Matematyczna strona drawów

Wprowadzenie

W tym artykule

• silne i sÅ‚abe drawy
  
• nieskompletowane (busted) drawy
  
• popraw swoje wyczucie gry
  

Jeżeli przerobiÅ‚eÅ› już artykuÅ‚y z sekcji zÅ‚otej, to nauczyÅ‚eÅ› siÄ™, w jaki sposób rozgrywać silne i sÅ‚abe drawy oraz jak reagować z nieskompletowanymi drawami na riverze. PoznaÅ‚eÅ› również pojÄ™cia semiblefu, zakÅ‚adu dla blefu, zrównoważenia (balancing) oraz darmowej karty (free card).

W tym artykule ukażemy ci trochę inny, bardziej abstrakcyjny punkt widzenia odnośnie twojej gry z drawami. Będzie to czysto matematyczne spojrzenie. Pomoże ci ono trochę bardziej zrozumieć grę No-limit Hold'em oraz poprawi twoje wyczucie gry.

Definicja

Najpierw musisz oczywiście dowiedzieć się, co dokładnie rozumie się pod pojęciem drawu. Po prawej stronie umieszczona jest definicja.

Z matematycznego punktu widzenia, trzymasz drawa wówczas, jeżeli twoje pot equity jest wiÄ™ksze od 0%.

Nie jest okreÅ›lona maksymalna wartość pot equity, przy której już nie można by mówić o drawie.

Intuicja mogÅ‚aby podpowiadać, że jeżeli trzymasz rÄ™kÄ™ z pot equity wiÄ™kszÄ… od wartoÅ›ci Å›redniej, to nie można już mówić o drawie. Nie jest to jednak poprawne stwierdzenie.

Przyjrzyj się poniższym przykładom rąk:

Player 1: 7, 7
Player 2: 7, 5
Player 3: A, K

Flop: 2, 3, 4

Equity distribution:
Player 1 (7, 7): 27.461%
Player 2 (7, 5): 22.595%
Player 3 (A, K): 49.943%

Jak widzisz, Gracz 1 ma niższe equity od wartoÅ›ci Å›redniej (33%), pomimo tego jego rÄ™ka z flopa wygraÅ‚aby showdown. Jego rÄ™ka nie speÅ‚nia warunków postawionych w definicji, lecz ze wzglÄ™du na okreÅ›lenie maksymalnej wartoÅ›ci equity, również mogÅ‚aby być okreÅ›lana mianem drawa.

Podobne spostrzeżenie dotyczy Gracza 3. W tym momencie nie wygrałby showdownu, ma jednak equity wyższe od wartości średniej. Pomimo tego, ma na flopie drawa.

Przykład ten jest trochę sztuczny. Podobna sytuacja może wystąpić w grze heads-up.

Gracz 1 (K, Q):Equity: 72.322%
Gracz 2 (2, 2): Equity: 27.678%

Flop: J, T, 5

Oba przykÅ‚ady pokazujÄ… wyraźnie, że nie istnieje maksymalna wartość equity, która ogranicza drawa.

Znaczenie drawów w NL Hold'em

NajwiÄ™kszych emocji w pokerze dostarcza fakt, że caÅ‚a gra No-Limit Hold'em jest grÄ… drawów. WiÄ™kszość odmian pokera to odmiany z drawami, w których można dobierać do swojej rÄ™ki, albo zakrytej, albo odkrytej. Jedyna popularna odmiana pokera bez drawów to chiÅ„ski poker.

Ze wzglÄ™du na drawy powstaÅ‚ koncept pot equity, który nadaÅ‚ grze nowy kierunek.
Z matematycznego punktu widzenia może być poprawne, jeżeli sprawdzisz za sumę X z gorszą ręką, jeżeli wcześniej na środku stołu leżała suma Y jako dead money.

Masz możliwość reakcji na przyszÅ‚e wydarzenia, gdyż siÅ‚a rÄ™ki u przeciwników może siÄ™ zmienić. WÅ‚aÅ›nie na tym opierajÄ… siÄ™ koncepty implied odds oraz reverse implied odds.

Widzisz wiÄ™c, że drawy sÄ… najważniejszÄ… częściÄ… gry, ponieważ siÅ‚a rÄ™ki może siÄ™ zmieniać podczas rozdania, a ty musisz siÄ™ wciąż dopasować do nowych warunków. Tutaj wÅ‚aÅ›nie znaczenie majÄ… umiejÄ™tnoÅ›ci gracza.

Zrozumienie poniżej przedstawionych konceptów oznacza jednoczeÅ›nie zrozumienie gry w pokera.

Redraw

Equity podaje, ile procent puli wygrasz na showdownie z zakresem rÄ…k X przeciwko zakresowi rÄ…k Y. Zarówno zakres rÄ…k X, jak i zakres rÄ…k Y musi zawierać co najmniej jednÄ… rÄ™kÄ™.

Program o nazwie Equilator może przeprowadzić tego rodzaju obliczenia i skalkulować twoje equity w konkretnej sytuacji.

Ze wzglÄ™du na equity, jako underdog możesz sprawdzić zakÅ‚ad przy okreÅ›lonych pot odds. JeÅ›li posiadasz status brÄ…zowy, to zapoznaÅ‚eÅ› siÄ™ z tymi pojÄ™ciami i wiesz, jak obliczać wÅ‚asne equity na podstawie outów przeciwko różnym rÄ™kom.

Na to pytanie nie udzielono jeszcze odpowiedzi w żadnym artykule i w tym miejscu zostanie ono matematycznie wyjaśnione.

Player 1: A, K
Player 2: Q, J

Board: K, 7, 2

Equity distribution:
Player 1 (A, K): 61.4%
Player 2 (Q, J): 38.6%

Gracz 2 może wygrać rozdanie kolorem, dwoma parami, trójkÄ… lub stritem.

