Matematické koncepty No-Limit Hold'emu - EV a ranges

Úvod

V tomto článku se dozvíte

• Proč je v pokeru důležitá matematika
  
• Co znamená "equity"
  
• Jak spočítáte svoji expected value (očekávanou hodnotu výhry)
  

V této sérii článků se naučíte něco o základních a pokročilých matematických konceptech v No Limit Hold'emu. Uvidíte, jak fungují matematické vztahy, a dozvíte se něco o tom, jak je možné je aplikovat v online pokeru. Zaměříme se především na přesný výpočet a odhadování výsledků různých možných rozhodnutí ve hře.

Ve videích, na fórech pro hodnocení hand a také ve článcích se často můžete setkat s vyjádřením, že nějaké rozhodnutí "je +EV". To vysvětlíme podrobněji později, zatím nám bude stačit, že máme na mysli, že takové rozhodnutí bude správné, tj. bude pro nás ziskové.

Tak jednoduché to ale není. Problém nastává, když budou mít různí hráči na věc různý názor. Co kdy hráč A řekne "to je +EV", ale hráč B řekne "To v žádném případě, je to -EV nebo přinejlepším +-0 EV"? Kdo má pravdu?

V mnoha situacích není možné věc rozhodnout matematicky. Často je však možné dojít k jasnému závěru, nebo alespoň se od něčeho odpíchnout, abychom o problému mohli zasvěceně diskutovat. V našem článku o matematických konceptech v No Limit Hold'emu se zaměříme zejména na tyto případy.

1. část - EV & ranges

V první části si ukážeme matematické termíny a definice. Čistě matematické základy jsou úplně jednoduché a nikdo by se jich neměl bát. Nic nebude obtížnější než matematika probíraná na střední škole, a to ještě její jednodušší část. Tyto věci navíc nemusíte nezbytně znát.

Až budete umět základní matematickou terminologii, budete se muset seznámit s jedním dalším důležitým pokerovým pojmem: s equity. Pak už budete umět pracovat s našimi počátečními analýzami a vyvozovat zajímavé závěry. Nakonec si spočítáme nějaké jednoduché příklady, abyste viděli, jak je možné tyto nové koncepty aplikovat v pokeru.

Matematické základy

Tato část článku bude obsahovat matematické vzorce. Ukážeme je z matematického hlediska pokud možno co nejpřesněji a detailně je vysvětlíme. Všechny tyto vzorce se nemusíte učit nazpaměť.

Začněme s expected value (EV). Otázka zní: co znamená EV?

Tento termín se používá ve stochastice, matematickém odvětví, které se zabývá teorií pravděpodobnosti. Zahrnuje náhodné jevy jako házení mincí. Všechny experimenty mají možné výsledky, jež si označíme xi (kde i slouží k označení všech možných výsledků čísly; v našem případě to tedy bude panna, nebo orel).

Výsledky se budou vyskytovat s určitou pravděpodobností p(xi) (i je opět číslo výsledku), např. 50%.

V tomto konkrétním případě je expected value E(X) výsledkem N možných různých výsledků:

Pokud vám tato část připadá příliš matematická, můžete ji přeskočit a podívat se na další část článku, která má bližší vazbu na poker (začíná od hand ranges). Přesto vám spíše doporučujeme, abyste si dali práci a zkusili se matematickou částí prokousat. Pomůže vám to všechny koncepty lépe pochopit.

Je důležité říci, že jednotlivé výsledky je možno kombinovat. Řekněme například, že do handy jsou aktivně zapojeni tři hráči.

Zde je důležité, abychom všechny možné scénáře (žádný ze soupeřů nedorovná, hráč A dorovná, hráč B dorovná, a hráči A i B oba dorovnají) zkoumali odděleně. Každou situaci je třeba analyzovat s ohledem na možné výsledky a jejich odpovídající pravděpodobnosti. Tyto výpočty názorně ukážeme s použitím tří diagramů, které uvidíte v další části tohoto článku.

