de l'adversaire soit toujours la même, indépendamment de la stratégie adoptée par celui-ci (indépendamment de y). Comme précédemment, nous appelons xopt cette valeur particulière de x. L'obtention de cette valeur est un peu plus compliquée. Sans entrer dans le détail, le résultat final est le suivant :

xopt = qB/[(1 – q)(P + B)]

(Si vous êtes intéressé par le détail du calcul : il s'agit tout d'abord de déterminer l'espérance de gain de l'adversaire, le calcul de la valeur de xopt étant ensuite relativement simple)

Si vous bluffez avec la fréquence xopt, alors l'espérance de gain de votre adversaire est la suivante (op vaut ici pour "opponent" : adversaire en anglais) :

Eop = (1 – q)P – qPB/(P + B)

y n'apparaissant pas dans cette formule, l'adversaire ne pourra pas modifier la valeur de son espérance de gain en jouant sur cette variable.

Dans notre exemple, nous avons P = B = $100 et q = 0,2. D'où xopt = 1/8. Si vous bluffez avec une probabilité de 1/8, alors l'adversaire ne peut pas exploiter la situation, même s'il est particulièrement attentif et connaît votre stratégie (s'il sait que x = xopt). Si vous vous écartez de cette valeur, que ce soit en bluffant plus souvent ou moins souvent, alors un adversaire attentif sera capable d'exploiter votre jeu en adoptant la stratégie adaptée. Contre un très bon joueur, xopt correspond donc à la stratégie optimale.

Avec quelle fréquence un adversaire aussi doué va-t-il payer votre mise ? La réponse est donnée par yopt. Si vous jouez suivant une stratégie x = xopt, il pourrait, en principe, choisir n'importe quelle stratégie. Comme nous l'avons vu précédemment, son espérance de gain ne s'en trouve pas modifiée. En revanche, si la stratégie qu'il choisit ne correspond pas à y = yopt et que vous vous en rendez compte, alors vous pouvez exploiter cette erreur en répliquant par une stratégie optimale. Si, par contre, il choisit y = yopt, alors vous ne pouvez pas exploiter sa stratégie : quelle que soit la stratégie que vous adoptez, votre espérance de gain sera la même. Vous devez toujours tenir compte du fait qu'un écart par rapport à la stratégie xopt donne la possibilité à votre adversaire de s'adapter et d'exploiter votre jeu.

Vous comprenez maintenant dans quelle mesure xopt et yopt sont des valeurs optimales : elles correspondent à des stratégies inexploitables. Dans le cadre de la théorie des jeux, on dit que ces deux stratégies (xopt, yopt) correspondent à un équilibre de Nash, concept qui trouve notamment son application en économie (oui, il s'agit bien du même Nash que le protagoniste du film "A Beautiful Mind", prix Nobel d'économie en 1994). Comme vous pouvez le constater, il joue également un rôle central dans le domaine du poker.

Espérance de gain dans quelques cas particuliers

Terminons avec deux tableaux contenant les espérances de gains pour quelques cas particuliers. Le premier tableau vous montre le gain pour votre tirage manqué (main perdante) :

Afin d'obtenir l'espérance de gain adverse à partir de la vôtre, on prend la valeur de signe opposé et on lui ajoute les 100$ qui se trouvent déjà dans le pot. (Le gain adverse correspond à votre perte nette, plus le pot actuel. Si vous gagnez le pot, alors votre perte nette est de -100$ et la somme est donc nulle : votre adversaire ne gagne rien. Ou encore, en prenant un autre cas très simple : si votre espérance de gain est nulle, alors votre tapis reste intact, identique à ce qu'il était lorsque vous êtes arrivé sur la river. Forcément, dans ce cas c'est votre adversaire qui récupère le pot. Dans le cadre de la théorie des jeux, on parle de jeu à somme non nulle).

Contrairement à vous, l'adversaire ne peut pas savoir si vous êtes en train de bluffer ou si vous misez pour la value. Le tableau suivant devrait donc être particulièrement instructif pour lui (et probablement pour vous également). Il montre votre espérance de gain pour une combinaison de mains gagnantes et de mains perdantes. On considère toujours que vous êtes en tête dans 20% des cas, et que vous êtes battu dans 80% des cas. Votre espérance de gain totale est qEw + (1-q)El. (De nouveau, l'espérance de gain de votre adversaire, Eop, s'obtient à partir de la vôtre en prenant la valeur de signe opposé, et en lui ajoutant le montant du pot actuel ).

En résumé

Lorsque l'on joue contre un bon adversaire, une stratégie basée sur l'équilibre de Nash, avec xopt, reste le meilleur choix. Dans ce cas, l'adversaire jouera en effet suivant une stratégie basée sur yopt. Dans le cas contraire, il commettra une erreur (et ne serait donc pas un si bon joueur que ça), que vous pourrez exploiter en utilisant la meilleure contre-stratégie en réponse. S'il a tendance à payer trop souvent, alors vous bluffez moins. S'il ne paie pas assez souvent, alors vous bluffez davantage. Si vous êtes capable de déterminer sa fréquence de call réelle, alors vous êtes capable de calculer dans quelle mesure vous devriez bluffer davantage (ou au contraire réduire votre fréquence de bluff), ce qui vous permet alors de maximiser votre espérance de gain.

