UNI HEIDELBERG WENN ICH SO DEIN MATHE AUFGABENZETTEL SEH ♦ bin ich au
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29 a) lim x^a/e^x = 1/ lim (e^x/x^a), Exponentialreihe ...
32 a) Ist doch Schnulli, Exponentialreihen entwickeln, die geraden Terme heben sich weg.
Die anderen sind auch nicht schwer, schau Dir nochmal die Def von gleichmäßiger Konvergenz an: http://de.wikipedia.org/wiki/Gleichm%C3%A4%C3%9Fige_Konvergenz
7.1: Bei mir ist die Suppe immer flach, egal welchen Teller ich nehme 
Im beschl. Bezugssystem dem Zuges wirkt die Summe aus Gravitation und Trägheitskraft, also sozusagen eine veränderte "effektive Gravitation", diese bestimmt die Suppenoberfläche, die nämlich eine Äquipotentialfläche ist (warum?).
Der Heliumballon wird nach vorne gedrückt, denn der Druckgradient der Luft im Abteil verändert sich aufgrund der "effektiven Gravitation".
7.3: genau, inelastischer Stoß ist das, übliche Formeln nehmen. Habs aber nicht ausgerechnet.
Danke Slowlarry, wenn man nun sieht wie man die Umformungen anstellen muss siehts wirklich nicht so schwer aus.
aber nun habe ich mal wieder eine neue Aufgabe, die mir Probleme macht. Dieses mal kommt sie aus der theoretischen Physik, wobei es wohl eigentlich nur lineare algebra ist.
Gegeben ist eine Matrix 2x2 Matrix bei der man komplexe Zahlen einsetzen kann (finde grad nicht, solch ein C um das in Kurzform zu schreiben)
Das innere Produkt ist durch 1/2*Tr(A*B) definiert. (dieses Tr meint die Spur einer Matrix, welche sich aus der Summe der Diagonalelemnte zusammensetzt)
Nun sind mir die Pauli-Matrizen sowie die Einheitsmatrix gegeben und ich soll zeigen, dass diese eine Orthonormalbasis von M2(C) bilden.
Mein Problem ist nun, dass ich sowas bisher nur für Vekoren gemacht hatte. Denn da musste ich ja nur zeigen, dass die Vektoren zueinander orthogonal sind und die Länge 1 besitzen. Wie mache ich dies nun mit diesen 4 Matrizen?
Zu zeigen, dass ihr inneres Produkt jeweils 0 ergibt und sie somit orthogonal sind wäre mein einziger Ansatz. Aber hierbei bringe ich ja in keinster Weise die Anforderung mit rein, dass die Länge 1 ist (kann eine Matrix überhaupt eine Länge besitzen?)
Du musst zeigen, dass das innere Produkt zweier unterschiedlicher Matrizen =0 und einer Matrix mit sich selbst =1 ist (das ist mit Länge gemeint)
Natürlich musst auch noch zeigen, dass sie überhaupt M2(C) aufspannen. Ist Dir wahrscheinlich klar, wollt es nur erwähnen.
Original von SlowLarry
Natürlich musst auch noch zeigen, dass sie überhaupt M2(C) aufspannen. Ist Dir wahrscheinlich klar, wollt es nur erwähnen.
Eigentlich hatte ich gehofft, dass ich durch die obere Methode dies nicht mehr zeigen muss, denn genau da liegt mein Problem 
So wie du es jedoch formulierst scheint es auf jedenfall zu gehen. Also formulier ich einfach mal meine Idee und wo es da bei mir klemmt.
Das Aufspannen zeige ich im Grunde doch, wenn ich zeige, dass wenn ich diese 4 Matrizen miteinander mit beliebiger Länge addieren kann, dadurch jede beliebige 2x2 Matrix erzeugen kann.
X = a * Einheitsmatrix + b * Pauli-Matrix1 + c * Pauli-Matrix2 + d * Pauli-Matrix3
Wenn ich dies nun jedoch tue, so habe ich das Problem, dass ich nicht wirklich jede beliebige Matrix erzeugen kann, da die Diagonalen immer ähnlich erzeugt werden und ich in den Elementen 11 und 22 überhaupt keine komplexe Zahlen erzeugen kann, vorausgesetzt a und d sind reell.