Expected value vyjádřená v penězích se v pokeru označuje EV. Abychom ji mohli pochopit z hlediska matematiky, přiřadíme hodnotu +1 panně a -1 orlovi.

Při použití příkladu s hodem mincí je jednoduché zapsat celý výsledek. Možné výsledky jsou: x1 = 1, x2 = -1 plus odpovídající pravděpodobnosti.

p(x1) = 0.5, p(x2) = 0.5.

p(x) znamená pravděpodobnost, že nastane x. Expected value je tedy:

EV=x1 • p(x1)+x2 • p(x2) = 0.5 • 1+0.5 • (−1) = 0

Tento výsledek pro vás snad není nijak překvapující. Je jasné, že tohle byl velmi jednoduchý příklad. Podívejme se na o něco komplikovanější příklad, abychom tento koncept vysvětlili ještě jednou. Řekněme, že v kasinu bude možné si zahrát následující hru:

Zaplatíte 10 chipů za to, že si budete jednou moci hodit kostkou. Pokud hodíte 1, 2 nebo 3, přijdete o všechny chipy, při 4 vyhrajete 5 chipů, při 5 vyhrajete 20 chipů a při 6 vyhrajete 30 chipů. Je tato hra +EV?

Chceme-li určit EV, musíme se podívat na všechny možné výsledky. V tomto případě existuje šest možných různých výsledků, každý představuje jedno číslo na kostce. Tři výsledky vedou ke stejnému výsledku, takže je můžeme sloučit. Protože každé číslo padne s pravděpodobností 1/6, dostaneme následující rovnici:

x1 = −10, p(x1) = 1/6 +1/6 + 1/6 = 1/2
x2 = −5, p(x2) = 1/6 (přijdete o polovinu svých chipů),
x3 = 10, p(x3) = 1/6
  a
x4 = 20, p(x4) = 1/6

Nyní známe všechny proměnné, abychom mohli spočítat EV, bystřejší zpaměti, slabší na kalkulačce. V tomto případě je EV:

výsledek hodu 1,2 nebo 3                     výsledek 4             výsledek 5           výsledek 6

Každému je asi jasné, že žádné kasino na světě nebude nabízet takovou hru, ve které byste proti němu mohli hrát a přitom mít +EV.

Podívejme se na jednoduchý příklad v pokeru.

FR , 100BB Stacks

Pre-flop: Hero is BU with AA

6 folds, CO raises 4BB, Hero raises 12BB, 2 folds, CO is All-In.

Skvělá situace. Držíte esa a máte příležitost jít all-in před flopem. Máte jasný call. Je evidentní, že vaše rozhodnutí bude ziskové (tj. EV je vyšší než 0).

Co když budete chtít znát přesnou EV? Nejprve musíme určit možné výsledky hry. Můžete vyhrát vše, co je v potu, neboli 100BB od svého soupeře, 12BB, které jste už investovali, a 1.5BB od blindů (celkem tedy 113.5BB).

Tento výsledek si označíme jako x1 = 113.5 BB.

Další možnost je, že přijdete o 88BB, které vám ještě zbývá dorovnat, takže x2 = −88BB.

Nyní potřebujeme určit pravděpodobnosti obou výsledků hry. Pokud předpokládáte, že váš soupeř drží QQ, KK, AA nebo AKs, váš podíl na potu bude 80.4%, takže podíl vašeho soupeře bude 19.5%.

Z toho plyne, že vaše EV je:

EV = x1p(x1) + x2p(x2) = (113,5 • 0,804 − 88 • 0,195)BB = (91,25 − 17,16)BB = 74,09BB.

V případech, kdy jsou částečné výsledky očekávaných hodnot současně očekávané hodnoty jiných konkrétních situací, můžeme využít stromové diagramy. Tímto způsobem můžete zobrazit všechny výsledky a pravděpodobnosti, abyste získali přehled a vypočítali svoji celkovou EV.

