- \n
- A matemática envolvida
<\/i><\/li>\n- Estratégias ideais
<\/i><\/li>\n- O equilíbrio de Nash
<\/i><\/li>\n<\/ul>![\"\"](\"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/download\/content\/bilder\/ps_trennlinie.jpg\")
<\/div>Os bluffs são uma parte essencial do \"jogar poker\" e todos os jogadores deverão ter esta arma no seu arsenal. Os jogadores estarão a cometer um erro tremendo não só se nunca fizerem bluff, mas também se o fizerem demasiadas vezes.
Como encontras o balanceamento ideal? Como é que podes dizer que é a altura ideal para fazer bluff, como é que sabes quando e com que frequência deverás fazer bluff a determinados jogadores de maneira a que estejas a jogar lucrativamente contra eles?<\/p>Este artigo trata a matemática envolvida num bluff usando uma abordagem teórica de jogo para ilustrar possíveis estratégias.<\/p>
Será que devo fazer bluff?<\/h1>
Tu estás no river. A board é
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.<\/p>Estás confiante de que o teu oponente tem uma mão feita. Pelas suas acções, tu achas que ele provavelmente tem AA,kk, ou AK. Tu tens
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.<\/p>Um draw falhado. O pote tem $100 e cada um de vocês tem $100. Tu és o primeiro a falar. Se dás check, irás perder. (Ou o teu oponente dá check behind e ganha-te no showdown, ou então ele aposta, e aí tu não terás dinheiro suficiente para o afastar fazendo bluff.) <\/p>
Vamos supor que o teu oponente te leu perfeitamente e que antes do river ele te colocou num draw. Para efeitos de simplicidade, vamos supor também que ele pensa que a probabilidade de falhares a cor (ou um gutshot) é de 80%, e ele atribui 20% à possibilidade de poderes ter na mão 87 e no river teres feito sequência.<\/p>
Se tivesses uma sequência com 87, tu ias querer fazer uma aposta por valor, mas infelizmente desta vez tu não acertaste. Tu tens duas opções: desistes e dás check, ou tentas comprar o pote com um bluff. Vamos supor que quando fazes bluff, vais all in com os teus $100, que é uma aposta do tamanho do pote.
Com que frequência deves fazer bluff?<\/p>Como podemos responder a essa questão? <\/p>
Para isto, vamos precisar de alguma matemática. Mas não te preocupes, não será muito complicado. Apenas um pouco de álgebra dos nossos primeiros anos de escola e algum senso comum. Oops, quase esquecia - e teoria de jogo, mas isso encaixa-se na parte do \"senso comum\". <\/p>
Traduzindo a questão para números<\/h1>
Vamos precisar de algumas notações. P representará o tamanho do pote, enquanto que B é o tamanho da tua aposta. Vamos representar a probabilidade (vista pelo teu oponente) de teres a mão vencedora com um q. Portanto, no nosso exemplo P = $100, B = $100 and q = 0,20. Se não gostares dos 20% que aqui foram assumidos, podes mudar esse valor, o cálculo continuará o mesmo, apenas o resultado será diferente. Da mesma forma, podes também mudar o tamanho do pote ou o tamanho da tua aposta. Assim, as nossas notações irão generalizar o problema.<\/p>
Teremos de arranjar uma forma de representar a nossa frequência de fazer bluff e a frequência com que o nosso oponente irá dar call à nossa aposta. O primeiro será x e o segundo será y. Assim sendo, x representa a nossa probabilidade de fazer bluff. Por exemplo, se tivermos uma probabilidade de fazer bluff de 30% (X = 0.3), então a nossa frequência de fazer bluff será a longo prazo de apenas de 30%. Da mesma forma, y representa a probabilidade de o nosso oponente dar call à nossa aposta.<\/p>
Então a nossa questão inicial é \"qual será o valor ideal para x ? \" <\/p>
A expectativa de ganho e estratégias puras<\/h1>
