- \n
- Définition de la variance
\n\t<\/i><\/li>\n- Exemples de courbes de gains simulées
\n\t<\/i><\/li>\n- L'aversion au risque
\n\t<\/i><\/li>\n<\/ul>\n![](\"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/wp-content\/uploads\/download\/content\/bilder\/ps_trennlinie.jpg\")
\n<\/div>\nDans cet article nous allons nous intéresser de plus près à un des côtés mathématique du poker, qui demeure très flou pour nombre de joueurs : la fameuse « variance » et son influence sur nos gains à plus ou moins long terme.\n<\/p>
\nJe vais commencer par répondre à la question suivante : quelle est la définition mathématique de la variance et comment pouvons-nous estimer la nôtre à la table en fonction de notre style de jeu.\n<\/p>
\nA partir de la, je vais essayer de montrer plus clairement d’où vient l’expression populaire que le poker est un jeu de « small edge, huge variance» et quel peut être l’ordre de grandeur des variations de notre espérance de gain sur 10000 mains, 100000 mains, 250000 mains en supposant un « edge » fixe ou encore un gain moyen constant. Je montrerai en particulier d’où viennent les chiffres que l’on peut trouver dans l’article sur la gestion de la bankroll et j’essayerai de montrer pourquoi le facteur déterminant dans la prévention des downswings est un gain moyen élevé.\n<\/p>
\nEnfin, je ferai une petite évaluation d’une optimisation du gain sous contrainte d’aversion au risque, qui est un facteur important à prendre en considération pour beaucoup de joueurs (voir article psychologique sur le scare money).\n<\/p>
La variance : une donnée trop souvent incomprise
\n<\/h1>\nOn retrouve assez souvent la variance dans le vocabulaire pokeristique notamment dans les analyses de mains impliquant des gros pots (exemple classique du set vs overset où l’analyse se résume souvent à : variance, nice hand). Cette utilisation laisse penser que la variance est une sorte de destin que le joueur doit se contenter de subir sans vraiment en comprendre l’origine. Il est temps d’en préciser un peu la nature.\n<\/p>
\nLa variance <\/b>est en fait une unité mathématique qui sert à préciser la dispersion de valeurs autour de leur moyenne. Elle est définie comme étant le carré de l’écart type<\/b> qui est une valeur plus «parlante» car homogène à l’unité de mesure (pour nous : des $ ou des blinds).\n<\/p>
\nPour être un peu plus précis, l’écart type représente pour nous la dispersion entre nos gains constatés et nos gains théoriques (ces derniers étant calculé à partir de notre gain moyen ou winrate ou encore le fameux BB\/100mains).
\nL’écart type permet d’estimer de manière probabiliste nos gains sur un nombre donné de mains jouées. Cette donnée concernant votre jeu est accessible à partir de poker tracker.\n<\/p>\nL’ordre de grandeur est en NL entre 20 et 70 avec des valeurs plus faibles pour les joueurs tight et qui jouent en full ring et plus importante pour les joueurs loose sur des tables SH.<\/p>
\nExemple 1.1\n<\/div>Un joueur TAG classique jouant en Short handed peut avoir des valeurs du style
\nGain moyen (Espérance, Winrate dans le jargon poker anglais) : 10BB\/100mains
\nÉcart type (Standard déviation notée SD) : 40BB\/100 mains<\/p>Probabilité de gains pour ce joueur pour 100 mains jouées<\/b> :<\/p>
Remarque<\/u> : Pour l’ensemble de l’article, les probabilités indiquées résultent pour la plupart de la simple application d’intervalles de confiance sur des lois normales correctement définies) <\/p>
Entre –30BB et +50BB (Winrate +\/- SD) : 68% de chance
\nEntre –70 BB et +90 BB (Winrate +\/- 2*SD) : 95% de chance<\/p>Lorsque l’on réitère N fois l’opération (on joue N fois 100 mains), tout ce passe comme si nos gains suivaient une loi normale gaussienne d’Espérance N*winrate et d’écart type sqrt(N)*SD (sqrt = racine carré), ceci est du à la stabilité de la loi normale par la somme.<\/p>
Application pour 10000 mains et pour le même joueur<\/b> :<\/p>
Espérance : 1000BB, SD=400
\nEntre 600BB et 1400BB (Winrate +\/- SD) : 68% de chances
\nEntre 200BB et 1800BB (Winrate +\/- 2*SD) : 95% de chances<\/p>\nOn constate ici que avec un winrate de 10BB\/100 (assez élevé), notre joueur est déjà presque certain (probabilité supérieure à 95 %) d’être gagnant après quelques sessions (10K mains)
\n<\/b>\n<\/div><\/p>
\nExemple 1.2\n<\/div>Pour donner un exemple un peu plus frappant : considérons un joueur qui aurait un winrate de 1BB\/100 (assez classique pour du NL10000+) et une SD de 60\/100 (également classique pour les limites élevées ou un jeu TAG standard ne suffit plus pour être gagnant). Les gains probables de ce joueur sur 10000 mains sont (Espérance : 100, SD=600) entre –1100 et +1300 avec 95% de chances.
\nComme les intervalles [–1100BB, 100BB] et [100BB, 1300BB] sont équiprobables, on comprend l’importance, à 100$ la blinde, d’avoir le cœur bien accroché et une bankroll digne de ce nom !<\/p>Ce petit calcul montre également pourquoi l’analyse des gains\/pertes des highrollers sur des sessions souvent petites n’a aucune valeur pour juger du niveau d’un joueur par rapport à un autre car leur « edge » sont souvent très proches.<\/p>
On peut également s’intéresser à la question suivante : quelle est le nombre de mains qu’il faut jouer pour être sur à 95% d’être dans le positif. Je détaillerai ce type de calculs et leurs conséquences dans la dernière partie.<\/p>
L’expression “Small edge, huge variance” prend tout son sens lorsque l’on compare justement la SD au winrate : les fluctuations à court terme (caractérisées par la SD) peuvent être des dizaines de fois supérieurs au winrate (classique pour les hautes limites) : c’est cet état de fait qui est responsable des fameux downswings (qui seront d’autant plus marqués que votre edge diminuera).<\/p>
\nExemple 1.3\n<\/div>Il est également important de remarquer à quel point un winrate élevé protège des downswings prolongé :
\nJoueur A : winrate : 2BB\/100 SD : 40\/100
\nJoueur B : winrate 16BB\/100 (classique en small stakes) SD : 40\/100<\/p>Intervalle de gains probables avec 99,7% de chance après 10000 mains :
\nJoueur A : [-1000, +1400]
\nJoueur B : [400, 2800]Intervalle de gains probables avec 95% de chance après 100000 mains :
\nJoueur A : [-300, +6530]
\nJoueur B : [13500, 18500]\nOn voit ainsi qu’un joueur nettement supérieur à ses adversaires est quasiment certain (Probabilité> 0,997 !) d’être positif après 10000 mains, alors qu’un joueur avec un avantage plutôt faible sur ses adversaires ne sera même pas sur à 95% de chance d’être positif après 100.000 mains !<\/b>\n<\/div><\/p>
\nExemples de courbes de gains simulées\n<\/div>Pour illustrer un peu l’ordre de grandeur des variations sur le court terme, je vous propose de comparer ces différentes courbes qui représentent le nombre de Big blinds gagnées en fonction du nombre de main jouées (1 unité sur l’axe des abscisses représente 100 mains)<\/p>
La variance est indiquée par le chiffre SD (Standard déviation)<\/p>
\nCas d'un joueur avec un winrate faible (2BB\/100)\n<\/div><\/p>
- Exemples de courbes de gains simulées
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