<\/i><\/b><\/p>
- \n
- Почему в покере важна математика?
<\/i><\/li>\n- Что скрывается за понятием \"эквити\"?
<\/i><\/li>\n- Как рассчитать величину ожидания?
<\/i><\/li>\n<\/ul>![\"\"](\"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/download\/content\/bilder\/ps_trennlinie.jpg\")
<\/div>В данной серии статей вы познакомитесь как с базовыми, так и с продвинутыми математическими концепциями в No-Limit Hold'em. С одной стороны, вы разберётесь в математических взаимосвязях, а с другой стороны, научитесь применять их на практике. По большей части речь пойдёт о точных расчётах или об общей оценке возможных результатов тех или иных решений в ходе розыгрыша. <\/p>
Например, в видео, в форуме оценки рук, а также в данной статье часто говорится следующее: \"Это +EV\". Более подробное объяснение будет чуть позже, но значение этих слов понятно: данный игровой ход хорош\/правилен, он несёт прибыль. <\/p>
Отлично. Однако если мнения двух людей расходятся между собой, то возникает проблема. Игрок А говорит: \"Это +EV\", игрок B отвечает: \"Нет, это -EV или максимум +-0 EV\". И что же делать? <\/p>
В некоторых ситуациях ни одна математическая концепция не может дать однозначный ответ на вопрос. Однако довольно часто она, если не отвечает, то даёт надёжный базис для плодотворной дискуссии. При рассуждении о математических концепциях в No-Limit Hold’em речь в основном пойдёт о подобных случаях.<\/p>
Часть 1 - EV & диапазоны<\/h1>
Первая часть представляет собой введение в основные понятия и определения. Математический фундамент покера довольно прост, и ни у кого не должен вызвать затруднений. Здесь вполне достаточно знания базового курса математики для старших классов средней школы. Особо сложные моменты будут опущены.<\/p>
После разъяснения основных понятий мы подробно коснёмся термина, который играет в покере очень важную роль: эквити. Оперируя только эквити, уже можно произвести первые расчёты и получить интересные результаты. В заключение будут приведены несколько простых примеров для демонстрации применения описанных концепций.<\/p>
Математические основы<\/h1>
Величина ожидания<\/div>В данной части статьи вы познакомитесь с важнейшими формулами. Они будут представлены в максимально корректной, с математической точки зрения, форме и подробно разъяснены. Заучивать формулы наизусть нет необходимости.<\/p>
Начнём с величины ожидания, которая сокращённо называется EV (Expected Value - величина ожидания). Возникает вопрос: что такое величина ожидания?<\/p>
Речь пойдёт об одном из понятий стохастики, раздела математики, посвящённого вероятностям. Существуют так называемые эксперименты на случайность, например, подбрасывание монетки. Возможные результаты (события) в них обозначаются через xi (i - это индекс для нумерации результатов), например, орел или решка.<\/p>
Оба события случаются с одинаковой вероятностью p(xi) (i - это опять же индекс), например, 50%. Величина ожидания случайного эксперимента - это среднестатистический результат многократного повторения эксперимента.<\/p>
В конкретном случае, который хоть как-то применим к покерной тематике, величина ожидания E(X), при условии, что возможны N различных результатов (событий), равна:<\/p>
![\"\"](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/Education\/articles\/Math_Concepts\/monlh_part1_1_edit.png\")
<\/p>Если кому-то данное выражение кажется слишком математическим, то он может пропустить эту часть и продолжить чтение статьи, начиная с глав, касающихся непосредственно покера. Однако для более глубокого понимания мы всё же рекомендуем разобраться в математической составляющей статьи.<\/p>
Здесь следует обратить внимание, что отдельные результаты также могут быть объединены и связаны в логическую цепочку, например, когда в банке участвуют три игрока или разыгрывается несколько улиц.<\/p>
