Mathematisch: Hoe kan de verwachtingswaarde (EV) je helpen?
Inleiding
In dit artikel leer je:
- EV = winst * kans op winst - verlies * kans op verlies;
- hoe je kunt berekenen wat de beste actie is;
- hoe je de EV-formule kunt gebruiken om je spel te analyseren.
De verwachtingswaarde van een actie vertelt je hoeveel winst of verlies je gemiddeld maakt, bij het maken van een bepaalde actie. Wanneer je de verwachtingswaarde van alle mogelijke beslissingen kent, weet je in poker altijd wat de beste actie is.
Sta je bijvoorbeeld voor de beslissing of je een bet moet callen of dat je moet folden, dan kun je met de verwachtingswaarde precies berekenen wat de beste beslissing is. Dit kun je in veel gevallen ook met de odds en outs, maar met de verwachtingswaarde kun je verder gaan met je berekening.
In dit artikel leer je hoe je de verwachtingswaarde van een actie kunt berekenen. Je zult ook leren hoe je bij die actie uitvindt wat de beste alternatieven zijn. Verder leer je ook hoe je de verwachtingswaarde kunt gebruiken om achteraf je spel te analyseren. Hierdoor kun je vragen beantwoorden zoals "Wat moet het zijn om ...?" of "Wat zou er zijn gebeurd als ik dit had gedaan?".
Om de inhoud van dit artikel goed te kunnen begrijpen moet je bekend zijn met het principe van de odds en outs. Ook moet je enige (ingeslapen) wiskundige kennis hebben over kansberekening en het het transformeren van vergelijkingen. Je moet dus je kennis over vergelijkingen even opfrissen.
Hoe bereken je de verwachtingswaarde?
Ga ervan uit dat iemand je een aanbod doet. Hij toont je twee enveloppen. In de ene zit 5 euro, in de andere 20 euro. Je kunt deze enveloppen bekijken, het papier aftasten en je kunt zelfs de biljetten er doorheen voelen. Je merkt echter geen verschil tussen de beide enveloppen.
Wanneer je de persoon die je dit aanbod doet 10 euro geeft, mag je één van de enveloppen kiezen. Moet je dit doen? Dat kan de verwachtingswaarde je vertellen. De verwachtingswaarde vertelt je hoeveel winst of verlies je gemiddeld maakt, wanneer je deze handeling keer op keer uitvoert.
Je hebt vier waardes nodig om de verwachtingswaarde te berekenen:
- Hoeveel kun je verliezen?
- Hoeveel kun je winnen?
- Hoe groot is de kans dat je wint?
- Hoe groot is de kans dat je verliest?
De afkorting voor verwachtingswaarde is EV, en voor het berekenen hiervan is er een eenvoudige basisformule.
Je weegt dus de winst en het verlies tegen elkaar af. Dat is de verwachtingswaarde: Hoeveel blijft er aan het einde onderaan de streep over. Deze formule is overigens een speciale vorm van een algemene basisformule. In de formule hierboven wordt nog een extra onderscheid gemaakt tussen winst en verlies. In het algemeen kun je winst en verlies ook "uitbetaling" noemen. Is de uitbetaling positief dan maak je winst. Is deze negatief dan maak je verlies.
De algemene formule luidt als volgt:
Deze formule bekijkt simpelweg:
- Wat kan er allemaal gebeuren?
- Uitbetalingx: Hoeveel krijg of betaal je wanneer een bepaald voorval x gebeurt?
- Kansx: Hoe groot is de kans dat dit gebeurt?
In plaats van de winst en het verlies dus afzonderlijk op te schrijven, bekijk je simpelweg hoeveel eruit komt als de één of andere gebeurtenis optreedt. De uitbetaling kan dus positief zijn (je maakt winst), maar kan ook negatief (je maakt verlies). Daarom is er in deze formule ook geen sprake van een min teken. Bij verlies is de uitkomst negatief, en daarom wordt de plus automatisch een min.
Wanneer je alle mogelijke uitkomsten van een situatie bekijkt, kun je de precieze uitkomst van de verwachtingswaarde bekijken. Je vraagt jezelf af wat er allemaal kan gebeuren. Daarna vraag je wat je in elk afzonderlijk geval wint of verliest. Tot slot zoek je nog uit hoe groot de kans is dat de afzonderlijke gevallen gebeuren. Aan het einde tel je al deze afzonderlijke gegevens bij elkaar op.
