Koncepcje matematyczne w no-limit Hold`em (2) - combos & odds advanced

Wprowadzenie

W tym artykule

• Matematyka zakresu rąk
  
• Rola implied i reverse implied odds
  
• Kompleksowe analizy EV
  

W pierwszym artykule nauczyłeś się, jak możesz obliczyć wartość oczekiwaną sytuacji pokerowych oraz przedstawiliśmy ci na to kilka łatwych przykładów. W kolejnych artykułach będziemy zajmować się specjalnymi sytuacjami i aspektami, które są częścią rozważań na temat wartości oczekiwanej (obliczania EV).

W tym artykule zajmiemy sie matematyczną stroną zakresu rąk i zwrócimy szczególną uwagę na implied i reverese implied odds. Uwzględniając przedstawione tu treści, można obliczyć EV dużo bardziej kompleksowych sytuacji niż przy pomocy metod z pierwszego artykułu. Będzie też możliwe zajęcie się nieco inną problematyką niż ta, na którą pozwalały metody analityczne z pierwszego artykułu.

Matematyka zakresu rąk

Pojęcie zakresu rąk zostało już wprowadzone. Określa ono konkretną liczbę ze wszystkich rąk. W obliczeniach wartości oczekiwanej wiele zależy od prawdopodobieństwa. Equilator może w rożnych sytuacjach udzielić ci odpowiedzi na pytanie, ile procent stanowi konkretny dobór rąk w porównaniu do wszystkich możliwych rąk. Zakres TT+, AQ+ da ci wynik 4,86%.

Ważnym pytaniem może być: jak często gracz ma określoną rękę? 4,68% byłoby odpowiedzią, jeśli zapytałbyś, jak często gracz ma TT+, AQ+ w porównaniu do dowolnych dwóch kart? Teraz mógłbyś też zadać pytanie: gracz ma zakres TT+, AQ+. Jak często ma on AA, KK?

Jeśli nadal chciałbyś liczyć w procentach, to powoli stałoby się to uciążliwe. Najpierw wybierasz w Equilatorze tylko AA, KK. W tym wypadku chodzi o 0,9% rąk. Prawdopodobieństwo trafienia AA, KK z zakresu rąk TT+, AQ+ wynosi więc 0,9/4,68 = 0,192 = 19,2%. Tego rodzaju obliczenia szybko staną się bardziej skomplikowane, jeśli różnie będziesz rozpatrywać konkretne karty w kolorze lub chciałbyś zanalizować konkretną rękę jako część jakiegoś zakresu. Przykładowe pytanie: gracz ma TT+, AQ+. Jak często będzie miał XsZs (czyli AsKs lub AsQs)?

Aby odpowiedzieć na tak kompleksowe pytania, polecamy bezpośrednie obliczenia. W pokerze możliwe jest 1326 różnych kombinacji rąk, czyli 52 * 51 / 2. Wartość 52 oznacza możliwości dla pierwszej karty. Jeśli chcesz wiedzieć, ile jest w sumie kombinacji, to musisz pomnożyć każdą pierwszą kartę przez każdą drugą. Jeśli wybrałeś pierwszą, to pozostaje ci jeszcze 51 kolejnych kart do wyboru, czym osiągnąłbyś wynik 52 * 51 = 2652.

Jednak w pokerze nie robi różnicy, czy masz AsKs, czy KsAs, dlatego tylko połowa z 2652 istnieje jako rzeczywiste kombinacje rąk, czyli wspomniane już 52 * 51 / 2 = 1326. Dokładnie tak samo możesz obliczyć dla konkretnego zakresu, z ilu różnych kombinacji się on składa. A oto pewna liczba kombinacji:

Aby móc potem liczyć dalej, wyjaśniamy teraz, z czego wynikają te kombinacje. Możesz oczywiście wziąć karty i liczyć. Jednak okaże się to dość czasochłonne. Praktyczniejsze będzie logiczne przemyślenie, które obejmować będzie zasadę obliczenia możliwych kombinacji. Jeśli chcesz stworzyć konkretną parę, to masz cztery możliwości, aby wybrać pierwszą kartę. Po tym zostaną ci trzy możliwości dla drugiej karty. Wynik musisz podzielić przez dwa, ponieważ liczysz AsAd i AdAs jako dwie kombinacje.

