L'approche mathématique des tirages

Introduction

Dans cet article

• Tirages forts et tirages faibles
  
• Tirages ratés (busted draws)
  
• Améliorer son sens du jeu
  

Après avoir étudié le contenu de la section Gold, vous savez comment jouer les tirages forts ou faibles et que faire avec un busted draw sur la river. Les concepts de semi-bluff, bluff bet, balancing et cartes gratuites ne vous sont pas non plus étrangers.

Cet article va vous donner une vision un peu plus abstraite des tirages : l'approche purement mathématique. Celle-ci vous permettra de comprendre un peu mieux le No-Limit Hold'em et de perfectionner votre sens du jeu.

Définition

Pour commencer, vous devez bien entendu savoir quel est le cadre exact du terme tirage. Vous pouvez lire une nouvelle fois la définition ci-contre.

Traduit en termes mathématiques, cela signifie tout simplement que vous avez une main à tirage à partir du moment où vous avez plus de 0% d'equity.

Il n'existe pas de valeur maximale pour l'equity au-delà de laquelle on ne peut plus parler de tirage.

En faisant appel à votre intuition vous pourriez penser qu'on peut arrêter de parler de tirage à partir du moment où la main possède une equity supérieure à la valeur moyenne. Mais c'est faux.

Prenons deux exemples afin d'illustrer ceci :

Joueur 1: 7, 7
Joueur 2: 7, 5
Joueur 3: A, K

Flop: 2, 3, 4

Répartition de l'equity :
Joueur 1 (7, 7): 27.461%
Joueur 2 (7, 5): 22.595%
Joueur 3 (A, K): 49.943%

Comme vous pouvez le constater, le joueur 1 possède une equity inférieure à l'equity moyenne (33%), même si pour le moment c'est lui qui l'emporterait à l'abattage. Sa main ne correspond pas à la définition d'un tirage, mais tomberait dans cette catégorie si on fixait une valeur maximale pour l'equity d'une main à tirage.

Même problème avec le joueur 3. Pour le moment sa main ne l'emporte pas à l'abattage, mais il a une equity supérieure à la moyenne. Il possède cependant un tirage au flop.

Cet exemple pourrait sembler un peu artificiel, mais on peut également trouver une situation similaire lors d'une confrontation heads-up.

Joueur 1 (K, Q):Equity: 72.322%
Joueur 2 (2, 2): Equity: 27.678%

Flop: J, T, 5

Ces deux exemples montrent sans équivoque qu'il n'y a pas d'equity maximum permettant de définir une frontière entre les mains à tirage et les autres.

Signification des tirages en No-Limit Hold'em

C'est indéniable, le No-Limit Hold'em tire la plus grande partie de son charme du fait qu'il s'agit d'un jeu à tirages. La plupart des variantes de poker sont d'ailleurs des variantes à tirages, dans lesquelles essaient de façon ouverte ou fermée d'obtenir une meilleure main. La seule variante de poker populaire ne présentant pas de tirages serait le Chinese Poker.

Les tirages sont à la base de la notion d'equity qui donne une nouvelle dimension au jeu. Grâce à elle on se rend compte qu'il est possible de payer un montant 'x' avec la plus mauvaise main, du moment que le pot contient déjà un montant 'y' correspondant à du dead money.

Vous avez la possibilité d'anticiper des événements futurs, sur lesquels vous n'avez aucun effet, en tenant compte des changements qui peuvent venir bouleverser le rapport de force entre les mains des différents joueurs. C'est la base de concepts comme la cote implicite ou la cote implicite inversée.

Vous voyez l'importance des tirages dans le jeu. Ce sont eux qui font que la force d'une main peut connaître de tels changements et que vous devez vous adapter en permanence au nouveau contexte. C'est là que les qualités du joueur font la différence.

Comprendre correctement les concepts suivants signifie comprendre le poker.

Le retirage

L'equity vous indique le pourcentage de chances de gagner à l'abattage avec un éventail x contre un éventail y, les éventails x et y étant composés d'au moins une main.

Le programme Equilator vous permet d'effectuer cette opération en quelques secondes pour chaque situation et vous donne une approximation de votre equity réelle.

Cette equity vous donne la possibilité de payer un bet alors que vous n'êtes pas favori, du moment que la cote du pot est suffisamment élevée. Ces concepts vous ont été présentés dès le niveau Bronze et vous avez également appris des méthodes vous permettant de calculer votre equity contre différentes mains à partir des outs.

Cette question n'a trouvé de réponse dans aucun des articles précédents et va être traitée mathématiquement dans ce qui suit.