Wo liegt hier mein Denkfehler bzw. welche andere Methode muss ich benutzen um das Aufspannen des Vektorraums zu zeigen?
Vielen Dank.
Edit:
ich hab grad folgenden Link gefunden:
http://idefix.physik.uni-freiburg.de/~aufgabe/MetTheoPhys05/mtp9/node1.html
kann es sein, dass dort die Gleichung (3) genau das ist auf was ich hinaus muss?
Falls ja. Wie mache ich das? Kann ich einfach diese Gleichung vom Himmel fallen lassen und dann irgendwie durch einsetzen zeigen, dass meine Aussage passt oder gibt es da irgendeinen eleganten Weg, wie man das zeigen kann?
Der zugrunde liegende Körper ist doch C, oder? Also sind auch a,b,c,d aus C.
Zum Nachweis, dass die 4 Matrizen M2(C) aufspannen genügt es doch, die 4 speziellen Matrizen zu konstruieren, welche in einer Ecke ne 1 und sonst überall 0 haben. Das ist nicht schwer.
Irgendwie steh ich da auf dem schlauch.
wenn ich die matrix wie oben beschrieben zusammensetze und davon ausgehe, dass a,b,c,d aus C sind, dann fällt mir da nix ein wie ich das so hinbekommen kann wie du es beschreibst, denn meine elemente von X hängen dann wie folgt voneinander ab:
x11 = a+d x12 = b - i*c
x21 = b+i*c x22 = a-d
mir fällt nun beispielweise keine Kombination von a und d ein, so dass a+d = 1 und a-d = 0 ist
hab ich da nun eine falsche umformung gemacht und stehe ich da wieder auf dem schlauch wie ich a und d wählen könnte, so dass es passt?
Also zunächst mal habe ich etwas den Eindruck, dass Dir desöfteren die zugrundeliegenden Begriffe und Definitionen nicht ganz klar sind. In diesem Falle wären das z.B. Vektorraum, Basis, inneres Produkt und dadurch induzierte Norm, Länge u. Orthogonalität.
Wenn Du diese Definitionen wirklich kennen würdest, würdest Du Dich nicht fragen, wie man etwas mit Matrizen macht, wenn Du weißt, wie es mit Vektoren geht, da die Matrizen hier ja Vektoren _sind_.
Um zu zeigen, dass eine Familie von Vektoren eine ONB ist, musst Du 3 Dinge zeigen:
- dass die Vektoren den VR aufspannen, d.h. dass man jeden beliebigen Vektor als Linearkombination derselben schreiben kann
- dass die Vektoren normiert und orthogonal sind
- dass die Vektoren linear unabhängig sind
Genau das musst Du also auch hier tun, Du wolltest nur die Orthonormalität zeigen.
Dein Problem, jede C(2x2)-Matrix aus den Paulimatrizen und der Einheitsmatrix linear zu kombinieren ist übrigens nur eine kleine (aber einfache) algebraische Knobelei.
Mal nur für die Diagonalelemente vorgeführt:
A =
/a+ib 0\
\0 c+id/
mit a,b,c,d € R
nun willst Du 1 und σ3 über C (d.h. mit Koeffizienten aus C) zu A linear kombinieren:
α1 + βσ3 = A
mit α, β € C
was auf das Gleichungssystem
α + β = a + ib
α - β = c + id
hinausläuft.
@Slowlarry
Dein Eindruck ist definitiv richtig. Ehrlich gesagt habe ich auch wirklich oft Probleme die Definition in mein bisheriges Verständnis so einzubauen, dass ich die Zusammenhänge vollständig verstehe.
Das innere Produkt habe ich bis vor gestern auch als einfaches Multiplizieren verstanden. Was jedoch falsch ist...
Unter einer Basis habe ich zur Zeit beispielsweise noch überhaupt keine für mich vorstellbare Definition gefunden, so dass ich wirklich verstehe, was dieser Begriff voll und ganz aussagt. Und natürlich bestes Beispiel ist wohl der Begriff der Länge *g*
Wenn ich von einer Matrix spreche (was in meiner vorstellung nichts anderes als eine "tabelle" ist) so kann ich mir nichts unter dem Begriff der Länge vorstellen.