W przypadku ręki w kolorze masz osiem możliwości, aby wybrać pierwszą kartę (dla 67s, więc albo 6, albo 7). Dla drugiej karty masz dokładnie jedną możliwość, połowa z ośmiu daje cztery. W przypadku rąk nie w kolorze, jak np. XsYd, masz dla pierwszej karty także 8 możliwości (4 X, 4 Y), a dla drugiej w tej kombinacji jednak trzy (jeśli wybrałeś Xs, to Ys nie wchodzi w rachubę, ponieważ ręka byłaby w kolorze). 8*3/2 daje 12. Oczywiście możliwe kombinacje można liczyć w inny dowolny sposób.

Pot odds, implied odds i reverse implied odds

Przy pomocy koncepcji o oddsach i outach można przynajmniej obliczyć wartość oczekiwaną sprawdzenia i podjąć szacunkową decyzję przy stole. W tym artykule zrezygnowaliśmy z bezpośredniego wyjaśnienia teorii o oddsach i outach i odsyłamy do sekcji brązowej naszych strategii. Koncepcja implied odds i reverse implied odds jest nieco bardziej interesująca i nie da się jej pominąć przy większych obliczeniach wartości oczekiwanej.

W oparciu o pot odds, implied odds są miarą kwoty pieniędzy, która nie znajduje się jeszcze w puli, ale zgodnie z oczekiwaniami zostanie jeszcze zainwestowana przez przeciwnika. Implied odds stają się ważne w grze z drawami. Często czysta analiza wartości oczekiwanej odbywa się bez uwzględnienia implied odds, i zgodnie z nią musimy spasować drawa bezpośrednio na flopie. Jeśli weźmiesz pod uwagę implied odds, to uzyskujesz bardziej realistyczny obraz sytuacji i często inny wynik.

Na pewno znasz przykład z implied odds lub implieds: zasada call20 dla par przed flopem. W tym wypadku wymagane jest, żeby implied odds były przynajmniej dwudziestokrotnością kwoty, którą musisz zapłacić, aby zobaczyć flopa. Jednak dla obliczeń EV znaczenie mają raczej realistyczne implied odds, czyli nie to, ile maksymalnie możesz wygrać, tylko twoja średnia wygrana (przy czym obydwie wartości są oczywiście od siebie zależne).

Reverse implied odds są dokładnym przeciwieństwem implied odds. Przedstawiają one kwotę pieniędzy, które w trakcie rozdania możesz jeszcze przegrać, jeśli nie będziesz mieć najmocniejszej ręki. W szczególności mamy na myśli drawy, które mimo skompletowania, nie wygrają. Także gra zdominowanych rąk ciągnie za sobą duże reverse implied odds, ponieważ mimo że trafisz mocną kartę, nie wygrasz puli.

Zarówno implied odds, jak i reverse implied odds da się przynajmniej oszacować lub określić dokładnie i w ten sposób zostają włączone do obliczeń wartości oczekiwanej. Z ich pomocą sytuacje, w których wszedłeś za wszystko, dają się dokładniej opisać. Przykład na to znajdziesz w kolejnym artykule.

Przykładowe kalkulacje

Rozważania na temat zakresu rąk, jak i implied i reverse implied odds są na początku tylko teoretycznymi koncepcjami w odniesieniu do obliczeń EV. Na podstawie przykładów ze wzrastającym stopniem złożoności chcemy wyjaśnić ich wpływ. Oprócz tego, będą też konieczne konkretniejsze założenia co do twoich przeciwników, co umożliwi generowanie bardziej realistycznych scenariuszy.