Stejně jako obvykle tvoří celkovou EV součet všech možných výsledků vynásobených jejich jednotlivými pravděpodobnostmi.

Důležité:

Pravděpodobnost události v další úrovni se vypočítá tak, že vynásobíme její pravděpodobnost v další úrovni pravděpodobností odpovídající větve z první úrovně, ze které tato událost vzejde.

Abyste získali přehled, napíšete si výsledky události na dolní konec větve a pravděpodobnost události k příslušné větvi. EV je součet výsledků všech událostí vynásobených jejich příslušnými pravděpodobnostmi.

Zde vidíte vzorový diagram pro házení kostkou. Platí v něm následující pravidla:

Do hry nemusíte nic vkládat. Jestliže hodíte 1, 2 nebo 3, pak jste prohráli, při 4 a 5 vyhráváte čokoládovou tyčinku, a hodíte-li 6, máte další pokus. Pokud při svém dalším pokusu hodíte opět 6, vyhráváte tři čokoládové tyčinky, jinak vyhráváte dvě.

EV tedy bude:

0.5 • 0+0.33 • 1+0.16 • 0.16 • 3+0.16 • 0.83 • 2 = 0.5 • 0+0.33 • 1+0.16 • (0.16 • 3+0.83 • 2) = 0.694.

Toto znázornění je obzvláště šikovné, když je mnoho možných výsledků. Mezi ním a přímým výpočtem ovšem není žádný rozdíl. Jenom vám pomůže si lépe představit, o co ve výpočtu jde.

Další část článku obsahuje poměrně hodně matematiky, ale není zase k nepochopení. Možná pomůže, když se nejprve podíváme na příklad.

Variance je další velmi důležitý termín v pokeru. Variance vám nepomůže k výpočtu EV, ale ve vaší pokerové kariéře vás bude neustále provázet, a proto ji musíte pochopit. V matematické terminologii znamená variance způsob, kterým se měří velikost odchylky náhodné události od její očekávané hodnoty EV.

V pokeru lze varianci použít pro ilustraci skutečnosti, že dokonce i ten nejlepší hráč na světě zažije upswingy a downswingy. K jejímu vyjádření použijeme tento vzorec:

Nevypadá zrovna moc přitažlivě, ale je správný. Je to hodnota čtverců odchylek skutečných hodnot proměnné X od jejich teoreticky očekávané hodnoty. Vychází z něj také výpočet směrodatné odchylky:

což je druhá odmocnina z variance. Tím je zajištěno, že směrodatná odchylka bude vždy vyjádřena nezáporným číslem. Směrodatná odchylka poté bude o něco "pochopitelnější" způsob, jak vyjádřit průměrnou odchylku od očekávané hodnoty.

Podívejme se na příklad z pokeru. Hráč A má bankroll $2,000. Hráč B mu nabídne následující deal:

Hráč A dostane rozdáno AA a hráč B dostane náhodnou startovní kombinaci. Hra se pak dohraje do showdownu. Hráč A si může vybrat, zda jednou vsadí celý svůj bankroll (scénář 1), nebo zda se bude hra opakovat desetkrát, přičemž pokaždé oba vsadí $200. Aniž bychom zatím udělali nějaký závěr, podívejme se, co můžeme spočítat.

EV scénáře 1 je:

0.85 • $2000 + 0.15 • (−$2000) = $1400

Při scénáři 2 zopakujeme ten samý experiment desetkrát:

10 • (0.85 • $200 + 0.15 • (−$200)) = $1400 stejně jako ve scénáři 1.

Jednotlivé směrodatné odchylky (jejich výpočtem se zde nebudeme zabývat, zabral by příliš místa) jsou $1428.3 ve scénáři 1 a $451 ve scénáři 2. Riziko, že ve scénáři 2 přijde hráč A o všechny peníze, je zanedbatelné: 5.7665• 10⁻⁷% = 0.00000057665%; při scénáři 1 je to však 15%.