Primeiro de tudo, vamos voltar ao princípio de tudo. Qual é o nosso objectivo no poker? É ganhar dinheiro. Para ser mais preciso, é ganhar o máximo dinheiro possível. Sempre que tomamos um decisão, perguntamos a nós mesmos (ou pelo menos deveríamos perguntar) qual das acções terá a maior expectativa de ganho.\nNo nosso exemplo, se tivesses a mão vencedora, irias fazer uma aposta por valor. Quando tu apostas, o teu oponente ou vai dar call à tua aposta (y parte do tempo), ou vai fazer fold (1 – y parte do tempo). Quando ele dá call tu ganhas o pote actual mais o dinheiro com o qual o teu oponente deu call à tua aposta: P + B. Quando ele dá fold, tu só ganhas o pote actual: P. (\"pote actual\" refere-se sempre ao tamanho original do pote, antes de apostares.) Assim sendo, se tu tivesses a mão vencedora, a tua expectativa de ganho Ew [w vem de \"winning\" (ganho)] seria: <\/p>\n
Ew = y(P + B) + (1 – y)P.<\/i><\/p>\n
Para a mão perdedora (o teu draw falhado), as coisas ficam um pouco mais complicadas. Aqui ou fazes bluff (x parte do tempo), ou desistes da mão e dás check (1 – x parte do tempo).<\/p><\/div>
Se fizeres bluff, o teu oponente ou dá call à tua aposta ( y parte do tempo), ou dá fold (1 – y parte do tempo). Quando ele der call, tu perdes a tua aposta, logo o teu retorno financeiro é negativo: – B. Quando ele dá fold, tu ganhas o pote actual: P. Logo, quando tu fazes bluff, a tua expectativa de ganho é-nos dada por estes dois casos, e é:
(1 – y)P – yB.<\/i><\/p>Se deres check, ou seja se desistires, tu não ganhas nada, portanto neste caso a tua expectativa de ganho é zero. Aqui, a tua expectativa de ganho El [l vem de \"losing\" (perda)] com a tua mão perdedora é:<\/p>
El = (1 – x)0 + x[(1 – y)P – yB]<\/i><\/p>
(Conjuga os casos de cima com as respectivas probabilidades).<\/p>
Claro que a primeira parte dá zero, e podemos omitir isso, ficando com<\/p>
El = x[(1 – y)P – yB].<\/i><\/p>Se tu sabes que o teu oponente nunca dá call (y = 0) - por exemplo, ele está sem ligação à internet - a tua expectativa de ganho será simplesmente:<\/p>
El, y=0 = xP<\/i><\/p>Para maximizar a tua expectativa de ganho tu tens de escolher x = 1, o que quer dizer que deves fazer bluff sempre.<\/p>
Por outro lado, se tu sabes que o teu oponente dá sempre call (y = 1), a tua expectativa de ganho será:<\/p>
El, y=1 = – xB<\/i><\/p>
Para maximizar isto, agora terás de escolher x = 0, o que quer dizer que nunca deves fazer bluff. (Lembra-te do mantra \"nunca faças bluff a um calling station!\")<\/p>
Em linguagem de teoria de jogo, acabámos de calcular a tua melhor resposta conhecendo a estratégia do teu oponente nos 2 casos especiais. Mas estes exemplos foram os extremos, referidos como estratégias puras. Na vida real o teu oponente será mais imprevisível. Ele dará call à tua aposta com alguma probabilidade (não será 0 nem será 1). Em teoria de jogo, dizemos que ele tem uma estratégia mista.<\/p>
Estratégias ideais<\/h1>
É interessante que o teu oponente possa escolher uma frequência de call y, quando a tua expectativa de ganho é a mesma independentemente da estratégia que escolhas (isto é, independentemente do x). Vamos chamar esta frequência de call de yopt, no sentido que é o valor óptimo de y).<\/p>
É muito fácil obter o valor de yopt. Se tiveres interessado nos detalhes, irás encontrá-los no apêndice. Aqui está o resultado final: <\/p>
yopt = P\/(P + B).<\/i><\/p>
No nosso exemplo, P = B = $100, logo yopt = 1\/2. Se o teu oponente der call exactamente metade das vezes, tu poderás superá-lo. Quando o teu oponente joga de acordo com a estratégia y = yopt, a tua expectativa de ganho será:<\/p>
El,y=yopt = x[PB\/(P + B) – PB\/(P + B)] = 0.<\/i><\/p>
(Só tens de colocar o resultado que obtivemos para yopt na equação geral que obtivemos para El). Como x não aparece na equação (aliás nada aparece, só o zero) seja qual for a estratégia (seja qual for o x) que escolhas, não poderás aumentar ou diminuir a tua expectativa de ganho.<\/p>
É interessante verificar que o yopt depende apenas do tamanho do pote e do tamanho da aposta. É independente de q, por exemplo. Isto mostra que yopt não é o ideal de y num sentido universal. Se por exemplo q = 1, por exemplo o teu oponente tem a certeza de que tens a mão vencedora, ele não te irá dar call metade das vezes - aliás, ele nunca te dará call! Então, ele escolheria a estratégia correspondente a y = 0. Veremos mais tarde em que sentido o yopt é ideal.
