Wprowadzenie

W tym artykule

• Matematyczne tło blefu
  
• Optymalna strategia
  
• Równowaga Nasha
  

Blefy są istotną częścią składową gry w pokera i każdy dobry pokerzysta powinien je mieć w swoim repertuarze. Kto nigdy nie blefuje, ten popełnia duży błąd, a ten, kto blefuje zbyt często, popełnia go także. Ale jak zachować równowagę? Jak stwierdzić, kiedy blef ma sens, po czym poznać, kiedy i jak często powinieneś blefować przeciwko konkretnemu przeciwnikowi, aby grać przeciwko niemu z zyskiem?

Ten artykuł zajmuje się matematycznym tłem blefu i pokazuje możliwe strategie w oparciu o teorię gier.

Czy powinieneś blefować?

Na riverze na stole leżą

Jesteś prawie pewny, że przeciwnik ma gotową rękę. Ze sposobu jego gry wnioskujesz, że prawdopodobnie trzyma AA, KK lub AK. Sam masz .

Twój draw się nie skompletował. W puli jest 100 $ i oboje macie w stacku po 100 $. Ty zagrywasz. Jeśli przeczekasz, to przegrasz. (Albo przeciwnik przeczeka po tobie i wygra na showdownie, albo postawi zakład i twój stack nie wystarczy, aby spróbować blefu).

Załóżmy teraz, że przeciwnik poprawnie przeczytał twoją rękę i przed riverem ocenił cię na draw. Dla uproszczenia założymy również, że ocenia on prawdopodobieństwo nieskompletowanego koloru na 80%, a w 20% zakłada, że z 87 na riverze trafiłeś strita.

Jeśli trafiłbyś strita z 87, to postawiłbyś zakład dla value. Niestety, tym razem nic nie trafiłeś. Masz dwie możliwości: poddajesz rękę i przeczekujesz lub próbujesz wygrać pulę blefem. Zakładamy przy tym, że w przypadku blefu wchodzisz z pozostałymi 100 $ za wszystko, czyli postawisz zakład w wysokości puli. Jak często powinieneś wtedy blefować?

Jak można odpowiedzieć na to pytanie?

Potrzeba do tego trochę matematyki. Ale nie martw się, nie będzie zbyt ciężko. Wymagane jest tylko trochę algebry ze szkoły średniej i nieco zdrowego rozsądku. O, prawie zapomniałem – potrzebujemy też nieco teorii gier. Ale ona jest właściwie częścią zdrowego rozsądku.

Zagadnienie matematyczne

Potrzebujemy paru oznaczeń. P oznacza wysokość puli, a B wysokość twojego zakładu. Prawdopodobieństwo, z którym (z punktu widzenia przeciwnika) masz najlepszą rękę, oznaczamy q. W naszym przykładzie więc P = 100 $, B = 100%, a q = 0,20. Jeśli uznasz założenie 20% za nierealne, to możesz je zmienić, ponieważ w obliczeniach nie zmieni się nic poza wynikiem. Analogicznie można zmienić także wysokość puli lub wysokość własnego zakładu. Te oznaczenia uogólniają tylko to zagadnienie.

Jeśli stawiasz zakład, to musisz także określić swoją częstotliwość blefu oraz częstotliwość sprawdzenia przeciwnika. Pierwszą wartość określamy jako x, a drugą jako y. Jako x określamy więc prawdopodobieństwo blefu. Jeśli blefujesz z 30% prawdopodobieństwem (x = 0,3), to częstotliwość blefu długoterminowo wyniesie 30%. Odpowiednio, y oznacza prawdopodobieństwo, z jakim przeciwnik sprawdzi twój zakład.

Pytaniem wyjściowym jest więc optymalna wartość dla x.

Oczekiwany zysk i czyste strategie

Najlepiej zacznijmy od początku. Co jest twoim celem w pokerze? Wygrywanie pieniędzy. Aby być dokładnym: tak dużo, jak to tylko możliwe. Zawsze, kiedy masz podjąć decyzję, powinieneś zadać sobie pytanie o zagranie, które obiecuje największy zysk.

W tym przykładzie z najlepszą możliwą ręką postawiłbyś zakład dla value. Jeśli to zrobisz, to przeciwnik albo sprawdzi twój zakład (w y% przypadków), lub spasuje swoją rękę (w 1 – y% przypadków). Jeśli sprawdzi, to wygrasz aktualną pulę z kwotą, z którą twój przeciwnik sprawdzi twój zakład: P + B.

