Push or Fold en Heads-up

1.1. Introduction

On imagine la situation suivante :

Après de longues heures de lutte acharnée, Hero atteint enfin le heads-up final d'un MTT. Il est certes désormais assuré d'un gain relativement conséquent, mais la première place reste bien mieux dotée que la deuxième. C'est pourquoi, au comble de l'excitation, il essaye les mains toutes tremblantes de ne pas commettre d'erreur.

Hero est au small blind et il reçoit A7. Les blinds sont à 5.000/10.000. Hero a 260.000 jetons, et son adversaire est un joueur d'expérience, particulièrement rusé, qui dispose d'un tapis à peu près équivalent au sien avec 250.000 jetons.

Que faire ?

Hero considère qu'il a une bonne main, mais il a peur de se trouver face à un meilleur As ou à une pocket paire. Il décide donc de ne pas engager tout son tapis et relance à 40.000 avec l'idée de se coucher en cas de reraise all-in adverse.

Son adversaire se contente cependant de payer et un flop T J 9 est retourné. Pas vraiment ce que Hero avait espéré. L'adversaire checke, Hero fait son contibet à 50.000 et Villain se met alors AI. Hero ne réfléchit pas longtemps et se couche.

Sa situation est désormais bien moins brillante (170.000 jetons contre 340.000) et son adversaire expérimenté va pouvoir en profiter en lui mettant la pression. Hero s'en veut d'avoir relancé. Est-ce qu'un push n'aurait pas été meilleur ici ? Comme nous le verrons plus tard : si, en effet. Un push aurait même été encore EV+ avec un tapis effectif nettement plus élevé, alors qu'un raise place Hero dans une situation compliquée au flop si jamais il ne touche pas son As.

1.2. Objectif de cet article

De façon générale, le jeu en heads-up dépend grandement du niveau des blinds comparé à la taille du tapis :

Situation 1 :
Si l'un des adversaires n'a pas plus de 5-10BB de tapis, alors une simple relance n'a généralement pas de sens. On devrait pusher directement all-in ou bien se coucher. On le voit bien dans les vidéos de coaching de Morgoth pour les SnG. Son éventail de push va alors, suivant l'adversaire, de Ax, Kx, Qx jusqu'à any two.

Il est relativement difficile, de donner des règles précises indiquant quand on doit pusher, car cela dépend fortement de l'éventail de call adverse, qui lui-même dépend grandement de ce qui s'est passé au préalable dans le jeu.

Avec des blinds aussi élevés, feront bien entendu parti de cet éventail les As et les pocket paires, mais encore bien d'autres mains. D'après moi, on développe un assez bon feeling pour ce genre de situation après avoir joué un bon nombre de heads-up, et un push pourra difficilement être complètement erroné, contrairement à ce qui pourra se passer dans la situation 2.

Une stratégie nous est proposée avec le Sage System. Les décisions y sont prises à partir de règles strictes (et donc peu flexibles et quelque peu abstraites). Dans cet article, c'est plutôt la situation 2 qui nous intéressera.

Situation 2:
Les tapis sont encore relativement gros, au delà des 10BB. Ici il convient d'être déjà plus prudent avant de pusher (le vol des blinds est en effet moins lucratif à cause du risque de rencontrer une grosse main).

Cependant, il reste bon nombre de "bonnes" mains avec lesquelles il est n'est pas envisageable de se contenter de relancer. Le meilleur exemple est 22 : une main supérieure à la moyenne en HU, car c'est contre la plupart des mains du 50:50, et donc une main forte si on y ajoute la fold equity. Mais sa mauvaise jouabilité après le flop ne nous laisse que deux possibilités : push or fold ? Comment jouer sinon sur un flop TJK face à un bet de Villain qui s'est contenté de nous payer préflop ?

Et c'est plus ou moins la même chose pour les As avec un petit kicker : on ne touche environs qu'une fois sur six quelque chose sur le flop. Et sans As sur le flop, on se trouve dans une situation bien difficile si jamais l'adversaire décide d'agir.

L'objectif prioritaire de cet article est de vous donner un cadre pour le jeu en push or fold correspondant à la situation 2. Bon nombre de résultats valent cependant également pour la situation 1.

Avertissement : la bonne compréhension de cet article suppose que vous ayez assimilé les concepts présentés dans l'article sur l'Independent Chip Model.

