Matematica: come ci aiuta il valore atteso (EV)?
Introduzione
In questo articolo
- EV = Guadagno * Probabilità di guadagno - Perdita * Probabilità di perdita
- Come calcolare l'azione migliore
- Come applicare la formula EV per analizzare il vostro gioco
Il valore atteso di un'azione indica a quanto ammontano più o meno i profitti o le perdite di un'azione. Nel poker potrete sapere sempre quale sarà la decisione migliore nel momento in cui conoscerete il valore atteso di tutte le possibili azioni.
Se ad esempio vi trovate a dover scegliere tra vedere una puntata o passare la mano, il valore atteso vi consentirà di calcolare esattamente quale sia la migliore decisione possibile. Lo stesso procedimento vale in molti casi anche utilizzando gli odds e gli out, concetti che dovrebbero ormai essere necessariamente assimilati. Il valore atteso, tuttavia, vi consente di andare ben oltre.
In questo articolo vi verrà illustrato in che modo calcolare il valore atteso di un'azione. Scoprirete inoltre come individuare, grazie a questo valore, l'azione migliore tra una serie di alternative. Vi verrà inoltre chiarito come applicare il valore atteso per tale scopo, come analizzare a posteriori le situazioni di gioco e come rispondere a domande del tipo "cosa doveva essere quando...?" oppure "cosa sarebbe successo se avessi effettuato questa azione?".
Per comprendere a pieno il contenuto di questo articolo, è indispensabile aver compreso il principio degli odds e degli out. Allo stesso modo, dovreste eventualmente rispolverare alcune reminiscenze di matematica relative ai principi sul calcolo delle probabilità e sulla risoluzione delle equazioni e dei sistemi di equazioni.
Come si calcola il valore atteso?
Prendiamo il caso in cui qualcuno vi fa un'offerta. Vi mostra due buste. In una ci sono 5 euro, nell'altra 20. Potete vederle, toccarle, sentire la banconota, ma oltre a questo non notate alcuna differenza.
Nel momento in cui date all'avversario 10 euro, potete prendere una busta. Dovreste farlo? La risposta ve la suggerisce il valore atteso, in quanto vi dice che profitti o perdite accumulerete in media compiendo ripetutamente questa trattativa.
Per calcolare l'EV (valore atteso), si richiedono quattro valori:
- Quanto potete perdere?
- Quanto potete vincere?
- Quanto è alta la probabilità che vinciate?
- Quanto è alta la probabilità che perdiate?
Il valore atteso viene abbreviato nella sigla EV e viene calcolato mediante una semplice formula.
In questo modo si compensano i profitti e le perdite. Questo è il valore atteso: quanto rimane alla fine dei conti? Questa formula tra l'altro è solo una versione particolare di una formula di partenza più generica. Nella formula in alto si fa un'ulteriore distinzione tra guadagno e perdita. In generale i guadagni e le perdite possono essere chiamati anche saldo. Se il saldo è positivo, allora state realizzando un guadagno; se è negativo, allora state subendo delle perdite.
La formula generale si presenta nel seguente modo:
La formula sembra semplice:
- Cosa può succedere?
- Saldox: quanto incassate o versate quando si verifica un evento x?
- Probabilitàx: quanto è probabile che questo evento si verifichi?
A questo punto, invece di elencare singolarmente i profitti e le perdite, verificate semplicemente quale sia il risultato una volta che si verifica uno piuttosto che un altro evento. Il saldo può quindi essere positivo (si realizzano profitti), ma anche negativo (si subiscono perdite). Per questo motivo, nella formula non viene riportato il segno meno (-). Le perdite hanno il segno negativo (-), per cui il più (+) diventa automaticamente meno (-).
Prendendo in considerazione tutti i possibili esiti di una situazione, è possibile calcolare esattamente il valore atteso. È sufficiente chiedersi cosa possa succedere. Quindi per ogni possibile evento, cercate di scoprire quando riuscite a ottenere profitti o perdite. Infine, cercate di capire quale sia la probabilità con cui si può verificare ognuno dei possibili eventi. Moltiplicate quindi il relativo guadagno o profitto con la probabilità che si verifichi la situazione ipotizzata e sommate alla fine i singoli risultati.
Nell'esempio preso in considerazione, la probabilità che scegliate una piuttosto che l'altra busta è pari a 50:50, in altre parole esiste il 50% di probabilità che scegliate la busta A e altrettanto per la busta B.
