- \n
- Waarom wiskunde bij poker belangrijk is
<\/i><\/li>\n- Wat er achter het begrip \"equity\" steekt
<\/i><\/li>\n- Hoe je de verwachtingswaarde berekent
<\/i><\/li>\n<\/ul>![](\"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/wp-content\/uploads\/download\/content\/bilder\/ps_trennlinie.jpg\")
<\/div>In deze serie artikelen zul je fundamentele en gevorderde wiskundige concepten in No-Limit Hold'em leren kennen. Aan de ene kant leer je de wiskundige combinaties kennen en begrijpen en aan de andere kant ook hun directe toepassingsmogelijkheden. Daarbij gaat het voor het grootste gedeelte om de exacte berekening of om de inschatting van resultaten van verschillende mogelijke beslissingen binnen een hand.<\/p>
Vaak wordt bijvoorbeeld in een video, handbeoordelingsforum of ook hier in het artikel gezegd: \"Het is +EV\". Een exacte uitleg volgt later, maar wat dit betekent is duidelijk: Deze move zou goed\/correct kunnen zijn. Hij zou winst kunnen opleveren.<\/p>
Zover, zo goed. Er ontstaat echter een probleem wanneer twee meningen van elkaar afwijken. Speler A zegt: \"Het is +EV\" en speler B zegt: \"nee het is -EV of maximaal +-0 EV\". Hoe gaat het nu verder?<\/p>
In een aantal situaties kan geen enkele wiskundig concept de vraag beantwoorden. Vaak is het echter mogelijk om deze vraag óf op te lossen, óf minstens op een gefundeerde basis te tillen. Vooral deze gevallen worden in 'Wiskundige concepten van No-Limit Hold’em' behandeld.<\/p>
Deel 1 - EV & ranges<\/h1>
Het eerste deel bevat een wiskundige inleiding in begrippen en definities. De puur wiskundige onderbouwing is nogal simpel en hoeft niemand af te schrikken. Het gaat daarbij hoogstens om de basisstof wiskunde van de bovenbouw van het gymnasium en ook daarbij niet om het complexere deel. Dit is geen vereiste.<\/p>
Na dit verklaren van wiskundige begrippen moet nog een belangrijker begrip uit poker worden geïntroduceerd en uitgelegd: de equity. Alleen al hiermee is het mogelijk om eerste analyses te berekenen en tot interessante resultaten te komen. Ter afsluiting wordt een aantal eenvoudige voorbeelden voorgerekend om de toepassing van de voorgestelde concepten te demonstreren.<\/p>
Wiskundige basisprincipes<\/h1>
De verwachtingswaarde<\/div>In dit deel van het artikel zullen formules opduiken. Deze zullen zowel in een wiskundig zo juist mogelijke vorm worden gezet en ook uitvoerig worden uitgelegd. Het is niet noodzakelijk om deze formules allemaal uit je hoofd te kennen.<\/p>
We beginnen met de verwachtingswaarde (ook wel 'EV' ofwel 'Expected Value' genoemd). Dit roept natuurlijk de vraag op: Wat is de verwachtingswaarde?<\/p>
Het gaat daarbij om een begrip uit de Stochastiek, een deel van de wiskunde dat zich bezig houdt met kansen. Hierbij horen zogenaamde toevalsexperimenten, bijvoorbeeld een worp met een munt. Deze toevalsexperimenten hebben mogelijke uitkomsten 'xi<\/sub>' (i is hierbij een index voor het doornummeren van de resultaten), in dit voorbeeld kop of munt.<\/p>
Ze komen voor met een steeds bijbehorende kans 'p'(xi<\/sub>) (i is hierbij opnieuw de nummering), bijvoorbeeld 50%. De verwachtingswaarde van een toevalsexperiment is nu de waarde van de gemiddelde uitkomst van het veelvoudig herhaalde experiment.<\/p>
In deze relevante afgezonderde situatie kom je op de verwachtingswaarde E(x), onder de aanname dat je N verschillende mogelijke resultaten hebt:<\/p>
