Concetti matematici per il No-Limit Holdem (1) - EV & Range

Introduzione

In questo articolo

• Perché la matematica è importante nel poker
  
• Cosa si intende per "equity"
  
• Come si calcola il valore atteso
  

In questa serie, avrai modo di imparare i concetti base e avanzati di matematica nel No-Limit Hold'em. Imparerai a capire le relazioni matematiche e a individuare la loro possibile applicazione nel poker online. In questo caso, l'attenzione sarà poste sul calcolo esatti o stimati dei risultati delle diverse decisioni possibili in una mano.

Nei video, nei forum di valutazione delle mani e persino negli articoli vedrai spesso l'espressione "questo è +EV", che sarà chiarita nei dettagli in seguito, ma per ora basta sapere che indica la decisione giusta, ossia quella che crea profitto.

E fin qui tutto liscio. Il problema però si pone quando i giocatori hanno diverse opinioni. Che succede se il giocatore A dice "è +EV" mentre il giocatore B dice "Assolutamente no, è -EV o al massimo +-0 EV"? Come si procede?

In molte situazioni non esiste un concetto matematico per risolvere la questione. È però spesso possibile giungere a una decisione chiara o almeno porre le basi per una discussione ragionata. In "Concetti matematici per il No Limit Hold'em", verranno trattati in particolare questi casi.

Parte 1 - EV & Range

La prima parte contiene un'introduzione ai termini matematici e alle loro definizioni. Le basi puramente matematiche sono molto semplici e non dovrebbero spaventare nessuno. Non andremo oltre la matematica studiata al secondo anno delle scuole superiori e, in ogni caso, studieremo solo i principi base. Conoscere questi concetti non è un prerequisito.

Dopo l'introduzione alla terminologia matematica di base, verrà presentato e spiegato un altro termine di poker più importante: l'equity. Ciò ti consentirà di effettuare le tue prime analisi e trarre conclusioni interessanti. Infine, verranno calcolati alcuni facili esempi per farti capire come i nuovi concetti si applicano al poker.

Fondamenti di matematica

Questa parte contiene formule matematiche. Verranno introdotte nel modo più corretto possibile dal punto di vista matematico e verranno spiegate nei dettagli. Non devi memorizzare tutte le formule.

Iniziamo con il valore atteso (Expected Value, EV). La domanda è: cosa si intende per EV?

Questo termine è utilizzato nella stocastica, una branca della matematica correlata alle probabilità. Si concentra su esperimenti casuali come il lancio della moneta. Tutti gli esperimenti sortiscono possibili risultati che vengono contrassegnati con xi (in cui i è un indice necessario per assegnare dei numeri a tutti i possibili risultati, in questo caso testa o croce).

I risultati si avranno con una certa probabilità p(xi) (i indica nuovamente il numero del risultato), per esempio 50%. Il valore atteso di un esperimento casuale è il valore che si attesta come risultato medio ripetendo più volte l'esperimento.

In questo caso, il valore atteso E(X) è un risultato di N possibili risultati differenti:

Coloro che trovano l'argomento troppo ostico possono passare alla parte più strettamente correlata al poker (iniziare con gli hand range). Per comprendere però appieno i concetti, si consiglia di passare attraverso la matematica.

È importante notare che si possono combinare i singoli risultati. Un esempio si avrebbe se tre giocatori fossero attivamente coinvolti in una mano.

In questo caso, è necessario analizzare separatamente tutti i possibili scenari (nessun giocatore fa call, il giocatore A fa call, il giocatore B fa call oppure i giocatori A e B fanno entrambi call). Ciascuna situazione deve essere studiata rispetto ai possibili risultati e alle relative probabilità. Un buon metodo per illustrare questi calcoli è usare il diagramma ad albero, come verrà illustrato nella successiva parte di questo articolo.

Il valore atteso in termini monetari è chiamato EV nel poker. Per capire tutto ciò in maniera logica, puoi assegnare dei valori ai risultati, ad esempio +1 per "testa" e -1 per "croce".

