Push or Fold im Heads-up

1.1. Einleitung

Man stelle sich folgende Situation vor:

Hero hat nach etlichen Stunden harter Arbeit das Heads-up eines MTT erreicht. Er hat zwar schon ein ordentliches Preisgeld sicher, aber der erste Platz ist deutlich höher dotiert als der zweite. Deshalb ist Hero extrem aufgeregt und versucht mit zittriger Hand, am Mauszeiger oder am echten Karten Tisch, nur nichts falsch zu machen.

Hero sitzt im Small Blind und bekommt A7. Die Blinds sind bei 5,000 /10,000. Hero hat 260,000 Chips, sein Gegenüber Villain ist ein erfahrener und trickreicher Spieler und hat mit 250,000 einen etwa gleich großen Stack.

Was tun?

Da Hero zwar seine Hand für stark hält, aber Angst hat sein Gegner hält vielleicht gerade jetzt ein stärkeres Ass oder ein Pocketpair, will er nicht seinen ganzen Stack riskieren und erhöht auf 40,000 , auf ein Reraise All-In hat er vor zu folden.
Sein Gegner callt jedoch nur und es kommt T J 9 im Flop. Nicht gerade das was er sich erhofft hatte. Sein Gegner checkt, Hero macht die CB in Höhe von 50,000 und Villain geht AI. Hero überlegt nicht lange und foldet.

Seine Ausgangslage ist nun deutlich schlechter (170,000 zu 340,000) und der erfahrene Gegner kann ihn nun noch besser unter Druck setzten. Hero ärgert sich über den Raise. Wäre hier ein Push vielleicht doch besser gewesen?
Wir werden später sehen: Ja. Ein Push wäre sogar noch mit einem deutlich höheren effektiven Stack +EV gewesen, wobei der Raise ihn - sofern er kein Ass trifft - in eine schwierige Ausgangslage im Postflop-Spiel bringt.

1.2. Ziel dieses Artikels

Allgemein hängt die Spielweise im Heads-up stark von der Höhe der Blinds im Verhältnis zum Stack ab:

Situation 1:
Hat einer der beiden Spieler nur noch weniger als 5-10 BB als Stack, ist es meist sinnlos zu raisen, man sollte entweder gleich All-In pushen oder folden. Dies wird z.B. gut in Morgoths SnG-Coaching-Videos demonstriert. Die Pushing-Range geht dabei je nach Gegner von Ax , Kx, Qx bis zu any two.

Es ist dabei schwer, genaue Regeln zu formulieren, wann man pushen sollte, da das stark von der Calling-Range des Gegners abhängt und diese wiederum stark vom bisherigen Spielverlauf.

Mit Sicherheit genügt bei so großen Blinds jedes Ass und jedes Pocketpair, aber es kommen noch viele weitere Hände hinzu. Meiner Meinung nach entwickelt man für solche Situationen aber nach etlichen Heads-ups ein relativ gutes Gefühl, auch kann hier ein Push nicht so „extrem falsch“ sein wie in Situation 2.

Eine Strategie liefert auch das so genannte Sage System. Hier wird einem die Entscheidung durch feste (jedoch etwas unflexible und abstrakte) Regeln vorgegeben. Für den weiteren Artikel soll deshalb die nächste Situation gelten.

Situation 2:
Die Stacks sind noch relativ groß, alles im Bereich über 10 BB. Hier muss man beim Pushen schon vorsichtiger sein (das Abgreifen der Blinds wird weniger lukrativ im Vergleich zu der Gefahr in eine starke Hand zu laufen).

Dennoch bleibt es mit vielen „starken“ Händen sinnlos zu raisen. Das beste Beispiel ist 22: im Heads-up durchaus stark, da man gegen fast alle Hände mindestens 50:50 steht, zusammen mit der Foldequity also eine gute Hand. Die schlechte Playability stellt einen jedoch vor die Entscheidung: Push oder Fold? Wie will man sonst z.B. nach einem Flop wie TJK gegen eine Bet von Villain weiterspielen, wenn dieser preflop unser Raise gecallt hat.

