Equilibrio di Nash e frequenze di bluffing/calling

Introduzione

In questo articolo

• Un'introduzione alla teoria dei giochi
  
• L'equilibrio di Nash e le sue implicazioni
  
• Le frequenze di betting e calling
  

La teoria dei giochi è una branca della matematica che analizza alcuni tipi di situazioni conflittuali o di gioco. In questo contesto, il termine "gioco" indica quelle situazioni in cui svariati partecipanti si sfidano per impossessarsi di alcune risorse e in cui ciascun partecipante segue una strategia, che può avere una componente cooperativa e può produrre profitto.

Un concetto cruciale nella teoria dei giochi è il cosiddetto Equilibrio di Nash, che descrive uno stato di equilibrio strategico tra i giocatori, in cui ciascun giocare conosce la migliore risposta all'azione avversaria e nessun giocatore è in grado di aumentare il proprio profitto qualora fosse l'unico a modificare la propria strategia.

Questo articolo presenta un'introduzione alla teoria dei giochi, uno sguardo agli equilibri di Nash come strategia risolutiva e l'applicazione degli equilibri di Nash attraverso l'esempio delle frequenze di
betting e calling. Per comprendere questo articolo, è necessario possedere alcune conoscenze principali nell'ambito della teoria delle matrici.

Breve introduzione alla teoria dei giochi

In senso matematico, un gioco è composto da:

• un insieme di giocatori;
• un insieme di tutte le strategie (pure) di tutti i giocatori, una per ciascun giocatore;
• una funzione che associa a ciascun profilo strategico (ossia ad ogni scelta strategica dei giocatori) una matrice di payout, che determina il payout per ciascun giocatore. Questa funzione determina il risultato ottenuto dai giocatori che scelgono una determinata strategia per giocare.

La restante parte dell'articolo è dedicata al gioco con due partecipanti, in tal caso un gioco può essere molto facilmente rappresentato da due matrici A e B, m x n.
Il giocatore 1 quindi ha m strategie (S1,...,Sm) mentre il giocatore 2 ha n strategie (S'1,...,S'n). Se il giocatore 1 sceglie la strategia Si e il giocatore 2 sceglie S'j, allora il payout sarà Aij per il giocatore 1 e Bij per il giocatore 2.

payout per il giocatore 1:

I giocatori possono utilizzare anche strategie miste, ciò significa che una serie di strategie pure vengono giocate con una determinata probabilità, che chiaramente somma al 100%. Una strategia mista può essere rappresentata da un vettore p, in cui pi
rappresenta la probabilità che venga giocata la strategia i.

Se il giocatore 1 applica la strategia mista p da Rm e il giocatore 2 applica la strategia mista q da Rn, allora si otterranno i payouts  pAq e pBq. Per le strategie pure, ciò riconduce alla voce corrispondente nella rispettiva matrice.

Per il giocatore 1, la strategia p viene definita come la 'migliore risposta' alla strategia q del giocatore 2, se p produce il payout massimo per il giocatore 1, ossia se si verifica quanto segue:

pAq >= p'Aq per tutte le strategie p' del giocatore 1.

Per analogia, per il giocatore 2 la strategia q viene definita come la migliore risposta alla strategia p del giocatore 1, se si verifica quanto segue:

pBq >= pBq' per tutte le strategie q' del giocatore 2.

Una coppia di strategie (p,q), in cui p è la strategia del giocatore 1 e q quella del giocatore 2, viene definita 'Equilibrio di Nash (NEQ)' se p è la migliore risposta a q e q è la migliore risposta a p.

È dimostrabile che esista almeno un NEQ in ciascun gioco, sebbene non necessariamente nelle strategie pure.

Un NEQ non è necessariamente un ottimo di Pareto (un NEQ è un ottimo paretiano se, non potendo modificare il NEQ, uno dei due giocatori riceve un payout maggiore senza ridurre il payout dell'altro giocatore).
D'altro canto, una coppia di strategie ottimale per Pareto non è necessariamente un NEQ. Un esempio noto per una simile coppia di strategie è il dilemma del prigioniero, che però non tratteremo nei dettagli. Altri aspetti interessanti dell'equilibrio che non verranno però presi in esame sono le strategie evolutivamente stabili (in inglese) e l'equilibrio correlato.

Se entrambi i giocatori hanno solo due strategie pure, allora esiste un metodo molto semplice per determinare quale strategia produrrà il NEQ, in questo caso si può utilizzare l'esempio A=B=I2 riportato in alto.

La strategia p del giocatore 1 ha la forma (a,1-a) con a pari a [0,1], mentre la strategia del giocatore 2 ha la forma (b,1-b) con b pari a [0,1]. Ora cerchiamo la migliore risposta del giocatore 1 alla strategia (b,1-b) del giocatore 2: per fare ciò, è possibile confrontare i payouts delle strategie (1,0) e (0,1) (ad esempio i payouts delle strategie pure in ciascuna delle due righe).