In ons voorbeeld is de kans dat je de ene of de andere envelop neemt 50:50. Envelop A neem je dus 50% van de tijd en hetzelfde geldt voor envelop B.
Dit betekent dat je in 50% van de gevallen 5 euro wint, het geld uit envelop A. Ook win je in 50% van de gevallen 20 euro, het geld uit envelop B. Wat je in ieder geval verliest is de 10 euro die je in moet zetten om überhaupt een envelop te mogen kiezen. Dit betekent dat je in 100% van de gevallen 10 euro verliest.
We zetten deze gegevens nu in de formule:
- In 100% van de gevallen verlies je 10 euro, die betaal je namelijk in ieder geval.
- In 50% van de gevallen win je 5 euro.
- In 50% van de gevallen win je 20 euro.
De formule luidt dus:
EV = winst(envelop A) * 50% + winst(envelop B) * 50% – verlies(inzet) * 100%
EV = 5 euro * 50% + 20 euro * 50 % - 10 euro * 100%
50%, dat is altijd de helft. 50% van 5 euro is dus 2,50 euro. 50% van 20 euro is 10 euro.
EV = 2,50 euro + 10 euro – 10 euro
EV = 2,50 euro
Dit betekent dat je gemiddeld 2,50 winst maakt wanneer je ingaat op het aanbod. De verwachtingswaarde is positief, de situatie is +EV. Het begrip "plus EV" en ook "min EV" hoor je in het poker en ook in de PokerStrategy community steeds opnieuw. Nu weet ook jij wat dit betekent.
Hoe maak je op basis van de EV de beste beslissing?
Tot dusver zag het er nog eenvoudig uit. Het kan echter ingewikkeld worden wanneer je begint met het analyseren van bepaalde situaties in het spel. Wanneer je in poker bijvoorbeeld op de turn voor de beslissing staat of je moet callen of folden. Je doet dan gewoon het volgende: Je berekent de verwachtingswaarde voor de call. Je berekent ook de verwachtingswaarde voor de fold. Vervolgens vergelijk je beide waardes. De hoogste van de twee geeft aan wat de beste beslissing is.
Hier volgt een abstract voorbeeld. Er zijn twee voorvallen mogelijk: A en B. De kans dat voorval A gebeurt is 80%. De kans dat voorval B gebeurt is 20%.
| Voorval A gebeurt | Voorval B gebeurt | |
| Kans | 80% | 20% |
In dit voorbeeld kun je kiezen of voorval A of B gaat gebeuren. Kies je voor A en gebeurt dit ook daadwerkelijk, dan win je twee euro. Je verliest echter vier euro wanneer voorval B gebeurt.
In plaats daarvan kun je ook kiezen voor voorval B en vier euro winnen wanneer je gelijk hebt. Heb je echter ongelijk, dan verlies je twee euro.
| Voorval A gebeurt | Voorval B gebeurt | |
| Je hebt voor A gekozen | Je wint €2 | Je verliest €4 |
| Je hebt voor B gekozen | Je verliest €2 | Je wint €4 |
Om nu uit te vinden of het beter is om voor A te kiezen of toch voor B, bereken je de verwachtingswaarde voor je keuze voor A en voor je keuze voor B. Aansluitend vergelijk je beide.
EV = winst * kans op winst – verlies * kans op verlies
EV(A) = €2 * 80% - €4 * 20%
EV(B) = €4 * 20% - €2 * 80%
De verwachtingswaarde van A krijg je door uit te rekenen dat je aan de ene kant in 80 procent van de gevallen twee euro wint en aan de andere kant in 20% van de gevallen vier euro verliest. Dit is precies het percentage dat voorval B gebeurt. We rekenen dit uit.
EV(A) = €2 * 80% - €4 * 20%
EV(A) = €1,6 - €0,8
EV(A) = €0,8
Hiermee is het duidelijk dat het winst oplevert om voor voorval A te kiezen. De verwachtingswaarde is namelijk positief. Gemiddeld win je elke keer dat je voor A kiest 80 cent. Maar hoe ziet het er bij voorval B uit?
EV(B) = €4 * 20% - €2 * 80%
EV(B) = €0,8 - €1,6
EV(B) = €-0,8
Hier zie je meteen dat je verliest maakt wanneer je voor voorval B kiest. De verwachtingswaarde is negatief. Dit betekent dat je iedere keer dat je voor B kiest gemiddeld 80 cent verlies maakt.