Das ich daher aus einer 2x2 Matrix durch die Berechnung der Spur auf eine Länge schließen kann, verwirrt mich auch ehrlich gesagt. Das hat für mich bisher noch nichts gleich mit der Länge eines Vektors. Wobei hier unter Umständen auch mein Verständnis eines Vektors nicht ganz korrekt ist, denn einen Vektor als einen "Pfeil" aufzufassen mag mir in der bisherigen Physik noch gereicht haben, aber ich hab da mittlerweile auch schon die Befürchtung, dass ich auch hier mein Weltbild noch erneuern muss...
Aber da wir gerade dabei sind, hoffe ich mal, dass ich dich jetzt nicht mit meinen "doofen" Fragen belästige.
Du führst die begriffe "lineare abhängigkeit" und "VR aufspannen" als zwei unterschiedliche Punkte auf. Für mich bedeutet eigentlich immer, dass wenn ich linear unabhängige vektoren habe, diese auch zwingend den raum aufspannen. Daher dachte ich wohl auch, dass dies ausreicht um diese Aufgabe so zu lösen.
Dein Hinweis für die Vorgehensweise um die Diagonalelemente zu erhalten kann ich soweit auch nachvollziehen. Doch schlussendlich wird mir wohl mein Verständnisproblem zum Verhängnis.
Inwiefern helfen mir nun diese beiden Gleichungssystem weiter?
Nach mehrmaligen Überlegen hab ich nun festgestellt, dass ich wirklich ein festes Element a11 vorgeben kann und durch die obere form auch wirklich ein beliebiges element a22 erreichen kann. Muss ich dies nun noch zeigen? Oder ist dies dadurch schon gezeigt?
Bei der anderen Diagonalen, würde ich auf folgendes Endgleichungssystem kommen:
u,v € C
u * (-i) + v = e + if
u * (i) + v = x + iy
ich sehe hier, dass ich durch die Multiplikation mit i bzw -i dadurch die komplexe Zahl u relativ zueinander komplex konjugiere (falls ich mich grad nicht vollkommen irre) hilft mir dies ebenfalls um zu zeigen, dass ich den VR aufspannen kann?
Es tut mir echt leid, dass ich in diesem Bereich nicht auf der höchsten Ebene bin, aber seh bitte einfach, dass ich versuche etwas daran zu ändern.
Danke.
Wenn Du n linear unabhängige Vektoren aus einem Vektorraum V der Dimension n hast, spannen sie tatsächlich den Vektorraum auf. Wenn Du einen weglässt, ist der Rest der Vektoren zwar noch immer linear unabhängig, sie erzeugen aber nicht mehr den gesamten Vektorraum. In der Schule hast Du immer im R hoch n rumgerechnet. Das ist besonders anschaulich. Ein Vektorraum ist aber ein abstraktes Konzept der Linearen Algebra. Du kannst nicht davon ausgehen, dass Du Dir immer alles anschaulich vorstellen kannst. Immer wenn Du ein Skalarprodukt auf einem Vektorraum hast, impliziert dies eine Metrik und damit hast Du einen Längenbegriff. Dieser muss keineswegs Deiner Anschauung entsprechen.
Zu Deinem Problem:
Es mein Tipp von oben nicht gut genug verständlich?
(Im Folgenden dienen die Punkte nur zur Formatierung)
/a b\ = a * /1 0\ + b * /0 1\ + c * /0 0\ + d * /0 0\
\c d/.......... \0 0/..........\0 0/..........\1 0/..........\0 1/
und /1 0\ = 0.5 * 1 + 0.5 * σ3 usw.
...... \0 0/
Du brauchst Dich nicht zu entschuldigen, ich kann Deine Probleme ganz gut nachvollziehen. Gerade im ersten Semester wird man sehr leicht von der ungewohnten Abstraktion erschlagen, insbesondere die Mathematiker springen ja gerne so schnell und selbstverständlich zwischen den Abstraktionsebenen hin und her, dass man oft garnicht mehr weiß, worum es eigentlich gerade geht.
Man sagt ja über das Mathestudium (für Physik gilt obv das gleiche), dass man den Stoff oft erst ein, zwei Semester später richtig versteht, wenn sich alles etwas gesetzt hat und man den größeren Zusammenhang sieht.
Da ist schon was dran, allerdings muss man trotzdem dabei immer die grundlegenden Begriffe und Definitionen lernen und kennen.
Wenn man sich mal nichts darunter vorstellen kann oder die Details irgendeines Beweises nicht versteht, macht das nichts.