<\/i>Pela mesma lógica, tu podes escolher x de forma a que, seja qual for a estratégia (seja qual for o y) que o teu oponente escolha, a sua expectativa de ganho será sempre a mesma. Tal como antes, iremos identificar este valor especial de x com xopt. No entanto, é um pouco mais complicado conseguir o valor de xopt. Passando os detalhes à frente, chegamos à expressão:<\/p>xopt = qB\/[(1 – q)(P + B)].<\/i><\/p>
(Se estás interessado nos cálculos que levaram a esta expressão, primeiro terás de obter {a expectativa de ganho do ponto de vista do teu oponente no apêndice}. Com isso, {ver 'obtendo o valor de xopt no apêndice} é fácil.) Se fazes assim tantas vezes bluff com a tua mão perdedora, {ver 'a expectativa de ganho do teu oponente' no apêndice} será:<\/p>
Eop = (1 – q)P – qPB\/(P + B).<\/i><\/p>
Como não há nenhum y nesta equação, ele simplesmente não pode alterar a sua expectativa de ganho.<\/p>
No nosso exemplo P = B = $100 e q = 0.2, logo xopt = 1\/8. Se tiveres um 1\/8 de probabilidade de fazeres bluff, o teu oponente não te poderá superar, mesmo que ele seja muito observador e conhecedor da tua estratégia (isto é, mesmo que ele saiba que x = xopt). Se fizeres bluff com maior ou menor frequência, o teu observador oponente poderá explorar a tua estratégia procurando a melhor resposta correspondente. Portanto, se estás a enfrentar um oponente muito bom, o xopt irá fornecer-te a estratégia ideal.<\/p>
Com que frequência um jogador desses - muito bom - irá dar call à tua aposta? Isso é-nos dado pelo yopt. Se tu estás a jogar de acordo com a estratégia onde x = xopt, ele poderá de facto escolher qualquer estratégia que goste. Nós já vimos que ele não pode aumentar (nem diminuir) a sua expectativa de ganho. Mas se ele não usar a estratégia onde y = yopt - agora independentemente da estratégia que utilizes, o teu valor esperado continuará a ser o mesmo. Mas atenção, se tu escolheres outra estratégia que não seja xopt, o teu oponente poderá explorar o teu jogo ajustando a sua própria estratégia à tua.<\/p>
Então agora já podemos ver em que sentido xopt e yopt são ideais: eles providenciam estratégias que não são exploráveis. Em teoria de jogo tal par de estratégias (xopt, yopt) denominam-se \"equilíbrio de Nash\" . Este é um conceito muito importante em teoria de jogo e economia (sim, é o mesmo Nash que viste como herói do filme \"A beautiful mind\" (mente brilhante), vencedor de um prémio Nobel de economia!). Agora ficamos a saber que também desempenha um papel muito importante na teoria do poker.<\/p>
Expectativa de ganho em alguns casos especiais<\/h1>
Vamos finalizar com duas tabelas que te mostram ganhos esperados em alguns casos especiais. A primeira tabela mostra o teu ganho para o teu draw falhado (mão perdedora), calculado para o exemplo dado:<\/p>
\n\n
\n A <\/span>
tua estratégia<\/span><\/td>\nEstratégia <\/span>
do<\/span>
oponente <\/span><\/td>\nexpectativa de ganho (El<\/sub>)<\/span><\/td>\n Notas<\/span><\/td>\n<\/tr>\n \n x = 0<\/td>\n y = 0<\/td>\n $0<\/td>\n Estás atrás.
