- \n
- Tirages indépendants
\n\t<\/i><\/li>\n- Notion de chance (\"Allin luck\")
\n\t<\/i><\/li>\n- Le long terme
\n\t<\/i><\/li>\n<\/ul>\n![](\"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/wp-content\/uploads\/download\/content\/bilder\/ps_trennlinie.jpg\")
\n<\/div>\nL’idée de cet article vient de la constatation suivante : dans un nombre
\nimportant de posts du forum sur les \"downswings\" j’ai remarqué une incompréhension (ou
\nune interrogation) récurrente sur les notions de long terme, variance, etc ...
\nDans un précédent article<\/a> j’ai essayé d’expliquer en profondeur la notion
\nmathématique de variance et son illustration au poker. J’ai cependant
\nconstaté qu’un des principes fondamentaux sur lesquels repose la théorie
\ndes probabilités (et donc les problèmes de variance) restait souvent mal
\ninterprété, et c’est ce résultat que je vais essayer de détailler et illustrer
\nici.\n<\/p>\nPour être plus précis, je vais essayer de vous convaincre que si l’on mesure l’écart
\nentre vos gains théoriques et vos gains constatés, cet écart n’a AUCUNE raison
\nde tendre vers 0, et ceci sans contradiction avec la \"loi des grands nombres\" ou \"loi du long terme\".
\nJe parlerai en particulier des fameux graphs : \"Allin-Luck\" que beaucoup de
\njoueurs s’attendent - à tort - à voir tendre vers 0 en augmentant leur nombre de
\nmains jouées.
\nJe montrerai cependant pourquoi ce résultat, surprenant pour certains, de
\nnon-convergence n’a pourtant aucune incidence sur le fait d’être gagnant sur le
\nlong terme !\n<\/p>\n Lien entre les exemples et le poker <\/span><\/span>: Dans presque toute la suite de mon article, mes exemples de tirages aléatoires
\nseront des tirages pile ou face, que l’on peut par exemple rapprocher des
\nsituations de allin dans lesquelles on a une Equity d’environ 50% (les fameux
\ncoin-flips).\n<\/p>\n
\n<\/span>\n<\/p>Tirages indépendants<\/h2>
\n1.1 <\/span> <\/a>Définition\n<\/div><\/p>
\nOn dit que deux tirages aléatoires sont indépendants lorsque leur réalisation
\nn’ont aucune influence mutuelle. Mathématiquement: P<\/span>(<\/span>A<\/span>|<\/span>B<\/span>) = <\/span>P<\/span>(<\/span>A<\/span>) = <\/span>P<\/span>(<\/span>A<\/span>|<\/span>B<\/span><\/span>) <\/span>
\n
\nCette expression se lit de la manière suivante: La probabilité que l’événement
\nnoté A se produise sachant que l’événement B s’est produit est égale à la
\nprobabilité que l’événement A se produise ne sachant pas si B s’est produit ou
\npas P<\/span>(<\/span>A<\/span>) <\/span>ou encore à la probabilité que l’événement A se produise sachant que
\nl’événement B ne s’est pas produit P<\/span>(<\/span>A<\/span>|<\/span>B<\/span><\/span>)<\/span>
\nExemple simple:<\/span>
\nTirage à pile ou face.
\nSi on note B <\/span>le résultat d’un premier tirage et A <\/span>le résultat d’un second tirage
\navec la notation X <\/span>= 1 <\/span>si le tirage X <\/span>tombe sur pile, et X <\/span>= 0 <\/span>sinon.
\n
\nSi les tirages sont indépendants on a : P<\/span>(<\/span>A <\/span>= 1<\/span>|<\/span>B <\/span>= 0) = <\/span>P<\/span>(<\/span>A <\/span>= 1) = <\/span>P<\/span>(<\/span>A<\/span>|<\/span>B <\/span>= 0) = 1<\/span>∕<\/span>2<\/span>
\n
\n\n<\/p>\n1.2 <\/span> Première application\n<\/div><\/p>
\nJe vous propose de comparer les probabilités suivantes :
\n
\nProbabilité d’effectuer 3 fois Pile sur 3 lancers consécutifs :
\nRéponse:<\/span> (1<\/span>∕<\/span>2)<\/span>3<\/span><\/sup> = 1<\/span>∕<\/span>8 <\/span>
\n
\nProbabilité d’effectuer Pile au troisième lancer (événement noté A<\/span>) sachant
\nqu’on a obtenu Pile aux deux premiers lancers (événement noté B<\/span>) :
\nRéponse :<\/span> Le nouveau tirage étant complétement indépentant de ce qui s'est
\npassé avant (la pièce n’a pas été modifiée), A <\/span>et B <\/span>sont indépendants donc
\nP<\/span>(<\/span>A <\/span>= 1<\/span>|<\/span>B<\/span>) = <\/span>P<\/span>(<\/span>A <\/span>= 1) = 1<\/span>∕<\/span>2<\/span>
\nCertains s’étonneront ici de pas trouver une probabilté inferieure à 1\/2 , car ils
\nont une interprétation erronée de l’équilibrage sur le long terme, mais je vais
\ntout d’abord vous présenter un exemple encore plus \"choquant\".\n<\/p><\/span>Un résultat surprenant<\/h2>
<\/p>
\nConsidérons le jeu équilibré suivant :
\nDeux joueurs jouent à pile ou face, le joueur numéro 1 gagnant +1 pour pile et -1
\npour face et l’inverse pour le joueur numéro 2.
\nEt bien on peut montrer que quelques soient leurs sommes de départ, un des
\njoueurs va tomber à 0 en un nombre de lancers fini !
