<\/i><\/b><\/p>
- \n
- Dlaczego matematyka <\/i>jest ważna <\/i>w pokerze
<\/i><\/li>\n- Co kryje się pod pojęciem equity
<\/i><\/li>\n- Jak możesz obliczyć swoją wartość oczekiwaną
<\/i><\/li>\n<\/ul>![\"\"](\"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/wp-content\/uploads\/download\/content\/bilder\/ps_trennlinie.jpg\")
<\/div>W tej serii artykułów zaznajomisz się z podstawowymi oraz zaawansowanymi koncepcjami matematycznymi w no-limit Hold’em. Z jednej strony poznasz i nauczysz się rozumieć związki matematyczne, a z drugiej strony poznasz też bezpośrednie możliwości ich zastosowania. Chodzi w większości o dokładne obliczenie lub oszacowanie wyników różnych możliwych decyzji w ramach jednej ręki.<\/p>
Często mówi się na przykład w filmiku, na forum oceny rąk lub też w tym artykule: „To jest +EV”. Dokładniej wyjaśnimy to później, ale co to oznacza, jest jasne: to zagranie mogłoby być dobre\/poprawne, mogłoby przynieść zysk.<\/p>
Jak dotąd, wszystko w porządku. Problem pojawia się wtedy, gdy mamy dwie różne opinie. Gracz A mówi: „To jest +EV”, a gracz B: „Nie, to jest –EV, lub maksymalnie +-0 EV”. Jak postępować dalej?<\/p>
W niektórych sytuacjach żadna koncepcja matematyczna nie odpowie na to pytanie. Często jest jednak możliwe albo wyjaśnienie problemu, albo przynajmniej stworzenie solidnej podstawy do dyskusji. Szczególnie takimi przypadkami zajmiemy się w matematycznych koncepcjach w no-limit Hold’em.<\/p>
Część pierwsza – EV i zakresy<\/h1>
Pierwsza część zawiera wprowadzenie w matematyczne pojęcia i definicje. Czysto matematyczna podstawa jest dość łatwa i nie powinna nikogo odstraszyć. Chodzi w niej najwyżej o materiał podstawowej matematyki na poziomie liceum, a do tego nie o jego najtrudniejszą część.<\/p>
Po wyjaśnieniu pojęć matematycznych, wprowadzimy i wyjaśnimy jeszcze jedno ważne pokerowe pojęcie: equity. Już przy jego pomocy można przekalkulować pierwsze analizy i dojść do ciekawych wyników. Na koniec pokażemy kalkulacje kilku łatwych przykładów, aby zademonstrować zastosowanie przedstawionych koncepcji.<\/p>
Podstawy matematyczne<\/h1>
Wartość oczekiwana<\/div>W tej części artykułu pojawią się wzory. Zostaną one przedstawione w możliwie poprawnej matematycznej formie oraz wyczerpująco wyjaśnione. Nie trzeba znać ich wszystkich na pamięć.<\/p>
Zacznijmy od wartości oczekiwanej (zwanej także EV, dla expected value). Oczywiście nasuwa się pytanie: czym jest wartość oczekiwana?<\/p>
Chodzi tu o pojęcie ze stochastyki, części matematyki zajmującej się prawdopodobieństwem. Mamy tu tak zwane doświadczenia losowe, np. rzut monetą. Mają one możliwe wyniki xi<\/em> (i <\/em>jest w tym wypadku indeksem do numeracji wyników), w tym przykładzie orzeł lub reszka.<\/p>
Pojawiają się one z przynależnym do nich prawdopodobieństwem p(xi)<\/em> (i <\/em>służy tu znowu do numeracji), na przykład 50%. Wartość oczekiwana doświadczenia losowego jest wartością, która przy częstym jego powtarzaniu, występuje jako średni wynik.<\/p>
W istotnym tu dyskretnym przypadku wartość oczekiwana E(X)<\/em> wynosi, zakładając, że mielibyśmy N<\/em> różnych możliwych wyników:<\/p>