Servendosi dell'esempio del lancio della moneta, è possibile annotare l'intero risultato. I risultati possibili sono: x1 = 1, x2 = -1 più le relative probabilità.

p(x1) = 0.5, p(x2) = 0.5.

p(x) indica la probabilità che si verifichi x. Il valore atteso sarà pertanto:

EV=x1 • p(x1)+x2 • p(x2) = 0.5 • 1+0.5 • (−1) = 0

Speriamo tu non sia sorpreso dal risultato. Di fatto è stato preso un esempio molto semplice. Prendiamo ora un esempio leggermente più complicato per illustrarti nuovamente il concetto. Ammettiamo che un casinò offra il seguente gioco:

Per lanciare il dado una volta ci vogliono 10 chips. Se esce 1, 2 o 3 perdi tutte le chips, con 4 vinci 5 chips, con 5 vinci 20 chips e con 6 ne vinci 30. Questo gioco è +EV?

Per determinare l'EV dobbiamo dare un'occhiata a tutti i possibili risultati. In questo caso, si possono avere sei risultati diversi corrispondenti a ciascun numero del dado. Tre numeri portano allo stesso risultato per cui possono essere trattati insieme. Si arriva così alla seguente equazione:

x1 = −10, p(x1) = 1/6 +1/6 + 1/6 = 1/2
x2 = −5, p(x2) = 1/6 (perdi metà delle chips),
x3 = 10, p(x3) = 1/6
  e
x4 = 20, p(x4) = 1/6

A questo punto sappiamo quali sono le variabili necessarie per calcolare l'EV mentalmente o con una calcolatrice. In questo caso, l'EV è:

risultato con 1,2 o 3                  risultato con 4                  risultato con 5                risultato con 6

È ovvio che nessun casinò al mondo offrirà mai un gioco +EV con il quale giocare contro il banco.

Facciamo ora un semplice esempio relativo al poker.

FR , 100BB stack

Pre-flop: Hero is BU with AA

6 folds, CO raises 4BB, Hero raises 12BB, 2 folds, CO is All-In.

Situazione spettacolare. Hai in mano degli assi e hai l'opportunità di andare all-in al preflop. Qui devi chiaramente fare call. È ovvio che conseguirai un profitto (l'EV è maggiore di 0).

E se volessimo sapere l'esatto EV? Innanzitutto, abbiamo bisogno di determinare i possibili esiti. Hai la possibilità di vincere tutto ciò che è nel piatto, 100BB dell'avversario, 12BB che hai già investito e 1,5BB dei blinds (per un totale di 113,5BB).

Chiamiamo questo risultato x1 = 113,5 BB.

L'altra possibilità è perdere 88BB, che devi ancora chiamare, per cui x2 = −88BB

A questo punto, bisogna calcolare la probabilità di entrambi i risultati. Ammettendo che l'avversario abbia in mano QQ, KK, AA o AKs, la tua quota del piatto sarà 77,3% lasciando all'avversario il 22,6%.

Di conseguenza, il tuo EV sarà:

EV = x1p(x1) + x2p(x2) = (113.5 • 0.773 − 88 • 0.226)BB = (87.73 − 19.9)BB = 67.8BB

Nei casi in cui i singoli risultati dei valori attesi siano a loro volta valori attesi di altre situazioni particolari, è possibile utilizzare i diagrammi ad albero. In questo modo, puoi elencare tutti i risultati e le probabilità per ottenere una visione generale e calcolare il tuo EV complessivo.

Come al solito, l'EV complessivo è costituito dalla somma di tutti i possibili risultati moltiplicati per la loro rispettiva probabilità.

Importante:

La probabilità di un risultato al primo livello viene data direttamente, mentre la probabilità di un risultato del secondo livello si ottiene moltiplicando la probabilità del primo ramo del primo livello con questo risultato, moltiplicato con la probabilità del secondo ramo.

Per avere una visione generale, scrivi i risultati di un evento alla base di un ramo e la probabilità di tale evento sul ramo stesso. L'EV è la somma di tutti gli eventi moltiplicati per le loro rispettive probabilità.

Questo è un esempio di diagramma per un gioco di dadi avente le seguenti regole:

Per giocare non si paga nulla. Se lanciando il dado, esce 1, 2 o 3 perdi, con 4 o 5 vinci una barretta di cioccolato, mentre con 6 puoi tirare di nuovo. Se esce di nuovo 6 vinci tre barrette di cioccolato, in caso contrario ne vinci due.

Di conseguenza, l'EV sarà:

0,5 • 0+0,33 • 1+0,16 • 0,16 • 3+0,16 • 0,83 • 2 = 0,5 • 0+0,33 • 1+0,16 • (0,16 • 3+0,83 • 2) = 0,694.