Ähnliches gilt für Asse mit kleinem Kicker: Man trifft nur etwa jedes sechste Mal ein Ass am Flop. Ohne Ass im Flop ist man dann oft in einer schwierigen Lage wenn der Gegner aktiv wird.

Das vorrangige Ziel dieses Artikels ist es, Grenzen für das Push and Fold in Situation 2 zu liefern. Viele der Ergebnisse gelten dann jedoch auch für die Situation 1.

Hinweis: Das Verständnis dieses Textes setzt voraus, dass ihr euch mit dem Strategieartikel zum Independent Chip Model aus der Silber-Sektion auseinander gesetzt habt.

1.3. Ausgangslage

Im Heads-up gewinnen hohe Karten und Pocketpairs zusätzlich an Wert. Während an einem Full-Table z.B. suited Connectors wie 45s preflop noch einen ähnlichen Wert haben wie 44, ist das Paar Vieren im Heads-Up preflop schon ein Monster, während 45s stark an Wert verliert und meist zu den unterdurchschnittlichen Händen zu zählen ist.

Befindet man sich im Heads-up, ändern sich bezüglich des Pushens zwei Sachverhalte grundlegend (etwa gegenüber der Situation eines Pushs vom Button aus an der Bubble):

• Man hat stets nur höchstens einen Caller. Die Chance, auf eine starke Hand zu treffen, ist dadurch kleiner.
• Der Chip EV entspricht ziemlich genau dem $EV .

Aufgrund dieser beiden Tatsachen, kann man leichter den EV=$EV für gewisse Aktionen bzw. Situationen berechnen.

Hero befindet sich im Folgenden stets im Small Blind.

2.1. Rechnung

Hero hat den Stack S1 und spielt gegen Villain mit Stack S2. S sei der kleinere der beiden Stacks. Hero zahlt den SB, Villain den BB, beide bekommen ihre Karten ausgeteilt und Hero überlegt, entweder zu pushen oder zu folden.

Falls Hero foldet ist sein EV, den wir mit EV bezeichnen wollen, offensichtlich

(0) EV =-SB.

(Er verliert im Vergleich zu seinem Stack vor dem Setzen der Blinds genau den SB den er setzen musste.)

Falls sich Hero für einen Push entscheidet, kann Folgendes passieren:

(1) Villain foldet
(2) Villain callt und verliert
(3) Villain callt und gewinnt

Wie berechnen wir nun den EV von Heros Push ?

Dieser setzt sich aus drei „Anteilen“ EV1, EV2, EV3, gemäß den drei möglichen Ausgängen (1) (2) und (3) zusammen:

(1) Villain hat eine gewisse Calling-Range (zur Betrachtung verschiedener Calling-Ranges später mehr). Alle Hände, die außerhalb dieser Range liegen, foldet Villain gegen unseren Push. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fold, also dafür, dass er keine Hand seiner Calling-Range hält, sei F.

Dann gilt: EV1= F*BB

(Hero bekommt den BB des Gegners und seinen eigenen SB zurück. Sein Ausgangsstack S - vor dem Setzen des SB - wird also um BB größer.)

(2) Villain hält mit der Wahrscheinlichkeit C=1-F (C steht für Call) eine Hand seiner Calling-Range. Gegen diese haben wir eine gewisse Gewinnwahrscheinlichkeit W. Hält Hero z.B. 88 und trifft auf TT, gilt ungefähr: W=19%

EV2=C*W*S

(Wenn Hero gecallt wird und gewinnt, erhält er S Chips von Villain.)

(3) Villain hat gegen Hero eine Gewinnwahrscheinlichkeit von (1-W). Es ergibt sich somit folgende Gleichung:

EV3=C*(1-W)*(-S)

(Wenn Hero gecallt wird und verliert, erhält Villain S Chips von Hero.)