![\"\"](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/Education\/articles\/Math_Concepts\/monlh_part1_1_edit.png\")
<\/p>Jeśli komuś te matematyczne rozważania wydają się zbyt skomplikowane, może przeskoczyć do bardziej konkretnych, pokerowych rozdziałów (zaczynając od zakresu rąk). Jednak dla lepszego zrozumienia zalecamy także lekturę rozdziału matematycznego.<\/p>
Należy przy tym uważać na to, że pojedyncze wyniki mogą zostać ponownie złożone w całość, na przykład jeśli w grze bierze udział trzech graczy.<\/p>
Tutaj przypadki „nikt nie sprawdza“, „gracz A sprawdza”, „gracz B sprawdza”, „gracze A i B sprawdzają” należy rozpatrywać osobno oraz dla każdego z nich przeprowadzić analizę możliwych wyników z przynależnym prawdopodobieństwem. Do tego należy zwrócić uwagę na kolejny rozdział o grafach, które są przejrzystym zilustrowaniem takich obliczeń.<\/p>
Wartość oczekiwaną wyrażoną w pieniądzach nazywamy w pokerze EV. Aby móc to logicznie zrozumieć, proponujemy przypisanie wynikom wartości liczbowych, np.: reszce odpowiada 1, a orzełkowi -1.<\/p>
W przykładzie z rzutem monetą można zapisać po prostu cały wynik. Możliwymi wynikami są więc x1<\/em> = 1, x2<\/em> = -1 oraz przynależne im prawdopodobieństwa:<\/p>
p(x1) = 0,5 , p(x2) = 0,5 <\/i><\/p>
p(x) oznacza mniej więcej prawdopodobieństwo pojawienia się x. Dla wartości oczekiwanej wynika z tego:<\/p>
EV=x1 • p(x1)+x2 • p(x2) = 0,5 • 1 + 0,5 • (−1) = 0 <\/i><\/p>
Mamy nadzieję, że nie jest to dla nikogo zaskakujący wynik. Wybrany przykład był jednak bardzo łatwy. Weźmy więc nieco trudniejszy, aby wyjaśnić tę koncepcję. Kasyno proponuje następującą grę:<\/p>
Za 10 żetonów gracz może raz rzucić kością do gry. Jeśli wyrzuci 1, 2 lub 3 to traci on swoje żetony, za 4 dostanie on z powrotem 5 żetonów, za 5 20 żetonów, a za 6 30 żetonów. Czy ta gra jest +EV?<\/p>
Aby określić EV, musimy spojrzeć na wszystkie możliwe wyniki. W tym przypadku istnieje sześć różnych wyników odpowiadających każdej liczbie na kostce. Trzy liczby dadzą ten sam wynik, więc mogą być traktowane łącznie. Jako że każda liczba pojawia się z prawdopodobieństwem 1\/6, daje nam to następujące równanie:<\/p>
x1 = −10, p(x1) = 1\/6 +1\/6 + 1\/6 = 1\/2
<\/i>jak i x2 = −5, p(x2) = 1\/6 (gracz przegrywa połowę żetonów)<\/i>
x3 = 10, p(x3) = 1\/6
oraz
x4 = 20, p(x4) = 1\/6<\/i>
<\/i><\/p>Zatem mamy już wszystkie potrzebne wartości. A teraz przy pomocy kalkulatora, długopisu i kartki lub w pamięci możemy szybko obliczyć wartość oczekiwaną. W tym wypadku wygląda to tak:<\/p>
![\"rzut\"](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/Editorial\/pl\/News\/rzut.jpg\")
<\/p>Powinno być jasne, że żadne kasyno na świecie nie pozwoli na grę +EV przeciwko kasynu.<\/p>
Prosty przykład pokerowy<\/div>Dla dalszego zilustrowania, jeszcze jeden przykład pokerowy.<\/p>
FR , 100BB Stacks<\/p>
Preflop:<\/b> Hero is BU with AA<\/p>
6 folds<\/i><\/font>, CO raises 4BB,<\/font> Hero raises 12BB<\/font>, 2 folds<\/font><\/i>, CO is All-In<\/font>.<\/p>
Jaka wspaniała sytuacja. Masz dwa asy i możesz wszystkie twoje pieniądze wsunąć na środek przed flopem, lepiej prawie być nie może. To, że w tej sytuacji sprawdzasz, jest jasne (EV wynosi więcej niż 0).<\/p>
