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- L'importance des mathématiques dans le poker
<\/i><\/li>\n- Ce qui se cache derrière le terme \"Equity\"
<\/i><\/li>\n- Comment calculer votre espérance de gain
<\/i><\/li>\n<\/ul>![\"\"](\"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/wp-content\/uploads\/download\/content\/bilder\/ps_trennlinie.jpg\")
<\/div>Cette série d'articles a pour objectif de vous familiariser avec les notions mathématiques de base utilisées en No-Limit Hold’em ainsi qu'avec des concepts plus avancés. Au-delà de l'étude des différentes composantes mathématiques, il s'agira de voir quelles peuvent être leurs applications directes. L'intérêt principal sera pour nous de pouvoir calculer, de façon exacte ou approchée, les résultats obtenus pour les différentes actions envisageables dans une situation de jeu donnée.<\/p>
\"C'est EV+\", voilà une expression que l'on rencontre souvent, que ce soit dans les vidéos, les forums d'analyse ou les articles. Nous reviendrons plus loin sur ce que cela signifie exactement, mais ce que l'on veut dire par-là ne fait aucun doute : Le coup dont on parle est a priori correct\/bon, il devrait permettre de réaliser des gains.<\/p>
Jusqu'ici tout va bien. Les choses se compliquent cependant quand les avis divergent. Le Joueur A affirme :\"C'est EV+\", le joueur B lui répond : \"Non, c'est EV-, au mieux EV+-0\". Que faire dans cette situation ?<\/p>
Dans certains cas, aucun concept mathématique ne permet de répondre à la question. Mais le plus souvent il sera possible de résoudre la question d'un point de vue mathématique ou du moins de poser les bases d'une discussion rationnelle. Ce sont avant tout ces situations qui vont nous intéresser dans le cadre de la série \"Concepts mathématiques pour le No-Limit Hold'em\".<\/p>
1ère partie - EV & Ranges<\/h1>
Cette première partie de la série constitue une introduction mathématique aux différents concepts et à leurs définitions. Les notions mathématiques associées sont vraiment simples et ne devraient effrayer personne. Elles correspondent tout au plus à un niveau de lycée, en se limitant aux bases. Les notions plus avancées ne seront pas nécessaires pour ce qui nous intéresse.<\/p>
Suite à ces explications, nous introduirons et expliquerons un concept mathématique essentiel du poker : l'Equity. Muni de cette notion, il devient possible de procéder aux premières analyses mathématiques et d'obtenir les premiers résultats intéressants. Nous examinerons enfin quelques exemples de base afin d'illustrer la mise en pratique des concepts présentés dans l'article.<\/p>
Concepts mathématiques de base<\/h1>
L'espérance mathématique ou espérance de gain<\/div>Ce chapitre contient les premières formules mathématiques. Nous nous efforcerons de les présenter sous une forme aussi correcte que possible d'un point de vue mathématique, et de les accompagner des explications nécessaires. Vous n'êtes bien entendu obligé de retenir toutes ces formules par coeur.<\/p>
Commençons par l'espérance mathématique, ou espérance de gain (EV pour Expected Value). Qu'est-ce que l'espérance mathématique ?<\/p>
Il s'agit d'un concept appartenant à la stochastique, un domaine des mathématiques traitant des probabilités. Il y est question d'expériences aléatoires, comme par exemple un lancer de pièce. Ces expériences aléatoires débouchent sur plusieurs résultats possibles xi (i est ici un index permettant de numéroter les différents résultats), par exemple pile ou face.<\/p>
Ces résultats se produisent avec des probabilités respectives p(xi) (là encore i sert d'index), par exemple 50%. L'espérance d'une expérience aléatoire correspond alors au résultat moyen obtenu en répétant cette expérience un grand nombre de fois.<\/p>
Dans le cas d'une variable aléatoire discrète, en prenant N le nombre de résultats possibles, on obtient l'espérance E(X) suivante :<\/p>
![\"\"](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/Education\/articles\/Math_Concepts\/monlh_part1_1_edit.png\")