Questo formato è particolarmente utile se ci sono molti possibili risultati. Tuttavia, non c'è tanta differenza rispetto a un calcolo standard, ti aiuta soltanto a visualizzare meglio la situazione generale.

Questo paragrafo è prettamente matematico, ma non è impossibile da capire. Potrebbe esserti più semplice guardare prima l'esempio.

La varianza è un altro termine molto importante nel poker. La varianza non ti aiuta a calcolare l'EV ma sarà sempre al tuo fianco nella tua carriera di poker, per cui è importante capire di che si tratta. In termini matematici, la varianza è un mezzo per misurare l'entità di deviazione di un evento aleatorio dal suo EV.

Nel poker, la varianza è usata per spiegare il fatto che persino il migliore giocatore al mondo vive degli alti e bassi. Nel tuo caso, la formula da applicare è:

Non sembra particolarmente elegante, ma lo è. È il valore atteso del quadrato della differenza tra il valore attuale di una variabile X e il suo valore atteso teorico. Da qui si calcola la deviazione standard:

che è la radice quadrata della varianza. Ciò fa sì che la deviazione standard possa essere sempre espressa con un numero positivo. La deviazione standard diventa così una misura un po' più "tangibile" perché ti fornisce la deviazione media dal tuo valore atteso.

In una curva di distribuzione normale, il 68,3% dei risultati si trovano a una deviazione standard dal valore atteso. Il 95% si trovano a meno di due deviazioni standard dall'EV.

Analizziamo un esempio di poker. Il giocatore A ha un bankroll di €2.000. Il giocatore B gli propone il seguente deal:

Il giocatore A riceve AA mentre il giocatore B riceve una mano casuale che viene giocata fino allo showdown. Il giocatore A può scegliere di puntare l'intero bankroll in una volta sola (scenario 1) o puntare €200 dieci volte. Senza considerare nulla, vediamo cosa possiamo calcolare.

L'EV per lo scenario 1 è:

0.85 • €2000 + 0.15 • (−€2000) = €1400

Nello scenario 2 ripetiamo lo stesso esperimento dieci volte:

10 • (0.85 • €200 + 0.15 • (−€200)) = €1400 come nello scenario 1.

Le rispettive deviazioni standard (ci vorrebbe troppo spazio per calcolarle qui) sono €1428,3 per lo scenario 1 e €451 per lo scenario 2. Il rischio di finire in bancarotta nello scenario 2 è un minuscolo 5,7665• 10⁻⁷% = 0,00000057665%, nello scenario 1 invece è pari al 15%.

Quanto più i risultati possibili deviano dall'EV, tanto maggiore sarà la deviazione standard. Un giocatore di NL50 sarà molto più disposto a rischiare il suo bankroll nello scenario 2 rispetto allo scenario 1.

Più interessante rispetto al calcolo diretto delle deviazioni standard è la seguente osservazione: i tool di poker, come Pokertracker, riescono a calcolare la deviazione standard in BB/100. Dato un database sufficientemente ampio, è possibile calcolare diversi grafici per svariate mani in base alla tua win rate e alla deviazione standard.

Senza addentrarci nella spiegazione dettagliata, la seguente osservazione è più che interessante: usando le simulazioni matematiche basate sulle deviazioni standard realistiche è chiaro che per un giocatore di NL BSS, gli swing fino a 60 stack sono molto probabili e in effetti si verificano per un giocatore con una win rate di 4BB/100 mani.

Ora che hai analizzato il valore atteso, la varianza e la deviazione standard insieme ai diagrammi ad albero, sei sopravvissuto all'introduzione e alle spiegazioni matematiche. Dopo averti presentato i concetti dell'equity e degli hand range, ti verranno illustrati alcuni esempi semplici per calcolare l'EV nelle mani d'esempio.

Hand range

Analizzeremo gli hand ranges con maggiore dettaglio nella seconda parte di questa serie. Per ora, sarà sufficiente fornirti una spiegazione. Cosa sono gli hand ranges?

Un hand range è una serie di mani che un giocatore considera come un tutt'uno in una situazione di gioco. Ciò significa che gioca tutte le mani del suo hand range esattamente nello stesso modo. Questo è un concetto cruciale, in quanto bisogna essere consapevoli del fatto che ciascun giocatore in una qualsiasi situazione potrebbe giocare non una mano specifica bensì un range di mani.