Jeśli spasuje, to wygrasz aktualną pulę: P („aktualna pula” oznacza zawsze wysokość puli przed twoim zakładem). Jeśli masz więc tę najmocniejszą rękę, to twój oczekiwany zysk Ew (w oznacza „winning”) wynosi:

Ew = y(P + B) + (1 – y)P

Bez najlepszej ręki (z nieskompletowanym drawem), sytuacja będzie już nieco trudniejsza. W tym wypadku albo blefujesz (w x% przypadków), albo poddajesz rękę i przeczekujesz (w 1 – x% przypadków).

Jeśli blefujesz, to przeciwnik albo sprawdzi twój zakład w (w y% przypadków), albo spasuje swoją rękę (w 1 – y% przypadków). Jeśli sprawdzi on twój zakład, to tracisz go i twój oczekiwany zysk jest ujemny: -B. Jeśli spasuje, to wygrasz aktualną pulę: P. Przy blefie twój oczekiwany zysk zależy więc od tych dwóch przypadków i wynosi:

(1 – y)P – yB

Jeśli przeczekasz (i poddasz rękę), to niczego nie wygrasz i twój oczekiwany zysk wyniesie 0. Dlatego twój oczekiwany zysk El (l oznacza „losing”) z bezwartościową ręką to:

El = (1 – x)0 + x[(1 – y)P – yB]

(Powyższe przypadki trzeba tylko połączyć z odpowiednimi prawdopodobieństwami). Pierwsza część wynosi oczywiście 0 i można ją skreślić. Tym samym pozostaje:

El = x[(1 – y)P – yB]

Jeśli wiesz, że twój przeciwnik nigdy nie sprawdza (y = 0) – jeśli np. straciłby połączenie – wtedy twój oczekiwany zysk wyniósłby po prostu:

El, y=0 = xP

Aby w tym wypadku zwiększyć zysk, wybieramy x = 1. Oznacza to, że zawsze blefujesz.

Jeśli z drugiej strony wiesz, że przeciwnik zawsze sprawdza (y = 1), to twój oczekiwany zysk wynosi:

El, y=1 = – xB

Aby optymalnie wykorzystać tę sytuację, podstawimy x = 0, i tym samym nigdy nie blefujesz. (Przypomnij sobie o powiedzeniu, żeby nigdy nie blefować calling station!).

Z tą wiedzą o strategii przeciwnika opracowaliśmy dla dwóch specjalnych przypadków optymalne kontrstrategie. Były to jednak ekstremalne przypadki, tzw. „czyste strategie”. W rzeczywistości przeciwnicy będą mniej przewidywalni. Sprawdzą zakład z określonym prawdopodobieństwem, które wynosi od 0 do 1. Według teorii gier byłaby to strategia mieszana.

Optymalne strategie

Interesujące jest, że twój przeciwnik może wybierać częstotliwość sprawdzania y, przy której twój oczekiwany zysk jest zawsze ten sam, niezależnie od twojej strategii (x jest dowolną wartością). Tę częstotliwość sprawdzania nazwiemy teraz yopt (w sensie optymalnej wartości y).

Obliczenie yopt jest całkiem proste. Jeśli jesteś zainteresowany szczegółami tego obliczenia, możesz je znaleźć w załączniku. W każdym razie wynik wygląda następująco:

yopt = P/(P + B)

W twoim przykładzie P = B = 100 $, a yopt = ½. Jeśli twój przeciwnik sprawdzi dokładnie co drugi raz, to gra przeciwko tobie optymalnie. Jeśli więc przeciwnik gra według strategii y = yopt, to twój oczekiwany zysk odpowiada:

El,y=yopt = x[PB/(P + B) – PB/(P + B)] = 0

(Podstaw po prostu swój wynik dla yopt do ogólnego wzoru, który otrzymałeś dla El). Ponieważ x nie pojawia się w tym wzorze (właściwie tylko jako 0), żadną strategią (obojętnie, jaką wartością jest x) nie możesz zwiększyć lub zmniejszyć twojego oczekiwanego zysku.

