<\/i><\/b><\/p>
- \n
- Wstęp do teorii gry
<\/i><\/li>\n- Równowaga Nasha i jej zastosowanie
<\/i><\/li>\n- CzÄ™stotliwość stawiania zakÅ‚adów i sprawdzania
<\/i><\/li>\n<\/ul>![](\"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/download\/content\/bilder\/ps_trennlinie.jpg\")
<\/div>Teoria gier jest gaÅ‚Ä™ziÄ… matematyki zajmujÄ…cÄ… siÄ™ analizÄ… sytuacji konfliktowych. SÅ‚owo \"gra\" oznacza w tym kontekÅ›cie sytuacjÄ™, w której wielu uczestników rywalizuje o dane zasoby. Każdy z nich korzysta z okreÅ›lonej strategii (możliwa jest miÄ™dzy nimi wspóÅ‚praca), która pozwala na pozyskanie części tych zasobów. <\/p>
CentralnÄ… częściÄ… teorii gier jest tzw. równowaga Nasha. Opisuje ona sytuacjÄ™, w której miÄ™dzy zawodnikami panuje rodzaj strategicznej równowagi. Każdy z graczy jest przygotowany na akcje innego zawodnika i w każdej chwili potrafi odpowiednio zareagować. Nikt nie jest w stanie zwiÄ™kszyć swoich zysków poprzez jednostronne odejÅ›cie od strategii. <\/p>
ArtykuÅ‚ ten stanowi swoiste wprowadzenie do teorii gier. Opisuje równowagÄ™ Nasha, a nastÄ™pnie próbuje znaleźć jej praktyczne zastosowanie na podstawie czÄ™stoÅ›ci blefów i sprawdzeÅ„. Dla zrozumienia artykuÅ‚u niezbÄ™dna jest niestety znajomość podstaw matematyki, w tym teorii macierzy. <\/p>
Krótkie wprowadzenie do teorii gier<\/b><\/h1>
Gra w sensie matematycznym składa się z:<\/p>
- \n
- wielu graczy<\/li>\n
- wielu (czystych) strategii, z których każdy z graczy może skorzystać<\/li>\n
- funkcji, która każdemu profilowi strategii (tak jest, każdy z graczy wybiera swojÄ… strategiÄ™), przyporzÄ…dkowuje okreÅ›lonÄ… wypÅ‚atÄ™, czyli udziaÅ‚ w dobrach. BÄ™dzie wiÄ™c to funkcja, która okreÅ›la zysk danego gracza, w zależnoÅ›ci od doboru strategii i jej wykorzystania w grze. <\/li>\n<\/ul>
Dalsza część artykuÅ‚u bÄ™dzie zajmowaÅ‚a siÄ™ grÄ…, w której bierze udziaÅ‚ dwóch zawodników. Można jÄ… wtedy Å‚atwo wyrazić za pomocÄ… dwóch m x n<\/em> macierzy A<\/em> i B<\/em>. Gracz nr 1 bÄ™dzie miaÅ‚ wiÄ™c do dyspozycji m strategii S1,...,Sm<\/i>, a gracz nr 2 bÄ™dzie miaÅ‚ n strategii S'1,...,S'n<\/i>. JeÅ›li gracz nr 1 wybierze strategiÄ™ Si, a gracz nr 2 S'j, to gracz nr 1 otrzyma wypÅ‚atÄ™ Aij, a gracz nr 2 Bij. <\/p>
Wypłata gracza nr 1:<\/p>
\n\n
\n \n <\/p><\/td>\n