Player 1: K, K
Player 2: Q, J

Board: K, 7, 2

Equity distribution:
Player 1 (K, K): 73.5%
Player 2 (Q, J): 26.5%

W przykÅ‚adzie 4, Gracz 1 ma redraw na karetÄ™ oraz fulla. Rozpoznasz to na podstawie niewielkiego skoku equity w porównaniu do przykÅ‚adu 3. Różnicy tej nie można wytÅ‚umaczyć jedynie na podstawie nowych redrawów, gdyż Gracz 2 ma teraz caÅ‚kowicie innego drawa.

Gracz 2 mógÅ‚ wygrać w przykÅ‚adzie 3 nie tylko kolorem, lecz również dwoma parami lub trójkÄ…, co nie jest możliwe w przykÅ‚adzie 4.
Niekonieczne jest wiÄ™c porównanie, aby zobaczyć skutki pojawienia siÄ™ nowych redrawów.

Z odrobinÄ… zrÄ™cznoÅ›ci możesz w peÅ‚ni wykorzystać możliwoÅ›ci Equilatora. Można bowiem wprowadzić w nim dead cards, które nie zostaÅ‚y uwzglÄ™dnione przy obliczeniach equity. Można powiedzieć, że usuwa siÄ™ je z talii kart. DziÄ™ki tej maÅ‚ej sztuczce możesz porównać dwa różne ukÅ‚ady pod wzglÄ™dem equity, abyÅ› mógÅ‚ widzieć wpÅ‚yw samego redrawa.

Następujące dead cards występują w przykładzie 3 :
Q, Q, Q, J, J, J, K, A, A, A

Następujące dead cards występują w przykładzie 4:
Q, Q, Q, J, J, J, A, A, A, A

Przykład 3:

Board: K, 7, 2

Player 1 (A, K): 57.98%
Player 2 (Q, J): 42.02%

Przykład 4:

Board: K, 7, 2

Player 1 (K, K): 73.78%
Player 2 (Q, J): 26.22%

Teraz talia zawiera już z pewnością 35 kart, przy czym Gracz 2 ma w obu układach takie same outy. Gracz 1 miał w przykładzie 4 jedynie redraw na full oraz karetę.

Equity Gracza 1 powiÄ™ksza siÄ™ o 15,8 punktów.

Lecz co dokładnie daje Graczowi 1 trzymany redraw?

Na turnie miaÅ‚ outy na każdÄ… 7, 2 i ostatniego króla. W sumie jest to siedem outów. Jeżeli nie trafi na turnie, to do rivera ma jeszcze 3 dodatkowe outy, czyli w sumie 10 outów.

Prawdopodobieństwo trafienia przez Gracza 1 redrawu wynosi:

1 - ((28/35) * 24/34)) = 1 - (48/85) = 43,53%

Prawdopodobieństwo trafienia przez Gracza 2 koloru wynosi:

1 - ((27/35) * (26/34)) = 1- (351/595) = 41,01%

Oznacza to, że Gracz 2 w 17,85% trafi kolor, lecz przegra showdown przeciwko fullowi lub karecie.

Widzisz, że redraw powoduje nagły skok equity.
Im silniejszy jest draw u przeciwnika, tym lepiej można zobaczyć wpływ niewielkiego redrawa.
OczywiÅ›cie powiÄ™ksza siÄ™ również skok equity, ze wzglÄ™du na siÅ‚Ä™ redrawa. Redraw na flopie do fulla lub karety jest najsilniejszym redrawem, jaki może wystÄ…pić i dlatego ma on najwiÄ™kszy wpÅ‚yw na skok equity.

Karta blokujÄ…ca

Poza redrawem istnieje jeszcze jedna możliwość osÅ‚abienia drawa u przeciwnika. Posiadanie karty, którÄ… przeciwnik wlicza do swoich outów, zmniejsza szansÄ™ na skompletowanie przez niego drawa.

Rodzi się teraz pytanie, jak ważny może być dla ciebie fakt, że trzymasz taką kartę, tak zwaną kartę blokującą.

Aby poznać znaczenie kart blokujących, przyjrzyj się poniższym przykładom.

Board: K, 7, 2

Player 1 (7, 4): 59.66%
Player 2 (Q, J): 40.34%

Board: K, 7, 2

Player 1 (7, 4): 66.72%
Player 2 (Q, J): 33.28%

Ze wzglÄ™du na posiadanie dwóch kart blokujÄ…cych, Gracz 1 ma skok equity o 7,06 punktów.

Również tutaj obowiÄ…zuje stwierdzenie, że im wiÄ™kszÄ… ilość outów przeciwnika blokujesz, tym lepiej dla ciebie.
Jeżeli przeciwnik trzyma na przykład gutshota z jedną over card i ty trzymasz jedną lub dwie karty blokujące, to będziesz miał większy skok equity, niż w sytuacji, kiedy przeciwnik miałby drawa do koloru + over card, a ty blokujesz mu tylko jedną kartę do koloru.

Commitment z drawem

Niektórzy gracze nigdy nie wiedzÄ…, czy chcÄ… być committed w puli z drawem, czy też nie. Niektórzy podchodzÄ… do tego zbyt lekkomyÅ›lnie, inni nie wiedzÄ… nawet o istnieniu czegoÅ› takiego. W tym rozdziale zobaczysz, co to jest committing raise i jaka jest jego rola przy drawach.

O sytuacji committed mówi siÄ™ wówczas, gdy poprzez akcjÄ™ na zagranie push od przeciwnika masz takie pot odds, że EV(call) > EV(fold).

Częstym przykładem jest 4-bet w grze przed flopem,
kiedy to gracz jest pot committed i musi sprawdzić zagranie push od przeciwnika.

1$/2$ No-Limit Hold'em (6 handed)

Hero $200
MP $130

Preflop: Hero is UTG with A, K
Hero raises to $7, MP reraises to $25, 4 folds, Hero reraises to $70, MP reraises to 130 (All-In)

Jeżeli dasz przeciwnikowi zakres rąk tight AK, JJ+, to twoje equity z kartami AKs wynosi 42,14%.