Čím více se možné výsledky odchylují od své očekávané hodnoty EV, tím větší je směrodatná odchylka. Hráč na NL50 bude spíše ochoten riskovat svůj bankroll ve scénáři 2 než ve scénáři 1.

Zajímavější než přímý výpočet směrodatné odchylky je následující zjištění: Pokerové nástroje jako Pokertracker umějí spočítat směrodatnou odchylku v BB/100. Pokud máte k dispozici dostatečně velkou databázi, můžete spočítat různé grafy pro různý počty sehraných hand v závislosti na vaší win rate a směrodatné odchylce.

Nebudeme zacházet do detailního vysvětlování, ale následující zjištění je velice pozoruhodné: pokud použijeme matematickou simulaci založenou na reálných standardních odchylkách, zjistíme, že pro hráče na NSS nejsou ničím výjimečným swingy až do výše 60 stacků a skutečně se mohou přihodit i hráči, jenž má průměrnou win rate ve výši 4BB/100 hand.

Když jsme si už ukázali expected value, varianci, směrodatnou odchylku a stromové diagramy, přežili jste ve zdraví matematický úvod a vysvětlování. Teď se podíváme na koncepty equity a hand ranges a také na úvodní jednoduché příklady výpočtu EV ve vzorových handách.

Hand ranges

Ve druhé části této série budeme zkoumat hand ranges do větší hloubky, ale prozatím si vystačíme s jednoduchým vysvětlením. Co jsou to hand ranges?

Hand range je počet hand, které by hráč hrál ve stejné situaci stejně. To znamená, že by všechny handy ze své range hrál přesně stejným způsobem. Je velmi důležité, abyste si uvědomili, že libovolný hráč by v libovolné situaci mohl hrát nikoli s jednou konkrétní handou, ale s jakoukoli handou z určité range.

To znamená, že když počítáte svoje pravděpodobnosti, musíte vzít v úvahu celou range hand. Podobně při svém rozhodování musíte přemýšlet o tom, jak budou vaši soupeři na vaše rozhodnutí reagovat s jakou částí své range. Je pravděpodobné, že váš soupeř bude jinak reagovat s jednou částí své range a jinak jinou částí (tj. buď může dorovnat, nebo zahodit). 

Minimální hranice určité hand range se obvykle označuje znaménkem +, takže range zahrnuje její nejslabší handu a všechny silnější. Suited a off-suited handy se označují písmeny "s" a "o". Pokud není specifikováno, patří do range všechny. Například: AK zahrnuje všech 16 možných kombinací AK. QQ+, AQs, AK zahrnuje QQ, KK, AA, všechny čtyři kombinace suited AQ a všechny možné kombinace AK.

Equity

Pravděpodobně jste už někdy slyšeli o termínu "equity". Je to další pojem, který se používá v matematice. Označuje pravděpodobnost, že libovolný hráč v určité situaci vyhraje.

Equity je podíl na potu, který by handa nebo range měly získat v daném okamžiku proti jiné handě nebo range. Tento podíl na potu bere v úvahu i to, že může dojít ke splitu, takže od přesné pravděpodobnosti výhry se obvykle mírně liší.

Je technicky nemožné spočítat equity vaší handy ručně. Zde vidíte jeden příklad, kdy je nutné vynaložit ještě poměrně velmi malé úsilí:

Hráč A drží A, K

Hráč B drží A, 2

na boardu je 7, 8, K

Jakou equity má hráč A a jakou hráč B?

Měli byste vzít v úvahu všechny možné výsledky. Hráč B vyhraje, pokud trefí flush a přitom hráč A nedostane full house, nebo pokud trefí 2 jak na turnu, tak na riveru.

Pravděpodobnost, že na turn i na river přijde 2, je 3/45 * 2/44

Proč tomu tak je:

V balíčku zbývají ještě tři dvojky, 2, 2, 2. Pravděpodobnost, že některá z nich přijde na turn, je jejich zbývající počet dělený počtem zbývajících karet v balíčku. V tomto případě je v balíčku 45 karet. Znáte 4 karty na ruce u obou soupeřů a 3 karty na flopu.