Se il giocatore 1 sceglie la prima riga della matrice, allora il suo payout sarà b,
mentre se sceglie la seconda riga, il suo payout sarà 1-b. Per b >
1-b, che equivale a b > 0.5, la migliore risposta è la prima riga, in altre parole a = 1. Parimenti, per b < 0.5 la seconda riga è la migliore, vale a dire a = 0. Per b = 0,5 il giocatore 1 riceve un payout di 1. Pertanto, qualsiasi strategia è la risposta migliore.

Ripetiamo questa procedura per il giocatore 2. Data la simmetria dell'esempio, poniamo b=1 per a > 0.5, b = 0 per a < 0.5 e qualsiasi b pari a [0,1] per a = 0.5.

I NEQ sono definiti come una coppia di strategie, in cui ciascuna strategia è la migliore risposta alla strategia dell'avversario. In un grafico, i NEQ corrispondono all'intersezione degli insiemi.

I NEQ di questo gioco sono ((1,0),(1,0)), ((0,1),(0,1)) e ((0.5,0.5),(0.5,0.5)).

Frequenze di betting/calling

Esaminiamo la seguente situazione: il giocatore 1 (out of position) e il giocatore 2 (in
position) si trovano al river e la forza della mano del giocatore 2 è piuttosto palese. Il giocatore 1 sa se è in vantaggio e il giocatore 2 sa che il giocatore 1 lo sa.

Se il giocatore 1 riesce a battere la mano del giocatore 2, allora il giocatore 1 farà chiaramente una value bet (il giocatore 2 farà sempre check behind, sapendo che il giocatore 1 sa chi è in vantaggio). La risposta alla domanda su quante volte il giocatore 1 dovrebbe bluffare dipende chiaramente dall'avversario. Ad esempio, non dovrebbe bluffare contro un calling station, ma dovrebbe farlo contro un avversario debole. Per il giocatore 2, la decisione se fare call o fold dopo una bet del giocatore 1 dipende allo stesso modo dall'avversario.

Questa situazione può essere presentata come un gioco:

• Il giocatore 1 applica le strategie (pure) bluff e evitare di bluffare. Una strategia mista
  (a,1-a) sarebbe quindi una strategia in cui il giocatore 1 starà bluffando con la probabilità a mentre punterà con probabilità 1-a(anziché una strategia in cui il giocatore 1 starà bluffando con la probabilità a quando avrà una mano scadente. Ulteriori informazioni in merito sono riportate nel terzo paragrafo);

• Il giocatore 2 applica le strategie (pure)
  call e fold. Una strategia mista (b,1-b)
  sarebbe una strategia in cui il giocatore 2 farà call con la probabilità b quando il giocatore 1 punterà.

Le migliori risposte alle strategie degli avversari sono relativamente semplici da determinare, come vi mostreremo a breve (ammettiamo che la puntata del giocatore 1 sia pari a x*potsize):

Per poter effettuare un call redditizio, il giocatore 2 deve essere in vantaggio in x*piatto /
(x+2) * piatto = x/(x+2) casi. Ciò significa che la migliore risposta del giocatore 2 alla strategia (a,1-a) è un fold (ossia (0,1) o b=0) se si verifica a .

Se a>x/x+2, allora la migliore risposta del giocatore 2 è un call (ossia (1,0)
o b=1). Se a=x/(x+2), allora qualsiasi strategia (b,1-b) con b pari a [0,1] sarà la risposta migliore.

Affinché il giocatore 1 sia in grado di bluffare in maniera redditizia, il bluff deve risultare vincente in x*piatto/(x+1)*piatto = x/(x+1) casi, ossia il giocatore 2 deve fare fold in almeno x/(x+1) casi.

Ciò significa che la migliore risposta del giocatore 1 a (b,1-b) con b>x/(x+1) non sarà mai bluffare (ossia (0,1) o a=0). La migliore risposta del giocatore 1 a b è di bluffare sempre (ossia (1,0) o a=1). Inoltre tutte le strategie sono la migliore risposta per b=x/(x+1).

Si ottiene esattamente un NEQ: ((x/(x+2)),1-x/(x+2)),(x/(x+1),1-x/(x+1))).

Implicazioni pratiche dell'equilibrio di Nash

Esaminiamo ora la situazione dal punto di vista del giocatore 2. Ammettiamo che x = 1 sia vero, ossia il giocatore 1 effettua una bet pari alle dimensioni del piatto. Ciò fa sì che (0.5,0.5) corrisponda a NGG. Se si verifica casualmente che il
giocatore 2 faccia call per il 50% delle volte e fold per il restante 50%, allora il giocatore 2 non è sfruttabile in questa situazione, ossia l'avversario del giocatore 2 non può prendere una decisione in grado di migliorare il suo valore atteso.