Mógłbyś postawić oczywiście pytanie, ile wynosi dokładnie wartość oczekiwana. Aby to zrobić, musisz najpierw określić poszczególne wyniki. Możesz wygrać całą pulę, czyli 100BB od CO, jak i twoje 12BB oraz 1,5BB od graczy na blindach, czyli 113,5BB.<\/p>
Ten wynik to x1 = 113,5BB<\/p>
Drugą możliwością jest strata 88BB, które musisz zainwestować w sprawdzenie, czyli x2 = -88BB.<\/p>
Teraz musisz jeszcze określić prawdopodobieństwo tych dwóch zdarzeń. Zakładasz, że CO wejdzie za wszystko z QQ, KK, AA i AKs, a więc twój udział w puli wynosi 77,3%, a udział przeciwnika 22,7%.<\/p>
Wartość oczekiwana wynika więc w tym wypadku z:<\/i><\/p>
EV = x1p(x1) + x2p(x2) = (113,5 • 0,773 − 88 • 0,227)BB = (87,73 − 19,976)BB = 67,75BB. <\/p>
<\/p>
Grafy<\/div>W przypadkach, w których pojedyncze wyniki wartości oczekiwanej są jednocześnie wartościami oczekiwanymi konkretnych sytuacji, proponujemy przedstawienie ich jako grafów. W ten sposób możesz przejrzyście spisać wszystkie wyniki i prawdopodobieństwa oraz obliczyć wartość oczekiwaną.<\/p>
Tak więc wartość oczekiwana całej sytuacji jest sumą poszczególnych wyników końcowych pomnożoną przez przynależne do nich prawdopodobieństwo.<\/p>
Ważne:<\/p>
Prawdopodobieństwo dla zdarzenia na pierwszym poziomie jest podane bezpośrednio, prawdopodobieństwo dla zdarzenia drugiego poziomu wynika z pomnożenia prawdopodobieństwa krawędzi pierwszego poziomu przez jego wynik, pomnożony przez prawdopodobieństwo z drugiej krawędzi.<\/p>
Dla przejrzystości na końcu każdej krawędzi zapisujemy jej wynik, oraz przy każdej krawędzi prawdopodobieństwo dla każdej z nich. Wartość oczekiwana jest sumą wszystkich wyników pomnożoną przez ich prawdopodobieństwo.<\/p>
Dla gry w kości według następujących zasad przykładowy graf wyglądałby tak:<\/p>
Gracz nie płaci nic, żeby wziąć udział w grze. Jeśli wyrzuci on 1, 2 lub 3, to przegra. Jeśli wyrzuci 4 lub 5, to wygrywa jedną kostkę czekolady. Jeśli wyrzuci 6, to może rzucać jeszcze raz, a wyrzucając kolejną 6, wygrywa 3 kostki czekolady, jeśli mu się to nie uda, to dostaje 2 kawałki.<\/p>
![\"\"](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/Education\/articles\/Math_Concepts\/monlh_part1_3.png\")
<\/p>Wartość oczekiwana wynosi więc:<\/p>
0,5 • 0+0,33 • 1+0,16 • 0,16 • 3+0,16 • 0,83 • 2 = 0,5 • 0+0,33 • 1+0,16 • (0,16 • 3+0,83 • 2) = 0,694. <\/i><\/p>
Ten sposób zapisywania obliczeń wartości oczekiwanej sugerujemy szczególnie wtedy, gdy musimy wziąć pod uwagę wiele przypadków. Taki zapis nie różni się fundamentalnie od typowego rachunku.<\/p>
Wariancja<\/div>Następujący akapit jest dość matematyczny, ale mimo wszystko do zrozumienia. Jeśli ci to pomoże, przyjrzyj się najpierw przykładowi.<\/p>
Kolejnym ważnym pojęciem jest wariancja. Nie pomaga ci ona obliczyć wartości oczekiwanych, jest jednak ciągłym towarzyszem gry, dlatego to pojęcie powinno zostać wyjaśnione w tym artykule. Matematycznie patrząc, wariancja jest miarą średniego odchylenia wyniku doświadczenia losowego od jego wartości oczekiwanej.<\/p>