W tym wypadku spróbujemy przypisać sprawdzeniu dla set value wartość oczekiwaną z uwzględnieniem niektórych założeń. Na początek następująca sytuacja:

Stacks:

UTG 100BB
Hero 100BB

Preflop: Hero is BU with 4, 4
UTG raises 4BB, folds, Hero calls 4BB, folds

W tym wypadku od razu widzisz pierwsze założenie: blindy nie są brane pod uwagę. Podchodząc konserwatywnie do tematu, powinieneś w analizie EV uwzględnić każdy możliwy przypadek. My jednak ograniczymy się do często występującego specjalnego przypadku, w innym razie obliczenia stałyby się zbyt obszerne, bez uzyskania dzięki temu większej ilości informacji.

Następne założenie dotyczy gracza z UTG. Jego zakres powinien ograniczać się do TT+, AQ+. Kolejnym założeniem jest, że gracz z UTG zawsze stawia zakład na flopie, a ty grasz dalej tylko z trójką.

Prawdopodobieństwo tego, że zobaczysz na flopie jedną lub dwie pozostałe czwórki, wynosi:

3 * (2 * 48* 47) / (50 * 49 * 48) + 3 * (2 * 1 * 48) / (50 * 49 * 48) = 0,118

2/50 wynosi prawdopodobieństwo, że trafisz jedną z pozostałych czwórek. Do tego na flopie powinny być jeszcze dwie karty, które nie są czwórkami, czyli 48/49 (jedna czwórka już leży i nie powinna to być ostatnia czwórka) oraz 47/48 (na stole leży jedna czwórka i jedna karta inna niż czwórka). Te wartości zostaną przez siebie pomnożone, aby określić prawdopodobieństwo czwórki w konkretnym momencie.

Ponieważ jest ci obojętne, gdzie będzie leżeć ta czwórka, mnożymy wszystko razy trzy. Tak samo są trzy możliwości, że dwie czwórki przypadną na trzy karty (na 1. i 2., na 2. i 3., i na 1. i 3. pozycji). W tym wypadku prawdopodobieństwa wynoszą: 2/49 dla pierwszej czwórki, 1/48 dla drugiej oraz 47/47 dla ostatniej, dowolnej już karty.

Kolejnym usprawiedliwionym uproszczeniem jest rozpatrywanie przypadków tylko jednej czwórki. Prawdopodobieństwo tego wynosi 3 * (2 * 48* 47) / (50 * 49 * 48) = 0,1200, a dla karety 0,00245. Zatem prawdopodobieństwo trafienia na flopie trójki zamiast karety jest 45 razy większe, dlatego w celu uproszczenia ignorujemy ją w wyniku. Dzięki temu możemy wstępnie zacząć obliczenia:

 EV = 0,880 * (-4BB) + 0,120 * EV(set)

Do określenia pozostało EV dla trójki. Ponieważ bazuje ono na różnych strukturach kart wspólnych, proponujemy z powodu dość ciasnego zakresu przeciwnika osobno określić EV przeciwko każdej ręce z uwzględnieniem konkretnych założeń i je po kolei zsumować. Zaczniemy od AQ i w celu uproszczenia nie bierzemy pod uwagę skompletowanych drawów do koloru.

Z AQ trafiasz parę asów lub lepiej P(as) = 2 * (3 * 46) / (47 * 46) = 0,12766, parę dam P(dama) = 2 * (3 * 41) / (47 * 46) = 0,114, oraz trójkę dam P(set dam) = 1 * (3 * 2) / (47 * 46) = 0,0028. Co dalej daje:

P(as+):=P(as)+P(set dam) = 0,13046

Prawdopodobieństwo P(dama) jest niższe niż P(as), ponieważ kombinacje dwóch par są już wliczone przy asie. W sumie w tej analizie masz do dyspozycji jeszcze tylko dwie karty, aby trafić, jedna z czterech jest już określona. A więc (P) = 2 * (3 * 44)/(47 * 46) = 0,12211.

Teraz możemy dalej segregować EV, które dotyczy EV(set). EV(set) składa się z pojedynczych EV przeciwko różnym rękom przeciwnika. Pierwszą część właśnie obliczyłeś:

EV(set,AQ) = EV(miss) * P(miss) + EV(as+) * P(as+) + EV(dama) * P(dama),

EV przeciwko AQ.