Ze względu ma jednoznaczną sytuację raise or fold u przeciwnika, możesz zaniedbać skomplikowane obliczenia EV ewentualnej gry po flopie i założyć, że twoje zagranie 4-bet nigdy nie zostanie tylko sprawdzone przez przeciwnika.

Można osobno rozpatrywać zarówno sprawdzenie all-in, jak i zagranie 4-bet.

EV(All-In Call) = 0,4214 * 203 $ - (1-0,4214) * 60 $ = 85,5442 $ - 34,716 $ = 50,8282 $
EV(4-Bet) = f * 35 $ + (1-f) * (-63 $)

Aby obliczyć EV obu zagrań, musisz obliczyć następujące składniki:

EV(4-Bet + All-In Call) = f * 35 $ + (1-f) * (EV(Call Commited) - 63 $)
EV(4-Bet + All-In Call) = f * 35 $ + (1-f) * ((0,4214 * 203 $ - (1-0,4214) * 60 $) - 63 $)
EV(4-Bet + All-In Call) = f * 35 $ + (1-f) * (50,8282 $ - 63 $)

Czy wynikająca z tego akcja jest +EV lub -EV, możesz obliczyć, jeżeli uwzględnisz fold equity.

Przy wartości f = 0,3 mielibyśmy:

EV(4-Bet) = 0,3 * 35 $ + (1-0,3) * (-63 $) = 10,5 $ - 44,1 $ = -33,6 $

EV(4-Bet + All-In Call) = 0,3 * 35 $ + (1-0,3) * (50,8282 $ - 63 $)
EV(4-Bet + All-In Call) = 10,5 $ - 8,52 $ = 1,97974 $

RozpatrujÄ…c samo zagranie 4-bet, jest ono -EV, a koÅ„cowe zagranie all-in, które jest wynikiem twojego pot committed po 4-bet, jest +EV. Nie możesz jednak dodać obu wartoÅ›ci oczekiwanych do siebie, aby otrzymać caÅ‚kowitÄ… wartość oczekiwanÄ… tej akcji.

Jeżeli przeciwnik w 30% spasuje po twoim zagraniu 4-bet i w 70% zagra all-in, będziesz miał wartość oczekiwaną spowodowaną zagraniem 4-bet i sprawdzeniem all-in 1,97974 $, czyli cała sytuacja jest +EV.

W tym przykładzie nie widać jednak zbyt dobrze sensu zagrania committing raise.
Dlatego poniżej przedstawiamy trochÄ™ bardziej skomplikowany przykÅ‚ad, w którym bÄ™dziesz mógÅ‚ rozpoznać znaczenie tego zagrania.

1$/2$ No-Limit Hold'em (6 handed)

Hero $200
CO $129

Preflop: Hero is BB with T, 9
2 folds, CO raises to $7, 2 folds, Hero calls.

Flop: ($15) K, Q, 2
Hero checks, CO bets $12, Hero raises to $32, CO reraises to $122 (All-In)

Masz drawa do koloru i gutshota, co w sumie daje ci 12 outów bez odliczania. Ze wzglÄ™du na fakt, że twój draw do koloru nie jest wysoki i do gutshota trzymasz kartÄ™ z niższego koÅ„ca (idiot end), powinieneÅ› odliczyć w sumie 2 outy. Pozostanie ci jeszcze 10 outów, co odpowiadaÅ‚oby equity okoÅ‚o 40%. PotrzebowaÅ‚byÅ› pot odds 1:1,5, aby twoje sprawdzenie byÅ‚o +EV.

W tym przykładzie musisz sprawdzić zakład wysokości 90 $ przy puli o wielkości 169 $. Pot odds wynosi 1:1,87. Sprawdzenie jest więc +EV. Możesz powiedzieć, że poprzez zagranie check/raise na flopie jesteś pot committed, jeżeli przeciwnik zagra all-in na flopie.

Czy poprawne byÅ‚o zagranie check/call na flopie, po którym jesteÅ› pot committed?

Poprawne zagranie oznacza w tym wypadku, że swoim zagraniem check/call na flopie spowodowaÅ‚eÅ› akcjÄ™ o +EV. Aby to ustalić, możesz spróbować obliczyć EV caÅ‚ej akcji, podobnie jak w przypadku zagrania 4-bet przed flopem.

Założenie:

Przeciwko zakresowi rÄ…k przeciwnika, z którym bÄ™dzie graÅ‚ all-in, masz 40% equity.
Niech f oznacza fold equity.
Niech c oznacza prawdopodobieństwo, że przeciwnik sprawdzi twoje zagranie check/raise.

EV(All-In Call) = 0,4 * 169 $ - 0,6 * 90 $ = +13,6 $
EV(opponent calls c/r) = EV(Postflop)

Wartość oczekiwana EV(postflop) jest większa od zera, ponieważ po sprawdzeniu przeciwnika możesz grać na turnie linią c/f i dzięki temu twoja linia gry może być opłacalna. Ponieważ jesteś dobrym graczem, można założyć, że w zależności od tekstury stołu i przeciwnika będziesz grał tę linię. Dlatego wartość oczekiwana po flopie będzie dodatnia.

EV(c/r Flop) = f * 27 $ + (1-f) * -32 $

EV(chain of action) = f * 27 $ + (1-f) * (c * (EV(Postflop)-32 $) + (1-c) * (EV(All-In Call) -32 $))
EV(chain of action) > f * 27 $ + (1-f) * (c * (-32 $) + (1-c) * (13,6 $ -32 $)

Możliwe założenia dla c oraz f:

c = 0,6, f = 0,2

EV(chain of action) > 0,2 * 27 $ + (1-0,2) * (0,6 *(-32 $) + (1-0,6) * (13,6 $ -32 $))
EV(chain of action) > 5,4 $ + 0,8 * ((-19,2 $) - 7,36 $)
EV(chain of action) > 5,4 $ - 21,248 $ = -15,848 $

W celu ogólnego przedstawienia powyższego wyrażenia wprowadzone zostanÄ… nastÄ™pujÄ…ce oznaczenia:

• Fold equity : f
• Wielkość puli : p
• Wielkość zakÅ‚adu : b
• PrawdopodobieÅ„stwo sprawdzenia przez przeciwnika linii c/r : c
• EV(all-in call) : y
• EV(postflop) : x

Mamy nastÄ™pujÄ…cÄ… nierówność do wyznaczenia EV:

EV(chain of action) > f * p + (1-f) * (c * (x-b) + (1-c) * (y-b)

Jeżeli podobnie jak w powyższym przykładzie otrzymasz ujemną wartość EV(ciąg wydarzeń), to poprzez następujące obliczenie możesz się dowiedzieć, ile EV musi mieć twoja linia gry po flopie w przypadku sprawdzenia przeciwnika, aby cały ciąg wydarzeń miał pozytywną +EV:

x > (f * ((1-c) * y - p - b) - (1-c) * y + b)/(c(1-f))

W tym przykładzie otrzymasz x
> 33,016 $. Oznacza to dla ciebie, że musisz swoimi zagraniami po turnie osiągnąć tę wartość EV przy zagraniach przeciwnika call oraz all-in, aby zagranie check/raise miało +EV.

Poniżej przykład z trochę bardziej realnymi wartościami zagrań przeciwnika call oraz all-in:

c = 0,25, f = 0,55

EV(chain of action) > 0,55 * 27 $ + (1-0,55) * (0,25 *(-32 $) + (1-0,25) * (13,6 $ -32 $))
EV(chain of action) > 14,85 $ + 0,45 * ((-8 $) -13,8)
EV(chain of action) > 14,85 $ - 9,81 $ = +5,04 $

Widzisz wiÄ™c, że przy takich zaÅ‚ożeniach masz +EV zagrania check/raise nawet wówczas, jeżeli po każdym sprawdzeniu od przeciwnika graÅ‚byÅ› zawsze na turnie check/fold (jest to jednak nierealne, ponieważ nie spasujesz rÄ™ki, jeżeli trafisz na turnie kolor).

Nie jest jednak pewne, czy zagranie check/raise i fakt, że bÄ™dziesz pot committed, jest najlepszÄ… liniÄ…. MusiaÅ‚byÅ› bowiem obliczyć EV wszystkich możliwych zagraÅ„ i porównać je miÄ™dzy sobÄ….

Czy zagranie committing raise w tym przykładzie było dobre? Co dały ci te wszystkie obliczenia?

Dowiedziałeś się, że zagranie committing raise może być +EV przy określonej częstotliwości zagrań przeciwnika call i all-in. To przykładowe rozdanie powinno jednakże pokazać, że zagranie all-in byłoby prawdopodobnie lepszą linią.
Bez dokładnego obliczania można przypuszczać, że przy linii gry check raise/call skłonisz przeciwnika do zagrania all-in z lepszymi drawami. Twoje equity przeciwo lepszym drawom jest jednak znacznie gorsze, niż przeciwko gotowym rękom.

Jeżeli w powyższym przykÅ‚adzie zagraÅ‚byÅ› all-in bezpoÅ›rednio na flopie, to przeciwnik mógÅ‚by spasować lepsze drawy do koloru, co by poprawiÅ‚o twoje equity przeciwko zakresowi rÄ…k, z którymi przeciwnik by sprawdziÅ‚.
Jeżeli trochę zmienimy powyższy przykład i damy ci najwyższego drawa do koloru z gutshotem, to twoje equity by wzrosło, nawet jeżeli przeciwnik zagra all-in z drawem, ponieważ go zdominujesz.

Prawdziwe znaczenie committing raise polega na tym, aby w ten sposób wpÅ‚ynąć na zakres rÄ…k przeciwnika, że twoje equity wzroÅ›nie w porównaniu do bezpoÅ›redniego zagrania all-in z twojej strony.
Takie wyjaÅ›nienie zakÅ‚ada, że przy obu liniach gry osiÄ…gniesz takie samo fold equity, lecz grasz przeciwko dwóm różnym zakresom rÄ…k.

Uwaga:

W tych wszystkich matematycznych obliczeniach całkowicie zaniedbaliśmy problem, że twoja ręka może stac się łatwo czytelna dla przeciwnika.
Jeżeli będziesz grał tą linią zbyt często, to przeciwnik może wyciągnąć następujące wnioski:

• BezpoÅ›rednie zagranie all-in = sÅ‚aby draw
• Committing raise = nut draw + monster

Poprzez tego reada może siÄ™ znacznie zmienić czÄ™stotliwość zagraÅ„ przeciwnika call oraz all-in. PotrzebowaÅ‚byÅ› wówczas stosunkowo wysokÄ… wartość EV po flopie, aby zagranie committing raise pozostaÅ‚o +EV (porównanie z rozdaniem T, 9).

Znaczenie zrównoważenia wÅ‚asnego zakresu rÄ…k

W grze z drawami czÄ™sto powstaje problem znaczenia zrównoważenia wÅ‚asnego zakresu rÄ…k. Czy rzeczywiÅ›cie jest to takie zÅ‚e, że przeciwnik wie, że twój zakres rÄ…k w 100% skÅ‚ada siÄ™ z drawów, czy może ta informacja nie jest dla niego istotna?

Aby teoretycznie odpowiedzieć na to pytanie, wyobraź sobie następującą sytuację:

Grasz heads-up na turnie z pozycją i przeciwnik stawia zakład.

• Zakres rÄ…k a) Trzymasz tylko drawy i twoje equity przeciwko zakresowi rÄ…k przeciwnika wynosi 25%.
• Zakres rÄ…k b) Trzymasz rÄ™ce nutsy oraz sÅ‚abe drawy i twoje equity przeciwko zakresowi rÄ…k przeciwnika wynosi 25%.

Który zakres rÄ…k jest lepszy dla ciebie i na czym polega różnica?
Ze wzglÄ™du na showdown value masz takÄ… samÄ… wartość oczekiwanÄ… w obu przypadkach. Jeżeli zagraÅ‚byÅ› all-in przy obu zakresach rÄ…k i przeciwnik sprawdziÅ‚by twoje zagranie, to przy obu zakresach rÄ…k wygraÅ‚byÅ› showdown w 25% wszystkich przypadków.
Na pierwszy rzut oka nie ma wiÄ™c żadnej różnicy.

