Mathematical Concepts for No-Limit Holdem (4) - Bluffequity & G-Bucks

Einleitung

In diesem Artikel

• Die Equity einer 5-Bet
  
• Bluffequity
  
• Die G-Bucks-Analyse
  

Im vierten und letzten Teil sollen nach den Bluffs noch spezielle Anwendungsbeispiele sowie eine alternative Analyseform folgen: die G-Bucks.

5-Bet-Analyse

Im letzten Teil wurde unter anderem die Bluff-4-Bet preflop behandelt. Du hast gesehen, mit welchen Händen du eher 4-bet/call oder 4-bet/fold spielen solltest. Eine besondere Stellung innerhalb dieser Analyse hatten die Pocketpairs mit ihrer recht hohen Equity.

In diesem Abschnitt soll nun als möglicher Konter gegen 4-Bets die 5-Bet als Bluff behandelt werden. Dabei ist sofort klar, dass es sich hier um keinen puren, sondern einen Semibluff handelt.

Du wirst in Situationen mit etwa 100BB effektiven Stacks nicht 5-betten und dann noch folden können, deine Equity spielt also auch hier eine entscheidende Rolle. Eine kurze Überschlagsrechnung soll den Ansatz veranschaulichen: Ein häufiger auftretendes Szenario Heads-Up beinhaltet eine 3-Bet von 12BB sowie eine 4-Bet von 28BB. Wie viel Foldequity würde ein All-In des 3-Betters benötigen, um bei 35% Equity einen neutralen Erwartungswert zu haben?

EV = 0 = pFold*(12+28)BB + (1-pFold)*(0.35*112-0.65*88)BB
0 = pFold*40BB - (1-pFold)*18BB
pFold = ~0.3

In diesem speziellen Szenario muss der 4-Better also nur in etwa einem von drei Fällen folden, um einen Rebluff profitabel zu machen. Um später darauf zurückgreifen zu können, auch hier eine kurze Wiederholung zu Preflopequitys:

Kleine Paare haben offensichtlich eine recht gute Equity, auch gegen tighte Ranges. Das war auch schon bekannt. Weiter bietet sich gegen etwas loosere Ranges natürlich auch eine starke Hand wie AQ an. In diesem Abschnitt nicht diskutiert wird der Card-Removal-Effekt: AQs hat gegen die TT+, AQ+ Range auch etwa 35% Equity, wie ein kleines Paar.

Der Card-Removal-Effekt spricht natürlich dafür, AQs anstelle von 55 zu pushen, da mit AQs die "TT+, AQ+ Range", wie im letzten Artikel gezeigt, rund 30% unwahrscheinlicher ist als mit 55. Ähnliches gilt für A2s, wobei der Card-Removal-Effekt hier nicht so stark zu Buche schlägt und die deutlich schlechtere Equity im Vergleich zu Pockets diese insgesamt zu besseren Kandidaten macht.

Auch nicht mehr berücksichtigt wurden mögliche andersartige All-In-Ranges:

Gegen einen Spieler, der sehr viele Pockets und nur wenige Broadways vor dem Flop reinstellt, bietet es sich natürlich an, auch selbst auf stärkere Paare zurückzugreifen. Der Grund dafür ist einfach: Solange du das Paar auf eine 4-Bet nicht callen aber dennoch 5-betten möchtest, hat gegen eine Range, die keine Pockets kleiner als dein eigenes enthält, ein kleines und ein großes Pocket etwa die gleiche Equity (22 vs. TT+, AQ+: 36% Equity, 99 gegen die selbe Range 37% Equity).

Enthält die Range allerdings auch nur selten kleinere Pockets, steigt deine Equity enorm an (22 vs. 88+, AQ+: 36% Equity, 99 gegen die selbe Range 41% Equity). Es gibt also zwei Fälle: Entweder beide Hände haben dieselbe Equity, oder 99 ist besser. Damit ist klar, für welche Hand du dich entscheiden solltest.