Wanneer je de beide verwachtingswaardes vergelijkt, dan zie je dat EV(A) groter dan EV(B) is.
EV(A)>EV(B)
Eenmaal 80 cent winst en eenmaal 80 cent verlies. Het is hier duidelijk de beste beslissing om voor A te kiezen. Daarmee heb je ook gelijk één van de belangrijkste principes van poker geleerd.
Dit principe is fundamenteel. Let vooral goed op de formulering. Je zoekt niet de actie die de meeste winst brengt, maar de actie met de hoogste verwachtingswaarde. Deze kan ook negatief zijn, wat betekent dat je verlies maakt. Toch is deze actie het beste, omdat je met alle andere mogelijke acties nog meer verliest.
Hoe benut je de verwachtingswaarde in Texas Hold'em?
Ga ervan uit dat je op de flop zit met één tegenstander.
Jij hebt: T
9
Het board toont: 6
7 2 4
Je hebt een gutshot-straightdraw en hebt een acht nodig om een straat te maken. Je bent er zeker van dat je tegenstander een overpair heeft, wellicht vrouwen of koningen.
Je outs zijn clean, je hebt één van de vier achten die nog in het deck zitten nodig om de hand te winnen. Dat zijn vier van alle 46 kaarten die nog in de stapel zitten. De kans dat een acht op de river komt is daarom 4/46, wat ongeveer 0.087 is, dus 8,7%. Dat is de kans op winst.
De kans dat je verliest is de kans dat er geen acht, dus één van de andere 46 - 4 = 42 kaarten uit de stapel, op het board komt. Dit is dus 42/46 ofwel 0,913, dus 91,3%.
Nu ontbreken alleen de winst en het verlies nog. De pot is $5 groot. De tegenstander bet $1. Daarmee is de pot $6 geworden. Dat is wat je kunt winnen.
Verliezen kun je de ene dollar die je betalen moet om de bet te callen.
De verwachtingswaarde wanneer je de bet callt is dan als volgt:
EV(call) = winst * kans op winst – verlies* kans op verlies
EV(call) = $6 * 8,7% - $1 * 91,3%
EV(call) = $-0,39
Het getal is negatief. Van de dollar die je inzet gaat 39 cent naar de tegenstander. Jij krijgt 61 cent terug van de oorspronkelijke 100 cent. Een slechte investering dus. Je krijgt minder terug dan je hebt ingezet. Dat is -EV.
In de praktijk kan het hier natuurlijk niet bij blijven. Dat een call verlies brengt zegt namelijk nog niets over de verwachtingswaarde wanneer je fold.
De verwachtingswaarde van een fold is altijd nul.
EV(fold) = $0
Je investeert verder geen geld. Je mogelijke verlies is daarom nul. Maar dit geldt ook voor je mogelijke winst, want als je fold kun je de hand niet meer winnen. Overigens is het zo (het wordt vaak gevraagd) dat het geld dat je hiervoor in de pot hebt gelegd geen enkele betekenis heeft. Dit geld is namelijk al weg.
Om uit te vinden of je beter kunt folden of callen moet je de beide verwachtingswaardes vergelijken:
EV(fold) = $0
EV (call) = -$0,39
EV(fold) > EV(call)
Dit betekent dat je beter kunt folden dan callen.
Wat kun je verder doen met de verwachtingswaarde?
Pokeren betekent dat je altijd de actie moet zoeken die de hoogste verwachtingswaarde heeft van alle acties die op dat moment mogelijk zijn. Is de verwachtingswaarde van een actie groter dan 0, dan maak je winst.
Wanneer je eenmaal een beetje met deze formule gaat spelen, iets dat je ook moet doen wanneer je handen gaat analyseren waar je onzeker over bent, dan kun je bepaalde vragen hebben. Bij het voorbeeld van hierboven, waarin je een gutshot op de turn had, en de tegenstander $1 bette, kun je bijvoorbeeld de volgende vraag hebben: Hoe hoog moet de pot zijn om ervoor te zorgen dat ik de bet van $1 kan callen, en winst kan maken met mijn gutshot?
De pot is in de formule dan de mogelijke winst.