Nadal nieznane są komponenty EV. Aby stało się ono zbyt kompleksowe, nie bierzemy pod uwagę możliwości trafienia na turnie. Jeśli przeciwnik nic nie trafi, to stawia zakład kontynuacyjny w wysokości ¾ puli, czyli 9,5*3/4 = 7,125BB i P(miss) = 1 - P(as+) - P(dama) = 0,74743.

W przypadku trafienia asa dostaniesz na środek cały jego stack, jednak nie ze 100% equity - należy je jeszcze określić. Jeśli chcesz je policzyć bardzo dokładnie, to musisz wyliczyć całościowe equity z prawdopodobieństwa dla różnych rąk oraz pojedyncze equities.

Ponieważ dwie pary i trójka są właściwie mało prawdopodobne, i jak już pokazaliśmy powyżej, equity dla topowej pary wynosi 3%, zaokrąglamy je do 5% i ignorujemy pojedyncze przypadki. EV(as+) wynosi więc:

EV(as+) = 0,95*(96+9,5)BB – 0,05 * 96BB = 100,225BB - 4,8BB = 95,4BB

W przypadku trafienia damy można rozróżniać, czy w kartach wspólnych król jest najwyższą kartą, czy nie. Czy weźmiesz to pod uwagę czy nie, różnica w wyniku będzie bardzo mała. Chodzi tu jedynie o zasadę, według której sporządzisz taką kalkulację.

Najpierw powinniśmy obliczyć prawdopodobieństwo kart wspólnych z królem jako najwyższą kartą i wynosi ono 4/46 = 0,09. Następnie potrzebujesz szacunkowej kwoty, którą średnio zainwestuje przeciwnik. Powinna ona wynieść 30BB. Z tego wynika:

EV(dama) = 0,09*30BB + 0,91*( 0,975 * (96+9,5)BB – 0,025 * 96BB) = 94,1BB

Dzięki temu nasza kalkulacja stała się kompletna:

EV(set,AQ) = EV(miss) * P(miss) + EV(as+) * P(as+) + EV(dama) * P(dama) = 7,125BB * (0,75) + 95,4BB * (0,130) + 94,1BB * (0,120) = 28,4BB

Jeśli twój przeciwnika ma AQ, to biorąc pod uwagę poczynione założenia, wygrasz średnio 28,4 BB. To samo należy przeprowadzić teraz dla AK. Wartość oczekiwana jest prawie identyczna z tą dla AQ, ponieważ różnica objawia się w mało prawdopodobnym przypadku drugiej pary z AQ. Jeśli ją zignorujemy, to EV do EV(set,AK) wyniesie 29,7BB.

Teraz obliczymy wartość oczekiwaną przeciw parom na ręce. Należy przy tym założyć: przeciwnik spłucze się z overparą, a z drugą najsilniejszą parą zainwestuje średnio 30BB. Ta wartość mogłaby być całkiem inna, dlatego nie powinniśmy jej podstawić na stałe, aby na końcu móc zbadać wyniki wariacji tej wartości. Zmiany struktury kart wspólnych na turnie będą zignorowane. Dla wszystkich par na ręce EV dzieli się na trzy części:

• Przeciwnik trafi na flopie overparę, a ty trójkę P(set, overpara)
• Przeciwnik trafi na flopie drugą najlepszą parę, a ty trójkę P(set, 2nd pair)
• Przeciwnik trafi na flopie trójkę i ty również P(set, overset)

Dzięki czemu całe EV przeciwko parze na ręce możemy przedstawić jako wzór:

EV(set, pocket) = P(set, overpara) * EV(overpara) + P(set, 2nd pair) * EV(2nd pair) + P(set, overset) * EV(overset)

Wartość oczekiwana przeciwko każdej parze na ręce jest więc sumą wartości oczekiwanych przeciwko pojedynczym parom, pomnożoną przez dane prawdopodobieństwo, że gracz z UTG ma daną rękę.

Najpierw zostaną obliczone dane prawdopodobieństwa, a następnie dotyczące ich wartości oczekiwane. P(pocket,overset) jest takie samo dla wszystkich par. Należy rozpatrywać je razem z prawdopodobieństwem karety P(set,overset) = 2 * (2 * 44) / (47 * 46) + (2 * 1) / (47 * 46) = 0,08233, prawdopodobieństwo zobaczenia jednej lub dwóch pozostałych kart do pary na ręce na flopie, jeśli trzecia karta da ci trójkę.