<\/p>Pour ceux qui trouvent que cela devient trop mathématique, vous pouvez tout à fait passer directement au chapitre portant plus concrètement sur le poker (à partir du chapitre sur les éventails de mains). Mais pour une meilleure compréhension il est recommandé de lire également ce qui suit.<\/p>
Il est important de noter que des événements isolés peuvent être combinés entre eux, comme par exemple lorsque trois joueurs sont impliqués dans une main.<\/p>
On distingue les cas \"Personne ne suit\", \"Joueur A suit\", \"Jouer B suit\", \"Joueur A et Joueur B suivent\" qui sont alors traités séparément en analysant les résultats possibles et les probabilités associées. À ce sujet, nous vous renvoyons au paragraphe suivant qui porte sur les diagrammes arborescents, une manière particulièrement claire de représenter ce genre de calcul.<\/p>
Dans le cadre du poker, on parle d'espérance de gain ou Expected Value (EV). Afin de mieux comprendre comment cela fonctionne, nous allons associer des valeurs aux résultats possibles, par exemple +1 pour pile, et -1 pour face.<\/p>
Dans l'exemple du pile ou face, il est très facile d'écrire le calcul complet. Les résultats possibles sont x1 = 1, x2 = -1 et les probabilités correspondantes sont les suivantes :<\/p>
p(x1) = 0,5 , p(x2) = 0,5 <\/i><\/p>
p(x) signifie \"probabilité de x\". On obtient donc pour l'espérance de gain :<\/p>
EV=x1 • p(x1)+x2 • p(x2) = 0,5 • 1 + 0,5 • (−1) = 0 <\/i><\/p>
A priori personne ne devrait être surpris par le résultat. Il faut bien reconnaître que nous avions pris un exemple très simple. Voyons maintenant quelque chose d'un peu plus compliqué afin d'expliquer encore mieux le concept. Un casino propose le jeu suivant :<\/p>
Un joueur peut miser 10 jetons sur un lancer de dés. En cas de 1, 2 ou 3 il perd sa mise, en cas de 4 il récupère 5 jetons, en cas de 5 il obtient 20 jetons et en cas de 6 il récupère 30 jetons. Ce jeu est-il EV+ ?<\/p>
Afin de calculer l'espérance de gain, nous avons tout d'abord besoin de connaître tous les résultats possibles de l'expérience. Dans notre cas, il y a six résultats possibles, correspondant aux six faces du dé. Cependant, trois de ces résultats sont traités de façon identique et peuvent donc être regroupés ce qui nous donne les valeurs suivantes :<\/p>
x1 = −10, p(x1) = 1\/6 +1\/6 + 1\/6 = 1\/2
x2 = −5, p(x2) = 1\/6 (il perd la moitié de ses jetons),
x3 = 10, p(x3) = 1\/6
x4 = 20, p(x4) = 1\/6
<\/i><\/p>Nous disposons de nouveau de toutes les valeurs qui nous intéressent et l'espérance de gain peut donc être calculée rapidement avec une calculatrice de poche, un papier et un crayon ou même de tête. Voici ce que l'on obtient :<\/p>
résultat du lancer : 1,2 ou 3 résultat : 4 résultat : 5 résultat : 6<\/i><\/p>
![\"\"](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/Education\/articles\/Math_Concepts\/monlh_part1_2EN.PNG\")
<\/p>Vous vous doutez bien que les casinos ne sont pas bêtes au point de vous proposer un jeu avec une espérance de gain positive si vous jouez contre la banque.<\/p>
Exemple simple tiré du poker<\/div>Poursuivons avec un exemple simple tiré cette fois-ci du monde du poker.<\/p>
FR , 100BB Stacks<\/p>
Preflop:<\/b> Hero is BU with AA<\/p>
6 folds<\/i><\/font>, CO raises 4BB,<\/font> Hero raises 12BB<\/font>, 2 folds<\/font><\/i>, CO is All-In<\/font>.<\/p>
Une situation qui fait bien plaisir. Vous avez une paire d'As et la possibilité de mettre votre argent au milieu avant le flop, difficile de rêver mieux. Vous allez bien évidemment payer. Il ne fait par ailleurs aucun doute que vous allez réaliser un profit en jouant ainsi (l'EV est supérieure à 0).<\/p>
Mais vous pourriez vous demander à combien s'élève exactement votre EV. Pour ce faire vous devez déterminer plusieurs résultats. Le premier correspond au cas où vous remportez la totalité du pot : ce qui s'y trouve déjà, à savoir 100BB de CO, plus 12BB de votre part et 1.5BB venant des blinds, soit 113.5BB.<\/p>
Appelons ce résultat x1 = 113.5BB.<\/p>
L'autre issue possible est que vous perdiez 88BB, à savoir le montant que vous devez encore payer pour un call, soit x2 = −88BB.<\/p>
Il s'agit maintenant de déterminer les probabilités associées à ces deux résultats. Si vous considérez que CO se met ici all-in avec QQ, KK, AA et AKs alors votre part du pot est de 80.4% et celle de l'adversaire de 19.5%.<\/p>