Interesujący jest fakt, że yopt zależy tylko od wysokości puli i wysokości zakładu, a przykładowo nie od q. Pokazuje to, że yopt nie jest absolutnym optimum dla y. Jeśli np. q = 1, czyli przeciwnik jest pewien, że masz najlepszą rękę, to nie będzie sprawdzał co drugi raz, a mianowicie nie będzie sprawdzał wcale. Wybrałby więc strategię analogiczną do y = 1. Ale później zobaczymy, w jakim sensie yopt jest jednak optymalne.

Analogicznie do tego, możemy określić x, aby oczekiwany zysk przeciwnika przy każdej strategii (y jest dowolną wartością) pozostał niezmienny. Jak wyżej, opisujemy tę szczególną wartość x jako xopt. Obliczenie tej wartości jest jednak nieco trudniejsze. Pomijając detale, otrzymamy na końcu:

xopt = qB/[(1 – q)(P + B)]

(Jeśli jesteś zainteresowany szczegółami: aby obliczyć powyższy wzór, musisz najpierw założyć {oczekiwany zysk z punktu widzenia przeciwnika}, co ułatwia {obliczenie wartości xopt}).

Jeśli często blefujesz ze słabszą ręką, to {oczekiwany zysk przeciwnika} wynosi:

Eop = (1 – q)P – qPB/(P + B)

Ponieważ w tym wzorze nie występuje y, nie może on po prostu zmienić swojego oczekiwanego zysku.

W tym przykładzie P = B = 100 $ i q = 0,2. A tym samym, xopt = 1/8. Jeśli blefujesz z prawdopodobieństwem 1/8, to przeciwnik nie może cię ograć, nawet jeśli jest uważny i zna twoją strategię (czyli wie, że x = xopt). Jeśli blefujesz rzadziej lub częściej, to uważny przeciwnik może to wykorzystać przy pomocy odpowiedniej odpowiedzi. Przeciwko dobremu oponentowi xopt zapewnia ci więc optymalną strategię.

Jak często tak dobry gracz sprawdzi twój zakład? Odpowiedzi daje yopt. Jeśli grasz według strategii x = xopt, to w gruncie rzeczy może wybrać każdą dowolną strategię. Jak już zobaczyłeś, nie zmienia się przez to jego oczekiwany zysk. Jeśli nie wybierze on jednak strategii, w której y = yopt, to jako uważny gracz możesz wykorzystać ten błąd i odpowiedzieć optymalną strategią. Jeśli tylko wybierze on y = yopt, nie możesz wykorzystać tej strategii – obojętnie, jaką strategią sam grasz, oczekiwany zysk pozostanie ten sam. Powinieneś zawsze zwrócić uwagę na to, że odejście od strategii xopt umożliwia przeciwnikowi dopasowanie się i wykorzystanie własnej strategii.

Widzisz więc, w jakim sensie xopt i yopt są optymalne: są one strategiami, których przeciwnicy nie mogą eksploatować. W teorii gier taka para strategii (xopt, yopt) nazywana jest równowagą Nasha. Ważna koncepcja, która znajduje też zastosowanie w ekonomii. (Tak, to ten sam Nash, który jest protagonistą w filmie „Piękny umysł” i zdobywcą Nagrody Nobla w dziedzinie ekonomii z 1994 r.) I jak już wiesz, także w pokerze pełni ona główną rolę.

Oczekiwany zysk w kilku szczególnych przypadkach

Na koniec rozpatrzymy dwie tabele z oczekiwanym zyskiem w kilku wyjątkach. Pierwsza tabela pokazuje zysk dla nieskompletowanego drawa (ręka przegrana):

Twoja strategia	Strategia przeciwnika	Oczekiwany zysk (El)	Uwagi
x = 0	y = 0	$0	Jesteś z tyłu. Jeśli nie blefujesz, to nie wygrasz.
	y = 1	$0
	y = yopt	$0
x = 1	y = 0	$100	Blefuj skały!
	y = 1	- $100	Nigdy nie blefuj fisha!
	y = yopt	$0
x = xopt	y = 0	$12,5	xopt nie jest "uniwersalnym optimum". Jeśli wiesz, że sprawdzi, to nie blefuj!
	y = 1	– $12,5
	y = yopt	$0

Oczekiwany zysk przeciwnika jest po prostu negatywem twojego, plus 100 $, które są już w puli. (Otrzyma on twoją stratę netto z rundy zakładów i aktualną pulę. Jeśli wygrasz pulę, to twoja strata netto wyniesie -100 $, a on nie dostanie niczego. Lub wyobraź sobie najprostszy przypadek: jeśli oczekiwany zysk wynosi 0, to twój stack pozostanie nienaruszony – dokładnie jak w momencie dojścia karty na river. Pula nie może więc należeć do ciebie, mimo że ktoś musi ją dostać – czyli będzie ona należeć do przeciwnika. W języku teorii gier można by więc powiedzieć, że nasz przykład – ponieważ jesteśmy już na riverze – nie jest grą o sumie zerowej).