Se não fizeres bluff,
não podes ganhar.<\/td>\n<\/tr>\n\n y = 1<\/td>\n $0<\/td>\n<\/tr>\n \n y = yopt<\/sub><\/td>\n $0<\/td>\n<\/tr>\n \n x = 1<\/td>\n y = 0<\/td>\n $100<\/td>\n Faz bluff aos rocks!<\/td>\n<\/tr>\n \n y = 1<\/td>\n - $100<\/td>\n Nunca faças bluff a uma caixa automática!<\/td>\n<\/tr>\n \n y = yopt<\/sub><\/td>\n $0<\/td>\n <\/td>\n<\/tr>\n \n x = xopt<\/sub><\/td>\n y = 0<\/td>\n $12.5<\/td>\n xopt<\/sub> não é um \"ideal universal\".
Se sabes que te vão dar call, não faças bluff!<\/td>\n<\/tr>\n\n y = 1<\/td>\n – $12.5<\/td>\n<\/tr>\n \n y = yopt<\/sub><\/td>\n $0<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table> A expectativa de ganho do teu oponente será então o contrário da tua mais os $100 que já estão no pote. (Ele fica com a tua perda na ronda de apostas, mais o pote actual. Claro que quando ganhas o pote, a tua perda será -$100 e ele recebe zero. Ou dito de outra forma: quando a tua expectativa de ganho é zero, a tua stack mantém-se intacta - a mesma que tinhas quando o river chegou. Assim sendo, o pote não pode ser teu, mas alguém o terá de levar - portanto esse pote será do teu oponente. Em linguagem de teoria de jogo, podemos dizer que o nosso jogo de exemplo - porque já estamos no river - não é um jogo de soma nula (um jogo onde ninguém ganha).<\/p>
Enquanto que tu sabes quando estás a fazer bluff e quando estás a apostar por valor, o teu oponente não o sabe. Por isso para ele (e provavelmente para ti também), a tabela que se segue será mais educativa. Esta tabela dá-te a expectativa de ganho para a mistura das tuas mãos vencedoras com as tuas mãos perdedoras. Em situações semelhantes, estarás à frente 20% das vezes e estarás atrás 80% das vezes. Desta forma, em média, a tua expectativa de ganho será qEw + (1 - q)El. (e outra vez, o contrário disto mais os $100 no pote actual dita a expectativa de ganho do teu oponente, Eop).<\/p>
\n\n
\n A <\/span>
tua estratégia<\/span><\/td>\nEstratégia <\/span>
do<\/span>
oponente<\/span><\/td>\nExpectativa de Ganho<\/span><\/td>\n Notas<\/span><\/td>\n<\/tr>\n \n x = 0<\/td>\n y = 0<\/td>\n $20<\/td>\n É por isso que adoramos calling sations!<\/td>\n<\/tr>\n \n y = 1<\/td>\n $40<\/td>\n<\/tr>\n \n y = yopt<\/sub><\/td>\n $30<\/td>\n<\/tr>\n \n x = 1<\/td>\n y = 0<\/td>\n $100<\/td>\n Faz bluff aos jogadores sólidos!<\/td>\n<\/tr>\n \n y = 1<\/td>\n - $40<\/td>\n Nunca faças bluff a uma caixa automática!<\/td>\n<\/tr>\n \n y = yopt<\/sub><\/td>\n $30<\/td>\n <\/td>\n<\/tr>\n \n x = xopt<\/sub><\/td>\n y = 0<\/td>\n $30<\/td>\n xopt<\/sub> é o ideal no sentido em que o teu
oponente não te poderá superar.<\/td>\n<\/tr>\n\n y = 1<\/td>\n $30<\/td>\n<\/tr>\n \n y = yopt<\/sub><\/td>\n $30<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table> Conclusão<\/h1>