Возможны случаи \"Никто не коллирует\", \"Игрок A коллирует\", \"Игрок B коллирует\", \"Игроки A и B коллируют\" и для каждого отдельного случая может быть проведён анализ возможных результатов и соответствующих вероятностей. Подробнее об этом речь пойдёт в следующей части, которая посвящена диаграмме вероятностей, представляющей собой наглядное упорядочивание таких расчётов.<\/p>
Величина ожидания в денежном эквиваленте в покере называется EV. Чтобы понять логику, имеет смысл обозначить возможные результаты через числа, например, орёл соответствует 1, а решка соответствует -1.<\/p>
При анализе результатов подбрасывания монетки все расчёты расписываются довольно легко. Возможные результаты: x1 = 1, x2 = −1, а вероятности:<\/p>
p(x1) = 0,5 , p(x2) = 0,5 <\/i><\/p>
p(x) означает вероятность наступления события x. Величина ожидания, соответственно, равна:<\/p>
EV=x1 • p(x1)+x2 • p(x2) = 0,5 • 1 + 0,5 • (−1) = 0 <\/i><\/p>
Надеемся, что в данном примере всё очевидно, так как он предельно прост. Рассмотрим более сложную ситуацию, чтобы глубже разобраться в концепции. В казино присутствует следующая игра:<\/p>
За 10 фишек игрок может один раз бросить игровую кость. При выпадении 1-цы, 2-ки или 3-ки он проигрывает свою ставку, при выпадении 4-ки он получает 5 фишек назад, при выпадении 5-ки он выигрывает 20 фишек, а если ему повезёт выбить 6-ку, он выигрывает целых 30 фишек. Является ли данная игра +EV?<\/p>
Чтобы определить величину ожидания, необходимо сначала разобраться с возможными результатами (событиями). Здесь существует 6 возможных событий, соответствующих выпадению чисел от 1-го до 6-ти. Однако 3 события из 6-ти идентичны и могут быть объединены в одно, в результате чего мы получаем следующее уравнение:<\/p>
x1 = −10, p(x1) = 1\/6 +1\/6 + 1\/6 = 1\/2
x2 = −5, p(x2) = 1\/6 (игрок проигрывает половину ставки),
x3 = 10, p(x3) = 1\/6 (игрок выигрывает свою ставку в двойном размере)
и
x4 = 20, p(x4) = 1\/6
<\/i><\/p>Итак, все необходимые величины известны. С помощью калькулятора, ручки и бумаги или же просто в уме можно быстро подсчитать величину ожидания:<\/p>
Выпадение 1-цы, 2-ки или 3-ки Выпадение 4-ки Выпадение 5-ки Выпадение 6-ки<\/p>
![\"\"](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/Education\/articles\/Math_Concepts\/monlh_part1_2EN.PNG\")
<\/p>Однако вам, конечно же, ясно, что в казино работают неглупые люди, и они не станут предлагать своим клиентам игру с положительной величиной ожидания, в которую вы можете играть против дилера.<\/p>
Простой покерный пример<\/div>Чтобы проиллюстрировать вышесказанное, приведём простой покерный пример.<\/p>
Длинный стол, стэки по 100BB.<\/p>
Preflop:<\/b> Hero is BU with AA<\/p>
6 folds<\/i><\/font>, CO raises 4BB,<\/font> Hero raises 12BB<\/font>, 2 folds<\/font><\/i>, CO is All-In<\/font>.<\/p>
Прекрасная ситуация. У вас карманные тузы, и вы можете пойти олл-ин уже на префлопе, лучше ситуации и не придумаешь. То, что вы здесь коллируете, очевидно. Кроме этого, вполне понятно, что эта ситуация для вас прибыльна (EV здесь больше 0).<\/p>
Но вы можете спросить, какова точная величина ожидания. Для ответа вам необходимо сначала определить возможные события. Вы можете выиграть весь банк, получая 100ВВ от СО, 12 своих же ВВ и 1.5ВВ от блайндов, в сумме 113,5BB.<\/p>
Это событие x1 = 113,5BB.<\/p>
Также вы можете проиграть 88ВВ, которые вам необходимо доставить для колла олл-ина, поэтому событие x2 = −88BB.<\/p>
Теперь следует рассчитать вероятности наступления событий. Предположим, что CO здесь идёт олл-ин с диапазоном, состоящим из QQ, KK, AA и AKs. Если это так, то ему принадлежит 19,6% от банка, а ваша часть банка составляет 80,4%.<\/p>
Величина ожидания равна:<\/i><\/p>
EV = x1p(x1) + x2p(x2) = (113,5 • 0,804 − 88 • 0,195)BB = (91,25 − 17,16)BB = 74,09BB. <\/i>
<\/i><\/p>Диаграмма вероятностей<\/div>Для случаев, когда отдельные величины ожидания со своей стороны выступают как часть общей величины ожидания, имеет смысл применять диаграмму вероятностей. Она позволяет наглядно представить все возможные результаты и вероятности, что упрощает расчёт величины ожидания.<\/p>