Podczas gdy ty zawsze wiesz, kiedy blefujesz i kiedy stawiasz zakład dla value, twój przeciwnik tego nie wie. Dla niego (i prawdopodobnie dla ciebie) następująca tabela mogłaby by bardzo dużo wyjaśnić. Podaje ona twój oczekiwany zysk na podstawie mieszanki wygrywających i przegrywających rąk. W podobnych sytuacjach w 20% prowadzisz, a w 80% jesteś z tyłu. Twój całkowity oczekiwany zysk jest więc qEw + (1 – q)El. (Ponownie negatyw tej wartości plus 100 $ z aktualnej puli opisuje oczekiwany zysk przeciwnika, Eop).

Twoja strategia	Strategia przeciwnika	Oczekiwany zysk	Uwagi
x = 0	y = 0	$20	Za to kochamy calling stations!
	y = 1	$40
	y = yopt	$30
x = 1	y = 0	$100	Blefuj skały!
	y = 1	- $40	Nigdy nie blefuj fisha!
	y = yopt	$30
x = xopt	y = 0	$30	xopt jest optymalne z tego powodu, że twój przeciwnik nie może cię ograć.
	y = 1	$30
	y = yopt	$30

Podsumowanie

Jeśli grasz przeciwko dobremu graczowi, to najlepszym wyborem według równowagi Nasha będzie strategia z xopt. W tym wypadku przeciwnik wybierze strategię wyznaczoną przez yopt. W innym wypadku popełni on błąd (wtedy widocznie nie będzie on tak dobrym graczem), który wykorzystasz przy pomocy najlepszej kontrstrategii. Jeśli ma on tendencję do zbyt częstego sprawdzania, to blefujesz rzadziej. Jeśli sprawdza za rzadko, to blefujesz częściej. Jeśli możesz oszacować jego rzeczywistą częstotliwość sprawdzania, to możesz obliczyć, o ile rzadziej (częściej) powinieneś blefować, maksymalizując w pokazany powyżej sposób twój oczekiwany zysk.

Załącznik

Jeśli y = yopt, to twój oczekiwany zysk dla wszystkich wartości x będzie ten sam. Weźmy najpierw x = 0. Nie możesz wygrać niczego, co da się odczytać z następującego wzoru:

El, x=0 = 0

Teraz podstawiamy x = 1. Twoje równanie po przeniesieniu El na lewą stronę wygląda tak:

El, x=1 = (1 – yopt)P – yoptB

Skoro El, x=0 musi być takie same jak El, x=1, otrzymujemy:

(1 – yopt)P – yoptB = 0

Z czego wynika:

(1 – yopt)P = yoptB

P – yoptP = yoptB

P = yopt(P + B)

I w końcu:

yopt = P/(P + B)

{oczekiwany zysk z punktu widzenia przeciwnika}, {oczekiwany zysk przeciwnika}:

Przyjrzyjmy się teraz tej ręce z punktu widzenia przeciwnika. Najpierw określmy jego oczekiwany zysk jako Eop. Ponieważ w przeciwieństwie do ciebie nie wie on, czy prowadzisz, czy jesteś z tyłu, jego oczekiwany zysk także zależy od q i z tego powodu jest nieco bardziej skomplikowany do obliczenia:

Eop = – qyB + q(1 – y)0 + (1 – q)[xy(P + B) + x(1 – y)0 + (1 – x)P]

Pierwszy term odnosi się do przypadku, w którym stawiasz zakład z wygrywającą ręką, i który to zakład przeciwnik przegra, sprawdzając. Drugi term odpowiada przypadkowi, w którym masz najlepszą rękę, ale przeciwnik spasuje i nie wygrywasz ani nie tracisz niczego. Reszta odnosi się do przypadków, w których przeciwnik prowadzi.