Jeżeli spróbujesz optymalnie grać przeciwko zakresowi rÄ…k przeciwnika, to rozpoznasz, że w pierwszym scenariuszu twoje możliwoÅ›ci sÄ… bardzo ograniczone. Przy optymalnej grze sprawdziÅ‚byÅ› zakÅ‚ad na turnie ze wzglÄ™du na oddsy i outy, aby nastÄ™pnie na riverze zagrać bet/raise. Jeżeli trafisz swojego drawa, to twoje zagranie bet/raise byÅ‚oby podbiciem dla value. Jeżeli jednak nie trafisz drawa, to blefujesz, aby nie dać przeciwnikowi informacji na temat wÅ‚asnego zakresu rÄ…k.
Ujemną stroną tego jest fakt, że musisz czekać aż do rivera, aby zmusić przeciwnika do podjęcia decyzji sprawiającej mu trudności i prowokującej do popełnienia błedu.

Jeżeli jednak twój zakres rÄ…k skÅ‚ada siÄ™ ze wszystkich możliwych drawów oraz silnych rÄ…k, to przy optymalnej grze możesz stać siÄ™ aktywny już na turnie i wÅ‚aÅ›nie tam podbijać dla value z odpowiednimi rÄ™kami lub próbować grać semiblef z nadajÄ…cymi siÄ™ do tego ukÅ‚adami.
Masz również możliwość sprawdzenia zakÅ‚adu na turnie, aby na riverze postawiać zakÅ‚ad dla value zarówno ze skompletowanymi drawami, jak również z silnymi rÄ™kami. StosujÄ…c podbicia przy blefie, możesz zrównoważyć ten zakres rÄ…k.

W przypadku zÅ‚ożonego zakresu rÄ…k masz wiÄ™cej możliwoÅ›ci optymalnej gry przeciwko innemu graczowi i Å‚atwiej udaje ci siÄ™ zrównoważyć wÅ‚asny zakres rÄ…k w poszczególnych sytuacjach. Powodem tego jest fakt, że możesz reprezentować różne rodzaje rÄ…k.

Jeżeli przeciwnik może ograniczyć twojÄ… rÄ™kÄ™ do okreÅ›lonego typu, to bÄ™dzie mógÅ‚ Å‚atwiej poprawnie grać przeciwko takiemu typowi rÄ™ki, gdyż ciężej ci bÄ™dzie zrównoważyć wÅ‚asnÄ… liniÄ™ gry.
Ze złożonym zakresem rąk zawsze możesz osiągnąć wyższe EV.

Semiblefy i częstotliwość blefowania

W sekcji strategii dla użytkowników ze zÅ‚otym statusem znajdziesz specjalne artykuÅ‚y na temat semiblefów. Poniżej znajdziesz matematyczny punkt widzenia co do tego, w jaki sposób możesz analizować semiblefy w czasie gry.

Na początku rozważań zakładamy semiblef all-in.

Jeżeli chcesz grać semiblefa, to potrzebujesz nastÄ™pujÄ…cych informacji, aby móc obliczyć EV tego zagrania:

• OsiÄ…gniÄ™ta fold equity : f
• Equity w porównaniu z zakresem rÄ…k przeciwnika przy sprawdzeniu: E
• Wielkość puli: p
• Wielkość wÅ‚asnego zakÅ‚adu : b

EV(All-In Semi-bluff) = f * p + (1-f) * (E * p - (1-E) * b)
text

Powyższe wyrażenie jest skonstruowane w ten sposób, że najpierw obliczasz zysk, jeżeli przeciwnik spasuje i dodajesz go nastÄ™pnie do zysku/straty, jeżeli przeciwnik sprawdzi.
Widzisz, że zawsze bÄ™dziesz miaÅ‚ zysk, jeżeli przeciwnik spasuje po twoim podbiciu all-in. Ujemna wartość oczekiwana semiblefu all-in może pojawić siÄ™ jedynie wtedy, jeżeli przeciwnik sprawdzi twoje zagranie all-in. I wÅ‚aÅ›nie tutaj bardzo ważne jest equity w porównaniu do zakresu rÄ…k przeciwnika i decyduje o tym, czy odniesiesz zysk, czy poniesiesz stratÄ™.

Należy przeanalizować jedynie poniższą część przedstawionego wyrażenia:

EV(Opponent calls) = E * p - (1-E) * b

Jeżeli ten czynnik jest większy od zera, to odniesiesz zysk.
Przy analizie rozwiąż powyższe równanie ze wzglÄ™du na stosunek wielkoÅ›ci zakÅ‚adu i wielkoÅ›ci puli, a bÄ™dziesz  w stanie rozpoznać ich powiÄ…zanie z equity.

0 < E * p - (1-E) * b
(1-E) * b < E * p
b/p < E / (1-E)

Tabela ze stosunkiem wielkość zakładu/wielkość puli i odpowiednią minimalną equity:

Można dostrzec, że im wyższe equity, tym większy może być stosunek b/p przy semiblefie all-in, aby osiągnąć zysk.

Jeżeli umiesz tak dobrze oszacować zakres rÄ…k przeciwnika, że dokÅ‚adnie okreÅ›lisz swoje equity, to wedÅ‚ug powyższej tabeli możesz grać perfekcyjne semiblefy all-in, gdyż zawsze potrafiÅ‚byÅ› rozpoznać sytuacje, w których wygrasz.
Zauważ jednak: aby przeprowadzić semiblef z +EV, obie części wyrażenia nie muszÄ… być dodatnie. W peÅ‚ni wystarczy, że obie części tak siÄ™ zrównoważą, że jako wynik pozostanie dodatnia wartość oczekiwana.

Drugi, trochÄ™ bardziej skomplikowany przypadek jest wówczas, gdy nie mamy do czynienia z semiblefem all-in.

