Mathematik des Pokerns - Delta Odds

Einleitung

In diesem Artikel

• Was das Konzept der "Delta Odds" ist
  
• Der mathemathische Hintergrund der Delta Odds
  
• Welchen Nutzen es für dein Spiel hat

Dieser Artikel erreichte den 4. Platz beim Article Contest im April 2011

Das Konzept der Implied Odds hast du unter anderem bereits in folgenden Artikeln bereits kennengelernt:

Mathematik des Pokerns - Implied Pot Odds

Odds & Outs, Reverse Implied Odds & Implied Odds

Was passiert, wenn du deine made Hand gegen Draws geschützt hast, ein möglicher Draw deines Gegners aber ankommt? In diesem Artikel lernst du die mathematische Entscheidungsgrundlage für dieses Szenario kennen.

Die Fragestellung lautet:

"Welchen Einsatz kann ich noch mitgehen, wenn der mögliche Draw meines Gegners angekommen ist, nachdem ich meine made Hand geschützt habe?"

Respektive, wenn man selber einen Draw hält:

"Wie viel Geld muss ich von meinem Gegner noch gewinnen, wenn mein Draw angekommen ist, er seine Hand aber geschützt hat?"

Der Frage wird im Folgenden aus der ersten Sicht nachgegangen, wobei sich die Antwort für die zweite Sicht parallel ergibt.

Wie du weißt solltest du deine made Hands auf drawlastigen Boards durch Setzen schützen, um deine Gegner für ihre möglichen Draws zahlen zu lassen. Kommt der Draw allerdings an, liegt es am Gegner, noch möglichst viel Geld aus deiner nun zweitbesten Hand zu extrahieren.

$0,5/1 No-Limit Hold’em (6 handed)

Stacks & Stats
UTG
Hero ($126.09)
CO
BU
SB
BB ($217.6)

Preflop: Hero is MP with
1 fold, Hero raises to $3,5, 3 folds, BB calls $2,5

Flop: ($7,5) (2 Players)
BB checks, Hero bets $5,5, BB calls

Du setzt mit deiner made Hand, um deinen Value zu maximieren und dein Blatt vor möglichen Draws zu schützen. Um das Thema aufzugreifen gehen wir nun davon aus, dass dein Gegner hier tatsächlich einen Flushdraw hält. (Selbstverständlich muss man den Gegner immer auf eine Range setzen, die Vereinfachung wird gewählt, um das in diesem Artikel relevante Szenario darzustellen).

BB:

Mit dem Flushdraw hat dein Gegner 9 Outs (von den discounted Outs wird der Einfachheit halber abstrahiert). Die Chance, den Flush am Turn zu treffen, liegt bei ca. 19%. Dies entspricht Odds von 4.2:1. Die Pot Odds, die du durch deinen Einsatz generierst, liegen bei (7.5+5.5):5.5 ≈ 2.4:1.

Delta Odds, Schulden und Verlust

Du weißt, dass du in der Hand bleiben solltest, wenn die Pot Odds größer sind als die Odds und dass du theoretisch aussteigen solltest, wenn die Odds größer sind als die Pot Odds. Dann müsste allerdings jeder Draw auf einen angemessenen Einsatz bereits am Flop aufgeben werden. Das Konzept der Implied Odds rechtfertigt aber oft ein Weiterspielen. Um herauszufinden, in welchen Szenarien es sich trotz schlechter Pot Odds weiterspielen lässt, betrachten wir zunächst die Differenz zwischen Pot Odds und Odds:

  Zusammengefasst:

 Der Unterschied beträgt 4.2 - 2.4 = 1.8. Diesen Unterschied zwischen Odds und Pot Odds nennt man Delta Odds (ΔOdds).

Der Betrag, den dein Gegner wieder reinholen muss (seine Schulden), wenn er seinen Draw komplettiert, lässt sich nun leicht durch folgende Formel berechnen:

Schulden = ΔOdds * Einsatz
[ΔOdds = Odds - Pot Odds]

Dies sind in unserem Beispiel 1.8 * $5.5 = $9.9. Dein Gegner muss also bei einem weiteren Karo noch über $9.9 von dir gewinnen, dann hat er seinen Draw mit positivem Erwartungswert gespielt.