Joueur 1: A, K
Joueur 2: Q, J

Tableau : K, 7, 2

Répartition de l'equity:
Joueur 1 (A, K): 61.4%
Joueur 2 (Q, J): 38.6%

Le joueur 2 peut encore gagner avec une couleur, double paire, trips ou quinte.

Joueur 1: K, K
Joueur 2: Q, J

Tableau : K, 7, 2

Répartition de l'equity:
Joueur 1 (K, K): 73.5%
Joueur 2 (Q, J): 26.5%

Dans l'exemple 4, le joueur 1 a un retirage pour un full house. Ceci se traduit par une légère augmentation d'equity par rapport à l'exemple 3. On ne peut cependant pas mettre cette augmentation d'equity au seul crédit du retirage qui est venu s'ajouter, étant donné que le joueur 2 possède un tirage totalement différent.

Dans l'exemple 3, le joueur 2 a encore la possibilité de toucher double paire ou trips runner-runner, ce qui n'est plus possible dans l'exemple 4. Une comparaison dont le seul but serait d'observer l'effet du retirage serait malvenue.

Cependant, un peu d'intuition vous permettra d'exploiter l'ensemble des fonctionnalités de l'Equilator. Ce programme vous donne la possibilité de saisir des dead cards, qui ne seront pas prises en compte dans le calcul d'equity. Elles seront traitées comme si elles avaient été retirées du jeu. Grâce à cette petite astuce, vous pouvez maintenant comparer deux situations de jeu du point de vue de l'equity, en faisant seulement apparaître l'effet du retirage.

Dans l'exemple 3, les dead cards sont les suivantes :
Q, Q, Q, J, J, J, K, A, A, A

Dans l'exemple 4, les dead cards sont les suivantes :
Q, Q, Q, J, J, J, A, A, A, A

Exemple 3:

Tableau : K, 7, 2

Joueur 1 (A, K): 57.98%
Joueur 2 (Q, J): 42.02%

EXEMPLE 4:

Tableau : K, 7, 2

Joueur 1 (K, K): 73.78%
Joueur 2 (Q, J): 26.22%

Nous avons donc fait en sorte que le jeu contienne exactement 35 cartes et que les outs pour le joueur 2 soient exactement les même dans les deux cas de figures. Dans l'exemple 4, le joueur 1 possède uniquement un retirage pour full/carré.

L'equity se déplace de 15.8 points en faveur du joueur 1, soit une augmentation de 27.25%.

Mais qu'apporte exactement ce retirage au joueur 1 ?

Au turn, il a des outs pour un 7, un 2 et le dernier Roi. Cela fait 7 outs au total. S'il ne touche pas au turn, il a alors 10 outs jusqu'à la river.

La probabilité que le joueur 1 touche son retirage est donc :

1 - ((28/35) * 24/34)) = 1 - (48/85) = 43.53%

La probabilité que le joueur 2 touche sa couleur :

1 - ((27/35) * (26/34)) = 1- (351/595) = 41.01%

Cela signifie donc que dans 17.85% des cas le joueur 2 touche sa couleur mais perd tout de même à l'abattage contre un full ou un carré.

Vous voyez qu'un retirage entraîne toujours une augmentation d'equity. Plus le tirage adverse est fort, plus les effets d'un petit retirage sont visibles. Bien entendu la force de votre retirage influe également sur la hausse de votre equity. Un retirage au flop pour un full ou un carré représente le retirage le plus fort possible et a donc les conséquences les plus importantes.

Les blocking cards

En plus des retirages, les blocking cards représentent une autre possibilité d'affaiblir un tirage adverse. Le fait de posséder une carte qui compte comme out pour le tirage adverse diminue les chances que ce tirage se réalise.

Il convient donc de se demander quelle est l'importance réelle d'une telle carte dans votre main.

Examinez les exemples suivants afin d'observer les effets des blocking cards.

Tableau : K, 7, 2

Joueur 1 (7, 4): 59.66%
Joueur 2 (Q, J): 40.34%

Tableau : K, 7, 2

Joueur 1 (7, 4): 66.72%
Joueur 2 (Q, J): 33.28%

Ici le joueur 1 bénéficie d'un saut d'equity de 7.06 points, soit une augmentation de 11.83% de son equity grâce à ses deux blocking cards.

Bien entendu, plus le pourcentage d'out bloqués est élevé, mieux c'est pour vous. Si votre adversaire possède par exemple un gutshot avec une overcard et que vous avez une ou deux blocking cards alors le saut d'equity sera plus important que si votre adversaire possède un tirage couleur et deux overcards et que vous ne bloquez qu'une seule carte de la couleur.

Pot commited avec un tirage ?