1.3. Remarques préliminaires

En heads-up, les cartes hautes ainsi que les pocket pairs gagnent considérablement en valeur. Alors que sur une table complète, un connecteur assorti tel que 45s est de valeur comparable à 44, en heads, la paire de quatre peut être considérée comme un monster préflop, et 45s perd grandement en valeur pour être ramenée dans la catégorie des mains inférieures à la moyenne.

Une fois en heads-up, deux modifications principales interviennent en ce qui concerne le push or fold (surtout par rapport à ce qui se passe dans une situation de push au bouton dans la bulle) :

• Il ne peut y avoir au maximum qu'un seul call adverse. La probabilité de rencontrer une grosse main s'en trouve donc réduite.

• La ChipEV correspond exactement à la $EV .

Du fait de ces deux facteurs, il sera plus facile de calculer l'EV=$EV pour des actions ou des situations spécifiques.

Dans ce qui suit Hero se trouve toujours au small blind

2.1. Calcul

Hero à un tapis T1 et joue contre Villain qui a un tapis T2. Le tapis effectif sera désigné part T. Hero paye le SB, Villain le BB, tous les deux reçoivent leurs cartes et Hero se demande s'il pusher ou plutôt se coucher.

Si Hero se couche, alors son EV est de

(0) EV =-SB.

(Il perd exactement un SB par rapport à son tapis initial, avant d'avoir posté le blind)

Si Hero opte pour un push, alors il peut se passer l'une des choses suivantes :

(1) Villain se couche
(2) Villain paye et perd
(3) Villain paye et gagne

Comment calculer l'EV du push de Hero ?

Elle est le résultat de 3 composantes EV1, EV2, EV3, issues des 3 issues possibles (1) (2) et (3) :

(1) Villain possède un certain éventail de call (plus d'informations dans la suite sur l'évaluation des éventails adverses). Toutes les mains qui sont en dehors de cet éventail seront couchées par Villain face au push. La probabilité pour un Fold, à savoir pour que sa main soit en dehors de l'éventail de call sera notée F.

On a donc : EV1 = F*BB.
(Hero récupère son SB et le BB de Villain- son tapis est donc supérieur d'un BB par rapport à sa valeur initiale avant le post du SB)

(2) La main de Villain appartient à son éventail de call avec une probabilité C=1-F (C pour Call). Contre cette main nous avons une certaine probabilité de gagner W (pour Win). Si Hero a par exemple 88 et tombe sur TT, alors on a à peu près W=19%.

EV2=C*W*T

(Si Hero est suivi et l'emporte il récupère T jetons de la part de Villain)

(3) Villain a une probabilité de victoire de 1-W. Il en résulte la formule suivante :

EV3=C*(1-W)*(-T)

(Si Hero est suivi et perd, Villain récupère T jetons de la part de Hero)

L'EV total du push est donc: EVtot = EV1+EV2+EV3

Posons l'inégalité suivante, correspondant à un push EV+ :

(*) -SB < F*BB + C*W*T + C*(1-W)*(-T)
Nous en déduisons l'inégalité portant sur T/BB suivante :

(**) T/BB < (F+0.5) / [C*(1-2*W)]

Pour un éventail de call donné, nous pouvons facilement calculer C et W :

• C est le nombre de mains qui se trouvent en dehors de l'éventail de call de Villain, divisé par le nombre total de mains possibles, qui s'élève à 50*49/2 = 1225 (Hero possède 2 des 52 cartes).

• W peut être calculé avec un programme tel que l'Equilator à partir de la main de Hero et de l'éventail de call de Villain. W dépend bien entendu de la main de Hero.

Si nous injectons ces résultats dans (**) (avec F = 1 – C), nous obtenons la valeur maximum du rapport T/BB, et donc de T exprimé en BB, pour que le push soit EV+. Autrement formulé : si le tapis effectif T est inférieur à cette valeur, le push est EV+.

Exemple :

Hero a ATo. Il évalue l'éventail de call de Villain comme étant 66+, AT+ et A8s+.

Calculons tout d'abord le nombre de mains composant l'éventail de call de Villain :

Étant donné que Hero possède un A et un T, il n'y a plus que 3 combinaisons pour AA et 3 combinaisons pour TT, auxquelles viennent s'ajouter 6 combinaisons pour toutes les autres pocket pairs, soit 7*6+2*3 = 48 Pocket pairs.