L'espérance de gain est donc la suivante
<\/i> EV = x1p(x1) + x2p(x2) = (113,5 • 0,804 − 88 • 0,195)BB = (91,25 − 17,16)BB = 74,09BB. <\/em><\/i><\/p><\/p>
Diagrammes arborescents<\/div>Dans les cas où des résultats impliqués dans un calcul d'espérance de gain correspondent eux-mêmes à l'espérance de gain d'une situation particulière, l'utilisation de diagrammes arborescents est particulièrement indiquée. Ces diagrammes vous permettent d'avoir un aperçu de tous les résultats et probabilités associées et de calculer ensuite l'espérance de gain.<\/p>
L'espérance de gain de la situation globale est la somme des différents résultats multipliés par leurs probabilités.<\/p>
À noter :<\/p>
La probabilité pour un résultat du premier niveau est donnée directement, alors que la probabilité pour un résultat du second niveau s'obtient en multipliant la probabilité indiquée sur la branche du premier niveau par la probabilité indiquée sur la branche du second niveau.<\/p>
Les résultats sont indiqués à l'extrémité des branches terminales, alors que les probabilités figurent sur chacune des branches composant la ramification. L'espérance s'obtient alors comme la somme de tous les résultats multipliés par leurs probabilités respectives.<\/p>
Nous vous donnons un exemple de diagramme correspondant au jeu de dés suivant :<\/p>
Le joueur peut participer gratuitement. S'il obtient un 1, un 2 ou un 3 il a perdu. S'il obtient un 4 ou un 5, il gagne une barre de chocolat, s'il gagne un 6 il a le droit de relancer. S'il obtient de nouveau un 6 lors du second lancer, il gagne 3 barres de chocolat, sinon il gagne 2 barres de chocolat.<\/p>
![\"\"](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/Education\/articles\/Math_Concepts\/monlh_part1_3.png\")
<\/p>On obtient l'espérance de gain suivante :<\/p>
0,5 • 0+0,33 • 1+0,16 • 0,16 • 3+0,16 • 0,83 • 2 = 0,5 • 0+0,33 • 1+0,16 • (0,16 • 3+0,83 • 2) = 0,694. <\/i><\/p>
Cette façon de présenter le calcul d'espérance est particulièrement indiquée quand un grand nombre de cas doivent être pris en compte. Le résultat obtenu reste bien entendu le même qu'avec un calcul direct.<\/p>
La variance<\/div>Ce paragraphe devient très mathématique mais reste compréhensible. Si cela peut vous aider, commencez par regarder l'exemple plus bas.<\/p>
La variance est un autre terme très important. Elle n'intervient pas dans le calcul de l'espérance de gain, mais elle vous accompagnera tout au long de votre parcours dans le poker, elle mérite donc d'être expliquée. D'un point de vue mathématique, il s'agit d'une mesure de l'écart moyen entre le résultat d'une expérience aléatoire et l'espérance mathématique associée.<\/p>
Dans le cadre du poker, on emploie ce terme pour décrire le fait que tout joueur, aussi bon soit-il, va connaître des swings dans les deux sens, ce qui est effectivement une des conséquences de la variance. Dans le cas qui nous intéresse, elle est donnée par la formule suivante :<\/p>
![\"\"](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/Education\/articles\/Math_Concepts\/monlh_part1_4.png\")
<\/p>Cette formule peut faire un peu peur, mais c'est comme ça. La variance mesure la moyenne des carrés des écarts à l'espérance E(X). On peut alors en déduire l'écart-type<\/p>
![\"\"](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/Education\/articles\/Math_Concepts\/monlh_part1_5.png\")
<\/font>qui est la racine carrée de la variance. Nous avons donc la garantie que cette grandeur prendra uniquement des valeurs positives. L'écart-type est une valeur plus tangible puisqu'elle correspond à l'écart moyen par rapport à l'espérance.<\/p>Prenons un exemple tiré du poker afin de mieux comprendre. Le Joueur A possède une Bankroll de 2000$. Le Joueur B lui propose le deal suivant :<\/p>
Le joueur A reçoit une paire d'As (AA), le joueur B une main aléatoire et ils vont jusqu'à l'abattage. Le Joueur A a le choix entre miser toute sa bankroll en une fois (scénario 1) ou miser dix fois 200$ (scénario 2). Sans anticiper sur le résultat, voyons ce que nous pouvons calculer.<\/p>
Espérance de gain dans le scénario 1 :<\/span><\/p>