Przeciwnik trafił overparę dokładnie wtedy, gdy:

• nie trafił seta
• na stole nie leży żadna overkarta do jego pary

Prawdopodobieństwo trójki określiliśmy na P(set, overset) = 0,0823. Dla asa nie ma możliwości zobaczenia wyższej karty na flopie, dlatego w każdym przypadku, gdy przeciwnik nie trafi seta, trafi overparę. Prawdopodobieństwo dla overpary wynosi więc 1- 0,0823.

Dla króli możliwe są dokładnie cztery asy jako możliwe overkarty, prawdopodobieństwo dla overpary wynosi więc 1 - 0,0823 - 2 * (4*44) / (47*46).

Z 2 * (4*44) / (47*46) wynika prawdopodobieństwo, że jedną z dwóch kart wspólnych będzie as. Analogicznie, dla dam możliwe są dwie overkarty, z czego wynikają prawdopodobieństwa. Jako tabela prawdopodobieństwa wyglądają tak:

Do określenia pozostała wartość oczekiwana przeciwko pojedynczym parom.

Jeśli przeciwnik trafi overparę, to według naszych założeń zawsze wejdzie za wszystko. Equity twojego przeciwnika wynosi w tym wypadku 10%, z czego wynika następująca wartość oczekiwana EV(overpara):

EV(overpara) = 0,9 * (96+9,5)BB – 0,1 * 96BB = 85,3BB. Jeśli twój przeciwnik trafił overseta, to masz jeszcze około 5% equity. Wartość oczekiwana EV(overset) wynosi więc 0,05 * (96+9,5)BB - 0,95 * 96BB = -85,92BB.

Obydwie wartości są niezależne od dokładnej ręki przeciwnika, ponieważ ważne są tylko pozostałe outy. W formie tabeli EV przeciwko parom wygląda następująco:

Teraz obliczyliśmy już wszystkie prawdopodobieństwa oraz wartości oczekiwane i musimy zebrać je w całość.

EV = 0,88 * (-4BB) + 0,12 * EV(set) = 0,88 * (-4BB) + 0,12 * (P(AK) * EV(AK) + P(AQ) * EV(AQ) + P(AA) * EV(AA) + P(KK) * EV(KK) + P(QQ) * EV(QQ) + P(JJ) * EV(JJ) + P(TT) * EV(TT))

Aby uzyskać wartość w liczbach, należy jeszcze wyjaśnić, jak często gracz ma różne ręce. W sumie ma on 62 różne możliwe kombinacje w swoim zakresie. 16 z nich przypada na AK i AQ, 6 na pary. P(AK) = P(AQ) = 16/62 = 0,258, P(AA) = P(KK) … = 6/62 = 0,097.

A więc całościowe EV ze wszystkimi podstawionymi wartościami wygląda następująco:

EV=0,88 * (-4BB) + 0.12 * (0,258 * 29,7BB + 0,258 * 28,4BB + 0,097 * 71,2BB + 0,097 * 62,2BB + 0,097 * 52,3BB + 0,097 * 41,5BB + 0,097 * 29,9BB) = 1,27BB

Wartość jest względnie niska i mieści się poniżej realistycznej wartości dobrego gracza full ring. Powodem może być to, że dobry gracz FR wystarczająco często znajdzie sytuację, w której nawet nie trafiając trójki, będzie grać z zyskiem. Dlatego dla niego wartość oczekiwana w wypadku nietrafienia trójki jest większa niż -4BB.

W naszej kalkulacji znajdują się także inne zmienne, które możemy jeszcze modyfikować, aby zobaczyć, jak kształtuje się wynik. Na przykład może się zdarzyć, że średnio od AK i AQ dostaniesz więcej niż tylko zakład kontynuacyjny.