ACHTUNG:

Diese Schulden sind nicht gleichzusetzen mit dem Verlust, den dein Gegner beim Mitgehen macht. Schließlich kann er durch das Mitgehen von $5.5 nicht $9.9 verlieren. Sein Verlust lässt sich durch folgende Formel berechnen:

EV = (Pot+Einsatz) * Gegnerische Equity - Bet * Deine Equity

Hierbei muss beachtet werden, dass nicht die Equity vom Flop bis zum River, sondern die Equity bis zum Turn gewählt werden muss (also die Equity des drawenden Spielers, wenn nur noch eine Karte kommt, Turn-Equity). Diese lässt sich, wie du weißt, aus den Odds ableiten:

Odds: 4.2:1
Turn Equity: [1 / (4.2+1)] * 100
Turn-Equity: ~19%

Also beträgt sein Verlust:

EV = ($7.5+$5.5) * 0.19 – $5.5 * 0.81 ≈ –$2

Zwischenergebnis:

Durch das Mitgehen von $5.5 am Flop hat dein Gegner (immer noch unter der Annahme, dass er einen Flushdraw hält) Schulden von ca. $9.9 und einen Verlust von ca. $2 aufgebaut. Der Zusammenhang zwischen Schulden und Verlust lässt sich auch so darstellen:

Schulden * Equity = Verlust
$9.9 * 0.19 ≈ $1.9 (leichter Rundungsfehler)

Turn: ($18,50) (2 Players)
BB checks, Hero bets $14, BB calls

Dein Gegner hat immer noch 9 Outs und wird in ~19.5% der Fälle seinen Flush am River treffen. Die Odds haben sich unwesentlich auf 4.1:1 verbessert. Mit deiner Bet von $14 generierst du Pot Odds von (18.5+14):14 ≈ 2.3:1. Die Rechnungen werden erneut durchgeführt:

ΔOdds = 4.1 – 2.3 = 1.8
Schulden = ΔOdds * Einsatz
= 1.8 * $14 ≈ $25.2
Verlust = (Pot+Einsatz) * Gegnerische Equity - Bet * Deine Equity
= ($18.5+$14) * 0.195 – $14 * 0.805 ≈ –$4.9

Durch sein Mitgehen am Turn baut dein Gegner also weitere Schulden auf. Diese $25.2 müssen zu den $9.9 Schulden von der vorherigen Setzrunde addiert werden.

$25.2 + $9.9 = $35.1

Ebenso wird der Verlust von Flop und Turn zusammengezählt:

–$2 –$4.9 = –$6.9

Die Breakeven-Linie

River: ($46,5) (2 Players)

Hero:
BB:

Der Draw kommt an. Dein Gegner muss nun versuchen, die $35.1 Schulden, die er durch das Mitgehen am Flop und am Turn aufgebaut hat, nach seinem Treffer am River wieder zurückzugewinnen, am besten noch etwas mehr, er will ja im positiven Erwartungsbereich landen.

Dieses Szenario am River lässt sich graphisch darstellen:

Der Wert links vertikal entlang der Y-Achse beschreibt die Wahrscheinlichkeit in Prozent, dass du einen bestimmten Einsatz am River noch mitgehst (zwischen 0% und 100%). Der Wert unten horizontal entlang der X-Achse ist die Größe des Einsatzes in $, die dein Gegner machen kann (zwischen $0, also Check, und $103, also All-In).

Die eingezeichnete rote Linie ist die Breakeven-Linie deines Gegenspielers. Sie entspricht der Funktion f(x)= 35.1/x*100. Sie ergibt sich aus dieser Formel:

Gegnerischer Einsatz * Wahrscheinlichkeit, dass du diesen Einsatz mitgehst = Gegnerischer Ertrag am River

Dieser Ertrag muss mindestens bei genannten $35.1 liegen. Liegt er darunter, macht dein Gegner auf lange Sicht Verlust, liegt er darüber, macht er Gewinn.

Da er nun davon ausgehen kann, die beste Hand zu halten, sollte dein Gegner das Bestreben haben, jetzt mindestens $35.1 von dir zu gewinnen. Angenommen er setzt genau diesen Betrag. Dann muss er hoffen, dass du diesen Einsatz mit einer Wahrscheinlichkeit von 100% mitgehst, um diese Summe von dir zu bekommen, denn:

35.1$ * 1.00 = 35.1$ (1.00 entspricht dabei 100%)

Angenommen der gegnerische Spieler setzt $70. Mit welcher Wahrscheinlichkeit musst du mitgehen, damit dieser Einsatz für ihn zumindest breakeven ist?

$70 * x = $35.1
⇔ x = $35.1 / $70
⇔ x ≈ 0.5

Du müsstest einen Einsatz von $70 also noch in ca. 50% der Fälle mitgehen, damit der EV deines Gegners in dieser Hand zumindest 0 wird (er also breakeven spielt).

All diese Werte lassen sich auf einen Blick vom roten Graphen ablesen. Selbst ein All-In müsstest du noch in etwa einem Drittel der Fälle mitgehen, damit der Gegner sein Spiel in dieser Hand rechtfertigen kann.

Im Beispiel setzt er out of Position etwa den halben Pot:

BB bets $22.00

Genau hier macht er nun einen großen Fehler:

$22 * x = $35.1
x = $35.1 / $22
x ≈ 1.6 [!]