Quando estás a enfrentar um bom oponente, a tua melhor escolha é usar a estratégia demonstrada pelo equilíbrio de Nash: xopt. <\/em>Neste caso, o teu oponente irá jogar pela estratégia fornecida por yopt. Se ele não fizer isso, ele estará a cometer um erro (afinal ele não é assim tão bom jogador), e tu poderás explorar este erro, encontrando a melhor resposta à sua estratégia. Se ele tem tendência a dar-te call muitas vezes, então deves reduzir a tua frequência de bluffs. Se ele raramente dá call, então deves fazer bluff mais vezes. Se conseguires saber a frequência actual com que ele costuma fazer bluff, então podes calcular o quanto menos (ou mais) deverás fazer bluff, maximizando a tua expectativa de ganho, tal como como fizemos no exemplo acima.<\/p>
Apêndice<\/h1>
Como obter o valor de yopt<\/div>Se y = yopt, a tua expectativa de ganho será o mesmo para todos os valores de x. Vejamos primeiro x = 0. Aqui não podes ganhar nada, e tal é reflectido na fórmula:<\/p>
El, x=0 = 0. <\/i><\/p>
Agora x = 1. Então a nossa equação para El é:<\/p>
El, x=1 = (1 – yopt)P – yoptB.<\/i><\/p>
Como El, x=0 terá de ser o mesmo de El, x=1, temos:<\/p>
(1 – yopt)P – yoptB = 0,<\/i><\/p>
que nos dá:<\/p>
(1 – yopt)P = yoptB,
P – yoptP = yoptB,
P = yopt(P + B), <\/i><\/p>e finalmente:<\/p>
yopt = P\/(P + B). <\/i><\/p>
{a expectativa de ganho do ponto de vista do teu oponente}, {a expectativa de ganho do teu oponente}:<\/p>
O que vê o teu oponente<\/div>Agora vamos olhar para a mão através dos olhos do teu oponente. Primeiro anotamos a sua expectativa de ganho, Eop. Como, ao contrário de ti, ele não sabe se tu estás à frente ou se estás atrás, a sua expectativa de ganho vai depender também do q, logo é um pouco mais complicado:<\/p>
Eop = – qyB + q(1 – y)0 + (1 – q)[xy(P + B) + x(1 – y)0 + (1 – x)P]. <\/i><\/p>
O primeiro termo corresponde ao caso em que quando tens a mão vencedora, tu apostas e ele dá call, perdendo a sua aposta. O segundo termo representa o caso em que tens a mão vencedora e ele dá fold, não ganhando (nem perdendo) nada. O resto corresponde aos casos em que ele está à frente. A primeira parte em parêntesis rectos corresponde ao caso em que tu fazes bluff e ele dá call, ganhando o pote actual mais a tua aposta. A parte do meio corresponde ao caso em que tu fazes bluff e ele dá fold, não ganhando nem perdendo nada, enquanto que o último termo representa o caso em que tu desistes e ele ganha o pote (seja por ter feito check depois de ti ou seja por ter apostado, forçando-te a largar a mão).<\/p>
Omitindo os termos que dão zero obtemos:<\/p>
Eop = (1 – q)[xy(P + B) + (1 – x)P] – qyB.<\/i><\/p>
Se o teu oponente soubesse que tu nunca fazes bluff (x = 0), qual seria a sua melhor resposta? Ele nunca te daria call, claro. Isto pode ser visto através da equação acima, se substituirmos o x por 0.<\/p>
Eop x=0 = (1 – q)P– qyB. <\/i><\/p>
Para maximizar isto, temos de escolher y = 0 (nunca dá call).<\/p>
Por outro lado, se o teu oponente soubesse que tu fazes sempre bluff (x = 1), a melhor resposta já não é tão óbvia. Para x = 1 obtemos:<\/p>
Eop x=1 = (1 – q)y(P + B) – qyB = y[(1 – q)(P + B) – qB].<\/i><\/p>
se<\/p>
(1 – q)(P + B) – qB > 0,<\/i><\/p>
y = 1 (dá sempre call) irá maximizar a expectativa de ganho do teu oponente.<\/i><\/p>
se<\/p>
(1 – q)(P + B) – qB < 0,<\/i><\/p>
deveremos optar antes por y = 0 (nunca dá call).<\/p>
(1 – q)(P + B) – qB < 0<\/i><\/p>
significa<\/p>
(1 – q)(P + B) < qB,
P + B – qP – qB < qB,
P + B < q(P + 2B), <\/i><\/p>dando finalmente:<\/p>