0,85 • 2000$ + 0,15 • (−2000$) = 1400$ <\/i><\/p>
Dans le scénario 2, on répète dix fois la même expérience :<\/p>
10 • (0,85 • 200$ + 0,15 • (−200$)) = 1400$ comme dans le scénario 1. <\/i><\/p>
Pour ce qui est des écarts-types (en vous épargnant le calcul), on obtient 1428.3<\/font><\/font>$<\/font> dans le scénario 1 et 451$<\/font> dans le scénario 2. Le risque de tout perdre dans le scénario 2 est ridicule avec une valeur de 5,7665• 10−7<\/sup>% = 0,00000057665%, alors que dans le scénario 1 il est tout de même de 15%.<\/p>
Plus les résultats possibles sont éloignés de l'espérance, plus l'écart-type sera élevé. Un joueur de NL50 préférera largement investir sa bankroll dans le scénario 2 plutôt que dans le scénario 1.<\/p>
Mais plutôt que de se lancer dans des calculs d'écart-type, il est plus intéressant d'exploiter les possibilités offertes par des programmes d'analyse tels que PokerTracker, qui peuvent notamment vous donner un écart-type en BB\/100. Si l'on dispose d'une base de donnée suffisamment grosse, on peut alors effectuer des simulations et générer des graphes pour différents échantillons de mains à partir du winrate et de l'écart-type obtenus.<\/p>
Sans entrer encore dans le détail, on peut mentionner le fait que des simulations mathématiques basées sur des écarts-types réalistes montrent que pour un joueur de NL, des swings pouvant aller jusqu'à 60 caves sont parfaitement possibles et peuvent tout à fait se produire, même chez un joueur possédant un winrate de 4BB\/100.<\/p>
Après avoir vu l'espérance mathématique, la variance et l'écart-type, ainsi que les diagrammes arborescents pour une présentation plus claire des calculs d'espérance de gain, nous en avons maintenant terminé avec l'introduction aux bases mathématiques. Nous allons pouvoir entrer dans le vif du sujet et nous intéresser aux éventails de mains et à l'equity avant d'étudier quelques exemples de calcul d'EV.<\/p>
Éventails de mains (Hand ranges)<\/h1>
Les éventails de mains (hand ranges) seront traités en détail dans la deuxième partie de la série, ici nous allons simplement nous contenter d'expliquer ce dont il s'agit. Qu'entend-on exactement par range ou éventail de mains ?<\/p>
Un éventail de mains représente un ensemble de mains qu'un joueur considère comme étant équivalentes dans une situation de jeu donnée. Cela signifie qu'il jouera exactement de la même façon avec n'importe laquelle des mains appartenant à cet ensemble. Il s'agit donc d'un concept essentiel puisqu'on doit avoir parfaitement conscience du fait que chaque adversaire, dans chaque situation, joue potentiellement un ensemble de mains et non pas une main en particulier.<\/p>
Cela signifie notamment que quand vous calculez les probabilités de gagner, vous devez toujours tenir compte de l'éventail de mains adverse complet. De la même façon, quand vous prenez une décision vous devez toujours vous demander comment l'adversaire va réagir à votre action avec quelle partie de son éventail (il se peut en effet qu'il réagisse d'une certaine manière avec une partie de son éventail et d'une autre manière avec une autre partie de son éventail).<\/p>
En général, on représente un éventail en donnant la main la plus faible appartenant à cet éventail suivie du signe '+'. On distingue les mains suited (assorties) et offsuited (non assorties) respectivement avec un 's' et un 'o'. Si rien n'est indiqué, c'est que les deux possibilités sont prises en compte. AK représente par exemple les 16 combinaisons permettant de former AK. QQ+, AQs+, AK représente l'éventail composé de AA, KK, QQ ainsi que les quatre combinaisons assorties donnant AQ et toutes les combinaisons donnant AK.<\/p>
\n<\/p>
L'Equity<\/h1>
Qu'est-ce que l'equity ?<\/div>Aucun doute que vous avez déjà entendu parler d'equity. Là encore il s'agit d'un terme lié au domaine des mathématiques, qui décrit la probabilité de l'emporter dans une situation de jeu donnée.<\/p>
Au sens strict du terme, l'equity est la part du pot qui revient en moyenne à une main, ou à un éventail de mains, contre une autre main ou un éventail de mains dans une situation donnée. Cette fraction du pot tient compte des possibilités de pot partagé (split pot) et diffère donc légèrement de la probabilité exacte d'être en tête à l'abattage.<\/p>