![](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/Education\/articles\/Math_Concepts\/monlh_part1_1_edit.png\")
<\/p>Wie deze benaderingen te wiskundig vindt kan ook in de pokertechnisch concretere hoofdstukken (beginnend met de handrange) verder gaan. Voor een beter begrip is echter ook het lezen van de wiskundige onderdelen aan te bevelen.<\/p>
Daarbij moet er op worden gelet dat de afzonderlijke resultaten zelf ook samengesteld kunnen zijn, bijvoorbeeld wanneer er drie spelers betrokken zijn.<\/p>
Hier moeten de gevallen 'Geen speler callt', 'speler A callt', 'speler B callt' en 'speler A en B callen' apart behandeld worden en moet voor elk apart een analyse voor de mogelijke resultaten en de de bijbehorende kansen gemaakt worden. Hierbij wil ik ook wijzen op het volgende gedeelte over stroomdiagrammen, een overzichtelijke ordening van dergelijke berekeningen.<\/p>
De verwachtingswaarde in geld wordt bij poker EV genoemd. Om dit goed te kunnen begrijpen is een indeling van uitkomst in getal mogelijk, bijvoorbeeld dat 'munt' overeen<\/span>komt <\/span>met 1 en 'kop' overeen<\/span>komt <\/span> met -1.<\/span><\/p>
In het rekenvoorbeeld van de coinflip kun je gewoon de gehele uitkomst opschrijven. De mogelijke resultaten zijn dan x1<\/sub> = 1, x2<\/sub> = −1 en de bijbehorende kansen:<\/p>
p(x1<\/sub>) = 0,5 , p(x2<\/sub>) = 0,5<\/i><\/p>
p(x) betekent ongeveer zoiets als probability (= waarschijnlijkheid) van x. Voor de verwachtingswaarde kom je daarmee op:<\/p>
EV=x1<\/sub> • p(x1<\/sub>)+x2<\/sub> • p(x2<\/sub>) = 0,5 • 1 + 0,5 • (−1) = 0<\/i><\/p>
Hopelijk komt deze uitslag voor niemand als een verrassing. Het voorbeeld was, toegegeven, ook heel simpel gekozen. We nemen nu een wat lastigere om het concept te verduidelijken. Een casino biedt het volgende spel aan:<\/p>
Voor 10 chips mag een speler één keer gooien met een dobbelsteen. Bij een 1, 2 of een 3 verliest hij zijn inzet, bij een 4 krijgt hij 5 chips terug, bij een 5 krijgt hij 20 chips en bij een 6 zelfs 30 chips terug. Is het spel +EV?<\/p>
Om de verwachtingswaarde te bepalen hebben we eerst alle mogelijke resultaten nodig. Hier zijn er in eerste instantie zes, namelijk de getallen 1 t\/m 6 op de dobbelsteen. Drie daarvan zijn echter hetzelfde en kunnen samengevoegd worden, waarmee we dus de volgende vergelijking krijgen:<\/p>
x1<\/sub> = −10, p(x1<\/sub>) = 1\/6 +1\/6 + 1\/6 = 1\/2
dus x2<\/sub> = −5, p(x2<\/sub>) = 1\/6 (hij verliest tenslotte de halve inzet),
x3<\/sub> = 10, p(x3<\/sub>) = 1\/6
en
x4<\/sub> = 20, p(x4<\/sub>) = 1\/6<\/i> <\/i><\/p>Daarmee zijn ook alle benodigde waardes bekend en met rekenmachine, pen en papier of gewoon uit je hoofd, kun je snel de verwachtingswaarde berekenen. Die is in dit geval:<\/p>
![](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/Editorial\/nl\/strategycontent\/graphics\/NL\/Mathematical%20concepts\/EVberekening1.PNG\")
<\/p>Maar je wist natuurlijk al dat casino's niet zo dom zijn om je een spel met positieve verwachtingswaarde aan te bieden dat je tegen de bank kunt spelen.<\/p>
Een eenvoudig voorbeeld op het vlak van poker<\/div>Ter extra illustratie nog een eenvoudig voorbeeld op het gebied van poker.<\/span><\/p>
FR 100BB stacks<\/p>
Preflop:<\/b> Hero is BU with AA<\/p>