Aber Du musst eben die Definitionen lernen, notfalls auswendig, sonst brauchst Du Dir die Aufgaben gar nicht anzuschauen, denn Du weißt ja nicht, worum es überhaupt geht.
Durch die Anwendung werden dann mit der Zeit auch die Begrifflichkeiten klar.
Das mit der Vorstellung ist sowieso so eine Sache. Ich denke, man sollte zunächst versuchen, sich vollständig davon zu lösen, sich unter allem etwas anschaulich vorstellen zu müssen.
Ein Vektor ist eben nunmal kein Pfeil, sondern ein Element eines Vektorraumes, der seinerseits eine Menge mit gewissen algebraischen Eigenschaften ist (den VR-Axiomen). Und damit ist alles gesagt, auch wenn's schwerfällt.
Die klassischen Pfeile im R³ sind eben nur sehr spezielle Beispiele für Vektoren.
Letztendlich wird sich wohl aber so ziemlich jeder Mathematiker doch wieder Pfeilchen vorstellen, selbst wenn meinetwegen von Zuständen im Hilbertraum (was ein unendl. dim VR ist) die Rede ist oder von sonsteinem abstrakten VR. Dabei muss einem aber klar sein, dass erstens die Vorstellung manchmal versagen kann und dass man zweitens aus der Anschauung keinerlei Schlüsse ziehen kann, denn Beweise basieren immer auf den Definitionen, nicht auf Vorstellungen.
So, hoffentlich wurde in etwa klar, was ich sagen will 
Zu den konkreten Fragen:
Aber da wir gerade dabei sind, hoffe ich mal, dass ich dich jetzt nicht mit meinen "doofen" Fragen belästige.
Du führst die begriffe "lineare abhängigkeit" und "VR aufspannen" als zwei unterschiedliche Punkte auf. Für mich bedeutet eigentlich immer, dass wenn ich linear unabhängige vektoren habe, diese auch zwingend den raum aufspannen. Daher dachte ich wohl auch, dass dies ausreicht um diese Aufgabe so zu lösen.
Nein!
Und auch das wird ja sofort klar, wenn Du Dir die Definitionen anschaust.
In dem Fall kann man sich das aber tatsächlich auch anschaulich klarmachen:
Eine Familie von Vektoren ist ja linear abhängig, wenn ich mir daraus irgendeinen Vektor herausnehmen kann und diesen durch Linearkombination der anderen darstellen kann. (Linearkombination bedeutet ja, ich nehme die Pfeile, strecke oder Stauche sie nach belieben und hänge sie hintereinander).
Dass eine Familie von Vektoren einen VR aufspannt, bedeutet ja etwas ganz anderes, nämlich, dass ich mir _irgendeinen_ Vektor aus dem VR nehmen und diesen aus den Vektoren der Familie linearkombinieren kann.
Diese Vektoren können aber sowohl linear abhängig als auch unabhängig sein.
Umgekehrt kann ich sowohl lin. abh. als auch lin. unabh. Vektoren haben, die trotzdem nicht den Raum aufspannen.
Beispiel: (1,2,3), (-2,8,0) sind lin. unabh und spannen auch nicht den R³ auf.
(1,2,3), (-2,8,0), (-2, 8, 1) sind lin. unabh. und spannen den R³ auf (sie sind eine Basis!)
(1,2,3), (-2,8,0), (-2, 8, 1), (6,1,2) sind lin. abh. und spannen den R³ auf
Inwiefern helfen mir nun diese beiden Gleichungssystem weiter?
Indem Du sie löst (In meinem Beispiel nach α und β ), und das analoge GLS für die Außerdiagonalelemente nach den zwei anderen komplexen Koeffizienten.
Damit hast Du ja die beliebige C(2x2) Matrix aus 1 und den Paulimatrizen linear kombiniert, indem Du konkret die Koeffizienten der Linearkombination ausgerechnet hast. QED
Da mir hier vor knapp einem Jahr so gut geholfen worden ist erwecke ich mal diesen Thread wieder zum leben.
Sommersemester hatte ich ganz gut überlebt und nun fängt Semester 3 an. Und ich bin "noch" hochmotiviert. Und mache auch gleich leider wieder die Erfahrung, dass man nicht mehr so einfach den ersten Zettel alleine runterschreiben kann.