SH, 100BB Stacks

Preflop: Hero is BU with XY
CO raises 3.5BB, Hero raises 11BB, 2 folds, CO raises 28BB, Hero is All-In

In etwa die vorher in der Abschätzung verwendete Situation. Der Erwartungswert für Hero lässt sich in Abhängigkeit seiner Equity sowie der vorhandenen Foldequity für sein All-In geschlossen angeben als:

EV = pFold*40.5BB + (1-pFold)*(Equity*112.5-(1–Equity)*89)BB

Fordert man nun wie eigentlich immer in dieser Analyseform, dass der EV = 0 sein soll, lässt sich die Gleichung zum Beispiel für pFold auflösen. Man bekommt pFold als Funktion der (hier festen) Stack- , Raisegrößen sowie der Equity, diese lässt sich natürlich auch als Graph darstellen.

pFold = (112.5*Equity-89*(1–Equity)) / (112.5*Equity-40.5–89*(1-Equity))

Diese Funktion im relevanten Bereich einer Equity von 25% bis 45% Equity dargestellt, sieht wie folgt aus:

Für eine Equity größer als 45% macht eine Auswertung keinen Sinn mehr, da eine negative Foldequity kein realistisches Ergebnis darstellt, der Bereich unter 25% Equity ist auch nicht relevant, da du in den meisten Fällen mehr als diese haben solltest. Einige exakte Werte sind:

• pFold ( 25% Equity ) = 0.48
• pFold ( 30% Equity ) = 0.41
• pFold ( 35% Equity ) = 0.31
• pFold ( 40% Equity ) = 0.17

Wie zu erwarten, variiert die benötigte Foldequity in Abhängigkeit deiner Equity, du benötigst in dieser Situation mit einer Semibluff Hand also zwischen etwa 32% und 25% Foldwahrscheinlichkeit.

Auch möglich ist die Analyse des Einflusses der Stacksizes der beteiligten Spieler. Dafür wird in der Formel für den Erwartungswert schlicht der Term

Equity*112.5BB - (1–Equity)*89BB

modifiziert. Auch hier lassen sich wieder Funktionen bilden und darstellen, einige Beispiele sind hier gegeben:

Von unten nach oben die effektiven Stacksizes in BB: ( 90, 100, 110, 120, 130 ), sowie der charakteristische Wert der benötigten Foldequity bei einer eigenen Equity von 35% für die einzelnen Stacksizes:

• pFold(35% Equity, 90BB Stacks) = 27%
• pFold(35% Equity, 100BB Stacks) = 31%
• pFold(35% Equity, 110BB Stacks) = 34%
• pFold(35% Equity, 120BB Stacks) = 37%
• pFold(35% Equity, 130BB Stacks) = 40%

Dass die benötigte Foldequity mit größeren Stacks steigt, war klar. Allerdings ist der Anstieg meiner Ansicht nach geringer, als viele Spieler für 130BB bereit sind All-In zu gehen. Häufig wird ein Spieler mehr als das 1.48-fache für 90BB preflop All-In bringen, als für 130BB. Dieses Verhältnis (27/40) bestimmt aber genau die Profitabilität des Bluffs.

Gleichzeitig ist es aber so, dass auch viele Spieler für 130BB mehr 4-Bet-bluffen als für 100, eben weil sie erwarten, dass deine Range auch um einiges tighter sein wird und sie sich somit mehr Foldequity geben. Hier ist also ein Ansatzpunkt, in welchem das mathematisch gefundene Konzept direkt Einzug in das Spiel am Tisch halten könnte. Ob du nun für 130BB preflop 5-Bet-bluffen möchtest, bleibt natürlich weiterhin dir überlassen.

Zuletzt soll noch der Einfluss, den die unterschiedlich denkbaren Raisingsizes vor dem Flop machen, diskutiert werden. Wir erwarten: je kleiner die 4-Bet, desto größer die Foldequity (bei gleicher Equity). Genau das ergibt sich natürlich auch:

Von oben nach unten:

2.5BB → 8BB → 20 BB;

3.5BB → 11BB → 28BB;

4BB → 14BB → 32BB

Auch hier wieder die Beispielwerte für Equity=35%:

2.5BB open → pFold = 42%,
3.5BB open → pFold = 31%,
4BB open → pFold = 24%.

Wie man sieht ist der Einfluss der Raisingsize recht stark. Wieder ein möglicher Ansatz zu Variationen im eigenen Spiel ist hier ein aufmerksames Beobachten von Statistiken zum 4-Bet/Fold Verhalten von Spielern mit unterschiedlichen Raisingsizes.

Einige Spieler werden sich dieser Tatsache nicht zwingend bewusst sein, da ja auch die 4-Bet mit 32BB nicht übermäßig groß ist. Gleichzeitig solltest du dir natürlich dieses Umstandes bewusst sein. Einfluss auf dein Spiel braucht er jedoch nur zu nehmen, wenn deine Gegner auch Kenntnis davon haben - gegen schlechte Spieler für die das nicht der Fall ist, brauchst du natürlich nichts zu ändern.