Wówczas matematyczna analiza staje siÄ™ bardzo trudna, gdyż należy poczynić wiele zaÅ‚ożeÅ„ o niezliczonych możliwych zagraniach po flopie.
Jeżeli trzymasz bardzo silnego nuts drawa, to powyższą analizę możesz zastosować przy committing raise, aby otrzymać matematyczne uzasadnienie sytuacji w grze.

Przy sÅ‚abych drawach sytuacja staje siÄ™ trochÄ™ trudniejsza, gdyż masz wówczas wiÄ™cej możliwoÅ›ci w grze po flopie. Możesz bowiem:

• spasować swojÄ… rÄ™kÄ™,
• blefować z dobrymi kartami, aby reprezentować inne rÄ™ce/drawy.

Dlatego niemożliwe jest prosta matematyczna analiza.

Jeżeli jednak przy semiblefie nie bÄ™dziesz pot committed, to możesz mieć problem, gdy przeciwnik po raz kolejny podbije i bÄ™dziesz musiaÅ‚ spasować swojÄ… rÄ™kÄ™. Tego rodzaju sytuacja jest szczególnie denerwujÄ…ca, bo mógÅ‚byÅ› widzieć jeszcze jednÄ… kartÄ™ bez blefu, a poprzez semiblefa nie możesz już widzieć żadnej karty i musisz spasować swojÄ… rÄ™kÄ™, tracÄ…c caÅ‚e pot equity.

Również tÄ… sytuacjÄ™ przedstawimy w matematyczny sposób, aby otrzymać trochÄ™ jaÅ›niejszy obraz tej sytuacji.

1$/2$ No-Limit Hold'em (6 handed)

Preflop: Hero is Button with 5, 4
3 folds, Hero raises to $7, SB folds, BB calls.

Flop: ($15) K, T, 2
BB checks, Hero bets $12, BB calls.

Turn: ($39) A
BB checks, Hero ?

Czy powinieneś teraz semiblefować z gutshotem, czy czekać i mieć nadzieję na trafienie strita? W przypadku zagrania check behind grałbyś dalej tylko wtedy, jeżeli byś trafił strita.

Na to pytanie nie można tak Å‚atwo odpowiedzieć, gdyż nie mamy na razie żadnych informacji o wielkoÅ›ci stacków.
Rozdanie rozpoczęło się z deepstackami:

Hero $409
BB $500

Masz dwie możliwe zagrania, postawienie zakładu o wielkości puli na turnie jako semiblef lub zagranie check behind.

Przed rozpoczÄ™ciem analizy zakÅ‚adamy, że w 1/3 przypadków przeciwnik bÄ™dzie graÅ‚ na turnie check/raise all-in oraz w 2/3 przypadków spasuje na twojego semiblefa.
Jeżeli przeciwnik zagra check/raise, musisz niestety spasować.

Wartość oczekiwanÄ… EV blefa możesz obliczyć w stosunkowo prosty sposób:

EV(blef) = 2/3 * 39 $ - 1/3 * 39 $= +13 $

Semiblef ma więc dodatnią wartość oczekiwaną +EV. A jak wygląda sutuacja przy zagraniu check behind?
Jeżeli trafisz strita, to możesz zaÅ‚ożyć, że w x% przypadków uda ci siÄ™ grać o stacki z przeciwnikiem. Twoje oddsy na trafienie gutshota to 4:44 -> 1:11.

EV(check) = 10/11 * 0 + 1/11 * (x * 429 $ + (1-x) * 39 $)

Jeżeli uda ci siÄ™ w 33% przypadków grać z przeciwnikiem o stacki, to obliczenie wartoÅ›ci oczekiwanej EV wyglÄ…da w nastÄ™pujÄ…cy sposób.

EV(check) = 10/11 * 0 + 1/11 * (1/3 * 429 $ + (1-1/3) * 39 $)
EV(check) = 0 + 1/11 * 1/3 * 429 $ + 1/11 * 2/3 * 39 $
EV(check) = 0 + 13 $ + 2,36 $ = +15,36 $

Zagranie check miaÅ‚oby w tej sytuacji wyższÄ… wartość oczekiwanÄ… +EV, niż semiblef, chociaż ma on również dodatniÄ… wartość oczekiwanÄ… +EV. Przy odrobinie matematycznych zdolnoÅ›ci uda ci siÄ™ sformuÅ‚ować to równanie tak, że bÄ™dziesz mógÅ‚ zobaczyć, w ilu procentach musisz grać z przeciwnikiem na stacki, aby EV(check) > EV(semiblef).

13 < 1/11 *429x + 1/11 * 42,9 *(1-x)
13 < 39x + 39/11 - 39/(11x)
13 < 39x + 3,54 - 3,54x
9,45 < 35,46x
x> 9,45/35,46
x > 0,2667 -> 27%

Jeżeli trafisz strita i uda ci siÄ™ w co najmniej 27% przypadków grać z przeciwnikiem na stacki, to wówczas zagranie check jest bardziej opÅ‚acalne od semiblefu.

W powyższym przykÅ‚adzie opcja zagrania check behind zostaÅ‚a rozpatrzona trochÄ™ w negatywnym Å›wietle, ponieważ może siÄ™ wydarzyć, że na riverze trafisz parÄ™. Jeżeli przeciwnik i ty bÄ™dziecie czekali, to jeszcze możesz wygrać pulÄ™. Nie uwzglÄ™dniono również możliwych blefów na riverze z dodatniÄ… wartoÅ›ciÄ… oczekiwanÄ… +EV.

Nadal pozostaje pytanie, kiedy powinieneś zaryzykować zagranie check/raise od przeciwnika i narazić się na konieczność spasowania ręki.
Poniżej wyliczamy jeszcze raz wszystkie czynniki, które sÄ… ważne przy odpowiedzi na to pytanie:

• PrawdopodobieÅ„stwo, że semiblef siÄ™ uda,
• PrawdopodobieÅ„stwo, że przeciwnik zmusi ciÄ™ do spasowania rÄ™ki poprzez zagranie check/raise,
• SiÅ‚a rÄ™ki, jeżeli nie trafisz drawa,
• PrawdopodobieÅ„stwo, że draw siÄ™ skompletuje,
• Twoje implied odds.