Na riveru máme dvě karty, které nám mohou pomoci, a 44 zbývajících karet celkem, takže 1/330 = 0.3%.

Přidáme nyní možnost, že dojde flush. Pravděpodobnost flushe na turnu je 9/45. Pokud karta není K, hráč A nemůže už handu vyhrát a je tzv. drawing dead. V tomto případě bude matematika vypadat následovně:

S pravděpodobností 8/45=17.7% vyhraje hráč B okamžitě, v 1/45 případů může hráč A trefit quads nebo full house na riveru. To se stane v 9/44 = 20.5% případů, tj. pokud přijde 2xA, 1xK, 3x7, 3x8.

Hráč B tedy má dodatečnou šanci vyhrát v 1/45 případů (pravděpodobnost K na turnu) * 35/44 (pravděpodobnost, že hráč A netrefí ani Quads, ani full house) % = 1.7%.

Zatím má hráč B equity 19.7%. Nyní musíte vyhodnotit případ, kdy se na turnu neobjeví . Je-li turn 7, 8, A nebo K, hráč B potřebuje na riveru kromě K. Jestliže se ani jedna z uvedených karet na turnu neobjeví, všechny pomohou na riveru hráči B.

Pro hráče B první případ znamená: 9 (A, 7, 8 nebo K kromě K) / 45 * 8/44 = 3.63%, ve druhém případě to znamená, že 24 (nepočítáme listové karty, A, 7, 8, K a 2, neboť tyto případy jsme už započítali)/45 * 9/44 = 10.9%. Hráč B má celkovou equity ve výši 35.76%.

Jak vidíte, výpočet je velice náročný už při úplně jednoduchém příkladu. Proto je nepraktické počítat komplikovanější scénáře, které zahrnují pre-flop equity nebo equity pro různé hand ranges. Jsou však různé nástroje, které vám mohou výpočet zjednodušit. S pomocí numerické integrace jsou tyto nástroje schopné za pár sekund spočítat všechny equities i při těch nejkomplikovanějších scénářích.

Nástroj jako PokerStrategy.com Equilator dokáže vypočítat equities v jakékoli situaci v pokeru za použití jednoduchých metod. Je možné spočítat equities pro jednotlivé handy jako AA proti KK nebo můžete porovnávat equities celých hand ranges, např. QQ+, AK proti JJ+, AQ, AK.

Tímto způsobem je možné analyzovat různé struktury boardu, stejně jako "dead" cards (ty nejsou zahrnuty do výpočtu). Abyste získali cit pro equities, můžete se podívat do následující tabulky:

Je mimořádně důležité, abyste si pro equities vyvinuli cit. Je možné odhadovat equities v některých situacích za použití jednoduchých metod, ale obvykle na to jednoduše není čas.

Proto se budete muset spoléhat především na svoje vlastní zkušenosti. Měli byste si zapamatovat základní equities a při hře je správně používat. Svoje rozhodnutí můžete následně analyzovat a zlepšovat si tak svůj cit pro equity. Vraťme se znovu k termínu, jejž jsme používali v první části článku:

Equity má přímou vazbu na expected value.

Karty se rozdají až do showdownu a každý hráč získá svůj podíl na equity; celkový součet musí být roven "1". Při dostatečně vysokém počtu opakování bude průměrná výhra každého hráče jeho equity.

S použitím konceptu equity si nyní můžete sami provést základní analýzy jejího výpočtu. Návod a několik příkladů na toto téma najdete v závěrečné části článku.

Obecný výpočet EV

Jak vám můžete být výpočet EV prospěšný, když ho nemůžete provádět při hře? Je pro vás přínosný tím, že výpočet EV můžete použít při analýze své hry poté, co jste odehráli handu. Taková analýza je velmi prospěšná, jestliže se jako pokerový hráč chcete zdokonalovat, místo toho abyste vyvozovali závěry jako "myslím že..." apod. Takto budete mít vědecké zdůvodnění pro závěry, které si uděláte.