S'1<\/i><\/b>\n<\/td>\n S'2<\/i><\/b>\n<\/td>\n ...\n<\/td>\n S'n<\/i><\/b>\n<\/td>\n<\/tr>\n \n S1<\/i><\/b>\n<\/td>\n A11<\/i>\n<\/td>\n A12<\/i>\n<\/td>\n ...\n<\/td>\n A1n<\/i>\n<\/td>\n<\/tr>\n \n S2<\/i><\/b>\n<\/td>\n A21<\/i>\n<\/td>\n A22<\/i>\n<\/td>\n ...\n<\/td>\n A2n<\/i>\n<\/td>\n<\/tr>\n \n ...\n<\/td>\n ...\n<\/td>\n ...\n<\/td>\n ...\n<\/td>\n ...\n<\/td>\n<\/tr>\n \n Sm<\/i><\/b>\n<\/td>\n Am1<\/i>\n<\/td>\n Am2<\/i>\n<\/td>\n ...\n<\/td>\n Amn<\/i>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table> JeÅ›li na przykÅ‚ad A=B=I2<\/i> (2x2 jednostki macierzy), wtedy gracze otrzymajÄ… wypÅ‚atÄ™ 1, gdy obaj wybiorÄ… pierwszÄ… lub drugÄ… strategiÄ™ (jednoczeÅ›nie). W przeciwnym wypadku zarówno jeden, jak i drugi otrzyma wypÅ‚atÄ™.<\/strong><\/p>
Zawodnicy mogÄ… również używać mieszanych strategii. Znaczy to tyle, że pewne czyste strategie sÄ… użyte z okreÅ›lonym prawdopodobieÅ„stwem, które sumuje siÄ™ oczywiÅ›cie do 100%. Taka mieszana strategia jest wyrażona poprzez wektor p<\/em>, gdzie pi<\/em> to prawdopodobieÅ„stwo, że wybrana zostanie strategia numer \"i<\/em>\".<\/p>
Gdy gracz 1 korzysta z mieszanej strategii p<\/em> z Rm<\/em> i gracz 2 korzysta z mieszanej strategii q<\/em> z Rn<\/em>, otrzymuje siÄ™ wtedy wypÅ‚aty pAq<\/em> i pBq<\/em>. (Dla czystych strategii prowadzi to z powrotem do odpowiadajÄ…cych im pól we wÅ‚aÅ›ciwych macierzach).<\/p>
Strategia p<\/i> gracza 1 jest nazywana najlepszą odpowiedzią<\/span> na strategię q<\/em> gracza 2, jeśli przynosi graczowi 1 maksymalną wypłatę. Można to wyrazić tak: <\/p>
pAq >= p'Aq<\/i> dla wszystkich strategii p' gracza 1.<\/p>
Analogicznie, strategia q<\/em> gracza 2 jest nazywana najlepszą odpowiedzią na strategię p<\/em> gracza 1, jeśli: <\/p>
pBq >= pBq'<\/i> dla wszystkich strategii q' gracza 2.<\/p>
Para (p,q)<\/i>, na którÄ… skÅ‚ada siÄ™ strategia p<\/i> gracza 1 i strategia q<\/em> gracza 2, nazywana jest równowagÄ… Nasha (NGG)<\/span>, gdy p<\/em> stanowi najlepszÄ… odpowiedź na q<\/em> i q<\/em> stanowi najlepszÄ… odpowiedź na p<\/em>. <\/p>
Udowodniono, że w każdej grze istnieje co najmniej jedno NGG (w rzeczywistości nie jest to konieczne dla czystych strategii).<\/p>
NGG nie musi być optymalne w sensie Pareto. Ze stanem optymalnym Pareto mamy do czynienia wtedy, gdy jeśli jeden z graczy zwiększy swoją wypłatę, to odbędzie się to kosztem drugiego.<\/p>
Analogicznie, para strategii optymalnych w sensie Pareto nie musi być wcale zgodna z NGG. NajsÅ‚ynniejszym, powszechnie znanym przykÅ‚adem jest chyba: \"dylemat więźnia\". Niestety nie bÄ™dziemy rozwodzić siÄ™ szerzej nad tymi ciekawymi pojÄ™ciami, podobnie jak innym terminem: strategii stabilnej ewolucyjnie i skorelowanej równowagi. <\/p>
Jeśli obaj gracze mają tylko dwie czyste strategie, istnieje bardzo prosta metoda obliczenia NGG. Można ją wyjaśnić na podstawie powyższego przykładu A=B=I2<\/i>.<\/p>