q > (P + B)\/(P + 2B).<\/i><\/p>
No nosso exemplo, quando P = B = $100, se q > 2\/3, o teu oponente nunca vai dar call à tua aposta (mesmo que ele saiba que tu apostas sempre; e por isso num caso destes deves fazer sempre bluff), enquanto que se q < 2\/3, ele irá dar sempre call (se ele sabe que fazes sempre bluff). Repara que este valor especial de q também depende do tamanho do pote e do tamanho da aposta.<\/p>
Como obter o valor de xopt<\/div>se x = xopt, a expectativa de ganho do teu oponente será a mesma para todos os valores de y. Tal como antes, comecemos por y = 0. A nossa equação para Eop é:<\/p>
Eop y=0 = (1 – q)(1 – xopt)P.<\/i><\/p>
Agora y = 1. Desta vez obtemos:<\/p>
Eop y=1 = (1 – q)[ xopt (P + B) + (1 – xopt)P] – qB.<\/i><\/p>
Como Eop y=0 tem de ser o mesmo do que Eop y=1, obtemos<\/p>
(1 – q)(1 – xopt)P = (1 – q)[ xopt (P + B) + (1 – xopt)P] – qB,<\/i><\/p>
que nos dá:<\/p>
qB = (1 – q) xopt (P + B)<\/i><\/p>
[(1 – q)(1 – xopt)P aparece em ambos os lados, logo anula-se um], obtendo-se finalmente<\/p>
xopt = qB\/[(1 – q)(P + B)].<\/i><\/p>
<\/p>
\n\n
\n NotaçãoB<\/span><\/td>\n Significado<\/span><\/td>\n Valor no nosso exemplo<\/span><\/td>\n<\/tr>\n \n P ($)<\/td>\n O tamanho do pote<\/td>\n 100<\/td>\n<\/tr>\n \n B ($)<\/td>\n O tamanho da aposta<\/td>\n 100<\/td>\n<\/tr>\n \n q<\/td>\n A probabilidade de tu teres a mão vencedora
(do ponto de vista do oponente)<\/td>\n0,2<\/td>\n<\/tr>\n \n x<\/td>\n A tua frequência de bluff<\/td>\n (variável)<\/td>\n<\/tr>\n \n y<\/td>\n A frequência de call do oponente<\/td>\n (variável)<\/td>\n<\/tr>\n \n xopt<\/sub><\/td>\n A tua frequência ideal de bluff<\/td>\n 0,125<\/td>\n<\/tr>\n \n yopt<\/sub><\/td>\n A frequência ideal de call do oponente<\/td>\n 0,5<\/td>\n<\/tr>\n \n Ew<\/sub> ($)<\/td>\n A tua expectativa de ganho quando tens a mão vencedora<\/td>\n 100 (1 + y)<\/td>\n<\/tr>\n \n El <\/sub>($)<\/td>\n A tua expectativa de ganho quando tens a mão perdedora<\/td>\n \n 100x (1 – 2y)<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n
\n Eop <\/sup>($)<\/td>\n A expectativa de ganho do oponente<\/td>\n 80[2xy + 1 – x] – 20y<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table> 1 Quando trabalhamos com probabilidades, geralmente escrevemos 0.2 em vez de 20%, 0.5 em vez de 50%, etc. Neste contexto, a probabilidade de um evento impossível ocorrer é de 0 (0%), enquanto que uma \"coisa certa\" tem uma probabilidade de 1 (100%). A probabilidade de tudo o resto tem obrigatoriamente de estar entre 0 e 1.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Este artigo trata a matem\u00e1tica envolvida nos bluffs usando uma te\u00f3rica abordagem de jogo para ilustrar poss\u00edveis estrat\u00e9gias.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"template":"","meta":{"_acf_changed":false,"inline_featured_image":false,"_lmt_disableupdate":"","_lmt_disable":""},"strategy_category":[115],"strategy_level":[124],"class_list":["post-23186","strategy","type-strategy","status-publish","hentry","strategy_category-bss-aplicar-a-teoria-do-jogo"],"acf":[],"yoast_head":"\n
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