Každý, kdo se naučí počítat EV a vynasnaží se ji pochopit, na tom bude lépe než ten, kdo se spoléhá pouze na své "domněnky". Cílem výpočtu EV není jen vypočítat čistou expected value, ale také si vytvořit cit pro to, jak spolu souvisí jedno s druhým. Kolik byste vyhráli, když váš soupeř zahodí, kolik byste vyhráli, když trefíte, atd.

Obvykle vyvstávají při výpočtu EV další otázky: Jak velký raise mohu dorovnat? Jaký je nejvyšší stack mého soupeře, proti kterému mohu jít all-in? Jaké handy musí mít ve své range, aby byl můj call profitabilní? Interpretace vaší EV vám umožní najít na tyto otázky odpovědi.

Nejdůležitější otázka je: mám pozitivní EV, nebo bych měl zahodit?

EV foldu je vždycky 0. V matematickém vyjádření je to velmi jednoduché. Pokud se rozhodnete zahodit, je jen jeden jediný možný výsledek hry. Value spojená s foldem je nula, neboť po foldu už nemůžete prohrát žádné další peníze. U foldu není žádná nejistota, proto je pravděpodobnost vždy rovna 1.

Proto je vaše EV: EV= 0 * 1 = 0. Fold je pokaždé EV neutrální. Jakékoli jiné rozhodnutí než fold by tedy mělo mít EV 0 nebo vyšší.

Vezmeme si EV ve výši 0 za základ svých úvah. Vaše jednoznačná podmínka je, že EV>=0. Jestliže předpokládáme, že EV=0, dostaneme namísto nerovnice rovnici. Když položíte všechny její členy až na jeden konstantní, můžete vypočítat hodnotu té proměnné, o kterou vám jde. Když to zlidštíme, můžeme se vyjádřit takto:

Pokud znáte výši potu a sázek, můžete vypočítat equity, kterou potřebujete, a naopak. Tímto způsobem můžete dojít k podmínkám pro další výpočty nebo dojít k závěru okamžitě. Můžete definovat požadavky na svoji equity nebo akce vašich soupeřů, abyste zjistili, zda je podmínka EV (>) = 0 splněna. Měli byste si být vědomi, že vaše hra by měla mít spíše +EV než -EV, když se rozhodujete, jak hru zahrát.

Instrukce pro jednoduchý výpočet EV

Nejlepší je vypočítat svoji EV systematicky, stejně jako jsme to provedli v matematickém úvodu. Abyste získali jednu EV, musíte vzít v úvahu všechny možné výsledky hry. Při jednoduchém scénáři je výsledkem obvykle výhra, nebo prohra potu, popř. výše callu, který ještě musíte provést.

Existuje několik možných variant, jak vyjádřit EV. Použijeme nyní tuhle:

EV = Equity * (Výhra + Investice) - Investice

"Výhra" představuje jakoukoli částku, kterou můžete vyhrát, "Investice" je částka, již musíte zaplatit, abyste dostali šanci na výhru.

Když jsme se teď prokousali nezáživnou teorií, pojďme se podívat na pár příkladů:

Full-ring, 100BB Stacks

Pre-flop: Hero is BU with A, 2
1 fold, UTG2 calls, 1 fold, MP1 calls, 2 folds, CO calls, Hero calls, SB calls, BB checks

Flop: 3, 8, T (Pot: 6BB)
SB bets 5BB, BB raises 10BB, UTG2 folds, MP1 raises 15BB, CO folds, Hero?

Otázka zní: Může náš Hero dorovnat?

Když sedíte u stolu, musíte se rozhodnout buď pro jedno, nebo pro druhé. Po skončení hry však máte možnost si v klidu sednout a spočítat si svoji EV.