6 folds<\/i><\/font>, CO raises 4BB,<\/font> Hero raises 12BB<\/font>, 2 folds<\/font><\/i>, CO is All-In<\/font>.<\/p>
Een leuke situatie. Je hebt twee azen en kun je geld voor de flop compleet in het midden krijgen; beter kan het nauwelijks. Dat je hier callt is duidelijk. Verder is het ook duidelijk dat je daarmee winst zult maken (De EV is hier groter dan 0).<\/p>
Je kunt je echter misschien afvragen hoe groot de EV precies is. Daarvoor moet je allereerst verschillende resultaten bepalen. Je wint alles wat er al in de pot zit, dus 100BB van de CO, 12BB van jou en 1.5BB van de blinds, dus 113,5BB.<\/p>
Deze uitkomst noem je x1<\/sub> = 113,5BB.<\/p>
De andere mogelijkheid is het verlies van de 88BB die je nog moet callen, dus x2<\/sub> = −88BB.<\/p>
Nu moet je nog de kans voor de beide uitslagen bepalen. Neem je aan dat CO hier met QQ, KK, AA en AKs all-in gaat, dan bedraagt jouw deel van de pot 80,4% en het deel van je tegenstander dus 19,5%.<\/p>
De verwachtingswaarde wordt daarmee
<\/i><\/p>EV = x1<\/sub>p(x1<\/sub>) + x2<\/sub>p(x2<\/sub>) = <\/i>(113,5 • 0,804 − 88 • 0,195)BB = (91,25 − 17,16)BB = 74,09BB. <\/i>
<\/i><\/p>Stroomdiagram<\/div>In gevallen waarbij individuele resultaten van de verwachtingswaarde, weer een verwachtingswaarde voor een bepaalde situatie opleveren, is het nuttig om de situatie te schetsen in de vorm van een stroomdiagram. Daarin kun je heel duidelijk alle resultaten en kansen opnemen en dan de verwachtingswaarde berekenen.<\/p>
De verwachtingswaarde van de gehele situatie is zoals altijd de som van de betreffende eindresultaten, vermenigvuldigd met met hun bijbehorende uitkomsten.<\/p>
Denk daarbij aan:<\/p>
De kans voor een uitkomst in het eerste vlak is direct aangegeven. De kans voor een resultaat in het tweede vlak bereik je door vermenigvuldiging van de waarschijnlijkheid in de tak van vlak 1 bij deze gebeurtenis, vermenigvuldigd met waarschijnlijkheid in de tweede tak.<\/p>
Voor het overzicht schrijf je aan het eind van een pad zijn uitkomst en aan iedere tak de betreffende kans. De verwachtingswaarde is dan de som van alle resultaten, vermenigvuldigd met hun kansen.<\/p>
Voor een dobbelspel met de volgende regels is hier een voorbeelddiagram:<\/p>
De speler betaalt niets om deel te nemen. Gooit hij een 1, 2 of 3 dan heeft hij verloren. Gooit hij een 4 of 5 dan wint hij een chocolademunt en gooit hij een 6 dan mag hij nog een keer gooien. Gooit hij in de tweede worp nog een 6, dan wint hij drie chocolademunten. Gooit hij in de tweede worp geen 6, dan krijgt hij 2 chocolademunten.<\/p>
![](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/Education\/articles\/Math_Concepts\/monlh_part1_3.png\")
<\/p>De verwachtingswaarde is dan:<\/p>
0,5 • 0+0,33 • 1+0,16 • 0,16 • 3+0,16 • 0,83 • 2 = 0,5 • 0+0,33 • 1+0,16 • (0,16 • 3+0,83 • 2) = 0,694. <\/i><\/p>
Deze manier om een berekening van de verwachtingswaarde op te schrijven is bijzonder geschikt wanneer er veel gevallen moeten worden meegerekend. Hij is natuurlijk niet fundamenteel anders dan de puur schriftelijke berekening.<\/p>
De variance<\/div>Het volgende gedeelte is puur wiskundig, maar nog te begrijpen. Wanneer het je helpt kun je eerst het voorbeeld bekijken<\/span>.<\/p>