Annexe

Si y = yopt, alors votre espérance de gain est la même, quelle que soit la valeur choisie pour x. Prenons tout d'abord x = 0.

El, x=0 = 0

Prenons x = 1. Nous obtenons alors pour El :

El, x=1 = (1 – yopt)P – yoptB

Étant donné que El, x=0 doit être égal à El, x=1, nous obtenons :

(1 – yopt)P – yoptB = 0

Ce qui nous donne :

(1 – yopt)P = yoptB

P – yoptP = yoptB

P = yopt(P + B)

Et enfin :

yopt = P/(P + B)

Examinons maintenant la main en adoptant le point de vue de l'adversaire. Nous appelons Eop l'espérance de gain de l'adversaire. Étant donné que, contrairement à vous, il ne sait pas si vous êtes en tête ou non, son espérance de gain dépend également de q, et s'avère donc un peu plus difficile à calculer :

Eop = – qyB + q(1 – y)0 + (1 – q)[xy(P + B) + x(1 – y)0 + (1 – x)P]

Le premier terme correspond au cas où vous misez avec la main gagnante, et où l'adversaire perd l'équivalent de votre mise en payant. Le deuxième terme correspond au cas où vous avez la meilleure main et où l'adversaire se couche, ce qui fait que vous ne gagnez rien, et ne perdez rien non plus. La suite de la formule correspond au cas où c'est l'adversaire qui est en tête.

Le premier terme de l'expression entre crochets correspond au cas où vous bluffez, et où l'adversaire, suite à un call, remporte le pot actuel ainsi que votre mise. Le deuxième terme correspond au cas où vous bluffez, et où l'adversaire se couche. Il ne gagne rien, et ne perd rien non plus. Le dernier terme correspond au cas où vous abandonnez tout simplement votre main, l'adversaire remportant donc le pot (soit en prenant le check behind, soit en misant, vous obligeant alors à vous coucher).

Après simplification, on obtient l'expression suivante :

Eop = (1 – q)[xy(P + B) + (1 – x)P] – qyB

Si l'adversaire sait que vous ne bluffez jamais (x = 0), quelle est alors la meilleure stratégie pour lui ? Bien entendu, elle consiste à ne jamais payer. Vous pouvez le voir en prenant x = 0 dans la formule précédente.

Eop x=0 = (1 – q)P– qyB

Afin de maximiser ce résultat, il suffit de prendre y = 0 (fold systématique).

Si l'adversaire sait, à l'inverse, que vous bluffez toujours (x = 1) lorsque vous êtes battu, alors la meilleure stratégie pour lui n'est pas aussi évidente. Pour x = 1, on obtient :

Eop x=1 = (1 – q)y(P + B) – qyB = y[(1 – q)(P + B) – qB]

Si 

(1 – q)(P + B) – qB > 0

alors y = 1 (call systématique) permet de maximiser l'espérance de gain adverse.

Si

(1 – q)(P + B) – qB < 0

alors il devrait au contraire choisir y = 0 (fold systématique).

(1 – q)(P + B) – qB < 0

revient à :

P + B < q(P + 2B)

ce qui nous donne au final :

q > (P + B)/(P + 2B)

Dans notre exemple, P = B = 100$. Si on a q > 2/3, alors l'adversaire devrait se coucher systématiquement (même s'il sait que vous misez toujours lorsque vous êtes battu), ce qui fait que de votre côté vous devriez bluffer systématiquement avec la main perdante. Si q < 2/3, alors l'adversaire devrait payer systématiquement (s'il sait que vous allez bluffer à chaque fois que vous êtes battu). Tenez compte du fait que cette valeur particulière de q dépend uniquement du montant du pot et de la mise.

Si on a x = xopt, alors l'espérance de gain de l'adversaire sera toujours la même, quelle que soit la valeur de y. Comme précédemment, nous commençons par prendre y = 0. La formule donnant Eop devient :

Eop y=0 = (1 – q)(1 – xopt)P

Prenons maintenant y = 1. Nous obtenons cette fois :

Eop y=1 = (1 – q)[ xopt (P + B) + (1 – xopt)P] – qB

Eop y=0 et Eop y=1 devant être égaux, nous obtenons :

(1 – q)(1 – xopt)P = (1 – q)[ xopt (P + B) + (1 – xopt)P] – qB

Ce qui est équivalent à

qB = (1 – q) xopt (P + B)

((1 – q)(1 – xopt)P apparaît des deux côtés de l'équation et peut donc être supprimé), ce qui nous donne :

xopt = qB/[(1 – q)(P + B)]

Lorsque l'on manipule des probabilités, il est d'usage d'écrire 0,2 au lieu de 20%, 0,5 au lieu de 50% etc. Conformément à cette représentation, la probabilité d'un événement impossible est de 0 (0%), alors que celle d'un événement se produisant à coup sûr est de 1 (100%). Toutes les autres probabilités sont comprises entre 0 et 1.