Mathe Beweise #2

Original von Sleyde
1) Sei (Q,d) ein metrischer Raum mit d(x,y) = |x-y|. Ist die Menge A=(sqrt(2), sqrt(3)] geschnitten Q offen, geschlossen oder keines von beiden in (Q,d) ? Begründen Sie Ihre Antwort.

Was auf meinen Slides steht: Eine Menge A ist offen, wenn jeder Punkt der Menge ein innerer unkt ist, d.h. int(A) = A. Ein Punkt x der Menge A ist ein innerer Punkt der Menge A, wenn man für ein beliebiges epsilon > 0 einen Ball mit Radius epsilon und Mitte x konstruieren kann und dieser Teilmenge der Menge A ist.

Nee, andersrum: wenn man ein ε>0 finden kann, so dass der ε-Ball drin liegt.

Um ein ε € Q anzugeben fällt mir spontan die Heron-Folge ein. Sei a € A, dann ist b := (a+2/a)/2 € Q mit sqrt(2) < b < a und c := 6/(a + 3/a) € Q mit a < c < sqrt(3), so dass ε = min(a-b,c-a) funktionieren sollte. Die Ungleichungen müsstest Du natürlich beweisen.

Original von Sleyde
2) Sei V ein Vektorraum. Zeige, dass die Abbildung || * || : V --> R stetig ist. Tipp: Benutze die inverse Dreiecksungleichung.

Stetigkeit der Norm ist ein Standardbeweis. Kann man googeln.

1) Bin mir jetzt nicht sicher, wie ich das zu verstehen haben, aber die nicht-rationalen Wurzel \cup Q müssten doch ne leere Menge ergeben, oder?

3) Schaue an, was eine kompakte und geschlossene Menge bedeutet. A, B haben dann gewissen Eigenschaften laut Def.
Dann überlegst du welche Eigenschaften für den Schnitt dann noch gelten (das ist der eigentliche Beweis). Dann schaust du, ob die Eigenschaften Kompaktheit bedeuten.

Original von MisterJ
1) Bin mir jetzt nicht sicher, wie ich das zu verstehen haben, aber die nicht-rationalen Wurzel \cup Q müssten doch ne leere Menge ergeben, oder?

Es ist wohl das Interval (sqrt(2), sqrt(3)] in R gemeint, welches man dann mit Q schneidet.

Ich denke nicht, dass verlangt ist, das wie SlowLarry es versucht explizit zu konstruieren. Falls OP das in der Vorlesung schon hatte, ist es denke ich am einfachsten zu verwenden, dass Q dicht in R liegt, dh dass man insbesondere an sqrt(2) und sqrt(3) beliebig nahe mit rationalen Zahlen herankommen kann.
Dh für alle ε>0 gibt es ein x in Q, sodass |x - sqrt(2)| < ε (analog für sqrt(3)).

Um zu zeigen, dass A offen in Q ist, muss man für jedes a in A ein ε>0 angeben, sodass der zugehörige Ball in A enthalten ist. Vielleicht will OP das mal mit diesem Ansatz selbst probieren?

Original von crt32

Original von MisterJ
1) Bin mir jetzt nicht sicher, wie ich das zu verstehen haben, aber die nicht-rationalen Wurzel \cup Q müssten doch ne leere Menge ergeben, oder?

Es ist wohl das Interval (sqrt(2), sqrt(3)] in R gemeint, welches man dann mit Q schneidet.

Jupp, wenn man die Klammern nicht als unsauber abgetippt deutet, sondern als korrekt, dann macht die Aufgabe auch wieder Sinn

Original von crt32

Original von MisterJ
1) Bin mir jetzt nicht sicher, wie ich das zu verstehen haben, aber die nicht-rationalen Wurzel \cup Q müssten doch ne leere Menge ergeben, oder?

Es ist wohl das Interval (sqrt(2), sqrt(3)] in R gemeint, welches man dann mit Q schneidet.

Ich denke nicht, dass verlangt ist, das wie SlowLarry es versucht explizit zu konstruieren. Falls OP das in der Vorlesung schon hatte, ist es denke ich am einfachsten zu verwenden, dass Q dicht in R liegt, dh dass man insbesondere an sqrt(2) und sqrt(3) beliebig nahe mit rationalen Zahlen herankommen kann.
Dh für alle ε>0 gibt es ein x in Q, sodass |x - sqrt(2)| < ε (analog für sqrt(3)).

Um zu zeigen, dass A offen in Q ist, muss man für jedes a in A ein ε>0 angeben, sodass der zugehörige Ball in A enthalten ist. Vielleicht will OP das mal mit diesem Ansatz selbst probieren?

Die Klammern sind korrekt. Ich versteh schon garnicht, wieso man hier von Bällen redet. Das ist doch einfach vorstellbar auf einer Zahlengerade .. nur fall es mehrdimensional wird oder wie :/

Also wenn ich dich richtig verstehe, kann ich beliebig nahe an die sqrt(2) rankommen, erreiche sie aber nicht. Analog gilt das für die sqrt(3) mit dem Unterschied, dass sqrt(3) Teil der Menge ist. Also gilt für alle e>0 mit dem Mittelpunkt x=sqrt(3), dass der e-ball nicht Teil der Menge A ist.