Quelques joueurs ne savent jamais s'ils veulent se commit ou non avec leurs mains à tirage. Certains joueurs ne font que survoler le sujet, d'autres n'en connaissent même pas l'existence. Ce chapitre va vous montrer ce qu'il en est des commiting raises pour le jeu avec les tirages.

On dit que vous êtes pot commited lorsque, suite à une action, votre cote en cas de push adverse est telle que EV(Call) > EV(Fold).

Un exemple classique est celui du 4-bet préflop qui rend le joueur pot commited et l'oblige à payer systématiquement un push adverse.

1$/2$ No-Limit Hold'em (6 handed)

Hero $200
MP $130

Preflop: Hero is UTG with A, K
Hero raises to $7, MP reraises to $25, 4 folds, Hero reraises to $70, MP reraises to 130 (All-In)

Si vous donnez à votre adversaire un éventail tight comme par exemple AK, JJ+, vous avez alors une equity de 42.14%.

Étant donné que l'adversaire se trouve clairement dans une situation raise-or-fold, vous pouvez laisser de côté le calcul compliqué de l'EV pour les scénarios possibles au flop et partir du principe que votre adversaire ne va jamais se contenter de payer votre 4-bet.

On peut s'intéresser tout d'abord aux deux actions prises séparément :

EV(All-In Call) = 0.4214 * $203 - (1-0.4214) * $60 = $85.5442 - $34.716 = $50.8282
EV(4-Bet) = f * $35 + (1-f) * (-$63)

Le calcul de l'EV globale pour ces deux actions se présente ainsi :

EV(4-Bet + All-In Call) = f * $35 + (1-f) * (EV(Call en étant commited) - $63)
EV(4-Bet + All-In Call) = f * $35 + (1-f) * ((0.4214 * $203 - (1-0.4214) * $60) - $63)
EV(4-Bet + All-In Call) = f * $35 + (1-f) * ($50.8282 - $63)

Afin de calculer si la séquence d'actions est +EV ou -EV vous devez partir d'une fold equity donnée.

Avec f = 0.3 on aurait :

EV(4-Bet) = 0.3 * $35 + (1-0.3) * (-$63) = $10.5 - $44.1 = -$33.6

EV(4-Bet + All-In Call) = 0.3 * $35 + (1-0.3) * ($50.8282 - $63)
EV(4-Bet + All-In Call) = $10.5 - $8.52 = $1.97974

Pris séparément, le 4-bet est EV- et le All-In qui s'en suit, du fait que vous êtes pot commited après le 4-bet, est EV+. Il n'est cependant pas possible d'ajouter les deux valeurs pour obtenir l'EV correspondant à l'enchaînement des deux actions.

Si votre adversaire se couche dans 30% des cas contre votre 4-bet et push dans 70% des cas, vous voyez que le 4-Bet suivi du All-In Call s'accompagne d'une EV de $1.97974 ce qui rend la situation EV+.

Cet exemple ne montre cependant pas tout à fait ce qu'est un commiting raise. Pour ce faire nous allons nous intéresser à un exemple un peu plus explicite qui vous permettra de voir où se situe la force du commiting raise.

1$/2$ No-Limit Hold'em (6 handed)

Hero $200
CO $129

Preflop: Hero is BB with T, 9
2 folds, CO raises to $7, 2 folds, Hero calls.

Flop: ($15) K, Q, 2
Hero checks, CO bets $12, Hero raises to $32, CO reraises to $122 (All-In)

Vous avez tirage couleur + gutshot, soit 12 outs non décomptés. Puisque votre couleur n'est pas très haute et que votre gutshot correspond à une idiot-end, vous devriez retirer 2 outs en tout. Il vous reste 10 outs, ce qui correspond à une equity de 40%. Vous avez donc besoin d'une cote du pot de 1:1.5 pour un call EV+.

Dans l'exemple vous devez payer 90 $ pour un pot de 169 $, ce qui correspond à une cote du pot de 1:1.87. Un call est donc EV+. On peut donc considérer que vous êtes pot commited suite à votre check/raise au flop si jamais votre adversaire push all-in.

La question qui se pose ici est de savoir si le fait de check/raise et de se retrouver pot commited était vraiment une bonne idée.

On entend par là le fait de savoir si la ligne check-raise/call représente une suite d'actions EV+. Afin de s'en assurer vous pouvez essayer, comme dans l'exemple du 4-bet, de calculer l'EV de la séquence d'actions.

Hypothèses :

Vous avez 40% d'equity contre l'éventail de push adverse au flop.
Soit f la fold equity.
Soit c la probabilité que l'adversaire paye le check/raise.