Twój przeciwnik może blefować na turnie, a z drugiej strony może trafić. W tym wypadku można nieco zwiększyć EV, aby zobaczyć, co się całościowo zmieni. Także w przykładzie z dwiema parami mógłby on zainwestować więcej. Z wartościami, które mogą się zmieniać, kompletne EV przedstawia się więc następująco:

Jeśli nie trafisz, stracisz swój zakład sprzed flopa: EV = (1-P(set)) * (-4BB)

Jeśli trafisz trójkę:

- a twój przeciwnik ma AK:

P(set) * (P(AK) * (EV(AK,miss) * P(AK,miss) + P(AK,król+) * EV(AK,król+)

Oddsy i wartość oczekiwana zostały już obliczone.

- twój przeciwnik ma AQ:

P(AQ) * (EV(AQ,miss) * P(AQ,miss) + EV(AQ,as+) * P(AQ,as+) + EV(AQ,dama) * P(AQ,dama)

- twój przeciwnik ma AA:

P(AA) * (P(AA,overpara) * EV(overpara) + P(AA, 2nd pair) * EV(2nd pair) + P(overset) * EV(overset)

P(AA,2nd pair) jest 0.

- twój przeciwnik ma KK:

P(KK) * P(KK) * (P(KK,overpara) * EV(overpara) + P(KK, 2nd pair) * EV(2nd pair) + P(overset) * EV(overset)

- twój przeciwnik ma QQ, JJ lub TT:

Ta sama kalkulacja dla wszystkich par na ręce. Prawdopodobieństwo trafienia drugiej pary będzie, patrząc w dół, oczywiście większe:

+P(QQ) * (P(QQ, overpara) * EV(overpara) + P(QQ, 2nd pair) * EV(2nd pair) + P(overset) * EV(overset)) + P(JJ) * (P(JJ, overpara) * EV(overpara) + P(JJ, 2nd pair) * EV(2nd pair) + P(overset) * EV(overset)) + P(TT) * (P(TT, overpara) * EV(overpara) + P(TT, 2nd pair) * EV(2nd pair) + P(overset) * EV(overset)))

Widzisz tu listę występujących prawdopodobieństw, które zostały już obliczone, oraz listę wziętych pod uwagę wartości oczekiwanych, które w większości są dyskusyjne:

Dla zmienionych wartości EV(AK, miss), EV(AQ, miss) i EV(2nd pair) cała wartość oczekiwana wynosi:

EV = 1,62BB

Jak więc widzisz, wartość oczekiwana zależy szczególnie od tych wartości. Jeśli poprawiłbyś jeszcze wartość oczekiwaną dla przypadku, że nie trafisz, doszedłbyś do wyniku, który daje realistyczne wartości. Jest to jednak ciężkie do oszacowania i dlatego nie chcemy tu tego robić.

Następnie znowu odkryjesz ważną cechę NL Hold’em: co dzieje się bez showdownu, jest bardzo ważne dla ogólnego wyniku gry. Oznacza to w szczególności, że po tak długich obliczeniach powinieneś zastanowić się nad swoją grą. Szczególnie w przypadku, kiedy sam nic nie trafiasz oraz w odniesieniu do kwestii, w jakim stopniu jesteś w stanie odtworzyć tam wartość oczekiwaną trójki.

Analizy idące w tym kierunku będą przedmiotem następnego artykułu. Najpierw chcielibyśmy pogratulować uważnemu czytelnikowi, który do tego momentu śledził analizę i ją zrozumiał: założymy się, że nie każdemu się to udało.

Po tym dają się zaobserwować dwa fakty, którymi chcielibyśmy zakończyć te rozważania: analizy matematyczne są ważne i mogą pomóc ci dalej się rozwijać. Nigdy nie zastąpisz tego doświadczenia, wymieniając je z innymi graczami. Może to być również dość kłopotliwe.

Implied odds

W tym akapicie chcemy jeszcze raz dokładniej przyjrzeć się grze z drawami. Aby móc to zrobić, potrzebujesz w tym wypadku implied odds. Następująca sytuacja zostanie przeanalizowana z perspektywy calling station:

Stacks: 100BB

Preflop: Hero is CO with XYo, Calling station is BU with A,2
Folds, Hero raises 4BB, BU calls 4BB, SB calls 3.5BB, BB calls 3 BB.