Een ander belangrijk begrip is de variance. Die helpt je niet bij de berekening van verwachtingswaarde, maar is tijdens het spelen je voortdurende metgezel, de reden waarom hier ook iets over zal moeten worden uitgelegd. Wiskundig gezien is het een maatstaf voor de gemiddelde afwijking van een resultaat van een toevals-experiment van zijn verwachtingswaarde.<\/p>
Bij poker wordt daarmee vaak het feit bedoeld dat iedere speler, hoe goed ook, swings in beide richtingen meemaakt, wat eigenlijk een uitwerking van de variance is. Deze is in de hier relevante situatie weergegeven door de volgende formule:<\/p>
![](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/Education\/articles\/Math_Concepts\/monlh_part1_4.png\")
<\/p>Het ziet er in eerste instantie niet zo leuk uit, maar zo is het. De variance mist de midden- quadratische afwijking van de verwachtingswaarde E(x). Daardoor kom je op de standaardafwijking:<\/p>
![](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/Education\/articles\/Math_Concepts\/monlh_part1_5.png\")
Dus de wortel van de variance. <\/font><\/font>Dit is geen nutteloze waarde, zoals je misschien zou kunnen denken, maar zorgt ervoor dat de standaardafwijking altijd een positieve waarde heeftvoor een positief voorteken van de standaardafwijking. De standaardafwijking is een vatbare grootte: ze geeft namelijk direct de gemiddelde afwijking van de verwachtingswaarde aan.<\/p>Laten we voor een beter begrip een keer een voorbeeld berekenen bij poker. Speler A heeft een bankroll van $2.000. Speler B biedt hem de volgende deal aan:<\/p>
A krijgt AA, B krijgt een random hand en er wordt tot de showdown gespeeld. Speler A mag óf (scenario 1) éénmaal zijn hele bankroll, óf (scenario 2) tienmaal $200 zetten. Zonder vooringenomen stelling willen we nu een kijken wat we kunnen <\/span>berekenen<\/span>.<\/span><\/p>
De verwachtingswaarde bedraagt voor scenario 1:<\/b><\/p>
0,85 • $2000 + 0,15 • (−$2.000) = $1.400<\/i><\/p>
In scenario 2<\/b> wordt tienmaal hetzelfde experiment uitgevoerd. De verwachtingswaarde is dus:<\/p>
10 • (0,85 • $200 + 0,15 • (−$200)) = $1.400, net zoals in scenario 1.<\/i><\/p>
De individuele standaardafwijkingen zijn echter (vanwege de ruimte niet voorgerekend) in scenario 1: <\/b>$1.428.3<\/font><\/font>0<\/font> en in scenario 2<\/b> ca. $451<\/font>. Het risico van een totaal verlies ligt bij scenario 2<\/b> op een lachwekkende 5,7665• 10−7<\/sup>% = 0,00000057665%, maar bij scenario 1 <\/b>altijd nog op ca 15%.<\/p>
Hoe verder de mogelijke resultaten van de verwachtingswaarde verwijderd zijn, des te groter zal ook de gemiddelde afwijking daarvan zijn. Een NL50-speler zal veel eerder bereid zijn om zijn gehele bankroll met scenario 2 te riskeren dan met scenario 1.<\/p>
Interessanter dan een direct berekenen van standaardafwijkingen is echter de volgende benadering: Poker-analysetools zoals PokerTracker kunnen onder andere de standaardafwijking in BB\/100 als waarde aangeven. Wanneer je dus beschikt over een voldoende grote database dan laten zich simulaties berekenen, die verschillende grafieken voor verschillende aantallen handen op basis de winrate en standaardafwijking simuleren.<\/p>
Zonder hier nog verder in detail op in te willen gaan moeten we nog vermelden dat als uitkomst van wiskundige simulaties op basis van realistische standaardafwijkingen voor NL BSS spelers, swings van tot wel 60 stacks absoluut realistisch zijn en over het algemeen kunnen voor komen, zelfs bij spelers met een winrate van 4BB\/100hands.<\/p>