EV(All-In Call) = 0.4 * $169 - 0.6 * $90 = +$13.6
EV(Adversaire paye le c/r) = EV(Postflop)

EV(post-flop) est > 0 étant donné qu'après un call adverse vous pouvez encore jouer c/f turn et jouer ainsi un ligne break-even. Et puisque vous êtes un bon joueur, on peut partir du principe que vous êtes capable d'opter pour une ligne EV+ en fonction de l'adversaire et de la texture du tableau. On a donc EV(Postflop) > 0.

EV(c/r Flop) = f * $27 + (1-f) * -$32

EV(Séquence d'actions) = f * $27 + (1-f) * (c * (EV(Postflop)-$32) + (1-c) * (EV(All-In Call) -$32))
EV(Séquence d'actions) > f * $27 + (1-f) * (c * (-$32) + (1-c) * ($13.6 -$32)

Valeurs possibles pour c et f :

c = 0.6, f = 0.2

EV(Séquence d'actions) > 0.2 * $27 + (1-0.2) * (0.6 *(-$32) + (1-0.6) * ($13.6 -$32))
EV(Séquence d'actions) > $5.4 + 0.8 * ((-$19.2) - $7.36)
EV(Séquence d'actions) > $5.4 - $21.248 = -$15.848

Afin de généraliser l'ensemble de l'équation, nous introduisons les variables suivantes :

• Fold equity : f
• Potsize : p
• Betsize : b
• Probabilité que l'adversaire call le c/r : c
• EV(All-In Call) : y
• EV(Postflop) : x

Voici ce que cela donne :

EV(Séquence d'actions) > f * p + (1-f) * (c * (x-b) + (1-c) * (y-b)

Si jamais vous obtenez une EV(Séquence d'actions) négative, vous pouvez déterminer quelle devrait être l'EV de votre ligne post-flop suite à un call adverse pour réussir à obtenir une EV+ pour la séquence d'action :

x > (f * ((1-c) * y - p - b) - (1-c) * y + b)/(c(1-f))

Dans cet exemple vous obtenez x > $33.016. Cela signifie qu'avec cette fréquence de call et de push chez l'adversaire, vous devez réussir à faire en sorte que votre ligne jusqu'au turn génère une EV de cette valeur pour que le check/raise corresponde à un move EV+.

Même exemple mais avec des valeurs un peu plus réalistes pour les fréquences de call et de push adverses :

c = 0.25, f = 0.55

EV(Séquence d'actions) > 0.55 * $27 + (1-0.55) * (0.25 *(-$32) + (1-0.25) * ($13.6 -$32))
EV(Séquence d'actions) > $14.85 + 0.45 * ((-$8) -13.8)
EV(Séquence d'actions) > $14.85 - $9.81 = +$5.04

Vous voyez qu'avec ces valeurs votre check/raise est EV+ même si vous jouez systématiquement check/fold turn suite au call adverse (ce qui est bien entendu irréaliste car vous n'allez pas coucher une couleur).

Savoir si le check/raise qui vous rend pot commited représente la meilleure ligne est une autre question, car il faudrait alors calculer l'EV de toutes les lignes possibles pour pouvoir comparer.

Est-ce que le commiting raise est un bon choix dans cet exemple ? Que nous disent tous ces calculs ?

Nous avons constaté que contre les fréquences de call et de push adaptées, le commiting raise peut s'avérer EV+. Un examen plus attentif de cet exemple devrait cependant vous montrer qu'un push direct serait sans doute la meilleure ligne. Sans entrer dans de nouveaux calculs, cette idée vient du fait que le check-raise/call donne la possibilité à l'adversaire de pusher avec de meilleurs tirages. Et, malheureusement, votre equity contre de meilleurs tirages est bien pire que contre des mains faites.

Si, à partir de ce raisonnement, vous décidiez de pusher directement au flop en effectuant un overbet, l'adversaire aurait la possibilité de coucher des tirages couleur supérieurs au vôtre, ce qui aurait pour seul effet de réduire votre equity face à l'éventail de call adverse. Si l'on modifie quelque peu l'exemple en vous donnant le tirage couleur max et un gutshot, alors votre equity augmente si l'adversaire est prêt à pusher all-in également avec des tirages, étant donné que vous les dominez.

Le but du commiting raise est d'influencer l'éventail adverse de telle sorte que votre equity augmente par rapport à un push direct de votre part. Cette argumentation part du principe que vous générez en proportion la même fold equity, mais jouez contre deux éventails différents.

Remarque :

Le problème de la transparence de votre main a complètement été laissé de côté par l'approche mathématique. Si vous jouez cette ligne de façon trop ouverte, votre adversaire peut gagner les informations suivantes :

• Push direct = Tirage faible
• Commiting raise = Tirage max + Monster

Ces reads adverses peuvent modifier les fréquences de call ou de push de telle manière que vous avez ensuite besoin d'une EV bien plus élevée post-flop pour que le commiting raise puisse être EV+.

