Математически концепции в No-Limit Holdem (3) - вероятност за фолд и EV

Въведение

В тази статия

• Как евентуален фолд влияе на EV
  
• Подробен преглед на стандартните постфлоп отигравания
  
• Печелившо 4-бет блъфиране
  

Във втората част на тази поредица бяха представени и пресмятани както скритите шансове, така и обратните скрити шансове. Стана свидетел на първото наистина комплексно изчисление на EV при префлоп кол за сет стойност. В тази статия фокусът е върху отиграванията на опонентите, асоциираните с тях диапазони и възможните контраотигравания.

Очаквана стойност, отчитайки евентуални фолдове

Тъй като блъфовете и полублъфовете играят важна роля в тази статия, важно е да представим възможността за фолд на опонента в EV изчислението. Тази формула:

EV = Очакван дял * (Печалба + Инвестиция) - Инвестиция

няма да е достатъчна. Тук няма променлива за фолда на опонента. Следователно се нуждаем от по-обща формула, за да изчислим EV:

EV = Pфолд * Пот + (1 - Pфолд * (Очакван дял * (Печалба + Инвестиция) - Инвестиция)

Вероятността да спечелиш пота е Pфолд; ако не спечелиш веднага пота, ползваме EV. Рфолд е вероятността опонентът ти да фолдне. Допускайки, че Очакван дял = 0, формулата може да бъде опростена до:

EV = Pфолд * Пот - (1 - Pфолд) * Инвестиция

Загубата в този случай е продължаващият залог. Такъв е случаят при всички чисти блъфове. Според дефиницията на чистия блъф, можеш да спечелиш само ако опонентът ти се откаже.

Стандартни отигравания постфлоп: продължаващ залог

След префлоп рейзовете продължаващите залози са може би най-често използваните стандартни отигравания. Когато разглеждаме тяхното EV, мислим най-вече за това колко често играчът ще удря ръка от дадена категория. В същото време трябва да направим предположения за префлоп диапазоните и постфлоп поведението при различните категории ръце. Нека разгледаме специфичен пример:

SH, 100BB Stack size

Pre-flop: You are MP with XY
You raise 4BB, 1 fold, BU calls 4BB, 2 folds

Flop: (9.5BB) K, 5, 3 (2 Players)
You bet 7BB

Флопът е сравнително некоординиран, следователно е класически борд за продължаващ залог. Без да вземаме предвид, че тук често би трябвало да направиш ръка, анализираме следната ситуация.

Винаги губиш, ако BU остане в ръката. Печеливш ли е все още залога и, ако да, колко печеливш? Какви допускания трябва да направим?

Oпределянето на диапазоните не е конкретната тема на тази статия, но няма как да минеш, без да дадеш определен диапазон от ръце на BU. Използвайки този пример, представяме и друга концепция. Честотата, с която опонентът прави нещо. Възможно е BU да колд колва с всеки покет чифт и само с 30% от поредните карти от една боя. Някои играчи, естествено, няма да колд колват с каквито и да е поредни карти от една боя, докато други ще колват с всички тях.

Дори без допълнителна информация все пак могат да се получат по-реалистични резултати, ако вместо 0% или 100% от колд коловете, използваш някаква междинна стойност за дадена категория ръце. Можеш да модифицираш този параметър по-късно, за да видиш как се отразява на общото ЕV.

За да не усложняваме нещата, ще допуснем, че има три различни категории ръце за BU и относителната вероятност дали той ще ги играе (р(Категория)):

• Покет чифтове: 22-99: p(покет)
• Поредни карти от една боя 45s-KQs: p(ПКЕБ)
• По-силни бродуей карти AQ, AJ, KQo: p(БК)

Колко комбинации има за всеки от тези диапазони? Както бе пресметнато в предната статия, всеки покет чифт предлага 6 комбинации, така че комбинациите от покет чифтове са 42.

Всяка едноцветна ръка може да се състави по четири различни начина, така че за поредните карти от една боя има 33 комбинации. Има 16 комбинации за нечифтови ръце, което прави 41 комбинации за бродуей картите.

Бутонът държи (комбинации от ръце) с (вероятност):

Вероятността за колд кол е между 0 и 1. Тази конструкция може да се илюстрира, разглеждайки играч, който само колд колва с покет чифтове. За него р(ПКЕБ)=р(БК)=0 и р(покет) = 1. Така че вероятността той да държи покет чифт е:

42 * p(покет) / [33 * p(ПКЕБ) + 41 * p(БК) + 42 * p(покет)] = 42 * 1 / (33 * 0 + 41 * 0 + 42 * 1) = 1

Какво ще направи BU, ако бъде конфронтиран със залог? Това зависи от собствената му ръка, което ни довежда до въпроса: колко често BU ще удря даден тип ръка с диапазона си?