Wszystkie te czynniki są bardzo silnie ze sobą powiązane, dlatego niemożliwa jest pojedyncza analiza każdego z nich z osobna.
Możesz jednak grać według następującej zasady:

Teraz należy wyjaśnić, jak dokładnie zdefiniowana jest value twojego drawa i dzięki czemu może on nabierać lub tracić na wartości.

• Twój draw ma wiele outów.
• Efektywne stacki sÄ… duże.
• Twój przeciwnik to calling station.
• Masz nuts drawa.

Widzisz, że ostatnie trzy czynniki przyczyniajÄ…ce siÄ™ do podniesienia value twojego drawa znacznie podwyższajÄ… twoje implied odds, które sÄ… wówczas ważne, jeżeli zobaczysz kartÄ™ na riverze i możesz obserwować dalszÄ… akcjÄ™.

Być może jest to niezgodne z twoja intuicją, gdyż może myślisz, że jeżeli masz trochę value, to z jednej strony możesz stawiać zakład dla value i budować pulę, aby w przypadku trafienia na riverze postawić wyższy zakład dla value.

Nie jest to jednak tak całkiem poprawne.
Zauważ, że przy obliczaniu wartości oczekiwanej semiblefa EV(semiblefa), value twojej ręki nie jest ważne. Twoja wygrana to jedynie wynik spasowania przeciwnika. Przy zagraniu check behind znaczenie ma value twojego drawa, gdyż wraz ze wzrastającą value możesz osiągnąć większą wygraną na riverze i tym samym wzrasta wartość oczekiwana EV(check).

Na zakoÅ„czenie tych rozważaÅ„ możesz porównać przedstawione poniżej dwie tekstury stoÅ‚u:

Board 1: Q, 9, 9, 5
Board 2: Q, 9, 5, 2

W obu przypadkach trzymasz
J, T.

Na którym stole zagraÅ‚byÅ› check behind, a na którym semiblefa?

Jeżeli zastosujesz czynniki wymienione powyżej, to na pierwszym stole masz mniejsze implied odds i dlatego twój draw ma mniejszÄ… wartość. Masz bowiem drawa do strita, a przeciwnikowi pozostajÄ… możliwoÅ›ci drawu do koloru i do fulla.
Oznacza to, że czasami skompletujesz drawa, lecz przegrasz showdown, gdyż przeciwnik będzie trzymał lepszą rękę.

Dlatego na tym stole spada wartość oczekiwana zagrania check.
Na drugim stole nie masz tych problemów. Masz nuts drawa i nie musisz siÄ™ na riverze obawiać silniejszej rÄ™ki, jeżeli sam trafisz.
Z tych powodów pierwszy stóÅ‚ nadawaÅ‚by siÄ™ lepiej do zagrania semiblefu.

Im sÅ‚abszy jest twój draw, tym bardziej taki sposób gry pasuje do twojego planu, gdyż w przypadku zagrania przeciwnika check/raise możesz po prostu spasować i tracisz przez to jedynie niewiele equity.

NastÄ™pnÄ… koncepcjÄ…, na którÄ… musisz zwrócić uwagÄ™ przy silnych i sÅ‚abych drawach, kiedy grasz semiblefa bez zagrania all-in, jest wywarcie nacisku na przeciwnika poprzez postawienie kolejnego zakÅ‚adu.

Ze wzglÄ™du na wielkość stacków, możesz zmusić przeciwnika przy semiblefie do gry bardziej weak i przez to prawdopodobnie osiÄ…gniesz wiÄ™cej fold equity, gdyż przeciwnik z marginalnymi rÄ™kami gotowymi bÄ™dzie graÅ‚ wedÅ‚ug reverse implied odds.

1$/2$ No-Limit Hold'em (6 handed)

Grasz na żywo, jesteś na turnie i zapomniałeś dotychczasową akcję.
ZapomniaÅ‚eÅ› również swojÄ… rÄ™kÄ™, lecz nie chcesz na niÄ… jeszcze raz spojrzeć, gdyż mógÅ‚byÅ› w ten sposób siÄ™ zdradzić. Wiesz jednak, że trzymasz rÄ™kÄ™, z którÄ… możesz stawiać zakÅ‚ady dla value.

Turn: J, T, 7, 6.

Przeciwnik czeka, a ty zastanawiasz się nad postawieniem zakładu o wielkości puli.
Poniżej dwa scenariusze:

• Nie pozostaje ci nic w stacku i dlatego zagrywasz all-in.
• Twój stack po postawieniu zakÅ‚adu na turnie wynosi czterokrotność wielkoÅ›ci puli.

W którym przypadku wywrzesz wiÄ™kszy nacisk na przeciwnika, jeżeli trzyma on rÄ™ce typu KJ, KT lub sÅ‚abe rÄ™ce gotowe?

Ze wzglÄ™du na twój stack, trudniej podjąć decyzjÄ™ przeciwnikowi, pomimo tego, że trzyma takÄ… sama rÄ™kÄ™.
Ze wzglÄ™du na twój stack musi siÄ™ on zastanowić, czy powinien sprawdzić twój zakÅ‚ad na turnie i musi pomyÅ›leć, co bÄ™dzie dalej robiÅ‚ na riverze w przypadku twojego kolejnego zakÅ‚adu. Na riverze mogÄ… siÄ™ pojawić prawie wyÅ‚Ä…cznie nieprzyjemne dla niego karty, poza trafieniem dwóch par lub trójki.

W pierwszym przypadku miałby odds 1:2 po twoim zagraniu all-in i jeżeli trzyma topparę, to spokojnie by sprawdził.
W drugim przypadku ma jednakże pewien problem. Musi bowiem sprawdzić nie tylko ten jeden zakład, lecz także musi doliczyć dodatkowe koszty przy dojściu do showdownu, przez co musi liczyć z reverse implied odds.