Les As - AK, AQ, et AJ, pour lesquels le caractère assorti ou non ne joue aucun rôle, nous donnent chacun 12 combinaisons étant donné que l'As de Hero élimine 4 des 16 combinaisons possibles.Pour AT ce sont 3 combinaisons supplémentaires qui disparaissant. A9s et A8s donnent enfin chacun 3 combinaisons.

Au total l'éventail de call de Villain se compose de 7*6 + 2*3 + 3*12 + 9 + 2*3 = 99 mains. On obtient donc

F = 1 - (99/1225) = 91.92%

Pour W on obitent (avec l'aide d'Equilator):

W = 35.5%

Soit le résultat pour la formule (**) :

T/BB < 60.6

Si le tapis effectif est inférieur à 60.6 BB, alors Hero peut faire un push EV+. Ce résultat dépend de sa propre main ainsi que de l'éventail de call de Villain.

On tend vers des valeurs infinies si 2*W tend vers 1 ou bien si C tend vers 0 (et donc F vers 1). C'est tout à fait compréhensible : si nous avons une probabilité de gagner d'au moins 50% contre l'éventail de call de Villain, alors nous pouvons pusher avec un tapis aussi gros que nous voulons. Même chose si Villain se couche avec une probabilité proche de 1, à savoir dans presque 100% des cas.

La situation W>=50% correspondrait par exemple au cas ou Villain paye avec toutes les mains et Hero possède une main supérieure à la moyenne (Q5+), ou bien au cas où Hero aurait AA. La situation F=1 correspondrait au cas ou Villain ne serait plus à la table. Ce sera malheureusement rarement le cas.

2.2. Résultats

Les résultats donnés dans les tables suivantes sont arrondis à une décimale après la virgule, et organisés comme suit :

Les résultats sont regroupés dans 4 tables différentes correspondant aux différents types de mains avec lesquelles un push est envisageable : pocket pairs, Ax, Kx, connecteurs+connecteurs à un trou.

On peut lire dans les différentes colonnes, la valeur maximum de T (tapis effectif) en BB pour qu'un push soit EV+ contre l'éventail de call de l'adversaire correspondant.

Pour toutes les mains, hormis les pocket paires, on distingue le caractère assorti ou non. Une main assortie aura logiquement toujours une valeur plus élevée qu'une main non assortie.

Les différents éventails de call sont :

• (SV)
  Un 'Super-Villain' qui ne paye que quand le call est EV+.

• (15%)
  Un Villain relativement tight qui paye avec les mains suivantes : 44+, A8+, A5s+, KQ, KJs
  Villain aura une main appartenant à cet éventail dans environ 15% des cas.

• (22%)
  Un Villain plus loose, qui suit avec ces cartes : 33+, A5+, A2s+, KT+, K9s+, QTs+
  Villain aura une main appartenant à cet éventail dans environ 22% des cas.

• (29%)
  Un Villain très loose, qui suit avec ces cartes : 33+, A2+, K9+, K7s+, QT+, Q9s+, JTs
  Villain aura une main appartenant à cet éventail dans environ 29% des cas.

La catégorie (SV) représente en en quelque sorte le pire cas. Dans la réalité il n'en sera jamais ainsi du fait que notre adversaire ne connaît pas nos cartes. Nous pouvons cependant prendre cette catégorie comme limite inférieure pour notre push : si il est EV+ contre cet éventail de call, il le sera à fortiori contre tous les autres éventails.

Les champs dans lesquels ne figurent aucune valeur, correspondent au cas où le push est toujours EV+, indépendamment de la taille des tapis (T peut être aussi gros que possible). Ceci est du au fait que Hero a une probabilité de l'emporter supérieure à 50% face à l'éventail de call de Villain (voir remarques à la fin de 2.1).

Comment utiliser ces tables :

Nous avons une main au SB avec laquelle nous ne savons pas si nous pouvons pusher de façon EV+. Nous évaluons l'éventail de call adverse. Si nous n'avons pas confiance en nos capacités à estimer cet éventail, nous prenons la colonne (SV). Nous comparons la valeur contenue dans la table à la valeur du tapis effectif T exprimé en BB. Si T est inférieur à cette valeur, alors le push est EV+.