Дадените диапазони позволяват на BU или да не държи нищо, т.е. ръка по-слаба от висока карта асо, или да държи гътшот с 67s, или самата висока карта асо.

Друг вариант е той да държи чифт/топ чифт с 45s, 56s и 22, 44, 66-99. Освен това са възможни топ чифт с KQs и двата сета с 33 и 55. Тъй като се интересуваме от EV на залога, без да отчитаме нашия очакван дял, трябва само да определим вероятността за фолд с различните му ръце.

Можем да обобщим всички пропуски на флопа с pf(Пропуск), гътшотите с pf(Гътшот), висока карта асо с pf(ВисокаКартаАсо), топ чифтовете с pf(ТопЧифт) и сетовете като pf(Сет). Последните две почти винаги ще са 0 и ги изброяваме само за да бъде уравнението пълно.

Събрахме всички необходими променливи. Както споменахме, разглеждаме продължаващия залог като чист блъф, т.е. EV на самия залог, без да има шанс да се спечели потът по някакъв друг начин. EV може да се пресметне чрез разграничение на случаите на база префлоп категориите от ръце, така че да можем да продължим с промените във вероятностите за колд кол.

Обяснение: Първата част от трите подразделения представлява вероятността за една от трите категории от префлоп диапазона на BU. Дясната част, която бива умножена с първата част, ни дава EV на чистия блъф след флопа срещу диапазона от ръце на опонента. Съответните вероятности като например p(Сет) все още трябва да се пресметнат. Както споменахме по-горе, pf(Сет) e вероятността за фолд за тази категория ръце.

BU ще има сет, ако държи 33 или 55. Вероятността да държи 33 или 55 от диапазона 22-99 първоначално е 2/8. Трябва обаче да вземем предвид, че една от 3-ките и 5-ците вече е на борда, така че на практика имаме само три, а не шест, възможни комбинации от 33 или 55.

Oбщо има (6*6 + 2*3 =) 42 възможни комбинации, шест от които са сет: 6/42 = 0.14. Във всички други случаи BU има чифт по-нисък от топ такъв. p(Чифт1) следователно е 36/42 = 0.86.

p(Чифт2) е вероятността за чифт/топ чифт с една от поредните карти от една боя (т.е. ако си ударил с 45s и 56s). От първоначалните четири комбинации за 45s, 56s и KQs са останали три, така че са възможни общо 3*3+6*4 = 33 комбинации. Като резултат, р(Чифт2) = 6/33 = 0.18.

За гътшота са възможни 4 от 33 комбинации, така че р(Гътшот) = 0.12. За топ чифт са 3/33 = 0.09. В останалите 20/33 случая, BU не е ударил нищо, така че р(Пропуск) = 20/33 = 0.61.

За бродуей картите имаме девет възможни комбинации за KQ (KQs вече бе сметнат при поредните карти от една боя) предвид блокирания поп. Добави към това 2 * 16 комбинации от AQ и АJ и общо стават 41 комбинации. От тях вероятността за висока карта се получава от р(ВисокаКартаАсо) = 32/41 = 0.78 и за р(ТопЧифтБК) = 9/41 = 0.22. Сега знаем всички възможности. Преди да дискутираме резултатите, ще илюстрираме всички вероятности в тази таблица.

Сега трябва да направим предположения за поведението на BU що се отнася до фолдването. Неговият диапазон на флопа бе разделен на категории: сет, топ чифт, чифт, гътшот и пропуск. Очевидно EV на залога ще се влияе до голяма степен от вероятността за фолд.

Тъй като такъв голям брой променливи не могат да бъдат илюстрирани в графика, ще разгледаме пет различни групи стойности заедно със съответните EV. Естествено, можеш и да допуснеш различни стойности и да използваш тях в своите изчисления.

Очаквахме тази тенденция: колкото по-loose е опонентът, толкова по-ниско е EV. Относително високото EV на продължаващия залог срещу играча от среден тип си заслужава да се отбележи. Той не фолдва много и блъфът срещу него, без да отчитаме очаквания си дял, е печеливш. Границата е между средния и loose играча. Срещу него трябва сериозно да си помислиш за това дали продължаващият залог е печеливш и дали въобще да не се въздържаш от чисти блъфове.