Ciò significa che nel calcolo delle probabilità bisogna considerare l'intero range di mani. Allo stesso modo, quando prendi una decisione, considera sempre come gli avversari reagiranno alla tua azione e con quale parte del loro hand range. È probabile che l'avversario reagirà in un modo per una parte del suo range mentre reagirà in maniera differente per il resto del range (ad es. potrebbe fare call oppure fold). 

Il bottom di un determinato hand range è solitamente contrassegnato da un "+", per cui include sia la mano più debole sia le mani migliori. Le mani suited e off-suited sono contrassegnate da una "s" o "o". Se non è specificato, sono comprese entrambe. Ad esempio: AK include tutte le 16 possibili combinazioni di AK. QQ+, AQs, AK includono QQ, KK, AA, tutte e quattro le combinazioni di AQ suited e tutte le possibili combinazioni di AK.

Equity

Da qualche parte in giro per il sito, avrai probabilmente sentito il termine "equity". È un altro termine adottato dalla matematica che descrive la probabilità di vincere per qualsiasi giocatore in una determinata situazione.

L'equity è la quota del piatto che una mano o un range di mani possiede rispetto a un'altra mano o range di mani. Questa quota del piatto comprende la possibilità di un piatto diviso, per cui di solito si discosta leggermente dall'esatta probabilità di vincere.

È tecnicamente possibile calcolare l'equity della mano manualmente. Di seguito ti proponiamo un semplice esempio in cui si richiede uno sforzo minimale:

Giocatore A ha A, K

Giocatore B ha A, 2

il board è 7, 8, K

Qual è l'equity del giocatore A e del giocatore B?

Devi prendere in considerazione tutti i possibili risultati. Il giocatore B vince se completa un flush e se il giocatore A non completa un full house, oppure se pesca un 2 sia al turn che al river.

La probabilità che scenda un 2 al turn o al river è 3/45 * 2/44

Per questo motivo:

Nel mazzo sono tre i 2 che rimangono: 2, 2, 2. La probabilità di pescarne uno di questi al turn è il numero di carte desiderate diviso il numero di carte rimaste nel mazzo. In questo caso ce ne sono 45. Tu conosci 2x2 carte, che sono quelle dei giocatori A e B, e le tre carte del flop.

Al river speriamo di avere due carte mentre nel mazzo rimangono 44 carte, per cui 1/330 = 0,3%.

Aggiungi a questo risultato la possibilità di completare un flush. La probabilità di un flush al turn è 9/45. Se la carta non è il K, il giocatore A non può vincere la mano, in quanto è drawing dead. In questo caso, i calcoli matematici sarebbero:

Con una probabilità di 8/45=17,7% il giocatore B vincerà subito, in 1/45 dei casi il giocatore A può completare un quad o un full house al river. Ciò accede in 9/44 = 20,5% delle volte per 2xA, 1xK, 3x7, 3x8.

Per il giocatore A è possibile che in 1/45 dei casi (probabilità che scenda K al turn) * 35/44 (probabilità del giocatore A di non completare né un quad né un full house) % = 1,7%.

Finora il giocatore B ha un'equity del 19,7%. A questo punto, dovete valutare il caso in cui al turn non scenderà alcun . Se il turn è un 7, 8 o K, il giocatore B ha bisogno di un che non sia K al river. Se al turn non scende nessuna di queste carte, qualsiasi sarà utile al giocatore B al river.

Per il giocatore B nel primo caso saranno: 9 (A, 7, 8 o K non K) / 45 * 8/44 = 3,63%, nel secondo caso, saranno 24 (nessun picche, nessun A, 7, 8 o K)/45 * 9/44 = 10,9%. Il giocatore B ha un'equity complessiva di = 35,76%.

Come puoi notare, i calcoli sono molto noiosi anche in un esempio semplice. Per questo motivo, non è opportuno calcolare scenari più complicati che tengano in considerazione dell'equity al preflop oppure dell'equity per i diversi hand range. Esistono tuttavia diversi strumenti in grado di semplificarti la vita. Utilizzando l'integrazione numerica, questi strumenti impiegano solo pochi secondi per calcolare tutte le equity persino negli scenari più complessi.