Für den gesamten EV des Pushs gilt: EVges = EV1+EV2+EV3

Dies können wir mit dem EV der Alternative Fold EV gleichsetzen und erhalten:

(*) -SB = F*BB + C*W*S + C*(1-W)*(-S)

Nun können wir nach der Größe S/BB auflösen und erhalten

(**) S/BB = (F+0.5) / [C*(1-2*W)]

Zu einer gegebenen Calling-Range können wir C und W relativ einfach berechnen:

• C ist die Anzahl der Hände aus Villains Calling-Range, geteilt durch die Anzahl aller möglichen Hände. Letztere ist 50*49/2 = 1225, da Hero schon zwei der 52 Karten hält.
• W kann mit einem Programm wie dem Pokerstrategy.com Equilator ausgerechnet
  werden, indem man zur gegebenen Hand von Hero alle Hände der
  Calling-Range von Villain einstellt. W hängt somit natürlich von Heros
  Hand ab.

Setzten wir diese Werte in (**) ein (für F setzen wir 1-C ein), erhalten wir ein Verhältnis von S zu BB. Also einen Wert, wie groß S, ausgedrückt in BB, maximal sein darf, damit der Push nicht –EV wird. Oder anders ausgedrückt: Wenn der effektive Stack kleiner als dieser Wert ist, ist ein Push +EV.

Beispiel:

Hero hält ATo. Er schätzt die Calling-Range von Villain auf 66+, AT+ und A8s+.

Zunächst ermitteln wir die Anzahl der Hände aus Villains Calling-Range:

Da Hero ein A und eine T hält, gibt es für AA und TT nur noch jeweils drei verschiedene Kombinationen, für alle anderen Pocketpairs 6 verschiedene, insgesamt also 7*6+2*3 = 48 Pocketpairs.

Die Asse AK, AQ und AJ, bei denen suited oder offsuit keine Rolle spielen soll, liefern jeweils 12 verschiedene Kombinationen, denn das A aus Heros Hand verhindert schon vier der allgemein 16 möglichen Kombinationen. Für AT werden durch die T in Heros Hand nochmal drei weitere Kombinationen gesperrt. A9s und A8s liefern schließlich noch jeweils drei Kombinationen.

Insgesamt enthält die Calling-Range also 7*6 + 2*3 + 3*12 + 9 + 2*3 = 99 Hände. Damit ergibt sich

F = 1 - (99/1225) = 91.92%

Für W erhalten wir (mit Hilfe von PokerStrategy.com Equilator o.ä.):

W = 35.5%

Eingesetzt in die Formel (**) ergibt das:

S/BB = 60.6

Ist der Stack des Gegners oder der eigene, also der effektive Stack, kleiner oder gleich 60.6 BB kann Hero +EV pushen. Die Ergebnisse hängen von der eigenen Hand, sowie von der Calling-Range des Gegners ab.

Gleichung (**) geht gegen unendlich, wenn 2*W gegen 1 oder F gegen 1 geht.
Das ist auch verständlich: Wenn wir gegen Villains Calling-Range eine Gewinnwahrscheinlichkeit W von mindestens 50% haben, können wir mit beliebig großem Stack pushen. Das gilt ebenfalls, wenn er mit einer Wahrscheinlichkeit F=1, also immer, foldet.

Die Situation W >=50% wäre etwa der Fall, wenn Villain mit allen Händen callt und Hero eine überdurchschnittliche Hand (alles ab Q5 aufwärts) hält oder wenn Hero AA hält. Die Situation F=1 ergibt sich z.B. wenn der Gegner nicht mehr am Tisch ist. Leider werden wir es selten so einfach haben.

2.2. Ergebnisse

Die Ergebnisse in den folgenden drei Tabellen sind auf eine Nachkommastelle gerundet und wie folgt gegliedert:
Zunächst sind die Tabellen nach Heros Händen, für die ein Push in Frage kommt, unterteilt: Pocketpairs, Ax, Kx und Connectors + 1-Gaper.