Strategia p<\/i> gracza 1 ma naturalnie formÄ™ (a,1-a) z<\/i> a [<\/i>0,1]<\/i>, strategia gracza 2 ma formÄ™ (b,1-b)<\/i> dla b [0,1]<\/i>. NastÄ™pnie dla strategii (b,1-b)<\/i> gracza 2, znajduje siÄ™ najlepszÄ… odpowiedź gracza 1 w ten sposób, że porównuje siÄ™ wypÅ‚aty dla strategii (1,0)<\/i> i (0,1)<\/i> (również czyste strategie, czyli oba wiersze w macierzy). <\/p>
JeÅ›li gracz 1 wybierze pierwszy wiersz, jego wypÅ‚ata to b<\/em>, przy drugim wierszu bÄ™dzie to 1-b<\/em>. Dla b>1-b <\/em><=> b>0,5<\/i> najlepszÄ… odpowiedziÄ… bÄ™dzie pierwszy wiersz, tzn. a=1<\/i>. Dla b<0,5<\/i> bÄ™dzie to drugi wiersz, tzn. a=0<\/i> i dla b=0,5<\/i> otrzymuje siÄ™ za każdym razem wypÅ‚atÄ™ równÄ… 1<\/i> i wtedy dowolna strategia jest najlepszÄ… odpowiedziÄ….<\/p>
To samo dotyczy gracza nr 2. W przykładzie na podstawie symetrii otrzymuje się naturalnie b=1<\/i> dla a>0,5<\/i>, b=0<\/i> dla a<0,5<\/i> i b<\/i> z przedziału [0,1]<\/i> dla a=0,5<\/i>.<\/p>
NGG sÄ… z definicji parÄ… strategii, w której obie strategie sÄ… za każdym razem najlepszÄ… odpowiedziÄ… dla aktualnie obowiÄ…zujÄ…cych strategii.<\/p>
NGG tych gier wyniesie więc ((1,0),(1,0)), ((0,1),(0,1))<\/i> i ((0,5,0,5),(0,5,0,5))<\/i>.<\/p>
CzÄ™stotliwoÅ›ci stawiania zakÅ‚adów\/sprawdzania<\/b><\/h1>
Rozważ pewną sytuację. Gracz 1 (bez pozycji) i gracz 2 (z pozycją) są na riverze i siła kart gracza 2 jest dosyć dokładnie określona. Gracz 1 wie, czy jest na prowadzeniu czy też nie, i gracz 2 ma tego świadomość. <\/p>
JeÅ›li gracz 1 może pokonać gracza 2, to powinien wykonać value bet (gracz 2 bÄ™dzie zawsze graÅ‚ check behind, ponieważ gracz 1 wie, czy prowadzi czy też nie). To, jak czÄ™sto powinien blefować, zależy oczywiÅ›cie od przeciwnika. Przeciwko graczowi typu calling station bÄ™dzie to oczywiÅ›cie chybionym pomysÅ‚em, przeciwko innym sÅ‚abym graczom można by spróbować. Decyzja gracza 2 o tym, czy sprawdzić zakÅ‚ad czy też spasować, jest zależna od gracza 1. <\/p>
SytuacjÄ™ tÄ™ można modelować jako grÄ™ w nastÄ™pujÄ…cy sposób: <\/p>
- \n
- Gracz 1 ma (czyste) strategie blefowania<\/i> i nie blefowania<\/em>. \tMieszana strategia (a,1-a) oznacza to, że <\/i>gracz 1 z prawdopodobieństwem a <\/em>wykona blef, gdy stawia zakład (a nie, że z prawdopodobieństwem a<\/em> zablefuje, gdy ma słabe karty. Ae o tym więcej w trzecim rozdziale).<\/li>\n<\/ul>
- \n
- Gracz \t2 ma (czyste) strategie sprawdzania i pasowania<\/i>. Mieszana strategia (b,1-b)<\/i>, oznacza to, że z prawdopodobieństwem b<\/em> sprawdzi, gdy gracz 1 postawi zakład. <\/li>\n<\/ul>
Stosunkowo łatwo można określić najlepszą odpowiedź na strategię przeciwnika.