Как и всегда, величина ожидания всей ситуации - это сумма отдельных результатов, помноженных на вероятности их наступления в качестве событий.<\/p>
Обратите внимание:<\/p>
Вероятность наступления события первого уровня дана сразу, а вероятность наступления события второго уровня рассчитывается через умножение вероятности из первого уровня на вероятность наступления того или иного события второго уровня.<\/p>
Для наглядности внизу каждой ветви написан результат, а сбоку - вероятность. Общая величина ожидания - это сумма всех результатов, помноженных вероятность их наступления в качестве событий.<\/p>
Для нижеописанной казиношной игры в кости диаграмма вероятностей выглядит следующим образом:<\/p>
Чтобы принять участие в игре, игрок ничего не платит. Если выпадает 1-ца, 2-ка или 3-ка, он проигрывает. Если выпадает 4-ка или 5-ка, он выигрывает 1-ну шоколадку, если выпадает 6-ка, он получает возможность бросить кость ещё раз. Если после второго броска выпадает ещё одна 6-ка, он выигрывает 3 шоколадки, если выпадает любая другая цифра, он выигрывает 2 шоколадки.<\/p>
![\"\"](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/Education\/articles\/Math_Concepts\/monlh_part1_3.png\")
<\/p>Величина ожидания равна:<\/p>
0,5 • 0+0,33 • 1+0,16 • 0,16 • 3+0,16 • 0,83 • 2 = 0,5 • 0+0,33 • 1+0,16 • (0,16 • 3+0,83 • 2) = 0,694. <\/i><\/p>
Данный вид расчёта величины ожидания особенно полезен, если необходимо рассмотреть множество случаев. По сути он, конечно же, никак не отличается от простой письменной формы расчётов.<\/p>
Дисперсия<\/div>Данная часть статьи несколько более сложна с математической точки зрения, но вам следует в ней разобраться. Возможно, вам будет легче, если вы сначала ознакомитесь с примером.<\/p>
Ещё одним важным понятием является дисперсия. Она не играет роли при расчётах величины ожидания, но является постоянным спутником всех игроков в покер, поэтому мы обязаны её рассмотреть. Это математический способ измерения среднестатистического отклонения результатов случайного эксперимента от величины ожидания.<\/p>
В покере есть один характерный факт, суть которого состоит в том, что все игроки, даже очень хорошие, вынуждены иметь дело со свингами, как положительными, так и отрицательными. Это является прямым следствием дисперсии. В данном конкретном случае дисперсия рассчитывается по следующей формуле:<\/p>
![\"\"](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/Education\/articles\/Math_Concepts\/monlh_part1_4.png\")
<\/p>На первый взгляд, выглядит очень сложно. Но на самом деле это не так. Дисперсия представляет собой среднеквадратичное отклонение от величины ожидания E(X). Через неё рассчитывается стандартное отклонение:<\/p>
![\"\"](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/Education\/articles\/Math_Concepts\/monlh_part1_5.png\")
т.е. квадратный корень из дисперсии. Это не бессмыслица, как может сначала показаться. Данное действие необходимо для того, чтобы получить строго положительное значение стандартного отклонения. Стандартное отклонение - это вполне реальная величина, которая напрямую позволяет судить о среднестатистическом отклонении от величины ожидания<\/font><\/font>.<\/p>Чтобы вы окончательно всё поняли, приведём покерный пример. Игрок А имеет банкролл в $2000. Игрок В предлагает ему следующую сделку:<\/p>
A получает на руки AA, на руках у B случайная стартовая комбинация. Выкладывается борд, который определяет победителя на шоудауне. В сценарии 1 игрок А должен сыграть 1 раз на весь свой банкролл ($2000), а в сценарии 2 игрок А играет 10 раздач, вкладывая в каждую по $200. Произведём расчёты:<\/p>
Величина ожидания в сценарии 1:<\/b><\/p>
0,85 • $2000 + 0,15 • (−$2000) = $1400 <\/i><\/p>
В сценарии 2 <\/b>тот же самый эксперимент был проведён 10 раз, величина ожидания равна:<\/p>
10 • (0,85 • $200 + 0,15 • (−$200)) = $1400 как и в сценарии 1. <\/i><\/p>