Le tapis effectif correspond bien entendu au plus petit des deux tapis avant le post des blinds.

Exemple :

Notre tapis est 150.000, celui de Villain de 200.000. Nous misons le SB à 4.000, Villain le BB à 8.000. Le tapis effectif est donc T = 150.000/8.000 = 18.75BB.

Nous recevons A6o. Nous n'avons aucun idée de l'éventail de call de Villain et nous sommes pressé par le temps. Nous prenons donc la valeur qui se trouve dans la colonne (SV) soit 28.6. Comme 18.75 < 28.6, un push est EV+.

2.3. Remarques à propos des tables

On remarque que pour les mais du types K-high, les tapis sont bien moins élevés que pour les mains A-high, ce qui est logique étant donné qu'un Roi est bien moins fort en heads-up qu'un As. Par ailleurs, c'est contre l'adversaire tight (15%) que les connecteurs sont les plus adaptés pour un push. Contre (15%), une main telle que 98 (T=28.9, et 36.5 si assortie) est légèrement mieux positionnée que A2 (T=28.8, 36.4), et ce n'est qu'à partir de 22% et surtout de 29% (qui correspond au tapis effectif maximum pour un push) que A2 repasse clairement en tête.

Si l'on compare les valeurs dans les différentes colonnes (pour les différents éventails de call), alors on observe ce qui suit : (SV) est toujours la valeur la plus faible, à savoir la limite inférieure pour un push. Même si nos cartes étaient retournées sur la table et si l'adversaire pouvait calculer exactement la probabilité de victoire comparée à la cote du pot, le push serait encore EV+ pour cette taille de tapis effectif.

Pour les autres colonnes, tout dépend de la valeur de la main :

Pour des mains relativement faibles (par exemple K5o) c'est pour (29%) que la valeur du tapis effectif est la plus faible. Pour des mains un peu plus fortes (par exemple A2o), la valeur est plus élevée pour (29%) que pour (22%) et pour les mains encore plus fortes (par A7o) c'est finalement (15%) qui correspond à la valeur la plus faible.

Ceci vient du fait que pour les mains les plus faibles, nous sommes en cas de call largement derrière contre les 3 éventails, et ces mains vivent essentiellement de la fold equity pour un push, contrairement à ce qui se passe pour des mains plus fortes. C'est contre l'éventail de 15% que cette fold equity est la plus élevée, et contre l'éventail de 29% qu'elle est la plus faible.

Bien un entendu, même s'il est EV+, un push n'est pas forcément toujours la meilleure option. Avec des monster tels que AA, KK ou QQ, le slowplay est souvent plus profitable pour des tapis relativement élevés, de même qu'avec les mains qui ont une bonne jouabilité comme AK, KQ ou KTs ainsi que les mains de la table 4 avec lesquelles un simple raise est souvent plus productif.

Les valeurs qui apparaissent dans la colonne (SV) se rapprochent quant à eux des rankings de Sklansky – Chubukov.

Si nous pensons que l'éventail de Villain se situe quelque part entre deux colonnes, alors on peut essayer de faire une moyenne ou bien on peut tout simplement prendre la valeur la plus faible. C'est une façon de jouer la sécurité en prenant la limite inférieure pour notre éventail de push.

Exemple :

Nous avons 44 et mettons l'adversaire sur un éventail de call un peu plus tight que (15%). En prenant la valeur 41.3 de la colonne (SV) nous sommes alors en sécurité. Mais nous pouvons aussi prendre une valeur moyenne située entre celles de (SV) et de (15%), par exemple 50. Ceci correspond à un adversaire qui call de façon plus tight (de son point de vue, plus profitable) que (15%), mais qui ne call pas de façon aussi parfaite que notre Super Villain.

3. Quelques mots sur les pocketpairs

Avec une pocket paire nous pouvons pusher la plupart du temps, à moins de vouloir attirer l'adversaire dans le pot via un slowplay. Cependant ceci n'est recommandé qu'avec les vrais monster (AA,KK,QQ, éventuellement JJ), car :

• La probabilité de voir apparaître des overcards sur le flop devient très grande pour des pocket inférieures à QQ. Et si des overcards apparaissent, il est difficile de poursuivre, car les tapis sont supposés être relativement gros et si nous sommes derrière nous devons prendre en compte le fait que nous n'avons que très peu d'outs et que nous allons devoir payer encore beaucoup pour aller à l'abattage.