(Bet gracza 1 wynosi wielokrotność X wielkoÅ›ci puli):<\/p>By wykonać dochodowe sprawdzenie, gracz 2 musi w x*Pot \/ (x+2) * Pot = x\/x+2<\/i> przypadków być na prowadzeniu. Oznacza to, że wobec strategii (a,1-a), jego najlepszÄ… odpowiedziÄ… bÄ™dzie fold<\/i> (wiÄ™c (0,1)<\/i> b=0<\/i>), gdy a
<\/x><\/i>=1<\/strong>.<\/p> Sprawdzenie będzie najlepszą odpowiedzią, gdy ( (1,0)<\/i> b=1<\/i>), dla a>x\/x+2<\/i>. Dla a=x\/x+2<\/i> każda strategia (b,1-b)<\/i> dla b<\/i> z przedziału [0,1]<\/i> będzie najlepszą odpowiedzią.<\/p>
By gracz 1 mógÅ‚ z zyskiem blefować, jego zagranie musi powieść siÄ™ w x*Pot\/(x+1)*Pot = x\/x+1<\/i>, tzn. gracz 2 musi przynajmniej w x\/x+1<\/i> przypadków spasować. <\/p>
Oznacza to tyle, że gracz 1 ma najlepszą odpowiedź na (b,1-b)<\/i> dla b>x\/x+1,<\/i> gdy nigdy nie blefuje (czyli (0,1)<\/i> lub a=0<\/i>), dla ciągle blefującego (czyli (1,0)<\/i> lub a=1<\/i>) i dla b=x\/x+1<\/i> każda strategia będzie najlepszą odpowiedzią.<\/p>
Otrzymujemy także kilka NGG ((x\/x+2),1-x\/x+2),(x\/x+1,1-x\/x+1))<\/i>.<\/p>
Praktyczne zastosowanie równowagi Nasha <\/b><\/h1>
Zastanówmy siÄ™ nad tÄ… sytuacjÄ… z punktu widzenia drugiego gracza. Przyjmijmy, że x=1<\/i>, czyli gracz 1 stawia zakÅ‚ady w wysokoÅ›ci puli. Zgodnie z NGG strategia przyjmie nastÄ™pujÄ…cÄ… postać (0,5,0,5)<\/i>. JeÅ›li w sposób przypadkowy w 50% wykona siÄ™ sprawdzenie i w 50% spasuje, to dziÄ™ki temu przeciwnik nie bÄ™dzie w stanie zyskać nad tobÄ… przewagi. Chodzi o to, że przeciwnik nawet poprzez dobre decyzje nie bÄ™dzie w stanie zwiÄ™kszyć swojej wartoÅ›ci oczekiwanej. <\/p>
Każda jego strategia jest natychmiastowÄ… dobrÄ… odpowiedziÄ… na naszÄ… strategie. Strategia (0,5,0,5)<\/i> nie zawsze bÄ™dzie najlepszÄ… odpowiedzÄ… na strategiÄ™ pierwszego gracza. Chcesz oczywiÅ›cie zawsze reagować optymalnie na dziaÅ‚ania innego gracza. JeÅ›li przeciwnik bÄ™dzie np. murkiem, dobór odpowiedniej strategii nie powinien sprawić wiÄ™kszych problemów. Wtedy trzeba by sprawdzać rzadziej niż w 50% sytuacji. <\/p>
Dobry przeciwnik w takiej sytuacji ciÄ…gle bÄ™dzie próbowaÅ‚ zmieniać swojÄ… strategiÄ™, by dopasować jÄ… do twojego stylu gry, podczas gdy ty bÄ™dziesz na te próby dopasowania próbowaÅ‚ odpowiednio zareagować, itd. Najlepiej byÅ‚oby oczywiÅ›cie stale znajdować siÄ™ o krok naprzód od przeciwnika, a także lepiej przewidywać sytuacjÄ™. DziÄ™ki temu w okreÅ›lonym momencie gry można by przewidzieć, czy przeciwnik wykona blef czy też nie. <\/p>
Podczas swojej pokerowej kariery na pewno trafisz na przeciwników, którzy tÄ™ umiejÄ™tność posiedli w lepszym stopniu od ciebie. Przeciwko nim najlepszym rozwiÄ…zaniem bÄ™dzie przyjÄ™cie strategii, która nie pozwoli innemu graczowi na zyskanie przewagi. DziÄ™ki temu lepsze ready nie zwiÄ™kszyÅ‚yby jego zysku. <\/p>
Dodatek
<\/b><\/b><\/h1>a) JeÅ›li chcesz przeprowadzać akcjÄ™ w 50% przypadków, zależy ci na tym, by twoja decyzja zostaÅ‚a podjÄ™ta w sposób jak najbardziej losowy. System, z którego bÄ™dziesz korzystaÅ‚, nie może być Å‚atwy do odgadniÄ™cia dla przeciwnika. Najprostszym generatorem przypadku może być sekundnik zegarka lub karta na riverze. Wykonasz sprawdzenie, gdy ich wartość bÄ™dzie parzysta, zaÅ› w przeciwnym wypadku spasujesz. Taki sposób może stać siÄ™ jednak możliwy do odgadniÄ™cia, gdy jest zbyt oczywisty, zaÅ› przeciwnik stosunkowo uważny. <\/p>