Quelle est l'importance du balancing de votre propre éventail ?

Cette question revient souvent lorsqu'on parle du jeu avec les tirages. Est-ce vraiment grave que l'adversaire sache que votre éventail contient 100% de tirages, ou bien cette information ne peut finalement pas lui servir à grand chose ?

Afin d'analyser cette question d'un point vu théorique, nous allons prendre l'exemple suivant :

Vous êtes en heads-up au turn avec la position et l'adversaire mise avant vous.

• Éventail a) Vous n'avez que des tirages et avez une equity de 25% contre l'éventail adverse.
• Éventail b) Vous avez quelques mains max et des tirages faibles, avec une equity de 25% contre l'éventail adverse.

Lequel de ces deux éventails est préférable pour vous et où réside la différence ? En terme de showdown value vos deux éventails ont exactement la même espérance. Si vous pushez avec la totalité de votre éventail et si votre adversaire call avec la totalité de son éventail alors vous gagnez à l'abattage dans 25% des cas. Au premier coup d'oeil on ne voit donc pas de grosse différence.

Si vous essayez maintenant de jouer de façon optimale contre l'éventail adverse, vous vous rendez compte que le premier scénario limite grandement vos possibilités. Le jeu optimal serait de payer au turn en vous basant sur la cote et les outs et de jouer ensuite bet/raise river. Si vous touchez, alors votre bet/raise est un value bet. Si votre tirage ne rentre pas, vous bluffez alors de façon optimale avec vos busted draws, ce qui fera douter votre adversaire et pourra l'amener à payer vos value raises. Le problème est que vous devez attendre la river avant d'obliger l'adversaire à prendre une décision difficile le conduisant à commettre des erreurs.

Si vous avez un éventail polarisé, composé de tirages faibles et de mains max, alors vous pouvez devenir actif dès le turn et relancer pour la value avec les mains légitimes tout en assurant un balancing via des semi-bluffs. De plus, vous avez toujours la possibilité de payer le bet turn pour ensuite miser sur la river pour la value avec vos mains max ainsi qu'avec vos tirages réalisés, le balancing étant assuré par des bluff raises river.

Un éventail aléatoirement réparti vous donne davantage de possibilités et facilite le balancing dans les différentes situations. La raison est que vous pouvez représenter différents types de mains.

Si votre adversaire est capable de réduire votre éventail à un type de mains bien défini, il lui sera plus facile de jouer correctement contre cet éventail, car il vous sera plus difficile de balancer les différentes lignes. De façon générale vous obtiendrez toujours une EV plus élevée avec un éventail réparti aléatoirement.

Semi-bluffing et fréquence de bluff

Le semi-bluff est traité en détail dans un article de la section Gold qui lui est consacré. Vous allez trouver ici une approche mathématique supplémentaire qui va vous permettre d'analyser le jeu avec les semi-bluffs.

Nous allons partir d'un semi-bluff reposant sur un all-in.

Lorsque vous jouez un semi-bluff vous avez besoin des informations suivantes afin de calculer votre EV :

• Fold equity obtenue : f
• Equity vs. éventail de call adverse : E
• Potsize : p
• Betsize (votre mise) : b

EV(All-In Semibluff) = f * p + (1-f) * (E * (p+b) - (1-E) * b)

Cette formule est construite de telle sorte qu'on calcule d'abord le gain en cas de fold adverse avant de l'ajouter au gain/perte en cas de call adverse. Il apparaît clairement que vous allez toujours réaliser un profit en cas de fold adverse suite à votre semi-bluff all-in, puisque l'adversaire vous abandonne le pot. L'EV négative ne peut provenir que du cas où l'adversaire call votre all-in. Et comme par hasard, votre equity contre l'éventail adverse joue un rôle important dans le fait de savoir si vous allez réaliser des gains ou des pertes.

Le membre de l'équation qui nous intéresse est donc le suivant :

EV(Adversaire call) = E * p - (1-E) * b

Si ce terme est supérieur à 0, alors vous allez réaliser un profit. Pour l'intérêt de l'analyse vous exprimez ceci en fonction du rapport entre la taille du pot et la taille du bet, ce qui fait apparaître la relation existant avec l'equity.

0 < E * p - (1-E) * b
(1-E) * b < E * p
b/p < E / (1-E)

Betsize/Potsize et equity minimum requise :

Vous voyez donc que plus l'equity est élevée, plus le rapport b/p suite à un all-in de semi-bluff peut être également élevé, tout en garantissant encore un profit.