Стандартни отигравания постфлоп: блъф срещу продължаващи залози на флопа

Нека сега разгледаме обратния сценарий. Помисли къде в подобна ситуация би колд колнал префлоп, дали можеш да блъфираш и колко печелившо ще е.

Методът за изчисление на резултата е подобен на този в предходния пример. Първо, дефинираме вероятностите за определени постфлоп ръце предвид диапазона от ръце и борда. Имайки различните възможни резултати, можем да определим приблизително и ЕV. За разлика от миналия пример, тук няма да разглеждаме всяка стъпка по толкова детайлен начин.

6max, 100BB Stacks

Pre-flop: You are BU
2 folds, CO raises 4BB, You call 4BB, 2 folds

Pot: 9.5BB

Флоп A: K, 9, 7

Флоп Б: A, T, 9

Флоп В: 2, 7, 9

CO bets 7BB, You raise 23BB

Не е нужна кой знае каква история между СО и теб. Може да допуснем, че диапазонът на СО префлоп е 22+, A2s+, K9s+, Q9s+, J9s+, T8s+, 98s, 87s, 76s, 65s, 54s, A8o+, K9o+, Q9o+, J9o+, T9o, 98o, 87o, 76o, следователно, грубо 31% от ръцете. Можем да предположим, че СО не те познава толкова добре, така че това е 100% продължаващ залог. Тази ситуация е доста по-лесна за описване и изисква доста по-малко допускания, отколкото възможен чек-кол, чек-фолд и чек-рейз сценарий. Следните категории от ръце играят роля:

• Toп чифт+
• Среден чифт
• Чифт < СреденЧифт (Ч < СЧ)
• OESD, флъш дроу (Силен Дроу)
• Гътшот (Слаб Дроу)
• Всичко останало (Въздух)

В този сценарий, дори висока карта асо срещу непознатия опонент от СО, не би трябвало да има по-голяма стойност, отколкото всяка друга ръка с аутове за топ чифт. За да опростим нещата, формулата, която трябва да ползваме, е:

pf * Пот – (1 – pf ) * Рейз = pf * (Пот + Рейз) – Рейз

Рейзът в този случай е 23ВВ, потът е 9.5 + 7BB.

Както и в последния пример:

EV =
P(TопЧифт+) * ( pf(ToпЧифт) * ( Пот + Рейз ) - Рейз)+
P(СреденЧифт) * ( pf(СреденЧифт) * ( Пот + Рейз ) - Рейз)+
P(Ч < СЧ) * ( pf(Ч < СЧ) * ( Пот + Рейз ) - Рейз)+
P(СиленДроу) * ( pf(СиленДроу) * ( Пот + Рейз ) - Рейз)+
P(СлабДроу) * ( pf(СлабДроу) * ( Пот + Рейз ) - Рейз)+
P(Въздух) * ( pf(Въздух) * ( Пот + Рейз ) - Рейз)

Необходимите вероятности на различните флопове:

На флоп Б ниските стрейт дроус, както и ниските флъш дроус, биват третирани като слаби дроус. Топ чифт + флъш дроу се счита за топ чифт. Дори тук изпъкват огромни разлики между флоповете. На флоп А всички категории готови ръце са налице, но не много дроус и малко въздух. На флоп Б агресорът обикновено ще е ударил нещо, докато диапазонът му от ръце на флоп с ниски карти е доста поляризиран.

За по-голяма яснота тази таблица изброява и комбинираните вероятности за ръка тип въздух (въздух, слаб дроу или чифт/среден чифт) за всеки флоп.

За да изчислим ЕV, трябва приблизително да представим вероятностите за фолд на възможните ръце. Дялът на pf(TopPair) ≠ 0 идва от ситуации, в които tight играчи може да фолднат слаби топ чифтове (особено на флопове Б и В със слаби аса или 9 със слаб кикър.

Подобен резултат беше очакван. Някои играчи може да са сметнали флоп В за най-добрия за блъф. Фактът, че това не е така, бива предизвикан най-вече от това, че най-високата карта е 9. На флоп с най-висока карта 7 блъфът щеше да е доста по-печеливш, защото топ чифт щеше да е доста по-малко вероятен.

Всичко на всичко, става ясно, че единствено продължаващ залог не е достатъчна постфлоп стратегия. Един играч понякога трябва да отвръща (като средния играч) и рядко да фолдва своите дроус или готови ръце, за да не бъде толкова директно уязвим на блъфове.