b) W rozdziale 2 zostałeś poinformowany, że strategia (a,1-a)<\/i> gracza 1 oznacza, że wykona blef z prawdopodobieństwem a<\/em>, a nie, że z prawdopodobieństwem a<\/em> zagra blef, gdy ma złe karty. Informacja ta nie ma jednak praktycznego zastosowania. Trzeba jeszcze wziąć pod uwagę to, jak często faktycznie ma dobre karty a jak często ich nie ma. <\/p>
Rozpatrz pewien przykÅ‚ad. StóÅ‚ to JT42. Gracz 1 ma oczywistego drawa (strit lub kolor), zaÅ› gracz 2 ma gotowÄ… rÄ™kÄ™. JeÅ›li na riverze pojawi siÄ™ 6, a gracz 1 ma np. KQ, to musi siÄ™ on zastanowić nad tym, jak czÄ™sto powinien blefować. W tym celu musi siÄ™ zastanowić nad tym, jak czÄ™sto wystÄ™puje kolor. <\/p>
(A9-A5, A3, A2, 97, 87, 86, 76, 75, 65, 53) mogÄ… stanowić przykÅ‚adowy realny zakres, skÅ‚adajÄ…cy siÄ™ w sumie z 14 rÄ…k. Gracz 1 bÄ™dzie miaÅ‚ nietrafionego drawa do strita z takÄ… samÄ… czÄ™stoÅ›ciÄ…. (Z zakresu wypada 7 kombinacji KQ i 98, ponieważ gracz majÄ…cy OESD + FD rozegraÅ‚by swoje karty w inny sposób).<\/p>
JeÅ›li gracz wykona blef w 1\/3 przypadków, bÄ™dzie potrzebowaÅ‚ do tego 7 możliwych rÄ…k (7\/(14+7)=1\/3)<\/i>. Z nietrafionym drawem musi blefować w poÅ‚owie sytuacji: (7\/14 = 1\/2)<\/i>.<\/p>
JeÅ›li w tej sytuacji wykluczy siÄ™ również 98 (np. z powodu akcji przed flopem), wtedy gracz ten w 33% zdarzeÅ„ nie bÄ™dzie miaÅ‚ koloru, wiÄ™c powinien blefować częściej. <\/p>
c) Gracz 2 spodziewa siÄ™, że przeciwnik bÄ™dzie blefowaÅ‚ z czÄ™stoÅ›ciÄ… odpowiadajÄ…cÄ… NGG, wiÄ™c powinien wykonać call, kiedy jego rÄ™ka \"blokuje\" możliwe karty przeciwnika. Chodzi mianowicie o karty, które przeciwnik próbuje reprezentować podczas próby bluffu. <\/p>
Niech gracz 2 ma np AJ z przykÅ‚adu b). W ten sposób wykluczy on 7 z 14 możliwych rÄ…k do koloru, które to zawierajÄ… asa (te karty zostaÅ‚y zablokowane). Gdy gracz 1 wykona teraz dziaÅ‚anie opisane w przykÅ‚adzie b), zrobi to z faÅ‚szywÄ… czÄ™stoÅ›ciÄ… blefów dla swojego nietrafionego drawa. NiesÅ‚usznie wydaje mu siÄ™ bowiem, że mógÅ‚by mieć flusha częściej, niż jest to możliwe. W takiej sytuacji powinien blefować tylko w 33% sytuacji, zamiast w 50%. <\/p>
Podobna sytuacja wystÄ…pić może, gdy na riverze pojawi siÄ™ 9 zamiast 6, zaÅ› gracz 2 ma na rÄ™ce QQ. Przeciwnik, gdy wykonuje bet, reprezentuje KQ i również w tym przypadku poÅ‚owa kombinacji jest niemożliwa.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Ten artyku\u00c5\u201a zawiera wprowadzenie do fascynuj\u00c4\u2026cej ga\u00c5\u201a\u00c4\u2122zi matematyki, jak\u00c4\u2026 jest teoria gier. Opowie tak\u00c5\u00bce o sposobie jej praktycznego zastosowania w grze w pokera.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"template":"","meta":{"_acf_changed":false,"inline_featured_image":false,"_lmt_disableupdate":"no","_lmt_disable":""},"strategy_category":[54],"strategy_level":[22],"class_list":["post-45394","strategy","type-strategy","status-publish","hentry","strategy_category-sss-platyna"],"acf":[],"yoast_head":"\n
R\u00f3wnowaga Nasha<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Ten artyku\u0142 zawiera wprowadzenie do fascynuj\u0105cej ga\u0142\u0119zi matematyki, jak\u0105 jest teoria gier. Opowie tak\u017ce o sposobie jej praktycznego zastosowania w grze w pokera.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/pl\/strategy\/sss\/257\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"R\u00f3wnowaga Nasha\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Ten artyku\u0142 zawiera wprowadzenie do fascynuj\u0105cej ga\u0142\u0119zi matematyki, jak\u0105 jest teoria gier. Opowie tak\u017ce o sposobie jej praktycznego zastosowania w grze w pokera.