Flop: (16BB) 5, 9, K (4 Players)
SB checks, BB checks, Hero bets 14BB, BU calls 14BB, SB calls 14BB, BB folds

Turn: (58BB) 6 (3 Players)
SB checks, Hero bets 45BB, BU calls

Przypisujemy ci zakres 55, 99, KK, AA, AK, KQ. Gracz z BU ma equity wynoszące 21,5%. Przeanalizujemy teraz ostatnie sprawdzenie gracza z BU. Calling station zawsze w tym momencie sprawdzi, a ty może nie? Jesteś pewien, że to sprawdzenie będzie błędem? Zobaczymy. EV bez brania pod uwagę implied odds wynika z:

EV = equity * (wygrana +inwestycja) - inwestycja

Przy czym wygrana daje w tym wypadku (58+45)BB, inwestycja wynosi -45BB. Wymagane w tym wypadku equity opisuje znany wzór equity = inwestycja/(wygrana + inwestycja). Przeciwnik wygra 58BB + 2 * 45BB i przegra 45BB, jeśli nie trafi. Jego wymagane equity wynosi więc 30%. EV z powodu zbyt niskiego equity wynosi -13,2BB

Co się jednak stanie na riverze, jeśli gracz z BU trafi? W puli jest 148BB, a ty masz w swoim stacku jeszcze 37BB. Niezależnie od karty z rivera, nie możesz spasować już żadnej ręki z twojego silnego zakresu, co określamy też związaniem z pulą. Dlatego właśnie musimy skorygować zmienną dla wygranej we wzorze na EV, ponieważ w przypadku trafienia gracz z BU wygrywa nie tylko pulę i zakłady z turna, ale również pozostałe 37BB, które masz w stacku.

W omawianym tu przypadku wygrana wyniosłaby (58+45+37)BB. Inwestycja wynosi jednak 45BB, ponieważ gracz z BU także przy dobrych oddsach nie sprawdzi zakładu na riverze z asem jako najwyższą kartą. Skorygowane w ten sposób equity przy sprawdzeniu oznaczającym wyjście na zero, wynosi tylko 24%, a EV wzrasta do -5BB. A to wszystko pomimo tego, że pula na riverze w stosunku do stacka jest olbrzymia, czyli czterokrotnie większa.

Jak dotąd, wszystko ok. Calling station popełnia więc błąd, pas jest w tym przykładzie poprawną decyzją. Zamieńmy teraz znowu zmienne, aby zobaczyć, jaka ogólnie jest ta specjalna wartość. Od turna do rivera wartość oczekiwana z implied odds wynika z:

   EV= equity*(wygrana + implieds + inwestycja) - inwestycja

Implieds mogą być albo pozostałymi w stacku pieniędzmi, albo określoną częścią puli, ponieważ można oczekiwać pośredniej wygranej. Jak wyglądałoby to, jeśli postawiłbyś zamiast 45BB, czyli nieco ponad ¾ puli, tylko 40 BB, czyli 2/3 puli? Implieds wzrosłyby z 37BB do 42BB, wymagane equity zmalałoby do 22,2%, a sprawdzenie miałoby EV wynoszące -1,3BB, czyli stanie się także mniejsze.

Co by się stało, gdyby obydwoje graczy weszło w rozdanie ze 130BB, zamiast 100BB? Po zakładzie na turnie masz na riverze jeszcze (130-4-14-45) = 67BB, a w puli jest już 148BB. Także w tym wypadku nie poddałbyś swojej ręki. Nawet jeśli na riverze spadłby pik. Jak zmienia się więc EV?

Equity, wygrana i inwestycja pozostają niezmienione, jednak implieds rosną z 37BB do 67BB. Z tym założeniem equity wymagane do sprawdzenia oznaczającego wyjście na zero wyniosłoby 20%, a wartość oczekiwana stałaby się pozytywna i wyniosłaby 1,225BB. Niewielka zmiana zmiennych prowadzi do tego, że czyste sprawdzenie zakładu wynoszącego ¾ puli przy trafieniu na turnie stanie się zyskowne, a calling station nie popełni już błędu. Z podanymi założeniami w takiej sytuacji sprawdzasz, nawet jeśli robisz to niechętnie.