W pokerze określamy w ten sposób fakt, że każdy, nawet dobrzy gracze, doświadczają swingów w obie strony, co jest właściwie efektem wariancji. Można ją w interesującym nas przypadku przedstawić następującym wzorem:<\/p>
![\"\"](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/Education\/articles\/Math_Concepts\/monlh_part1_4.png\")
<\/p>Na początek nie wygląda on zbyt pięknie, ale taki jest. Wariancja mierzy średniokwadratowe odchylenie od wartości oczekiwanej E(X). Wynika z niej standardowe odchylenie:<\/p>
![\"\"](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/Education\/articles\/Math_Concepts\/monlh_part1_5.png\")
a więc pierwiastek wariancji. Nie jest on, jakby się mogło wydawać, bez sensu, ale dba on o absolutnie pozytywny znak liczby odchylenia <\/font><\/font>standardowego<\/font><\/font>, które jest znowu wymierną wartością i wyraża bezpośrednio średnie <\/font><\/font>odchylenie <\/font><\/font>od wartości oczekiwanej.<\/font><\/font><\/p>Dla lepszego zrozumienia, obliczymy przykład z pokera. Gracz A dysponuje bankrollem w wysokości 2000 $. Gracz B proponuje mu następującą umowę:<\/font><\/font><\/p>
A dostanie AA, a B dowolną rękę i karty zostaną rozdane do showdownu. Gracz A może postawić (scenariusz 1) cały swój bankroll, lub 10 razy po 200 $. Bez oceny chcemy zobaczyć, co możemy obliczyć. <\/font><\/font><\/p>
Wartość oczekiwana wynosi dla scenariusza 1:<\/strong>
<\/b><\/font><\/font><\/p>0,85 • 2000$ + 0,15 • (−2000$) = 1400$ <\/i><\/font><\/font><\/p>
W scenariuszu 2<\/strong> zostanie dziesięć razy przeprowadzone to samo doświadczenie, a wartość oczekiwana wynosi więc:<\/font><\/font><\/p>
10 • (0,85 • 200$ + 0,15 • (−200$)) = 1400$ jak w scenariuszu 1. <\/i><\/font><\/font><\/p>
Konkretne standardowe odchylenia wynoszą (nie obliczaliśmy ich z powodu braku miejsca) dla scenariusza 1 <\/strong>1428,3<\/span> $,<\/span> a dla scenariusza 2<\/strong> 451<\/span> $. Ryzyko całkowitej straty dla scenariusza 2<\/strong> wynosi śmieszne 5,7665• 10<\/font><\/font>10−7<\/sup> % = 0,00000057665 %, a dla scenariusza 1<\/strong> jednak 15 %.<\/font><\/font><\/p>
Im bardziej oddalone są możliwe wyniki od wartości oczekiwanej, tym większe będzie też średnie <\/font><\/font>odchylenie <\/font><\/font>od niej. Gracz NL50 będzie raczej chcieć zaryzykować cały <\/font><\/font>swój <\/font><\/font>bankroll w scenariuszu 2 niż w scenariuszu 1.<\/font><\/font><\/p>
Bardziej interesujące od bezpośredniego obliczenia <\/font><\/font>odchylenia <\/font><\/font>standardowego jest jednak następujące rozważanie. Programy do analizy gry, takie jak Pokertracker, potrafią między innymi podać <\/font><\/font>odchylenie <\/font><\/font>standardowe jako wartość wyrażoną w BB\/100. Jeśli dysponujemy wystarczająco dużą bazą danych, to możemy obliczyć symulacje, które na podstawie współczynnika wygranych oraz standardowego <\/font><\/font>odchylenia <\/font><\/font>symulują różne grafy dla różnej liczby rąk.<\/font><\/font><\/p>
Nie wchodząc w szczegóły, należy wspomnieć, że jako wynik matematycznych symulacji na podstawie realistycznych standardowych <\/font><\/font>odchyleń <\/font><\/font>dla graczy NL BSS absolutnie możliwe są swingi do 60 stacków, i mogą rzeczywiście się pojawić, nawet u graczy ze współczynnikiem wygranych wynoszącym 4BB\/100.<\/font><\/font><\/p>