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/pl\/strategy\/sss\/257\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"PokerStrategy PL\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2026-07-29T10:48:25+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/download\/content\/bilder\/ps_trennlinie.jpg\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Est. reading time\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"11 minut\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\\\/\\\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/www.pokerstrategy.com\\\/pl\\\/strategy\\\/sss\\\/257\\\/\",\"url\":\"https:\\\/\\\/www.pokerstrategy.com\\\/pl\\\/strategy\\\/sss\\\/257\\\/\",\"name\":\"R\u00f3wnowaga Nasha\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/www.pokerstrategy.com\\\/pl\\\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/www.pokerstrategy.com\\\/pl\\\/strategy\\\/sss\\\/257\\\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/www.pokerstrategy.com\\\/pl\\\/strategy\\\/sss\\\/257\\\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\\\/\\\/www.pokerstrategy.com\\\/download\\\/content\\\/bilder\\\/ps_trennlinie.jpg\",\"datePublished\":\"2009-08-19T11:30:00+00:00\",\"dateModified\":\"2026-07-29T10:48:25+00:00\",\"description\":\"Ten artyku\u0142 zawiera wprowadzenie do fascynuj\u0105cej ga\u0142\u0119zi matematyki, jak\u0105 jest teoria gier. Opowie tak\u017ce o sposobie jej praktycznego zastosowania w grze w pokera.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/www.pokerstrategy.com\\\/pl\\\/strategy\\\/sss\\\/257\\\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\\\/\\\/www.pokerstrategy.com\\\/pl\\\/strategy\\\/sss\\\/257\\\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/www.pokerstrategy.com\\\/pl\\\/strategy\\\/sss\\\/257\\\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\\\/\\\/www.pokerstrategy.com\\\/download\\\/content\\\/bilder\\\/ps_trennlinie.jpg\",\"contentUrl\":\"https:\\\/\\\/www.pokerstrategy.com\\\/download\\\/content\\\/bilder\\\/ps_trennlinie.jpg\"},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/www.pokerstrategy.com\\\/pl\\\/strategy\\\/sss\\\/257\\\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\\\/\\\/www.pokerstrategy.com\\\/pl\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Strategies\",\"item\":\"https:\\\/\\\/www.pokerstrategy.com\\\/pl\\\/strategy\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"R\u00f3wnowaga Nasha\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/www.pokerstrategy.com\\\/pl\\\/#website\",\"url\":\"https:\\\/\\\/www.pokerstrategy.com\\\/pl\\\/\",\"name\":\"PokerStrategy PL\",\"description\":\"\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\\\/\\\/www.pokerstrategy.com\\\/pl\\\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"R\u00f3wnowaga Nasha","description":"Ten artyku\u0142 zawiera wprowadzenie do fascynuj\u0105cej ga\u0142\u0119zi matematyki, jak\u0105 jest teoria gier. Opowie tak\u017ce o sposobie jej praktycznego zastosowania w grze w pokera.