Однако стандартное отклонение (чтобы не перегружать статью, расчёты опущены) в сценарии 1 <\/b>равно $1428.3<\/font><\/font><\/font>, а в сценарии 2<\/b> только $451<\/font>. Таким образом, риск проигрыша банкролла в сценарии 2 <\/b>равен смешным 5,7665• 10−7<\/sup>% = 0,00000057665%, а в сценарии 1<\/b> ни много ни мало 15%.<\/p>
Чем сильнее возможные результаты отклоняются от величины ожидания, тем больше среднестатистическое отклонение. Игрок NL50, скорее, согласится рисковать своим банкроллом во втором сценарии, нежели в первом.<\/p>
Следующее замечание гораздо более интересно, нежели точный расчёт стандартного отклонения. Программы для анализа игры, такие как Pokertracker, помимо всего прочего могут выводить стандартное отклонение в качестве показателя BB\/100. Если у вас достаточно большая база данных, то можно провести ряд симуляций, которые на основе винрейта и стандартного отклонения построят различные графики для того или иного количества рук.<\/p>
Чтобы не вдаваться в детали, отметим, что как результат математических симуляций на основе реалистичных значений стандартного отклонения свинги размером в 60 стэков для игроков NL BSS вполне возможны, даже если винрейт составляет 4ВВ\/100 рук.<\/p>
Рассмотрев величину ожидания, дисперсию, стандартное отклонение, а также сделав введение в работу с диаграммами вероятностей, мы заканчиваем изучение математической теории в данной статье. Далее мы более подробно расскажем об эквити и диапазонах, а также представим вам простые примеры расчёта величины ожидания.<\/p>
Диапазоны рук<\/h1>
Диапазоны будут подробно рассмотрены во второй статье данной серии. Здесь же мы приведём лишь базовые основы. Так, что такое диапазон?<\/p>
Диапазон представляет собой набор рук, которые игрок одинаково разыгрывает в определённой ситуации. Это означает, что каждую руку из своего диапазона игрок разыграл бы точно так же, как он разыграл какую-то определённую комбинацию. Отсюда можно вывести важную концепцию, суть которой состоит в том, что каждый игрок в каждой отдельно взятой игровой ситуации разыгрывает не отдельную руку, а диапазон комбинаций.<\/p>
Таким образом, вероятность выигрыша всегда должна рассматриваться против диапазона. Кроме этого, принимая решение, вы каждый раз должны задумываться, как оппонент будет реагировать на ваши действия с той или иной частью своего диапазона, т.е. диапазон игрока в большинстве случаев делится на части. С одной частью диапазона оппонент примет решение А, а с другой - решение В и т.д.<\/p>
Диапазоны, как правило, записываются следующим образом: пишется самая слабая рука диапазона и рядом с ней ставится +. Одномастные и разномастные комбинации различаются с помощью сокращений \"s\" и \"о\" соответственно. Если это сокращение отсутствует, значит в данную группу входят как одномастные, так и разномастные руки. Обозначение AK, например, подразумевает под собой все 16 возможных комбинаций AK. QQ+, AQs+, AK обозначает QQ, KK, AA, 4 одномастных комбинации AQ, а также все 16 комбинаций AK. <\/p>
Эквити<\/h1>
Что такое эквити?<\/div>Вы наверняка уже что-то слышали о таком понятии, как \"эквити\". Эквити - это также математический термин. Он описывает вероятность выигрыша банка тем или иным игроком в различных ситуациях.<\/p>
Эквити, попросту говоря, представляет собой часть банка, которая принадлежит определённой руке или диапазону рук при игре против другой руки или диапазона. При подсчёте этой самой части уже учтены вероятности дележа банка, поэтому значение эквити обычно практически соответствует вероятности выигрыша банка.<\/p>
Как рассчитать эквити покерной комбинации?<\/div>В принципе, эквити вполне можно посчитать вручную. Приведём простой пример, где ручной расчёт эквити не требует больших усилий:<\/p>
Игрок A<\/b>: A<\/b>
![\"\"](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/smileys\/diamond.png\")
, K<\/b>![\"\"](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/smileys\/heart.png\")
<\/p>Игрок B<\/b>: A<\/b>