In den verschiedenen Spalten steht dann die Größe die S, der kleinere Stack in BB, höchstens haben darf, damit ein Push bei der entsprechenden Calling-Range des Gegners +EV ist.

Bei allen Karten, außer den Pocketpairs, wird zudem zwischen suited und offsuit unterschieden. Eine suited Hand hat logischerweise stets einen höheren Wert in der Tabelle als die Offsuit-Version.

Die verschiedenen Calling-Ranges sind

• (SV)
  Ein „Super-Villain“ der nur callt, wenn sein Call +EV ist.
• (15%)
  Ein tighter Villain der mit folgender Range callt: 44+, A8+, A5s+, KQ, KJs
  Eine Hand aus dieser Range hält Villain mit ca. 15% Wahrscheinlichkeit.
• (22%)
  Ein looser Villain der mit folgender Range callt: 33+, A5+, A2s+, KT+, K9s+, QTs+
  Ein Hand aus dieser Range hält Villain mit ca. 22% Wahrscheinlichkeit.
• (29%)
  Ein sehr looser Villain der mit folgender Range callt: 33+, A2+, K9+, K7s+, QT+, Q9s+, JTs
  Ein Hand aus dieser Range hält Villain mit ca. 29% Wahrscheinlichkeit.

Die Kategorie (SV) stellt hierbei gewissermaßen den denkbar schlechtesten Fall dar. So wird er in der Realität jedoch nicht vorkommen, da der Gegner unsere Karten ja nicht kennt. Dennoch können wir diese Kategorie als untere Schranke für unseren Push betrachten: Wenn er sogar gegen diese Calling-Range +EV ist, dann mit Sicherheit auch gegen alle anderen.

Für die Felder, in denen kein Wert steht, ist der Push unabhängig von der Stackgröße +EV (S kann beliebig groß sein). Dies ergibt sich dadurch, dass Hero in diesen Situationen eine Gewinnwahrscheinlichkeit von größer oder gleich 50% gegen die Calling-Range von Villain hat (vgl. Bemerkung am Ende des Abschnittes 2.1).

Anleitung zur Verwendung der Tabellen:

Wir haben eine Hand im Small Blind und wissen nicht genau, ob wir damit +EV pushen können. Wir schätzen die Calling-Range des Gegners ab. Wenn wir uns das nicht zutrauen, nehmen wir den Wert der Spalte (SV). Wir vergleichen diesen Wert mit dem Wert des effektiven Stack S ausgedrückt in BB. Ist S kleiner, können wir +EV pushen.

Der effektive Stack in BB ist dabei wie gewohnt der kleinere der beiden Stacks vor dem Setzten der Blinds.

Beispiel:
Unser Stack ist 150.000, der des Gegners 200.000. Wir setzen den SB von 4000, der Gegner den BB von 8000. Das bedeutet, der effektive Stack S in BB beträgt 150.000/8.000 = 18.75.

Wir erhalten A6o. Wir können den Gegner überhaupt nicht einschätzen und stehen unter Zeitdruck, nehmen also den Wert 28.6 der Spalte (SV). Da S in BB kleiner als 28.6 ist, können wir +EV pushen.

2.3. Bemerkungen zu den Tabellen

Man erkennt deutlich, dass im Gegensatz zu den A-Händen aus Tabelle1 bei den K-Händen aus Tabelle 2 die Stacks nicht mehr so groß sein dürfen, was einleuchtend ist, da ein König im Heads-up bei weitem nicht so stark ist wie ein Ass. Außerdem sind die Hände der Kategorie Connector + 1-Gapper zum Pushen am ehesten gegen den tighten Spielertyp (15%) geeignet. Gegen (15%) schneidet etwa die Hand 98 (S=28.9, bzw. 36.5 wenn suited) leicht besser ab als A2 (S=28.8, bzw. 36.4), gegen (22%) und erst recht gegen (29%) liegt A2 deutlich vorne (was die maximale Stackgröße zum +EV Pushen betrifft) .