EV(call) = winst * kans op winst – verlies * kans op verlies
Je wilt weten wanneer de verwachtingswaarde positief is, dus wanneer er geldt:
EV(call) > 0
Deze formules kun je nu gelijk stellen. Dit geeft het volgende:
EV(call) > 0, wanneer geldt:
Winst * kans op winst – verlies * kans op verlies > 0
We zetten deze formule nu simpelweg om naar de winst, aangezien we dat willen weten. Mocht je hier problemen mee hebben dan kun je op het internet gewoon op zoek gaan naar sites waar deze transformatie regels worden uitgelegd.
EV(call) > 0, wanneer geldt:
Winst * kans op winst – verlies * kans op verlies> 0
Winst * kans op winst > verlies * kans op verlies
Winst > verlies * kans op verlies / kans op winst
Voor de drie variabelen aan de rechterkant ken je de concrete waarden:
Verlies = $1
Kans op verlies= 42/46
Kans op winst = 4/46
Je krijgt dus de volgende som:
EV(call) > 0, wanneer geldt:
Winst > verlies * kans op verlies / kans op winst
Winst > $1 * 42/46 / (4/46)
Winst > $1 * 1932/184
Winst > $10.5
De pot moet dus groter dan $10,5 zijn om de inzet van $1 lonend te maken. Dit ken je al uit het artikel over odds en outs. De odds voor een gutshot-straightdraw lijken op 1:11. Je hebt geleerd dat je een inzet kunt betalen wanneer je minstens het 11-voudige terug kunt krijgen.
Je bent nu met behulp van de verwachtingswaarde tot dezelfde conclusie gekomen als de conclusie die je van de odds al kent. Er is namelijk een gemakkelijke samenhang. De kans dat je één van de vier outs van de gutshot hit ligt namelijk, zoals gezegd, op 4/46. 4/46 dat is ongeveer 0,087 of 8,7% (gewoon keer 100). Zo hoog is de kans dat één van jouw outs op het board terecht komt. .
Anders gezegd: In afgerond één op de twaalf gevallen (100% / 8,7%) kun je van jouw gutshot een straight maken. De Amerikaanse manier voor het schrijven van deze verhouding is 1:11 - in elf gevallen hit je geen out, in één geval hit je die wel. Je kunt de verwachtingswaarde direct in de odds (ofwel manier van schrijven van de pot-odds) omrekenen.
Hetzelfde principe, maar via een andere weg.
Samenvatting
We vatten alles nog even samen. Om de verwachtingswaarde te berekenen, weeg je gewoon de winst en het verlies tegen elkaar af. Dit aan de hand van de kans dat je wint of verliest.
EV = winst * kans op winst – verlies * kans op verlies
Daardoor weet je hoeveel winst of verlies je gemiddeld maakt.
Voor veel toepassingen kun je echter beter voor de algemene formule kiezen. Hierin wordt de winst en het verlies alleen nog als uitbetaling gerekend. Is de uitbetaling negatief, dan maak je verlies. Is deze positief, dan maak je winst.
EV = uitbetaling1 * kans1 + uitbetaling2 * kans2 + … + uitbetalingn * kansn
Wil je een situatie uit je spel analyseren dan moet je dus nagaan welke mogelijke verlopen van het spel er zijn, hoe veel kans hierop is, en hoeveel winst of verlies je telkens maakt. Dit voeg je samen in de formule en zo krijg je de verwachtingswaarde.
Zijn er meerdere beslissingen mogelijk, en wil je weten welke actie profitabel is, dan bereken je voor elke mogelijke actie de verwachtingswaarde. Aansluitend vergelijk je alle verwachtingswaardes. De hoogste verwachtingswaarde toont aan wat de beste actie is.
Verder heb je nu geleerd hoe je door middel van de verwachtingswaarde jouw spel aan de hand van wiskunde beter kunt onderbouwen. In het begin zal het "omrekenen" er nog wat ingewikkeld uitzien, maar in principe is het heel eenvoudig. Begrijp je dit nog niet helemaal, of twijfel je nog over bepaalde dingen, stel je vragen dan gewoon op het forum.
Veel van de hierop volgende concepten en strategie-artikelen gaan ervan uit dat je weet hoe je de verwachtingswaarde (EV) moet berekenen. Investeer dan ook voldoende tijd aan dit onderwerp. Net zoals de odds en outs, is ook de verwachtingswaarde een belangrijke mijlpaal in jouw pokertraining.
| LINKS | ||||||||||
|
||||||||||
Bronze members en hoger