![\"\"](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/smileys\/spade.png\")
, 2<\/b><\/p>Борд<\/b> - 7<\/b>
, 8<\/b>, K<\/b>![\"\"](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/smileys\/club.png\")
<\/p>Какое эквити у игроков А и В?<\/p>
Здесь вы должны учесть все возможные результаты. Игрок В выигрывает банк, если собирает флеш, а игрок А не получает фулл-хаус. Кроме этого, игрок В окажется впереди на шоудауне, если на тёрне и ривере выйдет 2-ка.<\/p>
Вероятность того, что на тёрне и ривере выйдет по 2-ке равна 3\/45 * 2\/44<\/p>
Получается следующее:<\/p>
В колоде осталось три 2-ки, 2<\/b>
, 2<\/b>, 2<\/b>. Вероятность, что на тёрне выйдет одна из них, это просто-напросто количество \"желаемых\" карт, делённое на количество карт, оставшихся в колоде. Их 45. 4 карты на руках у игрока, и 3 карты лежат на борде (52-4-3=45).<\/p>На ривере в колоде, соответственно, остаётся 44 карты и 2 \"желаемые\". В итоге получаем 1\/330 = 0,3%.<\/p>
Теперь по тому же самому методу рассчитаем вероятность прихода флеша. На тёрне эта вероятность равна 9\/45. Если не придёт K<\/b>
, то у игрока А больше не останется шансов на победу.<\/p>В 8\/45=17,7% игрок В сразу на тёрне получает натсы, а в 1\/45 случаев игрок А ещё может собрать на ривере фулл-хаус или каре. Это будет происходить в 9\/44=20.5% случаев, если придут 2xA, 1xK, 3x7, 3x8.<\/p>
Игрок В по-прежнему может остаться впереди с вероятностью 1\/45 (K
на тёрне) * 35\/44 (игрок А не собирает на ривере фулл-хаус) % = 1,7%.<\/p>До данного момента эквити игрока В составляет 17,7%+1,7%+0,3%=19,7%. Остался вариант, когда на тёрне не выходит <\/b>
-я карта. Если на тёрне будут выложены 7, 8, A или K, то для того, чтобы игрок В выиграл банк на ривере должна выйти , но не K<\/b>. Если на тёрне выходит любая другая карта, кроме этих 4-х, то любой <\/b>-й ривер приносит игроку В победу.<\/p>В 1-м случае игрок В выигрывает банк с вероятностью 9 (A, 7, 8 или K, но не K<\/b>
) \/ 45 * 8\/44 = 3,63%, во втором случае: 24 (не пика, не A, 7, 8 или K, а также не 2, так как данный вариант мы уже учли)\/45 * 9\/44 = 10,9%. Общее эквити игрока В составляет 35,76%.<\/p>![\"\"](\"https:\/\/cdn-origin.pokerstrategy.com\/Education\/articles\/Math_Concepts\/player_b_equity.png\")
<\/p>Как вы видите, расчёты довольно громоздки, хотя ситуация очень проста. Более сложные споты, например, эквити на префлопе или против различных диапазонов, подсчитать вручную практически невозможно. Следовательно, необходимо прибегать к помощи специальных программ. В большинстве случаев они работают по принципу числовой интеграции, и даже в сложных спотах расчёт эквити занимает секунды.<\/p>
Такая программа, как PokerStrategy.com Equilator, может простыми методами рассчитать эквити в любой покерной ситуации. Она может работать как с отдельными руками, например, АА против КК, так и с диапазонами, например, QQ+, AK против JJ+, AQ, AK.<\/p>
Можно задать определённый борд или \"мёртвые\" карты, т.е. карты, которые не нужно учитывать при расчётах. Чтобы выработать у себя \"чувство\" эквити, вы по крайней мере должны знать наизусть, сколько у вас шансов на победу в наиболее часто встречающихся спотах:<\/p>
- Что скрывается за понятием \"эквити\"?
![\"\"](\"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/download\/content\/bilder\/ps_icon_artikel.jpg\"){kind=icon}
<\/td>\n![\"\"](\"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/wp-content\/uploads\/image\/ranks\/mini\/gold.png\")
<\/a>![\"\"](\"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/download\/content\/bilder\/ps_icon_forum.jpg\"){kind=icon}
<\/td>\n![\"\"](\"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/download\/content\/bilder\/ps_icon_video.jpg\"){kind=icon}
<\/td>\n![\"\"](\"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/wp-content\/uploads\/image\/ranks\/mini\/silver.png\")
<\/a>![\"\"](\"https:\/\/www.pokerstrategy.com\/wp-content\/uploads\/image\/ranks\/mini\/platinum.png\")
<\/a>