Vergleicht man die Werte in den verschiedenen Spalten, also die verschiedenen Calling-Ranges, erkennt man: (SV) ist immer der kleinste Wert. Der Wert von (SV) ist wirklich die unterste Abschätzung. Selbst wenn wir unsere Karten offen auf den Tisch legen würden und der Gegner perfekt die Gewinnwahrscheinlichkeiten und Pot Odds ausrechnen könnte, wäre der Push bei dieser Stackgröße noch +EV.

Die anderen Werte verhalten sich je nach Stärke der Hand:
Für verhältnismäßig schwache Hände (z.B. K5o) ist (29%) am kleinsten, ab einer gewissen Stärke der Hand (z.B. A2o) ist dann der Wert (29%) größer als (22%) und für starke Hände (z.B. A7o) ist schließlich (15%) der kleinste der drei Werte.
Dies liegt daran, dass wir für schwache Hände, wenn wir gecallt werden, gegen alle drei Calling-Ranges deutlich hinten liegen und der Push deswegen stärker von der Foldequity profitiert, als im Fall einer stärkeren Hand. Die Foldequity ist aber gegen die (15%) Range am höchsten und gegen (29%) am niedrigsten.

Natürlich muss ein Push, auch wenn er +EV ist, noch nicht die beste Entscheidung sein. Mit Monstern wie AA, KK oder QQ ist ein Slowplay bei relativ großen Stacks oft profitabler und mit Händen, die eine gute Playability besitzen wie AK, KQ, KTs etc. sowie alle Hände aus Tabelle 4 ist meist ein Raise ertragreicher.

Die Werte in den Spalten der Kategorie (SV) entsprechen in etwa den so genannten Sklansky – Chubukov – Rankings.

Vermuten wir die Calling-Range von Villain irgendwo zwischen den Kategorien, so kann ein Mittelwert abgeschätzt werden oder alternativ kann der kleinere Wert genommen werden. Dadurch gehen wir sozusagen auf Nummer sicher und schätzen unsere Pushing-Range nach unten ab.

Beispiel:
Wir haben 44 und schätzen die Calling-Range von Villain noch etwas tighter als (15%) ein. Verwenden wir den Wert 41.3 aus der Spalte (SV) sind wir auf der sicheren Seite. Wir können aber auch einen groben Mittelwert zwischen (15%) und (SV) annehmen, etwa 50. Das entspricht dann einem Gegner, der noch tighter bzw. aus seiner Sicht profitabler gegen uns callt als mit der Calling-Range (15%), aber noch nicht ganz so perfekt wie der imaginäre SV.

3. Ein Wort zu Pocketpairs

Halten wir ein Pocketpair können wir meist pushen, es sei denn, wir wollen den Gegner mit einem Slowplay in den Pot locken. Das empfiehlt sich jedoch nur mit wirklichen Monstern (AA, KK, QQ, evtl. JJ), denn:

• Die Wahrscheinlichkeit für eine oder mehrere Overcards am Flop wird sehr groß für Pocketpairs kleiner als QQ. Kommen jedoch Overcards, ist es oft schwer, noch weiter zu spielen, da die Stacks als relativ groß angenommen waren und wir damit rechnen müssen, wenn wir hinten liegen, mit nur wenigen Outs bis zum Showdown noch viel zahlen zu müssen.
• Unsere Chance, die Hand mit Board-Karten zu verbessern, ist viel geringer als die des Gegners (es sei denn er hält auch ein Pocketpair). Dadurch ist der Gegner in der vorteilhaften Lage, von uns meist noch etwas ausbezahlt zu werden, wenn er trifft, aber billig davon zu kommen, wenn er nicht trifft.

Hinzu kommt: Haben wir davor schon öfter gepusht, erregt ein Raise unter Umständen mehr Verdacht als ein Push und Villain foldet vielleicht eine Hand wie A7 gegen unser AA, obwohl er ein All-In gecallt hätte.