Срещу 'среден' опонент, въпреки позитивното EV в два от трите случая, не винаги е препоръчително да се инвестират 23ВВ в борбата за несигурна печалба от 0.7 ВВ (когато разгледаме определените променливи).

Като допълнителна възможност срещу tight играча флоутът също може да се обмисли на флоп В. Поради увеличения брой приблизителни изражения на поведението на опонента, пресмятането на флоута си заслужава само срещу опонент, който избира доста прости линии на залагане. Все още допускаме, че очакваният ни дял е 0%. Ако играчът заложи отново, трябва да се откажеш. Ако той чекне, трябва да заложиш 15ВВ в 23.5ВВ пот и ако бъдеш колнат, ще загубиш.

Следователно, ЕV e:

EV=p(Чек/Фолд)*(Пот+ЗалогФлоп) - p(Залог)*(ТвоятКолФлоп) - p(Чек/Кол (Рейз))*(ТвоятЗалогФлоп+ТвоятЗалогТърн)

Сега трябва да определим вероятностите, с които СО ще играе по следните начини на търна:

• Чек-фолд
• Чек-кол(рейз)
• Залог

Tова са нашите приблизителни стойности. Следва малко по-сложната част: определението на вероятностите в зависимост от различните категории ръце спрямо различните карти на търна.

EV на флоута в крайна сметка възлиза на +5.28BB. Това е по-малко, отколкото блъф рейза в същата ситуация, обаче и рискът е по-малък. EV е по-ниско най-вече защото допускаме, че шансът да се откаже от ръце подобни на топ чифт на флопа е по-малък. Ако често очакваш 9 да чек/фолдне, а не да чек/колне, EV на флоута ще се подобри.

4-бет блъфът

4-бет блъфовете на къса маса са особено важна тема. Поради агресивността преди флопа важно е да се гледа на 3-бетовете като освен на всичко друго и като на блъф. Диапазоните на твоите опоненти ще зависят много от комбинацията от имиджа и историята ти. Затова ако искаш да приложиш резултатите, получени тук, в своята игра, трябва да си особено внимателен за диапазоните на опонента ти за 3-бет или ол-ин срещу теб.

Естествено, резултатите ще съвпадат с твоите само ако диапазоните са относително реалистични. Ситуацията е следната:

SH, 100BB Stacks

Pre-flop: You are BU with ??
3 folds, You raise 4BB, fold, BB raises 14BB, You raise 31BB

Нека разгледаме твоето EV с допускането, че винаги ще губиш, ако опонентът ти не се откаже (което в този случай е реалистично предположение):

Ти ще трябва да колнеш 69BB в пот от 131.5BB, така че се нуждаеш от минимум 34.41% очакван дял. За сравнение разгледай таблицата с очакваните дялове на различните диапазони от ръце. Очакваният дял на ръката е даден в редицата.

Както виждаш, в тази ситуация не можеш да 4-бет/фолднеш малки покет чифтове срещу какъвто и да е диапазон, но винаги можеш с А2s, 67s, а с AQ само срещу tight диапазона. Забележи, че ако 4-бетваш, ще трябва и да фолднеш срещу tight диапазона. Срещу loose диапазона можеш да вкараш парите си с AQ. Трябва да знаеш това, за да не правиш грешки, ако блъфът ти не успее. Очевидно, все още трябва определим EV на блъфа. Той може да се пресметне просто чрез формулата от началото на тази статия:

EV=Pфолд * Пот - (1 - Pфолд) * Инвестиция

Потът представлява 18.5BB, които можем да спечелим, загубата е -27ВВ, които ще загубим, ако ВВ не се откаже. Необходимата вероятност за фолд следователно е около 49%. За възможните диапазони това означава следното.

Ако опонентът ти залага всичко префлоп с QQ+, AK (34 комбинации), той трябва да 3-бетва поне 83 комбинации, за да бъде 4-бет печеливш. Това е така за диапазон от 77+, T9s, AQ+ или като 44+, AK или TT+, AJ+, KQ+. Ако той обаче залага всичко префлоп с диапазон от AQ+, TT+ (62 комбинации), той трябва да 3-бетва поне 151 комбинации, за да може да бъде блъфиран печелившо. Това съответства на 22+, A2s-A5s, A9s+, AQo+, KQ+ or 22+, AQ+, A2s+, T9s или подобни диапазони.

Ефектът 'премахване на карта'

Освен очаквания дял на ръката ти срещу диапазона за ол-ин на опонента, има и друг фактор, който влияе върху доходността на 4-бет: вероятността му за успех.