Wraz z wyjaśnieniem pojęć wartości oczekiwanej, wariancji i <\/font><\/font>odchylenia <\/font><\/font>standardowego oraz wprowadzeniem grafów, które pozwalają przejrzyście obliczyć wartość oczekiwaną, zamykamy matematyczną część tego artykułu. Teraz po przedstawieniu equity i zakresu rąk poznasz pierwsze łatwe przykłady obliczeń wartości oczekiwanej.<\/font><\/font><\/p>
Zakres rąk<\/font><\/font><\/h1>
Temat zakresu rąk omówimy wyczerpująco w drugim artykule z tej serii. Teraz podamy tylko krótkie wyjaśnienie. Czym jest więc zakres rąk?<\/font><\/font><\/p>
Zakresem rąk nazywamy zbiór rąk, których podczas gry gracz już dalej nie rozróżnia. Oznacza to, że każdą rękę z tego zbioru grałby on dokładnie w ten sam sposób. Bardzo ważne jest, by mieć świadomość, iż każdy gracz w każdej sytuacji może grać nie jedną określoną rękę, a którąś z zakresu rąk.
<\/font><\/font><\/p>Oznacza to, że szanse na wygraną należy rozpatrywać także przeciwko całemu zakresowi rąk. Dokładnie tak samo, podejmując decyzję, zawsze musisz się zastanowić, jak gracz zareaguje na akcję, i <\/font><\/font> z jaką częścią swojego zakresu <\/font><\/font> (właśnie nie zawsze tak samo, często dzieli on swój zakres w ten sposób, że z jedną częścią podjąłby on decyzję A, a z inną częścią decyzję B).<\/font><\/font><\/p>
Ogólnie zakresy rąk podawane są w taki sposób, że najsłabsza ręka danej kategorii ma znak +, karty w kolorze lub nie rozróżniamy literami „o” lub „s”. Jeśli przy ręce nie ma litery, to możliwe są obydwie opcje. AK określa 16 możliwych kombinacji AK. QQ+, AQs+, AK określa QQ, KK, AA, jak i cztery kombinacje AQ w kolorze oraz wszystkie kombinacje AK.<\/font><\/font><\/p>
<\/p>
Equity<\/font><\/font><\/h1>
Equity<\/font><\/font><\/div>Na pewno słyszałeś już o equity. Także equity jest raczej matematycznym pojęciem. Wyraża ono prawdopodobieństwo wygranej graczy w danej sytuacji.<\/font><\/font><\/p>
Equity to część puli, która należy się ręce lub liczbie rąk w konkretnej sytuacji, porównując je do innej ręki lub liczby rąk. Ta część puli bierze pod uwagę także sytuację podziału puli i dlatego z reguły różni się nieco od dokładnego prawdopodobieństwa wygranej.<\/font><\/font><\/p>
Jak można obliczyć equity swojej ręki?<\/font><\/font><\/div>Teoretycznie można obliczyć equity twojej ręki. A oto bardzo łatwy przykład, który można obliczyć z akceptowalnym nakładem pracy:<\/font><\/font><\/p>
Gracz A<\/strong> ma A
![\"\"](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/smileys\/diamond.png\")
, K![\"\"](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/smileys\/heart.png\")
<\/strong><\/font><\/font><\/p>Gracz B<\/strong> ma A
![\"\"](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/smileys\/spade.png\")
, 2<\/strong><\/font><\/font><\/p>Karty wspólne<\/strong> to 7
, 8, K![\"\"](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/smileys\/club.png\")
<\/strong><\/font><\/font><\/p>Ile wynosi equity gracza A i B?<\/font><\/font><\/p>
