Einige interessante Fragestellungen, bzgl. Varianz und mathematischen Wahrscheinlichkeiten beim Pokern, die in unserem SSS-Videoforum aufgetaucht sind, habe ich dort zusammengefasst.
Ich erlaube mir mal, den Thread auch hier zu posten:
Die Zahlenwerte hier in diesem Thread beziehen sich auf die SSS, die Rechungen lassen sich aber auf die BSS übertragen.
Für die Analyse von SnGs und MTTs sind die Rechungen eher nicht zu gebrauchen.
(des wegen hab ich das hier gepostet, kanns aber auf Wunsch auch in "Poker allgemein" oder so verschieben.)
Original von edgetrader
[Anm: der vor einem Private Coaching gerne die aktuelle Winrate des Coachs wissen möchte]
naja an irgendwas muss man sich ja orientieren auch wenn die winrate nichts das aussagekräftigste ist, aber dann könnte ja jeder kommen und coachings anbieten
Wie aussagekräftig sind Winrates?
Nicht sehr aussagekräftig, das zeigt dieses Bild:
Was kann man aus dem Bild ablesen?
Das sind die simulierten Winrates von 20 Leuten, die alle gleich gut spielen.
(Sie haben alle die gleiche "tatsächliche" Winrate, den gleichen Erwartungswert)
Nur durch Varianz hat der eine Coach über die letzten 100000 Hände ca. -0,1BB/100 gespielt und der andere +4,1BB/100.
Zum selber ausprobieren:
http://pokervariancesimulator.fr/wr.html
(für SSS gute Werte: Winrate 2$/100, SD: 32 $/100)
Aus obigen Bild kann man übrigens auch ablesen, dass ca. einer von 20 Leuten, die diesen Thread lesen, seine nächsten 100000 Hände lediglich breakeven oder schlechter spielen wirst - denkt mal drüber nach 
Fazit: Es bringt nicht sehr viel, einen potentiellen Coach nach seiner Winrate über die letzten 100k Hände zu fragen (oder bei PTR nachzuschaun): Du wirst nicht sehr viel mit der Antwort anfangen können, ob sie nun 0,1bb/100 ist, oder 4,1bb/100.
Außerdem: Es ist ziemlich unsinnig, sich als Monatsziel eine Winrate von beispielsweise 1bb/100 vorzunehmen: Genau so gut könnte man sich vor einem Würfelwurf "vornehmen" keine 6 zu würfeln.
(siehe auch aktuell wieder hier gleich im allerersten Post. ♠_cool: )
Wie hoch ist die Varianz bei der SSS?
Original von goldenprofiler
Standardabweichung von 32 erscheint mir zu hoch. Würde schließlich eine Varianz (SD^2) von 1024 bedeuten.
Varianz ist eine quadratische Größe und damit immer "groß". (Varianz ist der Erwartungswert der quadratischen Abweichung vom Erwartungswert; SD ist die Wurzel davon.)
der SD-wert ist aus HM übernommen.
Die Standardabweichung ist aber bezogen auf 100 Hände (genau wie die winrate, sonst würden die werte ja nicht zusammenpassen).
SD von 32 bei ner winrate von 2 bedeutet beispielsweise, dass du nach 100 Händen mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% zwischen -62bb und +66bb stehst.
Ist meiner Meinung nach nicht unrealistisch.
Die Varianz eines SSSlers auf NL400 würd möglicherweise höher sein als die eines NL10-Spielers, weil er marginalere Spots ausnutzen muss, um profitabel zu sein.
Andererseits kann die Unberechenbarkeit einiger NL10-Fische auch zu höherer Varianz bei uns führen.
Meinen eigenen Werten nach wird der Wert aber tatsächlich zwischen 28 (NL25) und 34 (NL1k) liegen.
Wie wahrscheinlich verliere ich auf 100k Hände? Was ist mit 300k?
Original von dardanos
kannst du dazu noch ein bisschen mehr erzählen, wie ich das auf 100k hände ummünzen kann und so?