Ze względu na to, że ocenia cię na dobrego gracza potrafiącego na riverze optymalnie blefować z nieskompletowanymi drawami, nie jest teraz w stanie ocenić, czy będzie musiał jeszcze raz sprawdzić.

Widzisz wiÄ™c, że twoja rÄ™ka jest na drugim planie (możesz tutaj trzymać QJ, 88, 85 itp.), jeżeli możliwe sÄ… zarówno silne, jak i sÅ‚abe drawy. Ważne jest, abyÅ› rozpoznaÅ‚, jak znacznie różne sÄ… decyzje przeciwnika, mimo tego, że w obu przypadkach trzyma topparÄ™.
Ze wzglÄ™du na twój stack, przeciwnik musi siÄ™ zacząć zastanawiać, czy po sprawdzeniu zakÅ‚adu na turnie musi również zapÅ‚acić zakÅ‚ad na riverze, gdyż w zasadzie mogÄ… pojawić siÄ™ jedynie niekorzystne dla niego karty, którymi nie poprawi swojej rÄ™ki.

W pierwszym przypadku bÄ™dzie miaÅ‚ odds 1:2 i może spokojnie sprawdzić, gdyż nie musi siÄ™ obawiać kolejnego zakÅ‚adu postawionego przez ciebie. Jego reverse implied odds można obliczyć w nastÄ™pujÄ…cy sposób:

(zakład na turnie + suma x) : (zakład na turnie + suma x + wielkość puli na turnie)

Jeżeli czekasz na riverze, to wynosiłyby one przy zagraniu push 1:2.
Jeżeli jednak postawisz zakÅ‚ad all-in na riverze, to wynoszÄ… one wówczas 5:6. Jest to kolosalna różnica i powoduje bardzo nieprzyjemnÄ… sytuacjÄ™ dla przeciwnika.

Powinieneś sobie zapamiętać, że stawiasz zakład na turnie, jeżeli pozostanie ci jeszcze stack i myślisz, że przeciwnik spasuje ze względu na kwotę x na turnie oraz ewentualną możliwość postawienia przez ciebie kolejnego zakładu. Po zagraniu check behind na turnie, sprawdziłby tę kwotę x na riverze, ponieważ nie musiałby się obawiać gry według reverse implied odds.

Częstotliwość blefowania

Pojęcie to zostało już kilka razy użyte w artykule i dlatego powinno zostać wyjaśnione.

W przypadku blefu z nieskompletowanym drawem, przy którym nie masz żadnego equity, chodzi o to, aby wprowadzić przeciwnika w sytuacjÄ™, w której nie wie, czy powinien sprawdzić, czy nie, musi siÄ™ on bowiem obawiać zbyt czÄ™stego spÅ‚acenia ciÄ™.
Jeżeli osiągniesz określony stosunek pomiędzy zakładami z blefem i zakładami dla value, to przeciwnik nie może eksploatować twojej strategii.

Aby obliczyć czÄ™stotliwość blefowania, potrzebujesz tylko dwóch parametrów: 

• Wielkość puli : p
• Wysokość twojego zakÅ‚adu : b

Przy użyciu tych dwóch parametrów można ustalić czÄ™stotliwość blefowania B za pomocÄ… nastÄ™pujÄ…cego wzoru:

B = b / (b + p)

Jeżeli utrzymasz tÄ… czÄ™stotliwość blefowania dla twojego zakresu rÄ…k, to przeciwnik nie bÄ™dzie wiedziaÅ‚, czy powinien sprawdzić zakÅ‚ad na riverze, czy nie. Dla przeciwnika obowiÄ…zywaÅ‚aby nastÄ™pujÄ…ca równość: EV(call) = EV(fold).

Poza zamiarem zmylenia przeciwnika, chcesz oczywiście osiągnąć bezpośredni zysk swoim blefem.
Aby go obliczyć, musisz poczynić założenie co do prawdopodobieństwa, że przeciwnik spasuje po twoim zakładzie. Oznacza to, że musisz oszacować osiągnięte fold equity.

EV(blef) = f * p - (1-f) * b
0 > f * p - (1-f) * b
f > b/(b+p)

Jeżeli przeciwnik będzie częściej pasował, niż b / (b + p), to osiągniesz zysk swoim blefem.
Jeżeli jednak przeciwnik rzadziej pasuje, to nie osiągniesz żadnego zysku poprzez postawienie zakładu dla value. Dlatego przeciwnik nigdy nie może się dopasować do perfekcyjnej częstotliwości blefowania.

Zagadnienie blefu można stosunkowo prosto opisać matematycznie, lecz sztuka polega na jego wÅ‚aÅ›ciwym zastosowaniu. Nie bÄ™dziesz bowiem w stanie mieć dokÅ‚adnego przeglÄ…du twojego zakresu rÄ…k, żebyÅ› wiedziaÅ‚, z iloma rÄ™kami musisz blefować, aby perfekcyjnie zrównoważyć twój zakÅ‚ad dla value.
Podobnie jest z oszacowaniem fold equity, którÄ… należy okreÅ›lić w zależnoÅ›ci od przeciwnika i która nigdy nie zależy liniowo od wysokoÅ›ci zakÅ‚adu.

Podsumowanie

Aby nauczyć się konkretnych zagrań z drawami, przeczytaj jeszcze raz artykuły w sekcji złotej.
Artykuł ten miał na celu poprawienie zrozumienia matematycznej strony tych wszystkich zagrań oraz poprawienie twojej wiedzy podstawowej o No-limit Hold'em.

Trudno bÄ™dzie przeprowadzić podczas gry matematyczne obliczenia wartoÅ›ci oczekiwanej i nie jest to również konieczne.
Wystarczy, jeżeli zajmiesz siÄ™ takimi rzeczami w wolnych chwilach, aby w ten sposób poprawić wyczucie pomagajÄ…ce ci podczas gry podjąć wÅ‚aÅ›ciwÄ… decyzjÄ™.