Met de verduidelijking van verwachtingswaarde, variance en standaardafwijking, naast de inleiding van stroomdiagrammen voor aanschouwelijke berekening van verwachtingswaarderen, zijn de inleidende wiskundige opmerkingen afgesloten. Nu zul je, na de introductie van de equity en handrange, de eerste eenvoudige voorbeelden van EV-berekeningen leren kennen.<\/p>
De handrange<\/h1>
De handrange wordt uitvoerig behandeld in het tweede deel van deze serie, hier wordt slechts een uitleg gegeven. Wat is dus een handrange?<\/p>
Een handrange omschrijft een hele verzameling handen waartussen een speler in een spelsituatie geen onderscheid meer maakt. Dit betekent dat hij iedere hand van deze verzameling precies zo zou spelen als hij hem heeft gespeeld. Het gaat daarbij om een belangrijk concept, omdat je ervan bewust moet worden dat iedere speler in iedere situatie niet een enkele hand kan spelen, maar een complete range.<\/p>
Dit betekent dat de kans om te winnen ook altijd tegen de totale handrange zou moeten worden bekeken. Op dezelfde manier moet je jezelf bij elke beslissing altijd afvragen hoe de speler met welk deel van zijn range op je actie zal reageren (zijn range splitst zich namelijk niet altijd direct in zoverre, dat hij met een deel beslissing A en met een andere deel beslissing B zal nemen).<\/p>
Handranges worden meestal zo aangegeven dat de zwakste hand een categorie met een + wordt aangeduid en tussen offsuited en suited ligt het onderscheidt bij de toevoeging 'o' en respectievelijk 's'. Wanneer die toevoeging ontbreekt dan worden beide mogelijkheden bedoeld. AK betekent bijvoorbeeld alle 16 mogelijke combinaties van AK. QQ+, AQs+, AK betekent QQ, KK, AA, de vier suited combinaties van AQ en alle combinaties van AK.<\/p>
De equity<\/h1>
Wat betekent 'equity'?<\/div>Je hebt vast al wat over 'equity' gehoord. Ook de equity is een meer wiskundig begrip. Het beschrijft de kans om te winnen van spelers in vooropgestelde situaties.<\/p>
De equity is precies gezegd het gedeelte van de pot dat een hand of heleboel handen toebehoort, in een bepaalde situatie tegen een andere hand of heleboel handen. Dit gedeelte aan de pot bevat ook de situatie van een split pot en wijkt daarom meestal wat af van de exacte kans om te winnen.<\/p>
Hoe kun je de equity van je pokerhand berekenen?<\/div>In principe is het mogelijk om de equity ook met de hand te berekenen. Een heel eenvoudig voorbeeld, waarin dit met een nog redelijke inspanning mogelijk is<\/span>:<\/p>
Speler A<\/b> heeft A<\/b>
![](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/smileys\/diamond.png\")
K<\/b>![](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/smileys\/heart.png\")
<\/p>Speler B<\/b> heeft A<\/b>
![](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/smileys\/spade.png\")
2<\/b><\/p>Het board <\/b>is 7<\/b>
8<\/b> K<\/b>![](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/smileys\/club.png\")
<\/p>Hoe hoog is de equity van speler A en B?<\/p>
Daarbij moet je alle mogelijke gebeurtenissen er in betrekken. Speler B wint wanneer hij een flush treft en speler A geen full house, of wanneer hij op de turn en river een 2 krijgt.<\/p>
De kans voor een 2 op de turn en river is nu 3\/45 * 2\/44<\/p>
Dit komt als volgt tot stand:<\/p>
In het deck zijn drie tweeën over, namelijk 2<\/b>
