Valore atteso dei push post-flop

Introduzione

In questo articolo

• Stimare il range dell'avversario in una situazione di push post-flop
  
• Determinare l'EV usando il range stimato
  
• Modello generale per il calcolo dell'EV post-flop con Fold Equity variabile
  

I giocatori discutono spesso dell'EV dei push preflop, ma il calcolo dell'EV si può applicare anche alle decisioni post-flop. Supponendo che esistano N risultati possibili, l'EV è dato da:

[cioè sommatoria per i che va da 1 ad N della probabilità del risultato i per la vincita derivante dallo stesso. N.d.T.]

Supponiamo di avere un piatto heads-up con due possibili risultati – il nostro avversario può chiamare o foldare. Per determinare la probabilità di ciascuno dei due risultati, dobbiamo analizzare il suo range per capire quante combinazioni di mani comprende, e con quante di queste folderà contro un nostro push. La vincita in caso di un suo fold è la dimensione attuale del piatto, mentre quella in caso di call è essa stessa un calcolo di valore atteso che dipenderà dalla nostra equity contro il suo range di call.

Andiamo ora nello specifico, e vediamo un calcolo del genere in una mano che ho giocato di recente. Analizzeremo la funzione che lega il valore atteso alla fold equity.

$35 180-man SNG - Blinds $25-$50

Preflop: Hero is on the button with
4 folds, MP2 calls $50, 2 folds, Hero raises to $175, 2 folds, MP2 calls $125

Flop: ($425) (2 players)
MP2 checks, Hero bets $220, MP2 calls $220

Turn: ($865) (2 players)
MP2 checks, Hero?

Oppo ha 1200 di stack dietro, e noi lo copriamo. La domanda è: qual è l'EV di un push in Semi-Bluff?

Restringere il suo range

Cominceremo a rispondere a questa domanda restringendo il range dell'avversario una street alla volta.
Preflop chiama probabilmente con un range molto largo, forse tutte le coppie (tranne le premium, che supponiamo che rilanci), tutti gli assi suited, tutti gli assi offsuit con kicker dal 9 in su, tutte le broadway, ed i suited connector medi.
Quando chiama al flop, possiamo restringere ancora il suo range secondo queste categorie:

Set: 22, 55 (potrebbe cercare il check-raise, ma li lasciamo nel suo range per rimanere un po' conservativi) (sei combinazioni di mani)
Coppie singole:   A2s, A5s, 65s, A9, T9s, 98s, 33, 44, 66-88 (57 combinazioni di mani)
Progetti: 87s, JTs  (Che potrebbe foldare, ma escludiamo altre scale bucate e mani con solo overcard),  As3s, As4s, As6s-As8s, AsTs, AsKs, 7s6s, KsTs (16 combinazioni di mani).

Quando pushamo al turn, il suo range di call potrebbe essere circa: tutti i set, i nove, i re, i combo draw, ed i progetti di colore nut. Viene fuori quindi: 22, 55, A9, 98s, T9s, 8s7s, As3s, As4s As6s-As8s, AsTs, AsKs, and KsTs (33 combinazioni di mani).

Basandoci su queste supposizioni, l'avversario chiama il nostro all in al turn con 33 delle 79 combinazioni di mani nel suo range, ovvero il 41,8%, mentre folda il rimanente 58,2%

Il calcolo dell'EV

Ora che abbiamo i range dell'avversario, calcoliamo l'EV in caso di call. 
Stando ad equilab, abbiamo il 31,6% di equity contro il suo range di call. Quando chiama, quindi, il 68,4% delle volte perdiamo le 1200 fiches rimaste dello stack effettivo. Il rimanente 31.6% delle volte vinciamo le 856 fiches che sono le piatto e 1200 in più, per un totale di 2065.

Il nostro EV quando chiama è quindi di 

EV = 31.6% x $2065 + 68.4% x (-$1200) = -$168.2
Ora abbiamo tutto quello che ci serve per l'equazione dell'EV del push al turn:
 EV= probabilità che foldi x la vincita quando folda + la probabilità che chiami x la vincita quando chiama. = 58.2% x $865 + 41.8% x (-$168.2) = $433.1

Quindi, tenute per buone le nostre supposizioni, l'EV di pushare il turn in semi-Bluff è di +433 fiches.
Il nostro obbiettivo nelle prossime sezioni sarà di generalizzare questo risultato  determinando la funzione che lega l'EV del push alla nostra Fold Equity.