EV = Equity * (Výhra + Investice) - Investice

V tomto případě se podíváme pouze na vaše přímé výhry. Pot je tedy: (6+5+10+15)BB = 36BB. Možná investice je 15BB, které musíte ještě zaplatit za call (investice je s mínusem, neboť byste přišli o 15BB).

Zůstává otázka equity. Abyste však mohli spočítat svoji EV, musíte znát soupeřovy handy. Aniž bychom dělali nějaké předpoklady, můžete spočítat equity, které odpovídá EV=0. To je dobrý začátek.

EV = 0 = Equity * (36BB + 15BB) - 15BB
15BB = Equity * ( 51BB )
15/51 = Equity

Potřebujete vyhrát v o něco méně než 33% případů (přesně 29%). Na začátku jsme se naučili, že toto je equity, kterou má nut flush draw. Call by měl být v pořádku vzhledem k tomu, že pokud na turnu trefíte, můžete vyhrát víc peněz. Takže určitě můžete dorovnat?

Ne tak docela!

Tento rozbor nebere v úvahu dvě důležité skutečnosti. Za prvé, nemůžete si být jisti, že pokud zaplatíte 15BB, budete mít možnost se podívat na turn. Často se může stát, že SB nebo BB opět re-raisne, což vám váš výpočet dále zkomplikuje. Potom byste museli spočítat svoji EV následujícím způsobem:

EV = P(nikdo neraisne) * (Equity * (Výhra + Investice) - Investice) + P(někdo raisne) * (výsledek po tomto raisu)

P(někdo raisne) je pravděpodobnost toho, že raisne ještě někdo další - tomuto výsledku jsme ještě nevěnovali pozornost. Bylo by to velmi komplikované, protože všechny různé možnosti se vyvíjejí jinak. Není to nemožné, ale bylo by to hodně složité.

Je tu ještě další problém: Nemůžete si být jisti, že získáte svůj podíl na potu. Výpočet equity předpokládá, že uvidíte showdown. Abyste ale došli do showdownu, možná budete muset investovat další peníze, protože se bude sázet ještě na turnu.

Proto byste v tomto případě měli počítat pouze pravděpodobnost toho, že trefíte turn, místo abyste pracně počítali equity od flopu až na river. Tu lze přibližně vyjádřit jako 8/45, tj. 17% (chcete vidět , který nespáruje board). Jinak můžete také použít equity, jež platí od flopu na turn.

Nemáte ani zdaleka equity na to, aby byl váš call profitabilní. Na druhou stranu jsme zatím nevzali v úvahu fakt, že máte šanci vyhrát více peněz, než je právě teď v potu, jestliže trefíte turn a zkompletujete svou handu.

Je tu ale také fakt, že nejste poslední, kdo se vyjadřuje, a že někdo stále ještě může raisovat po vás (a toto je navíc velmi pravděpodobné). Když k tomu přidáte první závěr, že váš call není profitabilní, je to dostatečné k tomu, abyste mohli konstatovat, že je v této situaci nejlepším rozhodnutím fold.

Vzorec EV = Equity * (Výhra + Investice) - Investice) funguje jenom tehdy, pokud není jiná možnost než výhra, či prohra. Když do úvahy připadají ještě jiné možnosti, vzorec začne být mnohem komplikovanější. Na stromovém diagramu by bylo jasně vidět, že do svého výpočtu musíte zahrnout všechny možné výsledky. Tento vzorec použijeme v jedné z pozdějších částí naší série.

Full-ring, 100BB Stacks

Pre-flop: Hero is BU with A 2
1 fold, UTG2 calls, 1 fold, MP1 calls, 2 folds, CO calls, Hero calls, SB calls, BB checks

Flop: 3, 8, T (Pot: 6BB)
SB bets 5BB, BB calls 5BB, UTG2 folds, MP1 calls 5BB, CO folds, Hero?

