beweis ggT (n, n+2) = 2

Ist natürlich immer davon abhängig was du schon aus der Vorlesung weißt, auf Wiki habe ich unter "Rechenregeln" was gefunden, womit man den ersten Teil zb schnell beweisen kann:

laut wiki gilt:

für ganze Zahlen a,b,m gilt:
ggT(a,b+m*a)=ggT(a,b)

nun setzt ma für a=n, b=2 und m=1, dann hat man:

ggT(n,2+n)=ggT(n,2) und das kann ja nur maximal 2 sein.

Der zweite Teil lässt sich schnell über die Differenz zweier Gaußscher Summenformeln zeigen :-)

Am Ende siehst du dann, dass der Term genau dann durch 2 teilbar ist wenn k ungerade ist

Und die Aufgabe hast du natürlich auch gerade erst gestellt bekommen?

Also 1 ist auch ohne rechenregeln recht einfach.

Annahme: a ist das GGT von n und n+2.

Also ist n/a eine natürliche Zahl.
Für (n+2)/a lässt sich dann n/a+2/a schreiben.
n/a ist ja ne nat. Zahl, damit (n+2)/a auch eine nat. Zahl ist, muss 2/a auch natürlich sein. Also a<=2.

Für 2 muss man wohl in der tat einfach nur die Summe von k Zahlen allgemein aufschreiben.. bin aber zu faul, dass explizit rauszusuchen (sollte aber durch 5 minuten google auch dir möglich sein).

Summe_i=1..k_(n + i) = Summe_i=1..k_(n) + Summe_i=1..k_(i) = n* k + k * (k+1) / 2 = k * (n + (k+1)/2)

=> Summe von k aufeinanderfolgenden Zahlen ist immer durch k teilbar.

1+2=3 ist nicht wirklich durch 2 teilbar

hm ♦

Wer kann mir erklären, warum?

/edit: achso.. "wenn k eine bestimmte Eigenschaft hat"

Original von Crydarion
Der zweite Teil lässt sich schnell über die Differenz zweier Gaußscher Summenformeln zeigen

Am Ende siehst du dann, dass der Term genau dann durch 2 teilbar ist wenn k ungerade ist

1 + 2 + 3 + 4 = 10 lässt sich aber durch 2 teilen