Si votre évaluation de l'éventail de call adverse est si précise que vous obtenez une estimation optimale de votre equity, alors vous pouvez réaliser des semi-bluffs pratiquement parfaits en vous basant sur la table ci-dessus. Vous serez forcément gagnant. Et n'oubliez pas : pour qu'un semi-bluff soit EV+ il n'est pas nécessaire que les deux termes de l'équation soient positifs. Il suffit amplement que la somme deux termes donne une espérance de gain positive.

Le cas où le semi-bluff ne correspond pas à un all-in est un peu plus complexe.

L'approche mathématique devient alors vraiment compliquée, étant donné qu'il faut émettre un grand nombre d'hypothèses sur les actions possibles au-delà du flop. Si vous avez un tirage pour la nut, vous pouvez vous baser sur les raisonnements du commiting raise afin d'élaborer une solution pour la situation de jeu.

Avec les tirages faibles c'est encore plus difficile car dans ce cas les possibilités post-flop sont bien plus nombreuses. Vous pouvez :

• Coucher votre main
• Profiter de bonnes cartes pour bluffer en représentant d'autres mains/ tirages

Une analyse mathématique simplifiée n'est pas possible.

Un problème qui peut souvent se produire dans le cas des semi-bluffs lorsque votre bet ne vous commit pas, est que vous risquez d'être relancé à votre tour et de devoir coucher votre main. C'est toujours rageant car sans ce semi-bluff vous auriez pu voir une carte supplémentaire, alors que vous êtes maintenant obligé d'abandonner la totalité de votre equity sans pouvoir voir la carte suivante.

Voici une approche mathématique visant à éclaircir un peu la question à travers un exemple.

1$/2$ No-Limit Hold'em (6 handed)

Preflop: Hero is Button with 5, 4
3 folds, Hero raises to $7, SB folds, BB calls.

Flop: ($15) K, T, 2
BB checks, Hero bets $12, BB calls.

Turn: ($39) A
BB checks, Hero ?

Devriez-vous semi-bluffer avec votre gutshot ou plutôt prendre le check/behind en espérant toucher la quinte ? Si vous optez pour le check/behind vous ne pouvez continuer à jouer que si vous touchez la quinte.

Pas si évident de répondre à cette question, étant donné qu'aucune indication sur la taille des tapis n'a été donnée. Imaginons que vous étiez relativement deep au début de la main :

Hero $409
BB $500

Vos possibilités sont, soit un potsize bet au turn, soit un check/behind.

Afin de passer à l'analyse mathématique, vous partez du principe que l'adversaire va jouer check/raise all-in turn dans 1/3 des cas et fold dans 2/3 des cas. En cas de check/raise de sa part vous couchez bien entendu votre main.

L'EV du bluff peut être calculée très facilement :

EV(Bluff) = 2/3 * $39 - 1/3 * $39= +$13

Le semi-bluff est donc EV+. Qu'en est-il du check/behind ? Si vous touchez votre quinte, vous pouvez partir du principe que vous allez réussir à stacker votre adversaire dans x% des cas. Votre cote pour toucher la quinte est de 4:44 ->1:11.

EV(check) = 10/11 * 0 + 1/11 * (x * $429 + (1-x) * $39)

Si vous réussissez à stacker votre adversaire dans 33% des cas, alors l'EV de votre check ressemble à ça :

EV(check) = 10/11 * 0 + 1/11 * (1/3 * $429 + (1-1/3) * $39)
EV(check) = 0 + 1/11 * 1/3 * $429 + 1/11 * 2/3 * $39
EV(check) = 0 + $13 + $2.36 = +$15.36

Dans cette situation le check présente une EV supérieure à celle du semi-bluff, même si ce dernier est également EV+. En manipulant la formule vous pouvez voir facilement quelle doit être la probabilité de stacker l'adversaire pour que EV(check) > EV(Semibluff).

13 < 1/11 *429x + 1/11 * 42.9 *(1-x)
13 < 39x + 39/11 - 39/(11x)
13 < 39x + 3.54 - 3.54x
9.45 < 35.46x
x> 9.45/35.46
x > 0.2667 -> 27%

Si vous stackez l'adversaire dans plus de 27% des cas après avoir touché votre quinte, alors un check est plus profitable qu'un semi-bluff.

Dans cet exemple l'option du check/behind a été envisagée de façon un peu pessimiste en comparaison avec la réalité, étant donné que vous pouvez tout à fait toucher une paire sur la river et remporter le pot après un nouveau check/behind. La possibilité d'un bluff river a également été laissée de côté.