\nOn peut alors remarquer que loin de tendre vers zéro, la différence maximale
\n(notée d* et définie précisement ci dessous) entre le nombre de piles et de faces
\nobtenus diverge au contraire vers l’infini !
\n
\nConcrétement cela veut dire tout simplement que si l'on ne jouait que des coin flips
\ncontre notre adversaire à la table, la situation serait loin d’être \"équilibrée\" sur
\nle long terme puisque l’un des deux joueurs sera forcement \"broke\" à un
\nmoment ou à un autre.
\n\n<\/p>\nDémonstration<\/span><\/b> \n<\/p>
\nNotons Diff<\/span>(<\/span>n<\/span>) <\/span>la différence entre le nombre de piles et le nombre de faces
\nconstatée après le n-ième lancer.
\nOn peut alors définir d<\/span>*<\/span><\/sup>(<\/span>n<\/span>) <\/span>comme la différence maximale entre le nombre de
\npiles et le nombre de faces constatée sur l’ensemble des n premiers<\/span>
\nlancers. <\/span>(Bien noter la difference avec Diff<\/span>(<\/span>n<\/span>)<\/span>) : d<\/span>*<\/span><\/sup>(<\/span>n<\/span>) = <\/span>Max<\/span>i<\/span>≤<\/span>n<\/span><\/sub>Diff<\/span>(<\/span>i<\/span>)<\/span>
\n
\n
\nIl suffit alors de constater que la suite d<\/span>*<\/span><\/sup>(<\/span>n<\/span>) <\/span>est croissante et non bornée (p-s) (voir plus loin) pour conclure, puisque toute suite croissante non majorée diverge
\nvers l’infini.
\n<\/p>\nVoici quelques graphiques pour illustrer ces résultats.
\n\n<\/p><\/span>Exemples graphiques
\n<\/b> <\/p>\nVoici trois exemples pour 1000, 10000 et 100000 tirages :\n<\/p>
\n<\/a>
\n\n\n
![\"PIC\"](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/Editorial\/fr\/Data\/Test0x.png\")
\n![\"PIC\"](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/Editorial\/fr\/Data\/Test1x.png\")
\n![\"PIC\"](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/Editorial\/fr\/Data\/Test2x.png\")
<\/p>\n\nFigure 2.1: <\/span>Différence Pile-Face en bleue et d* en Rouge. On notera bien
\nla croissance de la courbe de d<\/span>*<\/span><\/sup>en rouge.\n<\/p><\/span><\/span>\n<\/div>\n
\n\n<\/p><\/div>\n2.1 <\/span> <\/a>Pour aller plus loin, non indispensable à la compréhension\n<\/div><\/p>
\nEn fait on peut montrer grace au théorème centrale limite que:\n<\/p>
![\"Dif](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/Editorial\/fr\/Data\/Test3x.png\")
\n<\/p>\noù la convergence est une convergence en loi de probabilité et ou N<\/span>(<\/span>a,b<\/span>)<\/span>
\nreprésente la loi normale de moyenne a <\/span>et d’écart type b<\/span>
\nLe caractère non bornée (p-s) de Diff<\/span>(<\/span>n<\/span>) <\/span>( et donc de d<\/span>*<\/span><\/sup>) peut alors \"démontrer\" par l’absurde:
\nOn suppose que Diff(n) est bornée par M, et soit ε > <\/span>0 <\/span>quelconque.
\nOn a\n<\/p>![\"](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/Editorial\/fr\/Data\/Test4x.png\")
\n<\/p>\noù l’on a noté F <\/span>la fonction de répartition de la loi centré réduite. Or F <\/span>est
\ncontinue donc F<\/span>(<\/span>a<\/span>) <\/span>- <\/span>F<\/span>(<\/span>b<\/span>) <\/span>→ <\/span>0 <\/span>quand a <\/span>- <\/span>b <\/span>→ <\/span>0<\/span>.
\nDonc il existe\n<\/p>![\"nε](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/Editorial\/fr\/Data\/Test5x.png\")
\n<\/p>\ncar
![\"M√n-\"](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/Editorial\/fr\/Data\/Test6x.png\")
-<\/span>![\"-√Mn-\"](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/Editorial\/fr\/Data\/Test7x.png\")
=<\/span> ![\"2√Mn-\"](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/Editorial\/fr\/Data\/Test8x.png\")
→ <\/span>0 <\/span>quand n <\/span>→∞<\/span>
\nOn a alors,\n<\/p>![\"∀n](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/Editorial\/fr\/Data\/Test9x.png\")
\n<\/p>\nAutrement dit, pour tout réel aussi petit soit-il, il existe des entiers n tels que la
\nprobabilité que Diff<\/span>(<\/span>n<\/span>) <\/span>soit inférieure à M est inferieure à ce réel, donc une
\nprobabilité presque nulle que Diff<\/span>(<\/span>n<\/span>) <\/span>reste dans la borne pour tout
\nn.
\n\n<\/p>\n\n<\/p>
\n \n<\/p>
\n2.2 <\/span> Autres exemples graphiques\n<\/div><\/p>
\nVoici deux exemples de 500000 tirages qui semblent diverger :\n<\/p>
- Notion de chance (\"Allin luck\")
![\"PIC\"](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/Editorial\/fr\/Data\/Test10x.png\")
![\"PIC\"](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/Editorial\/fr\/Data\/Test11x.png\")
<\/p>\n![\"1-](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/Editorial\/fr\/Data\/Test12x.png\")
![\"1n\"](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/Editorial\/fr\/Data\/Test13x.png\")