Bluff vs. 2nd Barrel

Das Prinzip der 2nd Barrel ist sicher bekannt: Oft ist damit gemeint, einen Bluff zweimal aggressiv zu spielen. Da der Begriff ursprünglich von der zweiten Continuationbet am Turn kommt, wird durchaus auch einfach diese Bet als 2nd Barrel bezeichnet, ungeachtet der Hand des Aggressors. Oft handelt es sich bei dieser Bet auch um eine Hand, die bet/fold spielt. Eine möglicherweise erhöhte Frequenz dieses Spielzuges am Turn soll Grundlage für die Analyse folgender Situation sein:

SH, 100BB Stacks

Preflop: Hero is BU with A, T, CO has K, Q
CO raises 4BB, Hero calls 4BB , 2 folds

Flop: (9.5 BB) 6, Q, 5 (2 players)
CO bets 8BB, Hero calls 8BB

Turn: (25.5 BB) 9 (2 players)
CO bets 17BB, Hero raises 50BB

Außer Frage steht natürlich, dass Hero seine Hand auch anders spielen kann. Ein Raise am Flop ist ebenso denkbar wie ein Call am Turn oder eine 3-Bet preflop. Darum soll es hier aber nicht gehen, der Fokus soll auf Heros Raise am Turn liegen. Dazu muss in diesem speziellen Beispiel, aber auch allgemein klar sein: Dies macht als Bluff oder Semibluff nur Sinn, solange Hero auch made Hands so spielen kann und das auch würde.

Ansonsten ist seine Range dermaßen in Richtung Bluffs polarisiert, dass er zu leichte Calls von Händen bekommen kann, die er eigentlich aus der Hand verdrängen möchte. Ist dies allerdings der Fall, bietet es sich durchaus an, diesen ungewöhnlicheren Semibluff zu analysieren:

Der Erwartungswert ist, wie in jedem Fall eines Semibluffes wie folgt gegeben:

EV = pFold * 42.5BB + ( 1 – pFold ) * ( 0.2 * 113.5 BB – 0.8 * 88BB )

Unter der Annahme von rund 20% Equity gegen eine Range mit der CO am Turn shoved, kann Hero damit auch nicht mehr auf den Push folden und der EV ist somit korrekt dargestellt. Ein Umstellen der Gleichung zu pFold für EV=0 ergibt eine minimale Foldequity von 53%. Ist dies im Beispiel erreichbar?

Hier sei explizit auf den Beispielcharakter hingewiesen: Es ist nicht das Ziel in diesem Artikel ein perfektes Handreading zu betreiben, sondern vielmehr den Charakter dieser und ähnlicher Analysen darzulegen. Es wird hier eine mögliche Bettingrange sowie eine mögliche All-In-Range angegeben und daraus eine Abschätzung für pFold erhalten. Wer die Ranges anders wählen möchte, ist selbstverständlich dazu eingeladen mit anderen Ranges eine Foldwahrscheinlichkeit zu berechnen und ein anderes Ergebnis zu erhalten.

Eine mögliche Range könnte wie folgt aussehen: CO bettet am Turn Toppair+, also etwa QT, QJ, KQ, AQ, 55, 66, 99, AA, KK, QQ. Das wären 63 mögliche Kombinationen. All-In gehen wird CO am Turn mit Sets und Overpairs, also 55, 66, 99, KK, QQ, AA. Das wären 21 mögliche Kombinationen. So ergäbe sich die Foldwahrscheinlichkeit zu 1-21/63 = 67%.

Nähme man beispielsweise noch 56s und Q9 in seine Betting- und All-In-Range auf, ergäben sich 63+3+9 = 75 Kombinationen für die Turnbet sowie 21 + 9 + 3 = 33 für das All-In. Auch hier wäre der Semibluff noch knapp +EV mit einer Foldequity von 1-33/75 = 56%. Nicht beachtet wurden zu Ungunsten von Hero weitere mögliche Bet/Folds von CO mit z.B. TT, JJ, 9X oder schwächeren Draws (hier handelt es sich zwar um eine Hand die Hero schlägt, trotzdem profitiert Hero absolut von ihrem Fold).