W tym przypadku powinieneś rozważyć wszystkie możliwe wyniki. Gracz B wygrywa, jeśli trafi kolor, a gracz A nie trafi fulla, lub jeśli na turnie i riverze dojdzie dwójka. <\/font><\/font><\/p>
Prawdopodobieństwo dwójki na turnie i riverze wynosi 3\/45*2\/44.<\/font><\/font><\/p>
Obliczyliśmy to w następujący sposób:<\/font><\/font><\/p>
W talii są jeszcze 3 dwójki, <\/font><\/font>2<\/b>
, 2<\/b>, 2<\/b>. Prawdopodobieństwo tego, że jedna z nich dojdzie na turnie, jest liczbą „oczekiwanych” kart podzieloną przez liczbę pozostałych kart. Jest ich 45. Znasz już 4 karty graczy A i B oraz 3 karty z flopa.<\/font><\/font><\/p>Na riverze zostaną 2 „oczekiwane” oraz 44 pozostałych kart, daje to więc 1\/330 czyli 0,3 %.<\/font><\/font><\/p>
Do tego dochodzi prawdopodobieństwo koloru. Kolor na turnie pojawi się z prawdopodobieństwem 9\/45. Jeśli nie jest to<\/font><\/font> K<\/strong> <\/font><\/font>
, to gracz A nie ma już żadnych szans na wygraną, a więc najlepiej rozróżnimy to w ten sposób:<\/font><\/font><\/p>W 8\/45=17,7% przypadków gracz B wygra bezpośrednio, w 1\/45 przypadków gracz A może trafić fulla lub karetę na riverze. To zdarzy się w 9\/44=20,5 % przypadków dla 2xA, 1xK, 3x7, 3x8.<\/font><\/font><\/p>
Dla gracza B dochodzi jeszcze prawdopodobieństwo wygranej 1\/45 (prawdopodobieństwo K<\/font><\/font>
na turnie) * 35\/44 (prawdopodobieństwo, że gracz A nie trafi fulla lub karety) =1,7 %.<\/font><\/font><\/p>Jak dotąd, gracz B ma więc equity wynoszące 19,7 %. Pozostaje jeszcze rozpatrzyć przypadek, że na turnie nie pojawi się żaden <\/font><\/font>
. Jeśli na turnie dojdzie 7, 8, A lub K, to na riverze dla gracza B musi spaść <\/font><\/font>, oprócz K<\/strong><\/font><\/font>. Jeśli na turnie nie dojdzie żadna z tych kart, to wszystkie <\/font><\/font> na riverze pomagają graczowi B.<\/font><\/font><\/p>W pierwszym przypadku equity dla gracza B wynosi 9 (A, 7, 8, K <\/strong><\/font><\/font>
)\/45 * 8\/44 = 3,63%, a w drugim 24 (żaden pik, A, 7, 8, K lub 2, ponieważ ten przypadek już uwzględniliśmy)\/45 * 9\/44=10,9 %. Razem daje to więc graczowi B 35,7% equity.<\/font><\/font><\/p>![\"\"](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/Education\/articles\/Math_Concepts\/player_b_equity.png\")
<\/font><\/font><\/p>Jak widzisz, jest to bardzo drobiazgowe, choć był to łatwy przykład. Trudniejsze przypadki, takie jak obliczenie equity przed flopem lub equity dla różnych zakresów, jest niepraktyczne. Używa się do tego różnych narzędzi. Obliczają one <\/font><\/font>equity <\/font><\/font>w kilka sekund,<\/font><\/font> <\/font><\/font>w większości przez integrację numeryczną, także w trudnych przypadkach.<\/font><\/font><\/p>
Narzędzie takie jak PokerStrategy.com Equilator, może obliczyć przy pomocy prostych metod equity dowolnych sytuacji. Potrafi ono obliczać equity dla pojedynczych rąk, jak np. AA przeciwko KK, oraz dla zakresów, np. QQ+, AK przeciwko JJ+, AQ, AK.<\/font><\/font><\/p>
Można także ustawić różne karty wspólne, takie jak „martwe” karty, które nie powinny być brane pod uwagę. Aby wyrobić sobie do tego wyczucie, zebraliśmy przykładowe equity w następującą tabelę:<\/font><\/font><\/p>
\n\n
\n - Co kryje się pod pojęciem equity