Qualsiasi delle sue strategie sarà in pari misura una risposta ottimale alla nostra strategia.
Ciò nonostante, la strategia (0.5,0.5) non è chiaramente la migliore risposta alla strategia del giocatore 1. Idealmente, noi avremmo sempre a disposizione la migliore risposta. Se, ad esempio, l'avversario è un rock, allora sarà abbastanza semplice prevedere la sua strategia e scegliere la risposta migliore. In questa situazione, non vi verrebbe neanche in mente di fare call nel 50% dei casi contro un rock.

Ciò nonostante, gli avversari esperti cambieranno di continuo la loro strategia e tenteranno di adattarsi al nostro stile, mentre noi tenteremo di adattarci ai cambiamenti effettuati dall'avversario e così via. In linea di principio, noi saremo sempre un passo in avanti, penseremo ad un piano superiore rispetto al nostro avversario. A quel punto saremo in grado di prevedere la strategia dell'avversario abbastanza accuratamente, ossia potremo giudicare la probabilità con cui l'avversario potrà bluffare in un determinato punto del gioco (inteso nel senso stretto del termine).

Sfortunatamente, ci troveremo anche di fronte ad avversari che su questo aspetto sono più bravi di noi, ossia che pensano ad un livello superiore rispetto a noi. Contro simili avversari, è preferibile giocare una strategia che non sia sfruttabile. In questo modo, l'avversario non potrà sfruttare il vantaggio di riuscire a leggerci meglio di quanto noi riusciamo a fare con lui. Se scambiassimo le carte con l'avversario, vinceremmo la stessa somma che l'avversario avrebbe vinto da noi, in quanto siamo in grado di scegliere nuovamente una strategia che sia un NGG.

Osservazioni conclusive

a)
Se, ad esempio, avete deciso di effettuare un'azione nel 50% dei casi, allora indipendentemente che la effettuiate o meno, dovrà essere ogni volta la più casuale possibile e non predeterminata da un sistema facilmente individuabile. Esistono diversi aspetti utilizzabili come un semplice generatore casuale, ad esempio la lancetta dei secondi dell'orologio o la carta al river, per cui si fa call se il valore della carta è pari. Anche questo tipo di generatore casuale può essere prevedibile se risulta troppo scontato e gli avversari sono estremamente attenti.

b) Come è stato già detto nel secondo paragrafo, quando il giocatore 1 applica la strategia (a,1-a) pensa che la probabilità che il giocatore 1 possa bluffare sia in generale pari ad a, piuttosto che la probabilità del giocatore 1 di bluffare sia pari ad a se ha una mano scadente. Per questo motivo, conoscere il valore a non ci dice immediatamente quante volte dovremmo bluffare se fossimo il giocatore 1. Bisogna sapere quante volte si ha realmente la mano che si intende rappresentare sotto forma di bluff.

Ad esempio, immaginiamo di avere un board del tipo JsTs4 2, voi avete chiaramente un draw (straight o flush) e il giocatore 2 ha una made hand. Se il river è 6s, con cui si completano possibili flush draw, e voi avete KQ,
allora per determinare quante volte bisogna bluffare, dovreste considerare quante volte avreste un flush.

(As9s-As5s, As3s, As2s, 9s7s, 8s7s, 8s6s, 7s6s, 7s5s, 6s5s, 5s3s) è un esempio di range realistico, costituito da 14 mani distinte. E proprio tante volte avrete un busted straight draw (7 combinazioni per ciascun
KQ e 98, premesso che precedentemente abbiate giocato OESD+FD in maniera differente).

Se ora intendete bluffare con una probabilità di 1/3, ossia bluffare in un terzo dei casi, allora avrete bisogno di 7 diverse mani per bluffare con (7/(14+7)=1/3). Di conseguenza, se avete un busted draw, dovrete bluffare nel 50% dei casi: (7/14 = 1/2).

Se in questa situazione riuscite ad eliminare 98 (magari grazie all'azione al preflop), allora non avrete un flush in solo il 33% dei casi, il che significa che dovreste bluffare tutte le volte che non avete un flush.

c) Se vi trovate nella posizione del giocatore 2 e vi aspettate che il giocatore 1 bluffi con una frequenza che corrisponde pressappoco al NEQ, allora dovreste fare call ogni qual volte che avete un *blocker* in mano. Un blocker è una carta che fa parte di una delle mani che l'avversario sta rappresentando, diminuendo così la probabilità che l'avversario abbia realmente ciò che sta rappresentando.

Ammettiamo che nell'esempio del punto b) abbiate AsJd , allora 7 delle 14 mani flush risultano impossibili, in quanto contengono As, e pertanto risultano
*blocked*. Se l'avversario utilizza il metodo descritto in b), allora calcolerà una frequenza di bluffing sbagliata per i suoi busted draw, pensando di avere un flush più spesso di quanto sia nella realtà. Ciò lo indurrebbe a bluffare nel 50% dei casi anziché nel 33%.

La situazione è simile se il river fosse un 9 anziché un 6 e voi aveste QQ. Se gli avversari puntano, rappresentano KQ e metà di tutte le combinazioni KQ possono essere scartate.