Reste la question de départ, qui était de savoir dans quels cas vous devriez accepter de courir le risque d'un check/raise adverse qui vous amènerait à coucher votre main. Pour y répondre vous devez tenir compte de tous les facteurs possibles qui interviennent dans la décision :

• La probabilité que le semi-bluff réussisse.
• La probabilité que votre adversaire vous oblige à coucher votre main via un check/raise.
• La valeur de votre main si jamais vous ne touchez pas votre tirage.
• La probabilité que votre tirage se réalise.
• Votre cote implicite si vous touchez finalement votre main.

Tous ces facteurs sont étroitement liés les uns aux autres et une analyse au cas par cas n'a donc pas vraiment de sens. Vous pouvez cependant suivre la recommandation suivante :

Il faut bien entendu définir ce qu'on entend par value d'une main à tirage et ce qui fait que cette value est plus ou moins élevée.

• Votre tirage a de nombreux outs.
• Les tapis effectifs sont élevés.
• Votre adversaire est une calling station.
• Vous tirez pour la nut.

Vous pouvez constater que les trois derniers facteurs qui augmentent la value d'un tirage dopent particulièrement la cote implicite, qui prend toute son importance si vous réussiez à voir la river et que vous  espérez de l'action.

Cela va sans doute à l'encontre de votre intuition car vous pouvez penser que si vous avez de la value, alors vous pouvez miser pour la value et faire grossir le pot pour un value bet encore plus gros si vous touchez sur la river.

Mais ce n'est pas tout à fait ainsi. Il suffit de penser que dans le calcul de l'EV d'un semi-bluff, la value ne joue aucun rôle. Le gain associé ne provient que des folds adverses. La value joue un rôle important en ce qui concerne le check/behind, car plus vous avez de value, plus vous pouvez générer de gains sur la river et l'EV du check est donc d'autant plus élevée.

Comparez les deux textures suivantes :

Tableau  1: Q, 9, 9, 5
Tableau  2: Q, 9, 5, 2

Dans les deux cas vous avez J, T

Lequel de ces deux tableaux a votre préférence pour un behind/check ? Et pour un semi-bluff ?

Si vous reprenez les arguments exposés plus haut, votre cote implicite sur le premier tableau est inférieure et votre tirage a donc une value inférieure. Vous tirez pour une quinte alors qu'un tirage couleur ou un full sont envisageables. Cela signifie que vous allez parfois toucher votre tirage mais quand même perdre un gros pot sur la river contre votre adversaire qui a une meilleure main.

C'est pourquoi l'EV d'un check diminue sur ce tableau. Vos n'avez pas ce problème avec le deuxième tableau. Vous tirez pour la nut et vous n'avez pas à craindre une meilleure main sur la river. Le premier tableau est donc plus indiqué pour un semi-bluff avec votre OESD que le second.

Plus votre tirage est faible, moins cela vous pose problème de devoir coucher votre main en cas de check/raise car vous abandonnez moins de value.

Un autre concept dont il faut tenir compte pour les tirages faibles ou forts quand vous jouez un semi-bluff non-All-in : "la pression des mises à venir".

Un semi-bluff avec un tapis plus élevé pourra vous permettre d'amener l'adversaire à jouer de façon plus weak et vous donnera plus de fold equity. Avec une main marginale, l'adversaire se trouve en effet souvent dans une situation qui s'accompagne de cote implicite inversée.

1$/2$ No-Limit Hold'em (6 handed)

Vous jouez une partie en live, vous êtes au turn et vous ne vous rappelez plus de l'action qui a précédé. Vous ne vous souvenez pas non plus exactement de votre main mais préférez ne pas regarder de nouveau de peur de donner un read. La seule chose dont vous êtes sûr c'est que vous avez une main qui ne justifie pas un value bet.

Turn: J, T, 7, 6

L'adversaire checke avant et vous envisagez maintenant une mise à hauteur du pot. Deux scénarios possibles :

• Une telle mise vous mettrait all-in.
• Votre tapis restant après une mise au turn représenterait encore quatre fois le pot.

Quel est le scénario qui vous permet d'exercer le plus de pression si votre adversaire a une main comme KJ, KT, voire une main encore plus faible ?

La décision sera un peu plus difficile pour l'adversaire si vous avez encore du tapis, bien qu'il ait la même main dans les deux cas. Votre tapis restant l'oblige à se demander s'il doit payer un bet turn et comment il doit réagir en cas de nouveau bet sur la river. Pratiquement toutes cartes lui poseront problème sur la river à moins qu'il ne touche double paire ou brelan.

Dans le premier cas il se verrait offrir une cote de 2:1 pour un call et il paierait sans doute sans trop hésiter avec une top-paire. Dans le second cas il a un problème. Il doit non seulement payer le bet turn, mais également prévoir des coûts supplémentaires jusqu'à l'abattage ce qui représente pour lui de la cote implicite inversée.