Also:
Wir haben Experiment X, das sind 100 Pokerhände.
X hat einen Erwartungswert EW und Standardabweichung SD.
Ich nehm mal wie oben EW = 2 und SD = 32 (gemeint sind bb/100).
Dann hat nX (das n-fache Wiederholen von X) den Erwartungswert n*EW und die Standardverteilung sqrt(n)*SD [sqrt = Wurzel].
Falls eine Zufallsgröße wie X normalverteilt ist, gilt z.B. (siehe Wikipedia "Standardverteilung"), dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 95,4% das Ergebnis im Intervall EW+-2*SD liegt.
Das heißt mit einer Wahrscheinlichkeit von 2,3% liegt das Ergebnis unter EW-2*SD.
Übrigens sind für jedes Zufallsexperiment dessen aufsummierte Wiederholungen betrachtet immer annähernd normalverteilt, vorausgesetzt man wiederholt sie nur genügend oft.
Beispiel: Ein Würfelwurf ist gleichverteilt: Jedes Ergebnis hat die gleiche Wahrscheinlichkeit aufzutreten.
Die Summe von 1000 Würfelwürfen liegt mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit bei 3500 und nur mit verschwindend geringer Wahrscheinlichkeit bei 1000.
Die Summe von 1000 Würfelwürfen ist annähernd normalverteilt.
(irgendwo auf 2+2 hab ich mal gelesen, dass 100 Pokerhände nicht wirklich gut normalverteilt sein sollen, sondern erst 1000 Pokerhände, aber die obige Abschätzung aus Wikipedia dürfte mMn trotzdem annähernd richtig sein.)
Beispiel:
n=1000 (-> 100k Hände)
EW = 2
SD = 32
Also: mit einer Wahrscheinlichkeit von 2,3% liegt man nach 100k Händen unter -23.
Wenn man bedenkt, dass der EW bei 2000 liegt, praktisch breakeven.
Mit meiner obigen Schätzung von 5% für breakeven nach 100k Hände lag ich also größenordnungsmäßig gar nicht soo weit daneben.
Weiteres Beispiel wie man die Breakeven-Wahrscheinlichkeit ausrechnen kann:
(siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_Standardnormalverteilung )
n=3000.
n*2=6000
sqrt(n)*32=1750
P(nX <= 0) = P ( (nX-6000)/1750 <= (0-6000)/1750 ) = PHI((0-6000)/1750) = PHI(-3.43) = 1-PHI(+3.43) = 1-0.9997
Den PHI-Wert liest man da aus dieser Tabelle von Wikipedia ab oder bemüht einen Taschenrechner, der das kann.
Ergebnis: Mit einer Wahrschenlichkeit von 0,03% bin ich nach 300k Händen breakeven oder schlechter.
Das Bild zeigt die Wahrscheinlichkeit, nach 20k bis 300k Hände mit Verlust dazustehen.
Noch ein Beispiel:
Angenommen ich will von diesen 300k Händen, in denen ich ja erwarte 6000 (bb) zu verdienen, 3000 bb für die Miete eines Halbjahres aufbringen.
P(nX <= 3000) = PHI(-1,7) = 1-0,955.
D.h. mit einer Wahrscheinlichkeit von 4,5% kann ich meine Miete nicht bezahlen.
Wie hoch ist eigentlich mein eigener Erwartungswert?
Interessant ist auch diese Herangehensweise:
Ich habe 300k Hände gespielt mit einer bestimmten Winrate WR (also Gewinn/3000).
In den obigen Beispielen bin ich ja davon ausgegangen, dass ich die "tatsächliche Winrate" EW kenne, dem ist aber nicht so.
Die 2bb/100, die hier verwendet wurden, dürften aber wohl für den durchschnittlichen Wininng-SSSler hinkommen.
Man kann aber theoretisch ausrechnen, in welchem Intervall um WR meine eigene tatsächliche Winrate EW mit hoher Wahrscheinlichkeit liegt.