2<\/b>2<\/b>. De kans dat er daar een van op de turn komt is dan gewoon het aantal de 'gewenste' kaarten, gedeeld door het aantal aanwezige kaarten. Dat zijn er hier 45. Je kent 4 kaarten van de handen van speler A en B en drie kaarten van de flop. Daarmee zijn er 52-4-3 = 45 onbekende kaarten in het deck.<\/p>Voor de river blijven twee 'gewenste' en 44 mogelijke kaarten over en dus volgt 1\/330 = 0,3%.<\/p>
Daarbij komt de kans van een flush. De flush komt op de turn met een kans van 9\/45. Is deze kaart niet de K<\/b>
, dan heeft speler A geen winstkans meer en dus wordt vanaf hier op de meest geschikte manier onderscheid gemaakt:<\/p>In 8\/45=17,7% van de gevallen wint speler B direct, in 1\/45 kan speler A een full house of quads op de river treffen. Dit gebeurt in 9\/44=20.5% van de gevallen voor 2xA, 1xK, 3x7 en 3x8.<\/p>
Voor speler B komt er bij de kans om te winnen nog 1\/45 (kans vo<\/span>or K
op de turn) * 35\/44 (kans dat speler A geen full house of quads treft) % = 1,7%.<\/p>Tot hier kom je voor speler B dus op een equity van 19,7%. Nu moeten we nog het geval berekenen dat er geen <\/b>
op de turn verschijnt. Is de turn een 7, 8, A of K, dan moet voor speler B op de river een <\/b> behalve de K<\/b> vallen. Is de turn geen van deze kaarten, dan helpen alle <\/b> op de river speler B.<\/p>In het eerste geval kom je voor speler B op 9 (A, 7, 8 of K zonder K<\/b>
)\/45 * 8\/44 = 3,63%. In het tweede geval kom je op 24 (geen schoppen, geen A, 7, 8 of K noch 2, daar we dit geval al hebben afgedekt)\/45 * 9\/44 = 10,9%. In totaal heeft speler B dus 35,76% equity.<\/p>![](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/Education\/articles\/Math_Concepts\/player_b_equity.png\")
<\/p>Zoals je ziet is dit enorm ingewikkeld, hoewel het een heel eenvoudige situatie was. Moeilijke gevallen, zoals preflop-equity of equity voor verschillende handranges, zijn zo niet meer practisch te berekenen. Hiervoor gebruik je verschillende tools. Deze berekenen meestal door numerieke integratie in seconden de equities, ook in lastige situaties.<\/p>
Een tool als de PokerStrategy.com Equilator kan met eenvoudige methoden in willekeurige pokersituaties de equity berekenen. Er kan aan de ene kant gerekend worden met afzonderlijke handen, bijvoorbeeld AA tegen KK, maar ook de equityberekening voor ranges is mogelijk, zoals bijvoorbeeld QQ+, AK tegen JJ+, AQ, AK.<\/p>
Ook verschillende boards en 'dode' kaarten die bij de berekening niet meerekend moeten worden zijn in te stellen. Om er een gevoel voor te krijgen wordt hier een aantal voorbeeldequities aangegeven:<\/p>
- Wat er achter het begrip \"equity\" steekt
![](\"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/wp-content\/uploads\/download\/content\/bilder\/ps_icon_artikel.jpg\"){kind=icon}
<\/td>\n![](\"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/wp-content\/uploads\/image\/ranks\/mini\/gold.png\")
<\/a>Wiskundige concepten voor No-Limit Holdem (2) - Combo's & odds advanced (volgt later)![](\"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/wp-content\/uploads\/image\/ranks\/mini\/platinum.png\")
<\/a>Wiskundige concepten voor No-Limit Holdem (4) - Bluffequity & G-Bucks (volgt later)<\/td>\n<\/tr>\n![](\"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/wp-content\/uploads\/download\/content\/bilder\/ps_icon_forum.jpg\"){kind=icon}
<\/td>\n