• Notre probabilité d'améliorer notre main est bien plus faible que celle de l'adversaire (à moins qu'il n'ait également une pocket paire). C'est pourquoi l'adversaire a plus de chances d'être payé en retour si il touche et pourra sortir plus facilement du coup s'il ne touche pas.

De plus : Si nous avons beaucoup pushé jusque là, un raise risque d'éveiller des soupçons et Villain couchera éventuellement son A7 contre notre AA, alors qu'il aurait payé un all-in.

Un push est donc le plus souvent la meilleure variante, et on voit dans la table 1 que les tapis doivent déjà être très gros pour que le push ne soit plus profitable.

4. Conclusion

Il est bien entendu impossible d'apprendre toutes les valeurs contenues dans les tables présentées ici. Ceux qui jouent sur Internent auront l'avantage de pouvoir les imprimer afin de pouvoir s'y référer rapidement dans une situation critique.

Si on n'est pas capable de mettre l'adversaire sur une éventail à cause du manque de temps ou bien du nombre trop faible de mains étant allées à l'abattage, on peut choisir la voie de la sécurité et prendre la colonne (SV), même si on passera ainsi à côté de quelques push EV+.

Nous allons terminer en abordant l'utilisation de ces données dans d'autres situations :

Cash games :
Les valeurs peuvent être utilisées sans limitations dans le cadre du cash game, étant donné qu'on a Chip Ev = $EV. On peut donc en théorie pusher au SB en suivant les valeurs données dans les tables, à partir du moment où tous les autres joueur sont sortis du coup. Par exemple on pourra pusher avec AT et un tapis effectif de 53.6 BB.

La plupart des joueurs ne se sentiront pas très à l'aise avec ce style de jeu car on ne risque jamais très volontiers 50 BB d'un coup.

Mais sur le long terme c'est forcément profitable, surtout que les adversaires vont coucher bon nombre de mains qui nous sont supérieures (dans notre exemple avec AT, on pourrait imaginer AT, AJ, 22, 33, 44, 55...)

En tournoi, avant le heads-up :
Dans les MTT et les SNG, la situation en dehors du heads-up est quelque peu différente du fait qu'on n'a plus : ChipEV=$EV. En fonction de la situation les valeurs devraient donc être diminuées afin que le push soit encore EV+, et ce d'autant plus que que la différence entre ChipEV et $EV est grande. Plus d'informations sur ce sujet dans l'article ICM. Un prochain article faisant suite à celui-ci contiendra peut-être des tables étendues aux situations ICM.

Je souhaite cependant vous avertir qu'il n'est pas du tout recommandé d'utiliser les tables du présent article pour les push or fold dans la bulle.

Hero est au Button :
Si on se trouve premier à agir non pas au SB, mais au BU, alors on peut imaginer un calcul similaire. Celui-ci serait cependant plus compliqué étant donné que 2 adversaires sont susceptibles de nous suivre. En cash gane on pourra obtenir une bonne approximation en divisant les valeurs des tables par deux. En tournoi il faudra bien entendu tenir compte de l'ICM.

Hero est au BB:
Ici cela dépend grandement de l'interprétation que nous faisons du limp de SB. Si nous pensons, étant donné que c'est ce qu'il a fait au cours des 10 dernières mains, qu'il raise ou limp indifféremment avec any two, alors nous pouvons pusher en nous basant sur les valeurs données dans les tables. On pourra même pusher pour des valeurs un peu plus élevées étant donné que nous pouvons gagner non plus 1.5, mais 2 BB. Ceci compense d'une certaine manière les fois, peu probables, où il s'agira d'un piège.

Si l'adversaire a jusqu'alors relancé très agressivement la plupart du temps, alors il convient d'être prudent. La forte probabilité qu'il s'agisse d'un piège rend un push EV- pour les valeurs données dans les tables.

5. Annexe

Voici pour terminer une liste des valeurs utilisées pour les tables du paragraphe 2.3. Là encore, C représente la probabilité que Villain ait une main appartenant à son éventail de call et W notre probabilité de l'emporter face à l'éventail de call de Villain.