Aber da wohl kaum jemand 300k Hände auf demselben Blindlevel und ohne Spielveränderungen spielen wird, spar ich mir die Berechnungen dazu lieber.
Diese Berechnungen werden dann auch durchaus kompliziert, wenn man keine unrealistischen Ergebnisse erhalten will.
Angenommen ich spiele in 100k Händen mit 4bb/100. Nun könnte ich recht naiv ausrechenen, mit welcher Wahrscheinlichkeit wohl mein tatsächlicher Erwartungswert zwischen 2bb/100 und 6bb/100 liegt.
Bei dieser naiven Rechnung würde man annehmen, dass ich tatsächlich genauso mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ein 6bb/100-Spieler oder ein 2bb/100 Spieler sein könnte.
Diese Annahme ist aber falsch, da vermutlich kein SSSler tatsächlich einen Erwartungswert von 6bb/100 haben wird, sondern der Großteil der SSSler eher bei 1-3bb/100 liegen wird.
Man müsste also irgendwelche Schätzungen über die Erwartungswert-Verteilung unter den SSSlern einfließen lassen, um zuverlässigere Aussagen zu erhalten.
Abgesehen davon schätzt man ja die tatsächliche Winrate bei der SSS sowieso eher anhand der All-In-EV-Kurve und diese hat eine viel geringere Varianz als die Winnings-Kurve; den Wert dieser Varianz kenne ich aber nicht, weil HM ihn nicht anzeigt.
Ohne diesen Wert wird es also ohnehin schwer, diese Frage wirklich zuverlässig zu beantworten.
Wie wahrscheinlich muss ich mit einem 100-Stack-BRM absteigen?
Man muss absteigen, wenn man ab dem Aufstiegszeitpunkt 50 Stacks (also 1000bb) verloren hat. Wit welcher Wahrscheinlichkeit geschieht das?
Diese Frage kann man recht leicht mit der sogenannten Risk-Of-Ruin-Formel beantworten.
Sie lautet (für normalverteilte Zufallsvariabeln, dazu siehe oben):
R(BR) = e^(-2*EW*BR/SD^2)
In unserem Beispiel:
BR = 1000
EW = 2
SD = 32
Ergebnis: Mit einer Wahrscheinlichkeit von e^(-4000/1024) = 2,0%.
Das Bild zeigt den Risk Of Ruin, also die Wahrscheinlichkeit ein bestimmtes Startkapital zu verlieren, für 100bb bis 2000bb.
Das beantwortet aber nicht die Auftrittswahrscheinlichkeit eines 50-Stacks-Downswing zu irgendeinem Zeitpunkt, sondern nur zu einem festen Zeitpunkt.
Tatsächlich wird ein 50-Stack-Downswing mit einer Wahrscheinlichkeit von 100% irgendwann auftreten.
Wie wahrscheinlich ist ein 50-Stack-Downswing innerhalb der nächsten 100k?
Für einen Samplesize t (t=1000 für 100k Hände) suchen wir die Wahrscheinlichkeit P(T < t) wobei T das Eintreffen des ersten Downsings von der Größe BR (z.B. BR = 1000 bb) ist.
Auch dafür gibt es (für "große" BR) eine Formel:
P(T < t) = 1 - e^{-2*t*EW^2/(SD^2*(e^{2*BR*EW/SD^2} - 1) - 2*BR*EW)}.
(deren Begründung habe ich ehrlich gesagt noch nicht verstanden, also wenn die jemand weiß bitte Erklärung posten, thx, Quelle: http://archives1.twoplustwo.com/showthreaded.php?Cat=0&Number=9697578&page=0&vc=1 )
Beispiel:
t = 1000 (100k Hände)
BR = 1000
EW = 2
SD = 32
Ergebnis: P(T < 1000) = 16%.
Das Bild zeigt die Auftrittswahrscheinlichkeit eines 1000bb-Downswings von 20k bis 300k Hände.
Sind noch irgendwelche Fragen ähnlicher Art offen?