Ciò significa che per il 50% di probabilità vincerete i 5 euro contenuti nella busta A e per un altro 50% vincerete i 20 euro della busta B. Ciò che perderete in ogni caso sono i 10 euro che puntate per poter aprire una busta. In altre parole, nel 100% dei casi perderete 10 euro.
Rappresentiamo quanto detto finora mediante la formula illustrata in alto:
- Al 100% perderete 10 euro, in quanto li dovrete versare in ogni caso.
- Al 50% vincerete 5 euro.
- Al 50% vincerete 20 euro.
La formula si rappresenta nel seguente modo:
EV = Guadagno(Busta A) * 50% + Guadagno(Busta B) * 50% – Perdita(Puntata) * 100%
EV = 5 Euro * 50% + 20 Euro * 50 % - 10 Euro * 100%
Il 50% è sempre la metà. Il 50% di 5 euro sono quindi 2,50 euro, mentre il 50% di 20 euro sono 10 euro.
EV = 2.50 Euro + 10 Euro – 10 Euro
EV = 2.50 Euro
Ciò significa che maturate in media 2,50 euro di guadagno se effettuate la trattativa. Il valore atteso è quindi positivo e la situazione è +EV a vostro vantaggio. I concetti "più EV" oppure "meno EV" ricorrono spesso nel poker e nella community di PokerStrategy. Ora ne conoscete anche il significato.
Come operare la scelta migliore utilizzando l'EV?
Fin qui sembra tutto semplice. Il tutto però potrebbe complicarsi nel momento in cui iniziate ad analizzare le situazioni di gioco. Quando ad esempio in una partita vi trovate al turn dinanzi alla scelta tra call e fold, allora dovrete fare solo una cosa: calcolare il valore atteso sia per il call che per il fold. Mettete quindi a confronto i due valori; il più alto dei due vi indicherà qual è l'azione migliore da compiere.
Facciamo ora un esempio astratto. Abbiamo due eventi A e B. La probabilità che si verifichi l'evento A è pari all'80%, mentre l'evento B si verificherà di conseguenza nel 20% dei casi.
| Si verifica evento A | Si verifica evento B | |
| Probabilità | 80% | 20% |
In questo esempio, potete scommettere o sull'evento A o sull'evento B. Se puntate sull'evento A e questo si verifica realmente, allora vincerete due euro. Ne perderete tuttavia quattro, se si dovesse verificare l'evento B.
Parimenti, potreste scommettere sull'evento B e vincere quattro euro, qualora si dovesse verificare. In caso contrario, ossia se si dovesse verificare l'evento A, allora perdereste due euro.
| Si verifica evento A | Si verifica evento B | |
| Avete scommesso su A | Vincete 2€ | Perdete 4€ |
| Avete scommesso su B | Perdete 2€ | Vincete 4€ |
A questo punto, per capire se sia meglio scommettere su A o su B, calcoliamo il valore atteso della scommessa su A o su B. Alla fine, mettiamo a confronto i due valori.
EV = Guadagno * Probabilità di guadagno – Perdita * Probabilità di perdita
EV(A) = 2€ * 80% - 4€ * 20%
EV(B) = 4€ * 20% - 2€ * 80%
Il valore atteso di A si ottiene considerando che da un lato nell'80% dei casi si vincono 2 euro e dall'altro nel 20% dei casi si perdono 4 euro, ovviamente nel caso in cui si verifichi l'evento B. Eseguiamo quindi il calcolo.
EV(A) = 2€ * 80% - 4€ * 20%
EV(A) = 1,6€ - 0,8€
EV(A) = 0,8€
Da questo risultato, è evidente che scommettere su A produce profitti, in quanto il valore atteso è positivo. Ogni qual volta punterete su A, vincerete in media 80 centesimi. Qual è la situazione per B?
EV(B) = 4€ * 20% - 2€ * 80%
EV(B) = 0,8€ - 1,6€
EV(B) = -0,8€
È subito evidente che puntare su B comporta una perdita, in quanto il valore atteso è negativo. Ciò significa che ogni qual volta punterete su B, perderete in media 80 centesimi.
Mettendo a confronto i due valori attesi, EV(A) e EV(B), vi renderete subito conto che EV(A) è superiore a EV(B).