Hierzu ein Beispiel mit einer weiteren Variation:

SH, 100BB Stacks

Preflop: Hero is BU with T, 9
MP raises 4BB, CO folds, Hero calls 4B, 2 folds

Flop: (9.5 BB) 8, Q, 3 (2 players)
MP bets 6BB, Hero calls 6BB

Turn: (21.5 BB) 7 (2 players)
MP bets 13BB, Hero raises 38BB

Wie vorher auch könnte Hero selbstverständlich überall anders spielen, tut er aber nicht. Analysiert werden soll der Semibluff am Turn. Allerdings ist hier ein Umstand anders: Hero hat gegen eine All-In-Range nur etwa 18% Equity, benötigt aber etwa 26% für einen Call gegen einen Push von MP. Der Erwartungswert dieses Moves wird also stark davon abhängen, wie oft MP am Turn nur callt und wie oft er direkt reraist.

Nimmt man der Einfachheit an, dass MP am River niemals foldet, falls er den Turn nur callt (er hat etwa 50BB im 100BB Pot übrig), ergibt sich der Erwartungswert als Funktion der Foldwahrscheinlichkeit und der Wahrscheinlichkeit eines All-Ins zu:

EV = pFold*34.5BB + (1–pFold)*[-p(Push)*38+(1-p(Push))*(0.18*111.5–0.82*38)]BB

Hero verliert für den Fall eines Misses nur 38BB, gewinnt aber den ganzen Pot zuzüglich des Reststacks von MP im Fall des Treffers. Für EV=0 lässt sich die Beziehung zwischen der Foldwahrscheinlichkeit und der All-In Wahrscheinlichkeit einfach darstellen als:

Charakteristische Werte sind hier:

• pFold(p(Push)=1)=52%
• pFold(p(Push)=0.5)=42%
• pFold(p(Push)=0)=24%

Dies bedeutet offensichtlich: Pusht dein Gegner keine Hand, die er weiterspielen will, benötigst du nur einen Fold in einem von 4 Fällen. Geht er immer All-In, ist der EV deines Draws der jeder anderen Hand und du brauchst den Fold in etwa 50% der Fälle.

Hier wäre nun die Frage, wie oft dein Gegner bet/fold spielt, wie oft bet/call und wie oft bet/3-bet. Hat Hero in einer ähnlichen Situation keine Position auf den Gegner, kann sich dies sogar noch positiv auswirken: Der Gegner wird noch unwahrscheinlicher All-In gehen, da er auf einem Board wie hier vermeintlich nicht zu protecten braucht und auch sicher sein Geld am River All-In bekommt.

Weiter soll hier aber keine Range angeben werden, sondern wir belassen es bei den Zahlenwerten. Wer sich dafür interessiert, spielt am besten selbst ein wenig an möglichen Ranges und kann entscheiden, ob es sich um einen spielbaren Move handelt oder nicht.

Weitergeführte Bluffs

Ein wichtiges Konzept, welches sich auch mathematisch greifen lässt, ist folgendes. Entsteht im Laufe einer Hand eine Bet, welche in sich profitabel ist, so sind alle Aktionen die sie herbeiführen +EV.

Das bedeutet: Eine Continuationbet am Flop kann für sich genommen problemlos einen negativen Erwartungswert haben, solange sich durch sie oft genug eine profitable Bet am Turn ergibt. Die Gründe dafür sind schlicht die einzelnen Werte in Fallunterscheidungen in der Formel des Erwartungswertes: Werden genug (oder alle) von diesen durch einen Einsatz positiv, so wird auch der gesamte Erwartungswert positiv, ungeachtet deiner Hand.

Ein wichtiger Faktor auf diesem Teil sind die so genannten Bluff-Outs. Ohne extra erwähnt zu werden, waren sie in Beispiel 3 schon vorhanden. Die 9 am Turn hat einen möglichen OESD completed. Hero hält ihn zwar nicht, die Foldequity am Turn sollte allerdings bei einer solchen Karte durchaus ein klein wenig höher sein, als bei einer 2. Auch hier soll mit einem Beispiel gearbeitet werden:

SH, Hero mit 100BB

Preflop: Hero is UTG with XY
Hero raises 4BB, 2 folds, BU calls 4B, 2 folds

Flop: (9.5 BB) 5, 3, 5 (2 players)
Hero bets 6BB, CO calls 6BB

Welche Hand Hero hat, soll in dieser Analyse keine Rolle spielen. Die benötigte Foldequity liegt hier bei 39% für eine Bet mit dem EV=0. Je nach Callingrange vor dem Flop und seinen Blufffrequenzen auf solchen Flops sind diese oft nicht vorhanden und die Bet für sich genommen ist -EV. Das Spiel geht nun wie folgt weiter:

Turn: (21.5 BB) X (2 players)
Hero bets 14BB, CO calls 14BB

River: (49.5 BB) X (2 players)
Hero bets 28BB

Die Riverbet ist im Verhältnis zum Pot etwas kleiner als die Flopbet, hier braucht Hero etwa 39% Foldequity. Die Frage ist nun, kann Hero dies realistischerweise erwarten?

Die Antwort auf diese Frage wird natürlich stark vom Verhalten des speziellen Gegners abhängen. Trotzdem kann man die Wahrscheinlichkeiten für unterschiedlich starke Hände beim CO beleuchten:

Wird davon ausgegangen, dass er TT+ preflop 3-betten würde, verbleiben für ihn entweder Trips/Full House oder 9s up. Schon 99 ist mit seiner stärksten Hand am Flop bis zum River leider zu einem Bluffcatcher verkommen, außer einem Herocall bleibt ihm keine Begründung drei Barrels zu callen.

Als Beispielrange soll CO hier 22-99 halten. Wie oft hat er jetzt eine starke Hand? Es bleibt eine Kombination für 55 sowie drei für 33. Dem gegenüber stehen 6*6 = 36 Kombinationen für ein simples Twopair. Am Flop hält er also in etwa in einem von 10 Fällen eine starke Hand, die auch am River noch locker callen/raisen kann. In 9 von 10 Fällen hält er eine Hand am Flop, die am River ein Bluffcatcher ist, wenn ihm weder der Turn noch der River geholfen haben.

Dieses Faktum hängt stark damit zusammen, dass der Flop einfach enorm schwierig zu treffen ist und Villain schlicht statistisch gesehen so gut wie niemals eine starke Hand hat, Hero allerdings eine breitere Range repräsentieren kann (TT+ wäre durchaus for Value zu betten).

Selbstverständlich wird sich COs Range bis zum River ausdünnen, dennoch gibt es einige Spieler, gegen welche eine 3-Barrel hier (obwohl wenn mit any two gespielt, nicht zu balancen) profitabel ist. Die Knackpunkte hierbei sind natürlich folgende Fragen:

• Wie oft foldet Villain schwache Hände am Flop und Turn?
• Wie oft macht er am River den Herocall?

In diesem Zusammenhang bietet es sich auch an, noch einmal die Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Karten an Turn oder River zu betrachten. Teilweise könnte es sich anbieten, zum Beispiel nur beim Fallen einer Scarecard den Turn (und den River) zu betten. Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich schnell berechnen.

Nehmen wir als Scarecards J+, die Wahrscheinlichkeit eine der 16 gewünschten Karten zu treffen, ergibt sich somit zu 16/49 = 0.32.

Die Wahrscheinlichkeit, bis zum River eine der 16 Karten zu sehen, beträgt damit 16/49 + ( 1-16/49 ) * 16 / 48 = 0.55!

Ein ähnliches Szenario ließe sich auch in einigen Fällen auf monochromen Boards konstruieren. Der Ansatz ist entweder die Tatsache, dass dein Gegner nur sehr selten eine Hand hat, die gegen deine Valuebettingrange bestehen kann, oder die Möglichkeit auf Karten weiter aggressiv spielen zu können, die du nicht getroffen hast (Stichwort Bluffouts).

G-Bucks

Der letzte Teil dieser Serie ist den so genannten G-Bucks oder Galfond Bucks gewidmet. Der Begriff taucht meines Wissens zuerst in einem Artikel von Phil Galfond im Bluff Magazine vom April 2007 auf, in welchem er auch den Begriff selbst einführt. Es handelt sich dabei um eine bestimmte Form der Analyse, welcher die Berechnung eines ganz bestimmten Erwartungswertes zugrunde liegt.

In Showdownsituationen betrachten die G-Bucks den Erwartungswert der konkreten Hand deines Gegners gegen Heros gesamte Range. (Phil Galfond rechnet in seinem Artikel ein klein wenig anders, kommt aber zu beinahe demselben Ergebnis; es stellt sich nur die Frage, ob Kombinationen in Heros Range, die von der gegnerischen Hand blockiert werden, explizit berücksichtigt werden oder nicht).