Aby móc utworzyć ogólną wypowiedź, zastanów się nad następującym scenariuszem:

Pula na turnie wynosi 1. Wszystkie kolejne zakłady obliczasz jako udziały w puli na turnie. Pytaniem jest, jaki związek ze sobą mają equity, wysokości zakładów na turnie, jak i implied odds do rivera. Użyj do tego nieco podstawowej matematyki:

EV = Equity * (Pot + 2 * Bet + Implieds ) - Bet

Aby uzyskać związek między różnymi wielkościami, należy założyć, że EV>=0, w ekstremalnym wypadku więc EV=0. Teraz dla dwuwymiarowego przedstawienia uzyskujesz trzy możliwości:

• Związek między equity i zakładem przy podanych implieds (w takim przypadku jak w przykładzie 2, w którym implieds oznaczają pozostały stack)
• Związek między zakładem i implieds przy podanym equity (jeśli możesz dobrze określić twoje equity przeciwko zakresowi przeciwnika)
• Oraz związek pomiędzy implieds i equity przy podanym wysokościach zakładów (aby uzyskać wyczucie między wymaganym equity a wymaganymi implieds przeciwko stałym wysokościom zakładów)

Ten związek informuje cię, jaką wysokość zakładu możesz zyskownie sprawdzić, jeśli wiesz, ile możesz na pewno dostać na riverze. Na pokazanym w tym wypadku grafie implied odds są ustalone na 0,5, czyli zakładzie w wysokości połowy puli.

Dzięki temu uzyskasz wyczucie, jakie zakłady można zyskownie sprawdzać, a jakich nie.

Dzięki temu wykresowi dowiesz się, ilu implieds potrzebujesz przy jakim equity, aby na turnie móc sprawdzić zakład w wysokości ¾ puli.

Także dzięki temu grafowi możesz uzyskać wyczucie twojej gry. Nawet przy względnie wysokich implieds w wysokości puli na riverze, wymagane equity dla sprawdzenia pozwalającego wyjść na zero wynosi jeszcze około 15%.

W ostatnim możliwym wyniku określiliśmy equity na 20% i rozpatrujemy, jak się zachowują implieds w stosunku do wysokości zakładu. Punkt przecięcia z zerowymi wymaganymi implieds jest w tym wypadku po prostu częścią, którą możesz sprawdzić z drawem tylko z powodu twojego udziału i wynosi 1/3 wysokości puli.

Zatem omówiliśmy ogólniejsze przypadki. Rozważania, jak i grafy są bardzo ważne do zrozumienia współdziałania equity ręki i wysokości betu z oczekiwanymi wysokościami zakładów w późniejszych rundach licytacji.

Jeśli chcesz jednak obliczyć to od flopa do rivera, będzie to nieco bardziej skomplikowane. Należy wziąć pod uwagę dwa przypadki: albo trafisz na turnie, do czego musisz oszacować implieds, albo nie trafisz. W tym wypadku powinieneś ocenić, jak często zostaniesz skonfrontowany z kolejnym zakładem i jakiej on będzie wielkości, aby móc obliczyć implieds dla nietrafienia na turnie i trafienia na riverze. Zatem taka analiza EV jest możliwa według tych samych zasad.

Podsumowanie

Zakończyliśmy więc drugą część tej serii. Przeczytałeś i zrozumiałeś kompleksową analizę wartości oczekiwanej zagrania oraz poznałeś wpływ (reverse) implied odds. Obydwu tych umiejętności będziesz potrzebować w kolejnych częściach. W następnym artykule z tej serii zajmiemy się wartością oczekiwaną zagrań przeciwnika przeciwko twojej ręce oraz poszukamy sytuacji do blefu.

LINKI
Powiązane artykuły: Koncepcje matematyczne w no-limit Hold'em (1) - EV & zakresy Fora dyskusyjne: Podyskutuj o treści tego artykułu na forum