Uno strumento, come PokerStrategy.com Equilator, è in grado di calcolare l'equity in qualsiasi situazione di poker utilizzando dei metodi semplici. È possibile calcolare l'equity di singole mani come AA rispetto a KK oppure si possono comparare le diverse equity per gli hand range come QQ+, AK rispetto a JJ+, AQ, AK.

In questo modo, si possono analizzare le diverse strutture di board così come le carte "dead" (non utilizzate nei calcoli). Per farti un'idea delle diverse equity, dai un'occhiata alla seguente tabella:

È estremamente importante sviluppare una certa sensibilità per l'equity. In alcune situazioni è possibile approssimare l'equity usando dei metodi semplici, ma spesso non c'è abbastanza tempo per farlo.

Di conseguenza, la tua esperienza sarà la tua guida più importante. Dovresti memorizzare le percentuali di equity base e valutarle accuratamente mentre giochi. Puoi anche analizzare le tue decisioni a posteriori per affinare la tua sensibilità in fatto di equity. Torniamo ora al termine che abbiamo introdotto nella prima parte:

L'equity è direttamente correlata al valore atteso.

Le carte vengono distribuite fino allo showdown e ciascun giocatore ha la sua percentuale di equity che è pari a "1". Ripetendo la partita più volte, le vincite medie di ciascun giocatore rappresentano l'equity.

Insieme all'equity, puoi ora analizzare i tuoi primi calcoli dell'EV. Al termine di questo articolo, troverai un guida e alcuni esempi in merito.

Calcoli generali dell'EV

In che modo il calcolo dell'EV è utile se non puoi di fatto eseguirlo mentre giochi? L'EV è utile perché ti consente di analizzare la partita dopo aver giocato una mano. Questa analisi è molto importante se desideri fare dei progressi nel poker ed evitare di trarre conclusioni del tipo "Credo...", bensì avere una base scientifica per le conclusioni a cui giungi.

Chiunque impari a calcolare l'EV e si impegni a capire si troverà sicuramente meglio rispetto a chi si affida alle proprie "credenze". L'obiettivo di un calcolo dell'EV non è semplicemente calcolare un valore atteso puro, bensì sviluppare una certa sensibilità per capire come il tutto sia correlato. Ad esempio, quanto potresti vincere se l'avversario facesse fold, oppure quando potresti vincere se completassi la mano, e così via.

Di solito nel calcolo dell'EV emergono alcune domande: quanto deve essere il raise massimo a cui fare call? Qual è lo stack massimo dell'avversario che mi consente di andare all-in? Quali mani devono essere comprese nel suo range per rendere il mio call redditizio? L'interpretazione del tuo EV è ciò che ti consente di rispondere a queste domande.

La domanda più importante è: ho un EV positivo o devo fare fold?

L'EV di un fold è sempre zero. In termini matematici, è molto semplice. Se decidi di fare fold, è previsto un solo risultato possibile. Il valore assegnato a un fold è zero, in quanto facendo fold non devi pagare nulla. Non c'è quindi alcuna incertezza riguardo al fold, in quanto la probabilità è sempre 1.

Di conseguenza il tuo EV sarà: EV= 0 * 1 = 0. Il fold non incide sull'EV. Qualsiasi decisione diversa da un fold dovrebbe pertanto avere un EV pari a 0 o di più.

Il tuo punto di riferimento è iniziare con un EV pari a 0. La tua condizione reale è che EV>=0. Ammettiamo che EV=0, otteniamo un'equazione più che una disequazione. Per risolvere l'operazione, devi mantenere costanti tutte le variabili tranne una. Praticamente ciò significa che:

Se conosci le dimensioni del piatto e l'importo delle puntate, puoi calcolare l'equity che ti serve e vice versa. In questo modo, puoi ottenere le condizioni per altre azioni oppure giungere subito a una conclusione. In questo modo, puoi definire i requisiti per la tua equity o le azioni degli avversari per verificare se EV (>) = 0. Se vuoi scegliere una determinata linea, devi tenere in mente che le variazioni devono tendere verso la direzione +EV piuttosto che -EV.

Istruzioni per calcolare facilmente l'EV

È consigliabile calcolare l'EV in maniera sistematica come abbiamo fatto nell'introduzione ai fondamenti di matematica. Per prima cosa, ti servono tutti i possibili risultati. Negli scenari semplici, il risultato è di solito la vincita o la perdita del piatto oppure l'importo del call che devi effettuare.