Die Analyseform ist auch an die bekannten Sklansky-Bucks angelehnt. Diese betrachten prinzipiell den Erwartungswert anstelle des Ergebnisses. Da die Abweichungen vom Erwartungswert sich auf lange Sicht herausmitteln, stellt dies eine um diese Abweichungen bereinigte Analyse dar. In einer einzelnen Hand ergeben sich dennoch nur begrenzt gute Resultate, da ein wichtiges Grundkonzept des Poker dabei verletzt wird: Spieler spielen mit Ranges von Händen, nicht mit einzelnen Händen. Die perfekte Analyse nähme den Erwartungswert, den die Ranges der beteiligten Spieler gegeneinander hätten.

In dieser Richtung haben wir auch oft gearbeitet, wenn wir in Berechnungen versucht haben, einzelnen Spielern Ranges zuzuweisen. Ein großes Problem tut sich dabei jedoch auf: Man trifft Annahmen. Du kannst in jeder Situation nur sagen “Ich glaube die Range des Gegners sieht so und so aus” - wissen tust du es nicht.

Phil Galfond eliminiert deswegen die gegnerische Range aus der Analyse und kommt somit zu einer Analyseform mit vollständiger Information: Betrachtet wird die eigene Range (die du ja kennst) gegenüber der gegnerischen Hand (die er ja offensichtlich hatte). Die G-Bucks ergeben sich nun zu dem Erwartungswert der bekannten Range gegen die bekannte Hand. Ein einfaches Beispiel hierzu:

SH, Hero mit 20BB

Preflop: Hero is MP with A, K, UTG with 7, 7
UTG raises 4BB, folds, Hero raises 20BB, folds, UTG calls 16BB

Warum auch immer Hero nur 20BB am Tisch hat, warum auch immer UTG so spielt wie er spielt, es handelt sich um ein Beispiel. Das Ergebnis für Hero wird sehr selten +-0 abzüglich Rake, in allen anderen Fällen +21.5BB oder -20BB sein. Klar ist, dass jede genauere Analyse einen Wert zwischen den Extrema ergeben wird. Der EV dieses All-Ins ist:

EV=-0.523 * 20BB + 0.477 * 21.5BB = -0.2BB

Tendenziell also +-0, tatsächlich sogar leicht negativ. Ist es deswegen falsch, All-In zu gehen? Wohl eher nicht würde zumindest mein Gefühl als Pokerspieler sagen. Um die G-Bucks berechnen zu können, muss Hero sich selbst eine Range geben. Diese sei TT+, AQ+. Gegen diese Range hat 77 nur etwa 37% Equity. Die G-Bucks für Hero ergeben sich also zu

0.63*21.5BB – 0.37 * 20BB = 6.145BB

Hero macht also einen +G-Bucks Move. Auch kann das durchschnittliche Ergebnis von UTG gegen Heros Range betrachtet werden, es ergibt sich zu 0.37*25.5 – 0.62 * 16 = -0.645BB.

Dennoch macht er gegen Heros Range einen kleinen Fehler. Würde Hero AQ nicht oder nicht immer pushen, würde dieser Fehler sogar noch deutlich größer. Für eine mögliche Range von Hero mit TT+, AQs+, AK ergäbe sich der Wert für Hero zu 7.8BB der des UTG zu -2.3BB.

Was die G-Bucks-Analyse berücksichtigt, sind Fälle, in denen das Ergebnis stark dadurch beeinflusst wird, dass Hero eine Hand an einem Extremum seiner Range hat. Was die G-Bucks-Analyse dagegen nicht berücksichtigen kann, ist Folgendes:

Hat UTG in dieser Situation z.B. AA, wird er offensichtlich G-Bucks verdienen und Hero G-Bucks verlieren, aufgrund seiner extrem starken Hand. Dennoch ist das Ergebnis zu spieltheoretischen Analysen oft brauchbarer, als der simple Erwartungswert zweier Hände gegeneinander. Speziell wenn es um das Balancing geht, leisten die G-Bucks gute Dienste.