Pierwsza część w nawiasach kwadratowych pokazuje przypadek, w którym blefujesz i przeciwnik, sprawdzając, wygrywa aktualną pulę oraz twój własny zakład. Środkowa część jest przypadkiem, w którym blefujesz, a przeciwnik pasuje i nie wygrywasz ani nie przegrywasz niczego. Ostatni term odnosi się do przypadku, w którym po prostu się poddajesz i twój przeciwnik wygrywa pulę (albo przez czekanie po przeciwniku, albo zakładem, zmuszając cię do pasu).

Skracając, otrzymamy następujące równanie:

Eop = (1 – q)[xy(P + B) + (1 – x)P] – qyB

Jeśli przeciwnik wie, że nigdy nie blefujesz x = 0, to jak wyglądałaby jego najlepsza strategia? Oczywiście nigdy by nie sprawdził. Możesz to zobaczyć, jeśli podstawisz do powyższego przykładu x = 0.

Eop x=0 = (1 – q)P– qyB

Aby to zmaksymalizować, musimy podstawić y = 0 (nigdy nie sprawdza)

Jeśli z drugiej strony przeciwnik wie, że zawsze blefujesz (x = 1), to najlepsza dla niego strategia nie jest tak jednoznaczna. Przy x = 1 otrzymujemy:

Eop x=1 = (1 – q)y(P + B) – qyB = y[(1 – q)(P + B) – qB]

Jeśli

(1 – q)(P + B) – qB > 0

to y = 1 maksymalizuje (zawsze sprawdza) oczekiwany zysk przeciwnika.

Jeśli 

(1 – q)(P + B) – qB < 0

to powinien natomiast wybrać y = 0 (nigdy nie sprawdza).

(1 – q)(P + B) – qB < 0

oznacza

P + B < q(P + 2B)

i daje nam na koniec

q > (P + B)/(P + 2B)

W twoim przykładzie P = B = 100 $. Jeśli q > 2/3, to przeciwnik nigdy nie powinien sprawdzić zakładu (także wtedy, jeśli wie, że zawsze stawiasz zakład), dlatego w tym wypadku zawsze powinieneś blefować. Jeśli q < 2/3, to przeciwnik powinien zawsze sprawdzić (jeśli wie, że zawsze blefujesz). Zwróć uwagę, że ta specjalna wartość q zależy tylko i wyłącznie od wysokości puli i zakładu.

Jeśli x = xopt, to oczekiwany zysk przeciwnika będzie ten sam dla wszystkich y. Jak wcześniej, najpierw podstawiamy y = 0. Twoje równanie z Eop po lewej stronie:

Eop y=0 = (1 – q)(1 – xopt)P

Podstawiamy teraz y = 1. Tym razem otrzymujemy:

Eop y=1 = (1 – q)[ xopt (P + B) + (1 – xopt)P] – qB

Ponieważ Eop y=0 musi być równy Eop y=1, to otrzymujemy:

(1 – q)(1 – xopt)P = (1 – q)[ xopt (P + B) + (1 – xopt)P] – qB

To oznacza:

qB = (1 – q) xopt (P + B)

((1 – q)(1 – xopt)P pojawia się po obydwu stronach i tym samym może zostać skrócony), i w końcu otrzymujemy:

xopt = qB/[(1 – q)(P + B)]

Oznaczenia:

Oznaczenie	Znaczenie	Wartość w twoim przykładzie
P ($)	Wysokość puli	100
B ($)	Wysokość zakładu	100
q	Prawdopodobieństwo, że masz wygrywającą rękę (z punktu widzenia przeciwnika)	0,2
x	Częstotliwość twojego blefu	(zmienna)
y	Częstotliwość sprawdzenia przeciwnika	(zmienna)
xopt	Twoja "optymalna" częstotliwość blefowania	0,125
yopt	"Optymalna" częstotliwość sprawdzenia przeciwnika	0,5
Ew ($)	Twój oczekiwany zysk z wygrywającą ręką	100 (1 + y)
El ($)	Twój oczekiwany zysk z przegrywającą ręką	100x (1 – 2y)
Eop ($)	Oczekiwany zysk przeciwnika	80[2xy + 1 – x] – 20y

Podczas pracy z prawdopodobieństwami zwykle pisze się 0,2 zamiast 20%, 0,5 zamiast 50% itd. Tym sposobem istnieje prawdopodobieństwo niemożliwego wyniku 0 (0%), podczas gdy dla pewnie sprawdzającego się wyniku prawdopodobieństwo wynosi 1 (100). Tym samym, wszystkie inne prawdopodobieństwa mieszczą się w zakresie między 0 a 1.