EV(A)>EV(B)
Da un lato, si hanno 80 centesimi di guadagno, dall'altro 80 centesimi di perdita. È palese quindi che la decisione migliore sia scommettere su A. Con questo esempio, si è quindi illustrato un principio fondamentale del poker.
Questo principio è fondamentale. Prestate attenzione anche alla formulazione. Non cercate l'azione che vi porta più guadagni in assoluto, bensì quella con il valore atteso più elevato. Potrebbe anche essere negativo, il che significa che subite una perdita. Ciò nonostante, l'azione corrispondente potrebbe essere la migliore, se tutte le altre azioni vi causerebbero perdite ancora maggiori.
A cosa serve il valore atteso nel Texas Hold'em?
Prendiamo il caso in cui al turn vi troviate a giocare contro un avversario.
Voi avete: T
9
Il board: 6
7 2 4
Avete in mano un gutshot straightdraw e avete bisogno di un Otto per ottenere una straight. Siete sicuri che il vostro avversario abbia una overpair, probabilmente due Donne o Re.
I vostri out sono clean, quindi avete bisogno di uno dei quattro Otto del mazzo per vincere la mano. Si tratta di quattro carte su un totale di 46, ancora presenti nel mazzo. La probabilità che scenda un Otto al river è pari a 4/46, corrispondente all'incirca a 0,087, ossia 8,7%. Questa percentuale corrisponde alla probabilità di guadagno.
La probabilità di perdita non è altro che la probabilità che non venga distribuito alcun Otto, bensì una delle 42 (46 – 4 = 42) carte del mazzo. Sarà pari quindi a 42/46, uguale a 0,913 ossia 91,3%.
A questo punto, mancano ancora i valori di guadagno e perdita. Il piatto è pari a €5. L'avversario punta €1, per cui il piatto ammonta a €6. Questa è la somma che potreste vincere.
Potreste invece perdere un euro, che dovevate comunque versare.
Il valore atteso nel caso in cui vediate la puntata è pari a:
EV(call) = Guadagno * Probabilità di guadagno – Perdita * Probabilità di perdita
EV(call) = €6 * 8,7% - €1 * 91,3%
EV(call) = - €0,39
Il risultato è negativo, per cui subirete una perdita. Per ciascun euro puntato, 39 centesimi andranno all'avversario. Voi invece riceverete indietro 61 centesimi dei 100 originari. Si tratta quindi di un cattivo investimento. Ricevete indietro meno di quanto avete puntato, per cui si ha un -EV.
Nella vita reale, non rimarrete certo fossilizzati in questa situazione. Il fatto che un call comporti una perdita non dice nulla sul quanto possa essere il vostro valore atteso se decideste ad es. di fare fold.
Il valore atteso di un fold è sempre pari a zero.
EV(fold) = €0
È meglio non investire più altri soldi. Le vostre possibili perdite sarebbero in tal caso pari a zero. Ma lo sarebbero anche i vostri possibili guadagni, in quanto facendo fold non potrete più vincere la mano. D'altronde bisogna ricordare che le puntate versate in precedenza nel piatto non hanno più alcun significato. Quei soldi sono ormai persi.
Per capire se sia meglio fare call o fold, è necessario mettere a confronto i due valori attesi:
EV(fold) = €0
EV (call) = -€0,39
EV(fold) > EV(call)
Ne consegue che ve la passate meglio se fate fold anziché call.
Cosa comporta ancora il valore atteso?
Giocare a poker significa sempre trovare l'azione con il più alto valore atteso tra tutte le azioni possibili. Se il valore atteso di un'azione è maggiore di 0, allora produrrete profitti.
Facciamo delle prove con la formula presentata in alto, cosa che dovreste fare ad esempio nel momento in cui analizzate le mani in cui non eravate sicuri. Nell'esempio precedente in cui voi avevate un gutshot al turn e l'avversario aveva puntato €1, vi dovevate chiedere: quanto dovrebbe essere grande il piatto affinché io possa vedere la puntata da €1 e ottenere profitti con il mio gutshot?
In questa formula, il piatto corrisponde al possibile guadagno.