Досега игнорирахме един аспект в този контекст: вероятността за пуш не е независима от собствената ти ръка (тук просто ще допуснем, че е 100% вероятно опонентът или да фолдне, или да пушне). Така диапазонът на опонента в основата си е съставен от две части, диапазонът, с който залага всичко, и диапазонът, с който фолдва. Фактът, че ти или държиш, или не държиш дадени карти, ще наклони вероятностите между двата диапазона с по-голяма или по-малка сила. Този ефект се нарича ефектът 'премахване на карта'. Специфични карти се премахват от диапазона на опонента, защото те са част от собствената ти ръка.

Ако се съмняваш в потенциала на 4-бет блъф ситуация, винаги играй тези ръце, които ще намалят до минимум вероятността опонентът ти да влезе ол-ин. Aко искаш да изразиш чрез числа тази разлика вместо просто да кажеш "Аз имам асо, това е добре, тъй като опонентът би влязъл ол-ин с доста АХ ръце", ще трябва да вземеш предвид и това, че вероятностите за различните 3-бет диапазони са се променили, поради твоята ръка.

На практика това се прави, като преброиш всички съществуващи комбинации. Ще представим някои таблици, представляващи вероятностите на различни 3-бет и ол-ин диапазони. Ще разгледаме два различни ол-ин диапазони, tight с QQ+, AК и loose с ТТ+, АQ+.

Ще разгледаме и два 3-бет диапазона (които на практика може да изглеждат изключително различни). Един, който набляга силно на чифтове с 22+, AQ+, и друг с някои поредни карти: 77+, AQ+, 67s-89s. Следната таблица показва броя на различните комбинации за специфичните диапазони с и без ефекта с премахването на карти. Правим това за 4 различни ръце, които държим: AQ, AJ, KQ, A2.

За да е по-прегледно, ще назоваваме съответните диапазони като 1) & 2) и a) & b). Както вече си забелязал, броят на възможните комбинации може сериозно да варира. Например, ако държиш AQ, това ще намали вероятността за tight ол-ин диапазон с (34-24) / 34 = 0.294, т.е. с почти 30%.

От тази таблица може да съставим и други таблици за различни вероятности. Те ще покажат колко вероятно е за опонента да влезе ол-ин във всяка от 4-те възможни комбинации от 3-бет диапазона и ол-ин диапазона. За да можем да направиш сравнение, ще разгледаме всеки сценарий както с, така и без ефекта с премахването на карти. Процентите са изчислени, като се раздели броят на комбинациите в ол-ин диапазона с броя на комбинациите в 3-бет диапазона. Ако опонент 3-бетва с а) и влиза ол-ин с 1), вероятността за това е 34/110 = 0.309, т.е. около 31%, ако не вземаш предвид премахването на карти.

Ако допуснем, че държиш AJ, ще се получи следната таблица:

Ако имаш A2, таблицата ще изглежда така:

Ако имаш KQ, ще изглежда така:

В повечето случаи вероятността за ол-ин ще намалее с около 10% поради блокиращите карти. Трябва да е ясно, че според теорията тези ръце, с които не можеш да колнеш печелившо, ще са по-подходящи за 4-бет блъф. Ситуацията често е такава за всички ръце, които споменахме тук. В позиция, естествено, ще трябва да помислиш за кол с по-силни ръце.

Винаги по време на игра имай предвид очаквания дял на ръката си. Както илюстрирахме преди, не е възможно да играеш 4-бет/фолд с ръце, които се справят добре срещу различни диапазони. Вместо това често ще трябва да колнеш ол-ин, който няма да увеличи видимо твоето EV (колът ти е съвсем малко +EV). Това обаче ще увеличи изключително много вариацията. Дали да 4-бет/колнеш с AQ, или да 4-бет/фолднеш с А2 в дадена ситуация, трябва да се реши по време на играта. Предимствата и недостатъците на всеки избор няма да са част от текущия ни анализ.

Обобщение

Tова беше третата част. В следващата част ще разгледаме 4-бет блъфа под различен ъгъл. Ще анализираме и няколко постфлоп ситуации и ще разгледаме G-Buck анализа.

ЛИНКОВЕ
Свързани статии: Maтематически концепции в No-Limit Holdem (1) - EV & диапазони Maтематически концепции в No-Limit Holdem (2) - комбинации & шансове за напреднали Дискусионен форум: Дискутирай тази статия във форума