Comment calculer l'equity de votre main ?<\/div>Il est en principe possible de calculer l'equity à la main. Voici un exemple très simple dans lequel cela ne demande pas trop d'efforts :<\/p>
Joueur A<\/b> : A<\/b>
![\"\"](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/smileys\/diamond.png\")
, K<\/b>![\"\"](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/smileys\/heart.png\")
<\/p>Joueur<\/b> B<\/b> : A<\/b>
![\"\"](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/smileys\/spade.png\")
, 2<\/b><\/p>Board<\/b> : 7<\/b>
, 8<\/b>, K<\/b>![\"\"](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/smileys\/club.png\")
<\/p>Quelle est l'equity des joueurs A et B ?<\/p>
Vous devez prendre en compte tous les résultats possibles. Le Joueur B gagne s'il touche une couleur et que le Joueur A ne touche pas de full, ou bien s'il touche un 2 au turn et à la river.<\/p>
La probabilité qu'un 2 tombe au turn et à la river est de 3\/45 * 2\/44<\/p>
Voici comment parvenir à ce résultat :<\/p>
Le paquet contient encore trois 2, à savoir 2<\/b>
, 2<\/b>, 2<\/b>. La probabilité qu'une de ces cartes tombe au turn correspond tout simplement au nombre de cartes favorables divisé par le nombre de cartes dans le paquet, ici 45. Vous connaissez les 4 cartes appartenant aux mains des joueurs A et B ainsi que les 3 cartes du board.<\/p>Une fois au turn, il ne reste plus que 44 cartes possibles pour la river. On obtient donc 1\/330 = 0.3%.<\/p>
S'ajoute à cela la probabilité pour la couleur. La couleur se réalise au turn avec une probabilité de 9\/45. Si la couleur tombe et que la carte n'est pas le K<\/b>
alors le joueur A n'a plus aucune chance de gagner. Le mieux est distinguer les cas de la façon suivante :<\/p>Dans 8\/45=17.8% des cas, le joueur B gagne directement, dans 1\/45 des cas, le joueur A a encore la possibilité de toucher full ou carré à la river. Cela se produira dans 9\/44=20.5% des cas avec 2xA, 1xK, 3x7, 3x8.<\/p>
On doit donc ajouter 1\/45 (probabilité pour un K
au turn)* 35\/44 (probabilité que le joueur A touche un full ou un carré) = 1.7% aux chances de gagner du joueur B.<\/p>Cela donne donc une equity de 19.7% pour le joueur B. Reste le cas où aucun
ne tombe au turn. Si le turn est 7, 8, A ou K alors la river doit être un autre que le K<\/b>. Si le turn ne contient aucune de ces cartes, alors le joueur B l'emporte si la river est un quel qu'il soit.<\/p>Dans le premier cas on obtient 9 (A, 7, 8 ou K autre que K<\/b>
) \/ 45 * 8\/44 = 3.63%, dans le deuxième cas on obtient 24 (pas de , aucun A, 7, 8 ou K ni 2 car nous avons déjà couvert ce cas) \/ 45 * 9\/44 = 10,9%. Au total on obtient une equity de 35.76% pour le joueur B.<\/p>![\"\"](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/Education\/articles\/Math_Concepts\/player_b_equity.png\")
<\/p>Comme vous le voyez, cela n'a rien de facile, alors qu'il s'agissait pourtant d'un exemple vraiment simple. Les cas plus complexes comme l'equity préflop, ou l'equity contre des éventails, ne peuvent plus être calculés de cette manière. Au lieu de cela on utilise différents outils, généralement capables, grâce à l'intégration numérique, de calculer en quelques secondes les equities de situations complexes.<\/p>
Un outil comme le PokerStrategy.com Equilator est capable de calculer facilement l'equity de n'importe quelle situation de poker. On peut calculer l'equity pour des mains particulières, par exemple AA contre KK, ou pour des éventails, par exemple QQ+, AK contre JJ+, AQ, AK.<\/p>
Vous avez également la possibilité de configurer différents tableaux ainsi que de définir des cartes \"mortes\", qui ne seront pas prises en compte dans l'analyse. Voici quelques exemples d'equity qui vous permettront de vous faire une première idée :<\/p>
- Ce qui se cache derrière le terme \"Equity\"
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<\/td>\n![\"\"](\"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/wp-content\/uploads\/image\/ranks\/mini\/gold.png\")
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<\/a>