SH, 100BB Stacks

Preflop: Hero is BB with Q, K, BU with A, T
BU raises 3BB, SB folds, Hero calls 2BB

Flop: (6.5 BB) A, J, 5 (2 players)
Hero checks, BU bets 4.5BB, Hero raises 15BB, BU calls 10.5BB

Turn: (36.5 BB) 3 (2 players)
Hero checks, BU checks

River: (36.5 BB) 8 (2 players)
Hero bets 29BB, BU calls 29BB

Analysiert werden soll die Riverbet. Hero könnte wohl jede Straße anders spielen, dennoch ist die Line, die Hero spielt, nicht vollkommen abwegig. Die Frage ist, ob Hero hier einen sinnvollen Bluff am River macht oder nicht. Die Antwort hängt selbstverständlich von Heros Range ab, mit welcher er hier preflop, am Flop, Turn und River so spielt.

Zwei Szenarien sollen betrachtet werden:

• a) Hero spielt jeden Gutshot mit suited Broadways (9 Kombinationen) sowie all seine Flushdraws so (78, 89, T9, QT, KQ, KT entspricht 6 Kombinationen)
• b) Hero spielt seine Gutshots in 50% der Fälle so wie gespielt (4.5 Kombinationen), seine Flushdraws immer (6 Kombinationen) sowie zusätzlich in 33% der Fälle 55, AJ und 0.5 Kombinationen A5s (Discount wegen preflop) wie gespielt (1 + 3 + 0.5 Kombinationen).

Im Fall a) wird Button von 6 Händen geschlagen und schlägt 9 Hände. Da er 29BB in einen 36.5BB Pot zum Showdown callt, ergibt sich das Ergebnis für ihn zu:

9/15*(36.5+29)BB – 6/15*29BB = 27.7BB

Der Button verdient also mit seinem Call massig G-Bucks und macht in keiner der betrachteten Analyseformen einen Fehler mit seinem Call am River. Hero hat schlicht zu selten einen Flushdraw, um hier profitabel bluffen zu können, sollte er all seine Gutshots bluffen. Hero selbst verdient übrigens aufgrund des Dead Money im Pot auch G-Bucks, allerdings mit 8.8BB deutlich weniger als BU. Das Ziel sollte aber sein, BU wenigstens vor eine knappe Entscheidung zu stellen (Hier hat er ja ein Risk-Reward-Ratio von fast 100%).

Im Fall b) sieht die Sache anders aus. Hero hat auch insgesamt 15 Kombinationen gespielt, von denen BU allerdings nur 4.5 und nicht 9 schlägt. Die G-Bucks für BU ergeben sich demnach also zu

4.5/15*(36.5+29)BB – 10.5/15*29BB = -0.65BB

In dieser Situation hat Button also einen leicht negativen G-Bucks-Call und eine deutlich schwierigere Entscheidung gegen Heros Range. Wie du also siehst, eignet sich die G-Bucks-Analyse besonders, um das eigene Balancing unter die Lupe zu nehmen.

Ein Wort zum Abschluss zu G-Bucks. Was diese auch nicht leisten, ist in dieser einfachen Form das berücksichtigen von Implieds beziehungsweise Reverse Implieds. Es kann also durchaus die richtige Entscheidung sein, die potentiell beste Hand zu folden, obwohl man auf einer direkten Strasse G-Bucks gewinnen könnte, wenn es zu wahrscheinlich ist, auf den kommenden einen größeren Betrag zu verlieren (out of Position mit einer schwierig zu spielenden Hand oder einen sehr starken Gegner mit großen Implieds).

Umgekehrt kann es natürlich in anderen Fällen sinnvoll sein, auf einer Strasse gegen die G-Bucks zu spielen. Zum Beispiel wenn der Gegner schlecht, die Position gut, die Hand einfach zu spielen ist oder die Implieds einfach sehr viel größer, als mögliche Reverse Implieds sind.

Zusammenfassung

Dies war der letzte Abschnitt im letzten Teil der Serie „Mathematical Concepts for NL-Holdem“. In vier Teilen hast du neben einigen mathematischen Grundlagen viele Rechnungen rund um das No-Limit Holdem kennen gelernt. Dir wurden in unterschiedlichsten Szenarien Beispiele vorgestellt und diese ausführlich vorgerechnet.

Ich hoffe damit, den ein oder anderen dazu motiviert zu haben, auch selbst einmal eigene Analysen anzufertigen, oder wenigstens über die hier gemachten Ergebnisse nachzudenken. Es gibt viele Situationen, in welchen einem die hier angewendete, simple Mathematik zu interessanten, direkt das Spiel beeinflussenden Ergebnissen führen kann.

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