Étant donné qu'il vous a identifié comment un étant un très bon joueur, capable de bluffer sur la river avec des busted draws avec une fréquence optimale, il lui est très difficile de savoir s'il doit payer ou non dans cette situation.

Vous voyez que lorsque de nombreux tirages forts et faibles sont possibles, votre main passe au second plan (ici vous pourriez avoir QJ, 88, 85, etc.).L'important est que vous notiez à quel point les deux prises de décision adverses diffèrent, alors qu'il s'agit à chaque fois d'une top-paire. Avec votre profondeur de tapis vous amenez l'adversaire à se demander s'il va payer au turn et s'il pourra encore payer à la river où pratiquement toutes les cartes seront mauvaises pour lui sans qu'il y ait de réelle possibilité que sa main s'améliore vraiment.

Dans le premier cas il peut payer assez facilement avec une cote de 2:1 étant donné qu'il ne doit pas craindre de mises ultérieures. Sa cote implicite inversée est donnée par la formule suivante :

(Potsizebet Turn + Montant x) : (Potsizbet Turn + Montant x + Potsize turn)

Si vous checkez la river, alors la cote est identique au cas du push avec 1:2. Si au contraire vous misez all-in sur la river, elle est alors de 5:6. C'est une énorme différence et une situation vraiment désagréable pour l'adversaire.

La leçon que vous pouvez en tirer est qu'il est toujours préférable de miser de nouveau au turn lorsque vous avez encore une certaine profondeur de tapis à disposition et pensez que l'adversaire peut coucher sa main contre un montant x au turn à cause de la pression des mises ultérieures, alors qu'il serait prêt à payer x sur la river suite à check/behind de votre part, étant donné qu'il n'a plus besoin de craindre la cote implicite inversée.

Fréquence de bluff

Ce terme a été évoqué plusieurs fois au cours de cet article et il est donc important qu'il soit clair à 100%.

Lorsque vous bluffez avec un busted draw, avec une equity proche de zéro, il s'agit toujours de mettre l'adversaire dans une situation où il ne sait pas s'il doit payer ou non, car il doit également craindre de se retrouver trop souvent à payer un value bet. Si vous êtes capable de trouver le bon équilibre entre les bluff bets et les value bets, alors l'adversaire ne peut pas tirer partie de votre stratégie.

Afin de calculer cette fréquence de bluff, vous avez besoin des paramètres suivants :

• La taille du pot : p
• La taille de votre mise : b

À partir de ces deux paramètres on obtient alors la fréquence B qui s'exprime sous cette forme :

B = b / (b + p)

Si vous êtes capable d'appliquer cette fréquence à votre éventail, votre adversaire ne sait pas s'il doit payer un bet river ou non. Il s'agit pour lui d'une situation où EV(Call) = EV(Fold).

En plus de faire douter votre adversaire, un bluff a également pour but de réaliser un profit direct. Afin de le calculer, il vous suffit de faire une hypothèse sur la fréquence avec laquelle votre adversaire va se coucher. Il s'agit d'estimer la fold equity.

EV(Bluff) = f * p - (1-f) * b
0 > f * p - (1-f) * b
f > b/(b+p)

Si l'adversaire se couche avec une fréquence supérieure à b / (b + p), alors un bluff représente un profit pour vous. Si l'adversaire se couche moins souvent, ce sont alors vos value bets qui vont générer un profit. Votre adversaire ne peut en aucun cas s'adapter à une fréquence de bluff parfaite.

D'un point de vue mathématique, le bluff est donc vraiment facile à traiter, tout l'art résidant dans la bonne mise en pratique. Vous ne serez en effet jamais capable d'avoir une vue d'ensemble de vos éventails suffisamment précise pour savoir la proportion de mains avec lesquelles bluffer afin de balancer parfaitement vos value bets. Même chose pour l'estimation de la fold equity obtenue, qui est spécifique à chaque adversaire et n'est en aucun cas proportionnelle à la taille des mises.

En résumé

Afin de bien intégrer la mise en pratique des concepts présentés ici, il vous est fortement recommandé de revenir sur les articles de la section Gold. Cet article devrait pour sa part vous avoir permis de mieux comprendre l'aspect mathématique qui se cache derrière, tout en améliorant votre compréhension du No-Limit Hold'em en général.

Il vous est pratiquement impossible d'effectuer des calculs d'espérance de gains en cours de jeu, ce qui n'est d'ailleurs pas nécessaire. Il vous suffit d'étudier le sujet en dehors des tables afin d'acquérir une certaine intuition qui vous aidera ensuite à prendre les bonnes décisions le moment venu.