Ein Push ist also meist die beste Variante und man erkennt an Tabelle 1, dass die Stacks schon sehr groß sein müssen, damit ein Push nicht mehr +EV ist.

4. Fazit

Die Werte aus den Tabellen können natürlich nicht alle auswendig gelernt werden. Wer im Internet spielt, hat den Vorteil, dass er sie sich ausdrucken kann, um dann bei einer kritischen Situation schnell nachzuschauen.

Kann man den Gegner aufgrund von Zeitmangel oder zu wenig aufgedeckten Händen auf keine Calling-Range festlegen, kann man auf Nummer sicher gehen und den Wert der Spalte (SV) verwenden, auch wenn man hier unter Umständen einige +EV-Pushs auslässt.

Es soll abschließend noch die Übertragung der Werte auf andere Situationen
betrachtet werden.

Cashgames:
Die Werte aus den Tabellen können ohne Einschränkung auf Cashgames übertragen werden, da hier mit Sicherheit Chip EV = $EV gilt. Man kann also aus dem SB, vorausgesetzt alle Spieler vor einem folden, entsprechend den Werten pushen, also z.B. bei einem effektiven Stack von 53.6 BB mit AT.

Die meisten Spieler werden dabei ein ungutes Gefühl haben, man riskiert z.B. in einem 1$/2$ Cashgame nicht gerne 100$ (= 50BB).

Aber auf lange Sicht ist dieser Move auf jeden Fall profitabel, umso mehr, da die Gegner oft viele der überlegenen Hände wegwerfen werden (im Beispiel von AT etwa AT, AJ, 22, 33, 44, 55...).

Turniere außerhalb des Heads-ups:
In MTT und SnGs ändert sich die Situation außerhalb des Heads-ups, da hier im Allgemeinen nicht mehr Chip EV = $EV gilt. Je nach Situation müssen die Werte aus den Tabellen also abgesenkt werden, um den Push noch +$EV sein zu lassen, umso deutlicher, je größer die Diskrepanz zwischen Chip EV und $EV ausfällt . Hierzu mehr im Artikel ICM. Es wird eventuell auch noch einen zweiten Teil dieses Artikels geben, indem die Tabellen auf Situationen des ICM erweitert werden.

Ich will hier jedoch ausdrücklich davor warnen, die Tabellen dieses Artikels für das Pushen an der Bubble zu verwenden.

Hero ist auf dem Button:
Befindet man sich nicht im SB, sondern first to act auf dem Button, könnte man sich eine ähnliche Rechnung überlegen. Diese wird jedoch komplizierter, da nun zwei Spieler callen können. Eine gute Näherung für diese Situation erhält man für Cashgames, indem man die Werte aus den Tabellen durch 2 teilt. Für Turniere muss zusätzlich wieder das ICM beachtet werden.

Hero ist im BB:
Hier hängt die Lage stark davon ab, wie wir das Limpen des Gegners einschätzen. Vermuten wir, etwa weil er dies schon die letzten 10 Hände getan hat, dass er mit any two entweder raist oder limpt , können wir ähnlich den Werten in den Tabellen pushen. Eigentlich sogar für etwas größere Stacks, da wir ja nicht nur 1.5 BB sondern 2 BB abgreifen können. Dies kompensiert dann etwas die kleine Wahrscheinlichkeit für eine Falle des Gegners.

Hat der Gegner zuvor jedoch meist aggressiv geraist oder gepusht und limpt nun auf einmal, ist Vorsicht geboten. Die erhöhte Gefahr einer Falle lässt den Push u.U. für die Werte aus den Tabellen –EV werden.

5. Anhang

Hier noch eine Auflistung der Wahrscheinlichkeiten, mit denen die Tabellen im Abschnitt 2.3 berechnet wurden. Wie in der Herleitung der Formel (**) bezeichnet C die Wahrscheinlichkeit, dass Villain eine Hand seiner Calling-Range hält und W unsere Gewinnwahrscheinlichkeit gegen Villains Calling-Range.