Aber was heißt denn der Zusatz, dass man das ganze in (Q,d) betrachten soll... heißt das wiederum, dass sqrt(3) eigentlich garnicht Teil der Menge ist und ich wieder nur beliebig drankommen kann?

Bei Wikipieda steht:

Die rationalen Zahlen x mit 0 < x < 1 bilden eine offene Menge in den rationalen Zahlen, aber nicht in den reellen Zahlen.

kann mir das einer erklären? hätte jetzt gesagt, die sind beide offen ♦

Original von Sleyde
Bei Wikipieda steht:

Die rationalen Zahlen x mit 0 < x < 1 bilden eine offene Menge in den rationalen Zahlen, aber nicht in den reellen Zahlen.

kann mir das einer erklären? hätte jetzt gesagt, die sind beide offen ♦

Kann man dort nicht mit der Abzählbarkeit von Q und dass Q dicht in R liegt, arbeiten.
Denn durch die Abzählbarkeit von Q müsste es doch möglich sein, dass alle x nahe 0 oder 1 in einem Epsilon-Ball ( der ja in R liegt ) vollständig enthalten sind, i.e. abgeschlossen.

Hatte Analysis Examen vor 3 Wochen und kämpfe jetz mitter Lin. Algebra, also is die Analysis bereits eingerostet

Original von Sleyde
Bei Wikipieda steht:

Die rationalen Zahlen x mit 0 < x < 1 bilden eine offene Menge in den rationalen Zahlen, aber nicht in den reellen Zahlen.

kann mir das einer erklären? hätte jetzt gesagt, die sind beide offen ♦

In jeder Umgebung von solch einem rationalen x liegen irrationale Zahlen.

Original von Sleyde

Original von crt32

Original von MisterJ
1) Bin mir jetzt nicht sicher, wie ich das zu verstehen haben, aber die nicht-rationalen Wurzel \cup Q müssten doch ne leere Menge ergeben, oder?

Es ist wohl das Interval (sqrt(2), sqrt(3)] in R gemeint, welches man dann mit Q schneidet.

Ich denke nicht, dass verlangt ist, das wie SlowLarry es versucht explizit zu konstruieren. Falls OP das in der Vorlesung schon hatte, ist es denke ich am einfachsten zu verwenden, dass Q dicht in R liegt, dh dass man insbesondere an sqrt(2) und sqrt(3) beliebig nahe mit rationalen Zahlen herankommen kann.
Dh für alle ε>0 gibt es ein x in Q, sodass |x - sqrt(2)| < ε (analog für sqrt(3)).

Um zu zeigen, dass A offen in Q ist, muss man für jedes a in A ein ε>0 angeben, sodass der zugehörige Ball in A enthalten ist. Vielleicht will OP das mal mit diesem Ansatz selbst probieren?

Die Klammern sind korrekt. Ich versteh schon garnicht, wieso man hier von Bällen redet. Das ist doch einfach vorstellbar auf einer Zahlengerade .. nur fall es mehrdimensional wird oder wie :/

Also wenn ich dich richtig verstehe, kann ich beliebig nahe an die sqrt(2) rankommen, erreiche sie aber nicht. Analog gilt das für die sqrt(3) mit dem Unterschied, dass sqrt(3) Teil der Menge ist. Also gilt für alle e>0 mit dem Mittelpunkt x=sqrt(3), dass der e-ball nicht Teil der Menge A ist.

Aber was heißt denn der Zusatz, dass man das ganze in (Q,d) betrachten soll... heißt das wiederum, dass sqrt(3) eigentlich garnicht Teil der Menge ist und ich wieder nur beliebig drankommen kann?

sqrt(2) und sqrt(3) sind aber gar nicht in Q also auch nicht in (sqrt(2),sqrt(3)] \cup Q =: A.
Das mit den Bällen ist nur die allgemeine Bezeichnung. In diesem Fall ist ein "Ball" eben ein offenes Intervall.
Die Menge A ist übrigens offen. Versuch doch mal für beliebiges a in A ein ε zu finden, sodass der ε-Ball um a in A enthalten ist. (siehe meine Tips oben)

Original von Sleyde
Bei Wikipieda steht:

Die rationalen Zahlen x mit 0 < x < 1 bilden eine offene Menge in den rationalen Zahlen, aber nicht in den reellen Zahlen.

kann mir das einer erklären? hätte jetzt gesagt, die sind beide offen ♦

Q dich in R heißt anders formuliert auch, dass in jeder noch so kleinen offenen Umgebung von jeder rational Zahl eine irrationale Zahl liegt. Es ist also für jedes Element aus Q unmöglich einen ε-Ball zu finden, sodass in diesem keine irrationale Zahl enthalten ist.