Calcolare la “vincita” del venire chiamati in funzione della nostra  Fold Equity

Prima di essere in grado di determinare l'EV di un push in funzione della nostra Fold Equity, dobbiamo intanto stabilile la vincita del venire chiamati in funzione della Fold Equity.
Sia:

Pf = probabilità che l'avversario foldi
Pc= probabilità che l'avversario chiami
Rf= Vincita se l'avversario folda (da “reward” in inglese, NdT)
Rc= Vincita se l'avversario chiama
Dato che lo spazio del risultato è binario, Pc=(1-Pf). Rc è una costante. Se poi supponiamo che anche il range dell'avversario al turn sia una costante, allora Rc è effettivamente una funzione del range di call dell'avversario (e quindi della probabilità che foldi)
Cosa scopriamo della funzione che lega Rc a Pf? Supponiamo che  l'ordine con cui l'avversario molli il suo range contro un nostro push sia: JTs, 87s, A2s, 33-44, 66-88, 65s, A5s, 7s6s, AsXs, 9X, KsTs, AsKs, 22, 55.
Possiamo allora determinare Rc in funzione di Pf  con l'equazione Rc EV:

(Si veda l'appendice per tutti i dati)
Come ci aspettavamo, Rc cala via via che Pf aumenta: più stretto è il range di call dell'avversario, più bassa è la nostra equity contro il suo range, sempre più stretto e forte. È interessante però notare che la funzione non è strettamente decrescente: vediamo un aumento temporaneo quando l'avversario molla i progetti di colore più alti, contro i quali abbiamo equity particolarmente bassa.

L'EV in funzione della probabilità di fold

A questo punto abbiamo tutti i termini dell'equazione dell'EV per pushare il turn in semi-bluff, sia come costante che come funzione di Pf, e possiamo quindi analizzare l'EV di tale mossa in funzione della nostra fold equity.

La prima cosa che notiamo è che la funzione dell'EV è strettamente non-negativa. Questo risultato indica che o l'avversario folda abbastanza spesso che la vincita immediata del piatto rende profittevole il push, o che chiama abbastanza spesso che la nostra equity contro il suo range è sufficientemente alta che l'overlay giustifica il push.

Avvertimento sui risultati

Ci sono due importanti avvertimenti da fare rispetto a questi risultati.
Primo, cambia tutto se si cambiano i range. Se fossi tu a giocare questa mano, potresti mettere il tuo avversario su un range molto più stretto nelle street iniziali. Chiaramente tali range avranno un impatto significativo sulla redditività di un push.
 Secondo, solo perché pushare è profittevole non significa che altre opzioni non possano esserlo di più. Per calcolare l'EV di puntare poco o checkare dietro servono molte più supposizioni. Contro un avversario molto weak-passive, ad esempio, potrebbe convenire checkare dietro se pensi che al river giocherà in maniera molto letterale. Ad ogni modo ti servirebbe una ragione molto importante per non prenderti un'aspettativa di vincita così alta come quella derivante dal push in semi-Bluff al turn.
Un'ultima questione che voglio portare alla tua attenzione è l'utilità di questo processo, dato il numero di supposizioni e calcoli che richiede. Sarai in grado di stimare i range, di contare le combinazioni di mani, e di determinare le varie equity nel bel mezzo di una sessione su 16 tavoli? La risposta è probabilmente no.

Ma lo stesso, anche solo fare la fatica di calcolare l'EV dei push post-flop ti farà molto bene, e familiarizzerai con fattori molto importanti. Nell'esempio di questo articolo la principale ragione per cui il push è molto conveniente date le nostre supposizioni è che il piatto è molto grosso rispetto allo stack effettivo rimasto al turn, ed il K è un'ottima carta per bluffare, che costringe l'avversario a mollare buona parte delle combinazioni di mani che può avere. E quando invece chiama, abbiamo comunque una buona equity con il nostro combo draw.
In conclusione, se prendi l'abitudine a stimare l'equity dei push post-flop quando non stai giocando, la tua capacità di riconoscere al volo opportunità di push post-flop profittevoli migliorerà rapidamente.

Appendice: i dati dell'equazione dell'EV

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