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/pl\/strategy\/sss\/257\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"R\u00f3wnowaga Nasha","og_description":"Ten artyku\u0142 zawiera wprowadzenie do fascynuj\u0105cej ga\u0142\u0119zi matematyki, jak\u0105 jest teoria gier. Opowie tak\u017ce o sposobie jej praktycznego zastosowania w grze w pokera.","og_url":"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/pl\/strategy\/sss\/257\/","og_site_name":"PokerStrategy PL","article_modified_time":"2026-07-29T10:48:25+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/download\/content\/bilder\/ps_trennlinie.jpg","type":"","width":"","height":""}],"twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Est. reading time":"11 minut"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/pl\/strategy\/sss\/257\/","url":"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/pl\/strategy\/sss\/257\/","name":"R\u00f3wnowaga Nasha","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/pl\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/pl\/strategy\/sss\/257\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/pl\/strategy\/sss\/257\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/download\/content\/bilder\/ps_trennlinie.jpg","datePublished":"2009-08-19T11:30:00+00:00","dateModified":"2026-07-29T10:48:25+00:00","description":"Ten artyku\u0142 zawiera wprowadzenie do fascynuj\u0105cej ga\u0142\u0119zi matematyki, jak\u0105 jest teoria gier. Opowie tak\u017ce o sposobie jej praktycznego zastosowania w grze w pokera.","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/pl\/strategy\/sss\/257\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/www.pokerstrategy.com\/pl\/strategy\/sss\/257\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/pl\/strategy\/sss\/257\/#primaryimage","url":"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/download\/content\/bilder\/ps_trennlinie.jpg","contentUrl":"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/download\/content\/bilder\/ps_trennlinie.jpg"},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/pl\/strategy\/sss\/257\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Strategies","item":"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/pl\/strategy\/"},{"@type":"ListItem","position":3,"name":"R\u00f3wnowaga Nasha"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/pl\/#website","url":"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/pl\/","name":"PokerStrategy PL","description":"","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"pl-PL"}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/strategy\/45394","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/strategy"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/strategy"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=45394"}],"wp:term":[{"taxonomy":"strategy_category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/strategy_category?post=45394"},{"taxonomy":"strategy_level","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/strategy_level?post=45394"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
- Gracz \t2 ma (czyste) strategie sprawdzania i pasowania<\/i>. Mieszana strategia (b,1-b)<\/i>, oznacza to, że z prawdopodobieństwem b<\/em> sprawdzi, gdy gracz 1 postawi zakład. <\/li>\n<\/ul>
- Gracz 1 ma (czyste) strategie blefowania<\/i> i nie blefowania<\/em>. \tMieszana strategia (a,1-a) oznacza to, że <\/i>gracz 1 z prawdopodobieństwem a <\/em>wykona blef, gdy stawia zakład (a nie, że z prawdopodobieństwem a<\/em> zablefuje, gdy ma słabe karty. Ae o tym więcej w trzecim rozdziale).<\/li>\n<\/ul>
- Równowaga Nasha i jej zastosowanie