Situace je podobná, ale Hero je poslední na řadě. Hero může dorovnat a podívat se na turn, nebo může zahodit. Znovu použijeme vzorec:

EV = 0 = Equity * (6BB + 5BB*4) - 5BB
Equity = 5BB/(6BB+5BB*4) =  0.19 = 19%

Když se opět podíváme na equity pro flush draw od flopu do turnu, bude nám z toho zase vycházet call. Jestliže přidáme možnost, že se možná podíváme na river zadarmo nebo že vyhrajeme peníze vsazené na turnu, call vypadá lépe než jakákoli jiná alternativa.

Jak nám pomůže analýza EV? Analýza EV vám pomůže dát všemu matematické zdůvodnění. Můžete si prověřit, zda rozhodnutí, které jste udělali během hry, bylo skutečně to nejlepší i poté, co jste vzali v úvahu přesnou výši potu v handě, výše sázek a equity.

Názory jiných (silných) hráčů jsou obzvláště užitečné, pokud není detailní rozbor EV možný, protože v handě může nastat příliš mnoho různých scénářů, a proto musíte brát v úvahu příliš mnoho proměnných. Mimo statistickou analýzu z databáze nemáte žádné jiné vodítko než osobní zkušenosti jiných hráčů.

Nakonec si ukažme neméně důležitou situaci s all-inem.

Full-ring, 100BB Stacks

Pre-flop: Hero is CO with Q J
UTG+1 calls 1BB, 5 folds, Hero raises 5BB, BU calls 5BB, SB folds, BB folds, UTG+1 calls 4BB

Flop: A, K, 5 (Pot: 16,5BB)
UTG+1 checks, Hero bets 14BB, BU raises 36BB, UTG+1 is All-In, Hero?

Můžete profitabilně dorovnat? Podívejme se na proměnné. Když nedokončíte handu, prohrajete 81BB.

Měli bychom (realisticky) předpokládat, že BU svoji handu nezahodí, když dorovnáte. Musí dorovnat 59BB do potu o velikosti 300BB, což udělá téměř vždycky. Proto můžete vyhrát 215.5BB (100BB od UTG+1 a BU, 1.5BB dead money a 14BB, které už jste vsadili). Proto potřebujete následující equity, aby byl váš call break-even (neboli EV=0):

81/( 296.5 ) = 0.27 = 27%

Je-li vaše equity vyšší než 27%, můžete dorovnat. Zde můžete k odhadu své equity použít často používaný nástroj, analýzu nejhorší možné varianty. Přidělíte soupeřům karty, které by pro vás byly ty nejhorší.

Pokud máte stále dostatečnou equity (nebo jste-li velmi blízko), můžete předpokládat, že call je profitabilní, neboť nejhorší možný scénář se naplní málokdy. V tomto případě by nejhorší možná kombinace byla set u jednoho soupeře a jiná flush draw u druhého. Flush draw vám vezme některé vaše outy, zatímco set je momentálně nejsilnější možná handa a proti vaší flush draw má re-draw. Výsledkem je následující scénář:

Analýza equity
Board	A K 5
	Equity	Výhra	Split	Prohra	Handa
Hráč 1	28.57%	28.57%	0%	71.43%	Q J
Hráč 2	70.43%	70.43%	0%	29.57%	AA
Hráč 3	1%	1%	0%	99%	T 9

Call je tedy zjevně profitabilní. Vaše equity nemůže být horší než při tomto scénáři. Všimněte si, že straight a flush draw jsou nejsilnější možné. Kdyby tomu tak nebylo, byl by výpočet komplikovanější.

Shrnutí

V tomto článku jste se dozvěděli něco o základních matematických konceptech a terminologii v No Limit Hold'emu a o tom, jak je aplikovat v praxi.

Ve druhé části této série se podíváme na hand ranges, fold-equity a také na implied a reverse implied odds, abychom se mohli pustit do složitějších příkladů.

ODKAZY
Diskusní fórum: Diskutujte o obsahu tohoto článku na fóru Videa: Videoseriál: Matematické koncepty v No Limit Hold'emu 1-4