Den Zettel um den es jetzt geht ist Theoretische Physik III und für geübte wohl kein Problem. Eigentlich müsste ich es auch hinbekommen aber mein Siebegedächnis macht mir da einen Strich durch die Rechnung, weshalb ich mir dann doch bei ziemlich allem unsicher bin, was ich zu Papier bringe.
Aufgabenzettel: http://www.remoh.de/studium/blatt1.pdf
Ich hab mal meine Sachen abfotografiert und stell einfach mal meine Fragen dazu bzw. sag wo ich mir unsicher bin.
Ich glaub die a sieht ganz gut aus. Bin mir aber natürlich nicht zu 100% sicher, ob ich das wirklich so nett schreiben kann. Eventuell könnte man das auch irgendwie anders schreiben.
die b hingegen sieht für mich mehr falsch als korrekt aus. Bei der Koordinatentransformation bin ich mir super unsicher, obwohl wir das schon zig mal gemacht haben
Und da diese wohl nicht ganz korrekt ist, ich aber auch nicht wirklich sicher bin, wie mans richtig macht wird dann auch die berechnete Divergenz und Rotation falsch.
Mein Gefühl sagt mir da halt irgendwie, dass eine Rotation von 0 rauskommen sollte, so dass ich dann das Potential bestimmen kann.
Hier sieht das ganze etwas komisch aus und ich gehe davon aus, dass ich irgendwas falsch gemacht habe. Denn das bei meinem Integral über die Fläche ein Vektor als Ergebnis rauskommt und offensichtlich beim Volumenintegral ein Skalar macht die ganze Sache etwas blöd.
Meine zweite Unsicherheit ist wie ich das Volumenelemnt dV ausdrücke. Ich hatte zuerst die Funktionaldeterminante berechnet, aber das wird wohl nicht nötig sein, da es ich schon das Vektorfeld in Polarkoordinaten gegeben habe, oder?
Außerdem bin ich mir super unsicher ob ich überhaupt das Flächenintegral richtig aufgestellt habe. Im Gedanken hab ich mir da einfach eine Kugel mit dem Radius r (nach der Aufgabe hätte ich wohl R benennen sollen) drum gezogen. Der Hinweis, dass ich einen Oktanden der Kugel benutzen soll, verwirrt mich da mehr als dass er hilft.
Hier bin ich etwas ratlos wie ich den Ansatz mache. Kann ich hier einfach einen "kleinen" Zylinder um ein Stück der Linienladung legen, sagen, dass ich dann auch die enthaltene Ladung q darin kenne und einfach über die geschlossene Fläche integrieren um dann meine dielektrische Verschiebung D in der Umgebung zu erhalten. Ich bin mir nur nicht sicher wie ich diesen Zylinder am besten wählen soll...
Ich habe hier erst mal über den Rand des Dreieckes integriert indem ich ein einfaches Wegintegral ausgeführt habe und erhalte den Wert 0. Auf der einen Seite sieht das schonmal nicht schlecht aus auf der anderen bin ich mir noch nicht 100% sicher wie ich es korrekt interpretieren kann. Es handelt sich hier ja um ein Vektorfeld für welches ein Potential existiert, da rot W = 0. Da ich hier einen geschlossenen Weg vollziehe ist es daher nur logisch, dass ich keine "Arbeit" verrichten muss.
Sprich ich müsste garnicht mein Wegintegral ausführen um auf dieses ergebnis zu kommen. Denn für das zweite Integral muss ich sowieso rot W berechnen und erkenne dort dann ja, dass dieses 0 ist und kann dann so relativ schlüssig argumentieren, dass der Satz von Stokes hier wunderbar gilt, oder?
Zur 3b hab ich noch nix wirklich gescheites aufgeschrieben. Ist ja eigentlich ähnlich wie 2b nur, dass ich hier nen unendlich großes Viereck hab und dann irgendwie über die Stromdichte argumentieren müsste. Bin mir da nur völlig unsicher, ob ich einfach einen beliebigen Quader in der xz Ebene aufspannen kann und dann fleißig über den Rand und die Fläche integrieren darf.
Ich hoffe mal, dass sich der ein oder andere findet, der mir etwas helfen kann. Mein Vorsatz ist zumindest mal all meine "dummen" Fragen hier gebündelt zu stellen, wenn ich meine Aufgabenzettel mache. (Achtung: da wird noch einiges folgen ;))
Grad wenig Zeit, deshalb nur kurz:
1a) sieht gut aus, auch wenn das glaube ich mit ner Substitution schneller ginge.