EV(call) = Guadagno * Probabilità di guadagno – Perdita * Probabilità di perdita
Vi serve sapere quando il valore atteso risulta positivo, ossia quando si verifica quanto segue:
EV(call) > 0
A questo punto, possiamo confrontare le due formule. Ne consegue che:
EV(call) > 0, se:
Guadagno * Probabilità di guadagno – Perdita * Probabilità di perdita > 0
Risolviamo quindi la formula utilizzando la variabile guadagno, che alla fine è quello che ci interessa. Se avete difficoltà a tal riguardo, consultate su internet i siti dedicati alle regole di conversione.
EV(call) > 0, se:
Guadagno * Probabilità di guadagno – Perdita * Probabilità di perdita> 0
Guadagno * Probabilità di guadagno > Perdita * Probabilità di perdita
Guadagno > Perdita * Probabilità di perdita / Probabilità di guadagno
Per le tre variabili sulla colonna di sinistra, disponiamo dei valori concreti:
Perdita = €1
Probabilità di perdita= 42/46
Probabilità di guadagno= 4/46
Si ottiene quindi il seguente risultato:
EV(call) > 0, se:
Guadagno > Perdita * Probabilità di perdita / Probabilità di guadagno
Guadagno > €1 * 42/46 / (4/46)
Guadagno > €1 * 1932/184
Guadagno > €10.5
Il piatto deve quindi essere superiore a €10,5, in cui vale la pena puntare €1. Ciò era stato chiarito già nell'articolo dedicato agli odds e agli out. Gli odds per il gutshot straightdraw al turn sono pari a 1:11. In quell'articolo si era chiarito che è possibile versare una puntata se si riceve indietro almeno 11 volte tale somma.
Nel calcolare il valore atteso, siete quindi giunti allo stesso risultato che già conoscevate in relazione agli odds. Come si è detto, la probabilità che peschiate uno dei vostri quattro out del gutshot è pari a 4/46, che fa circa 0,087, ossia 8,7% (basta moltiplicare per 100). Questa è la probabilità che venga distribuito uno dei vostri out.
In altre parole, in circa un caso su 12 (100% / 8,7%), potete completare il vostro gutshot formando una scala. Secondo la convenzione grafica americana, questo rapporto è pari a 11:1, ossia in 11 casi non pescate alcun out, mentre in un caso sì. In questo modo, si giunge di nuovo al noto rapporto degli odds di 11:1. Di conseguenza, potete convertire il valore atteso direttamente nella convenzione utilizzata per indicare gli odds e i pot odds.
Percorsi diversi per lo stesso principio.
Conclusione
Riassumiamo: per calcolare il valore atteso, mettete semplicemente a confronto i guadagni e le perdite, a seconda di quanto alta sia la probabilità che maturiate guadagni o perdite.
EV = Guadagno * Probabilità di guadagno – Perdita * Probabilità di perdita
In questo modo, saprete quanti guadagni o perdite si producono in media.
In molti casi potrete applicare la formula generale in cui guadagni e perdite vengono contrassegnati semplicemente come saldo. Se il saldo è negativo, allora subirete delle perdite; mentre se è positivo, produrrete profitti.
EV = Saldo1 * Probabilità1 + Saldo2 * Probabilità2 + … + Saldon * Probabilitàn
Per analizzare una situazione di gioco, potrete quindi ragionare sui possibili sviluppi della partita, sulla probabilità che si verifichino e sull'importo del guadagno o della perdita per ciascuno di essi. Inserite queste variabili nella formula e come risultato otterrete il valore atteso.
Se vi trovate di fronte a diverse scelte plausibili e desiderate sapere quale sia la più remunerativa, allora calcolate il valore atteso per ogni possibile azione. Infine mettete a confronto tutti i valori attesi, il più elevato vi indicherà quale sarà l'azione migliore.
In questo articolo, avete scoperto come sia possibile gettare basi matematiche più solide per il vostro gioco utilizzando il valore atteso. All'inizio i vari calcoli possono sembrare complicati, ma in fin dei conti sono piuttosto semplici. Se quanto detto non vi è del tutto chiaro o avete dei dubbi, allora utilizzate il forum per rivolgere le vostre domande.
Molte delle teorie di gioco e degli articoli di strategia di prossima pubblicazione presuppongono la perfetta conoscenza del valore atteso. Pertanto dedicate a questo argomento il tempo debito, in quanto l'acquisizione del principio del valore atteso così come quello degli odds e degli out rappresenta una pietra miliare nella formazione di un pokerista.
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