Ci sono diverse espressioni equivalenti per l'EV. Noi utilizzeremo ora la seguente:

EV = Equity * (Win + Investment) - Investment

"Win" sta per tutti i soldi che puoi vincere, "Investment" è l'importo che devi pagare per darti la possibilità di vincere.

Ora che abbiamo finito con la noiosa teoria, analizziamo alcuni esempi:

Full-ring, 100BB Stacks

Pre-flop: Hero is BU with A, 2
1 fold, UTG2 calls, 1 fold, MP1 calls, 2 folds, CO calls, Hero calls, SB calls, BB checks

Flop: 3, 8, T (Pot: 6BB)
SB bets 5BB, BB raises 10BB, UTG2 folds, MP1 raises 15BB, CO folds, Hero?

La domanda è: Hero può fare call?

Quando ti trovi seduto al tavolo devi decidere per un senso o l'altro. Successivamente invece puoi tentare di calcolare il tuo EV.

EV = Equity * (Win + Investment) - Investment

In questo caso, considereremo solo le tue vincite dirette. Il piatto sarà pertanto: (6+5+10+15)BB = 36BB. La perdita possibile è 15BB, che dovresti già chiamare (considerando che l'investimento è negativo, perderesti 15BB).

La domanda dell'equity però rimane comunque. Tuttavia, per calcolare il tuo EV devi conoscere le mani degli avversari. Senza fare supposizioni, puoi calcolare l'equity di EV=0, che è un buon punto di partenza.

EV = 0 = Equity * (36BB + 15BB) - 15BB
15BB = Equity * ( 51BB )
15/51 = Equity

Ti basta vincere in poco meno del 33% dei casi per rendere il call redditizio (esattamente il 29%). All'inizio abbiamo imparato che questa è la percentuale di equity di un nut flush draw. Un call dovrebbe andare bene, a condizione che, completando la mano al turn, tu possa guadagnare di più. Puoi sicuramente fare call, vero?

Non proprio!

Questa analisi trascura due fatti importanti. Innanzitutto, non puoi essere sicuro di vedere il turn pagando i 15BB. Spesso SB o BB controrilanceranno di nuovo complicando ulteriormente i tuoi calcoli. A questo punto, devi calcolare il tuo EV nel seguente modo:

EV = P(NobodyRaise) * (Equity * (Win + Investment) - Investment) + P(SomebodyRaise) * (result of Somebodyraise)

P(Somebodyraise) è la probabilità di un altro rilancio, il cui risultato non viene preso in considerazione. Sarebbe molto complicato farlo, in quanto tutte le varie possibilità portano in una direzione diversa. Non è impossibile, ma molto complicato.

Esiste un altro problema: non puoi avere la certezza di ricevere la tua quota del piatto. I calcoli dell'equity danno per scontato che vedrai lo showdown. Per vedere lo showdown, però, potresti dover investire più soldi rispetto al flop, anche se non ci sono altri re-raise al flop, perché al turn potrebbero esserci delle puntate.

Di conseguenza, in questo caso, invece di calcolare l'equity dal flop al river, dovresti calcolare solo la probabilità di completare qualcosa al turn. Ciò si ottiene calcolando approssimativamente 8/45, ossia 17% (vuoi vedere un che non completi alcuna coppia sul board). In alternativa, puoi usare l'equity che varrebbe dal turn al river.

La tua equity è decisamente inferiore a quella necessaria per effettuare un call redditizio. Non abbiamo tenuto in considerazione che potresti vincere più dei soldi attualmente presenti nel piatto se dovessi completare la mano al turn.

C'è però il fatto che la tua non è l'ultima azione ad essere effettuata e che dopo di te qualcuno potrebbe ancora rilanciare (il che è anche abbastanza probabile) insieme al fatto che non potere effettuare un call redditizio è sufficiente per decretare il fold come decisione migliore.

La formula EV = Equity * (Win + Investment) - Investment funziona solo se non ci sono altre opzioni a parte vincere e perdere. Se ci fossero altre situazioni oltre a queste due, la formula diventerebbe più complessa. Utilizzando un diagramma ad albero, è chiaro che nel calcolo sarà necessario inserire tutti i possibili risultati. Utilizzeremo questa formula successivamente in questa serie di articoli.