1b) Die Zylinderkorrdinaten sind ja hier r (Abstand von der z-Achse), phi (Winkel in der x-y-Ebene mit der x-Achse und z. Dann musst du V aber auch ohne x schreiben, also quasi x² noch durch r²cos²phi ersetzen.
Bei den Differentialoperatoren kannst Du aber dann nicht einfach r, phi und x (oder auch z) im Nablaoperator statt x,y, und z nehmen, sondern musst die speziellen Ausdrücke für rot und div in Zylinserkoordinaten nehmen (kann man nachschlagen, im Jackson stehen sie auf jeden Fall). Oder man berechnet die halt in kartesischen Koordinaten und transformiert das Ergebnis.
SlowLarry du bist echt super!
bei der 1b hab ich mir halt, warum auch immer, vorgenommen in meinen Zylinderkoordinaten unbedingt 3 Variablen zu haben um auch drei Mal differenzieren zu können.
Und welch Wunder. In meinen Aufschrieben hab ich auch gefunden, wie die Rotation und Divergenz in Zylinderkoordinaten definiert ist, auch wenn ich die genaue Herleitung nirgends gesehen habe.
Bei mir sieht die 1b überarbeitet dann so aus: 
Zwar immernoch nicht das "gewünschte" Ergebnis für die Rotation aber ich hab das jetzt auch nur relativ schnell gemacht. Also eventuell irgendwo noch nen Rechenfehler drin. Sollte aber in ein paar ruhigen Minuten sicher noch richtig hinzubiegen sein.
Vielen Dank schonmal dafür.
Also 1b hab ich nochmal gerechnet und bin wieder auf das obere Ergebnis gekommen. Dann wird es wohl auch so sein, dass es kein Potential gibt vorausgesetzt die Bedingung rot V = 0 => Existenz eines Potentials gilt auch so in Zylinderkoordinaten.
Bei den anderen Aufgaben, denke ich, meinen Fehler gefunden zu haben, da ich die Flächenintegrale wohl so nicht berechnen darf. Denn das dA ist ebenfalls ja nen Vektor, welcher immer senkrecht auf der Oberfläche steht.
Ich hab jetzt nur grad keine Ahnung wie ich es richtig rechne. Bei ner Kugeloberfläche verändert sich dieser Vektor dA ja auch, wenn ich über die gesamte Fläche integriere. Falls jemand weiss wie ich das dann geschickt machen kann oder wo ich es relativ schnell nachlesen kann wäre ich sehr dankbar
Was benutzt du denn für Bücher?
Kann für den Theoriekram auf jeden Fall den "Grundkurs theoretische Physik" von Nolting empfehlen. Da steht im Prinzip alles drin, was man braucht inkl. Aufgaben + Lösungen.
Der hat mich durchs Studium gebracht.
Grüße
C4rl0s, danke.
Ich bin anscheinend schon so "vertraut" mit dem Internet, dass ich ganz vergiss, dass es auch Bücher gibt in denen das alles erklärt sein könnte.
Von Nolting hab ich alle Bände als pdf auf dem Rechner und hab dann auch direkt schon im 3. Band ein Kapitel gefunden, in dem die Integration über diese ganzen Flächenelemente erklärt wird. Werd es mir gleich mal durchlesen und hoffentlich dann auch gut verstehen.
Zuvor hatte ich mich mit Hilfe dieser Seite: http://matheraum.de/forum/Integral_ueber_Vektorfeld/t515779 und den Ausführungen von Al-Chwarizmi nochmal an der 2a versucht und glaube eigentlich keine großen Schnitzer reingebracht zu haben.
Dumm ist nur, dass ich für die Flächenintegration je nach Wahl der Grenzen andere Ergebnisse erhalte. Jedoch nie mein gewünschtes dabei ist
Irgendwie bischen verwirrend.
Hab mal gerad drüber geschaut, bin allerdings auch nicht mehr so fit bei dem Kram.
Versteh deine Grenzenwahl aber irgendwie nicht bei der Flächenintegration. Normalerweise läuft doch bei deiner gewählten Darstellung für die Kugelkoordinaten theta von 0 bis PI und phi von 0 bis 2PI.