Full-ring, 100BB Stacks

Pre-flop: Hero is BU with A 2
1 fold, UTG2 calls, 1 fold, MP1 calls, 2 folds, CO calls, Hero calls, SB calls, BB checks

Flop: 3, 8, T (Pot: 6BB)
SB bets 5BB, BB calls 5BB, UTG2 folds, MP1 calls 5BB, CO folds, Hero?

La situazione è simile ma Hero è l'ultimo ad agire. Hero può fare call e vedere il turn oppure fare fold. Ancora una volta, utilizzeremo la formula:

EV = 0 = Equity * (6BB + 5BB*4) - 5BB
Equity = 5BB/(6BB+5BB*4) =  0.19 = 19%

Se analizzassimo ancora una volta l'equity per un flush draw dal flop al turn, ci orienteremmo di nuovo verso un call. Aggiungendo la possibilità di vedere gratuitamente il river e altre streets oppure quella di vincere dei soldi al turn, il call è preferibile a qualsiasi altra azione.

In che modo l'analisi dell'EV può essere utile? L'analisi dell'EV ti offre una base matematica. Puoi verificare se una decisione presa durante il gioco risulta ancora la linea migliore una volta analizzata la mano, prendendo in considerazione le dimensioni precise del piatto e della puntata così come l'equity.

L'opinione di altri giocatori esperti è particolarmente utile quando è impossibile elaborare un'analisi dettagliata dell'EV per via dei troppi scenari differenti che potrebbero presentarsi nella mano incrementando troppo il numero di variabili da considerare. Oltre all'analisi statistica da un database, non esiste nessun'altra linea guida rispetto all'esperienza personale degli altri giocatori.

Ultimo, ma non per importanza, è l'esempio che illustra una situazione di all-in.

Full-ring, 100BB Stacks

Pre-flop: Hero is CO with Q J
UTG+1 calls 1BB, 5 folds, Hero raises 5BB, BU calls 5BB, SB folds, BB folds, UTG+1 calls 4BB

Flop: A, K, 5 (Pot: 16,5BB)
UTG+1 checks, Hero bets 14BB, BU raises 36BB, UTG+1 is All-In, Hero?

Hero può effettuare un call redditizio? Analizziamo le variabili. Se non completi la mano, perdi 81BB.

Bisogna fare un'altra supposizione (realistica): BU non passerà la mano dinanzi al tuo call. Per giocare in un piatto di 300BB deve fare call con 59BB e quasi sempre lo farà. Di conseguenza, puoi vincere 215,5BB (100BB da UTG+1 e BU, 1,5BB dead money e 14BB che Hero ha già puntato). Ti serve pertanto la seguente equity per un call break-even:

81/( 301,5 ) = 0,27=27%

Se la tua equity supera il 27%, puoi fare call. In questo caso, per calcolare approssimativamente la tua equity, puoi usare uno strumento ben rodato, ossia analizzare lo scenario peggiore. Per questo motivo, assegni all'avversario quelle che sarebbero per te le peggiori carte possibili.

Se continui ad avere sufficiente equity (o se ci sei molto vicino), puoi dare per scontato che un call sia redditizio, in quanto lo scenario peggiore possibile raramente si materializza. In questo caso, la peggiore combinazione possibile sarebbe un set e un altro flush draw. Il flush draw ti ruba alcuni outs, mentre il set è attualmente la mano migliore e ha possibilità di re-draw contro il tuo flush. Si ottiene così il seguente scenario:

Analisi dell'equity
Board	A K 5
	Equity	Win	Split	Loss	Hand
Giocatore 1	28,57%	28,57%	0%	71,43%	Q J
Giocatore 2	70,43%	70,43%	0%	29,57%	AA
Giocatore 3	1%	1%	0%	99%	T 9

Ne consegue che un call è indubbiamente redditizio. La tua equity non può essere peggiore di quella presentata in questo scenario. Tieni presente che lo straight draw e il flush draw puntano verso i nuts. Se così non fosse, i calcoli sarebbero molto più complicati.

Conclusione

In questo articolo, hai scoperto i fondamenti di matematica e la relativa terminologia del No Limit Hold'em e come applicarli.

Nella seconda parte di questa serie analizzeremo gli hand range, la fold equity e i reverse implied odds per studiare esempi più complessi.

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