Du müsstest diesen Einsatz von $22 mit einer Wahrscheinlichkeit von 160% callen. Eine Wahrscheinlichkeit von über 100% ist mathematisch nicht definiert, dein Gegner kann mit diesem Einsatz nur einen Verlust machen (sofern du nicht mehr erhöhst). Auch ohne diese Rechnung ist einleuchtend, dass jeder Einsatz unter $35.1 nicht ausreichend ist.

Deine Callwahrscheinlichkeit

Ob du einen Einsatz mitgehst oder nicht, kannst du glücklicherweise selbst entscheiden. Der grüne Graph ist eine Abschätzung dafür, wie wahrscheinlich es ist, dass du einen bestimmten Einsatz noch mitgehst. Zusätzlich sind noch zwei blaue Linien eingezeichnet, bei den Setzgrößen von 23.25$ und 46.5$ (halber Pot und ganzer Pot). Nach dieser Annahme gehst du also eine halbe Potsizebet noch in etwa 85% der Fälle, ein volle Potsizebet in weniger als 5% der Fälle mit.

Es gibt sicherlich Meinungen, die einen konservativeren Verlauf der grünen Linie vorschlagen würden. Genauso ist es möglich, dass diese Funktion zunächst nahe der 100%-Linie verläuft um dann bei einer Setzgröße von beispielsweise $24 direkt auf 0% zu fallen.

Dies ist durch häufige Aussagen wie "Bis zu einer halben Potsizebet würde ich noch mitgehen" in den Handbewertungsforen gegeben. Durch keine dieser Differenzen würde die weitere Rechnung jedoch verfälscht werden; das Prinzip bleibt das gleiche. Die grüne Linie verläuft hier immer unterhalb der roten Linie. Dies bedeutet für deinen Gegner:

Er hat – unabhängig davon, wie viel er am River setzt – in dieser Hand auf lange Sicht einen Verlust gemacht. Sein Fehler liegt also im Bereich zwischen Preflop- und Turnspiel (da er am River seine vorherigen –EV-Entscheidungen nicht wiedergutmachen kann).

Eine zu looser Spieler, der sich von seinem Overpair kaum trennen kann, hätte möglicherweise folgenden Verlauf der grünen Linie:

Im grünen Bereich liegen die Werte der roten Funktion unter denen der Callwahrscheinlichkeit. Setzt ein Spieler gegen eine solche Callingstation also zwischen $37 und $68, macht er tatsächlich einen Gewinn und rechtfertigt somit sein Spiel in den vorangegangenen Setzrunden.

Zum Vergleich:

Deine geringe Callwahrscheinlichkeit macht die Situation für deinen Gegner unprofitabel, egal wie viel er setzt. Der rot schraffierte Bereich zeigt, dass die grüne Linie an keiner Stelle über der roten liegt.

Der gegnerische Verlust

Auch die Höhe des gegnerischen Verlusts lässt sich graphisch darstellen. Dies ist dann von Relevanz, wenn du selber einen realisierten Draw hast und deinen Verlust minimieren/deinen Gewinn maximieren möchtest (≙ deine Schulden bestmöglich abbauen).

(Gegnerischer) Gewinn = Schulden - Callwahrscheinlichkeit * Einsatz

An der X-Achse wieder der mögliche Einsatz, an der Y-Achse jetzt die Schulden in Dollar. Bei einem Einsatz von $25 werden die Schulden auf $15 minimiert, der Verlust also auf $2.85 gedrückt.

Schulden * Equity = Verlust
$15 * 0.19 ≈ $2.85

Der Implied Odds Rechner

Mit folgendem Rechner lassen sich die in diesem Artikel erklärten Werte direkt ausrechnen. Bei Bedarf und nach Absprache werde ich ihn zur Verfügung stellen.

Die Werte sollten alle relativ selbsterklärend sein. Als Zahlenbeispiel ist hier die Beispielhand gewählt, an der auch die Theorie bis hierhin erklärt wurde.

Worin besteht der praktische Nutzen dieser Theorie?

Du kannst in den Rechner eingeben, wie viele Outs du dir gibst. Das muss nicht nur bei einem Flush- oder Straightdraw sein, sondern generell, wenn du dich hinten siehst, dir aber noch Outs gibst.

Dann kannst du je nach Situation für den Flop, für den Turn oder für Flop und Turn die Pot- sowie Setzgröße des Gegners eingeben.

Sollte der Hinweis "Pot Odds > Odds" oder "Pot Odds = Odds" erscheinen, weißt du, dass ein Weiterspielen definitiv einen positiven Erwartungswert hat und musst dich nur noch zwischen Mitgehen und Erhöhen entscheiden.

Wenn (wie in den meisten Fällen) "Odds > Pot Odds" gilt, kannst du direkt ablesen, wie groß die Schulden sind, die du beim Mitgehen machst.

Im Beispiel sind dies am Flop wie schon berechnet $9.9. Der Gegenspieler (als drawender Spieler) muss nun also abschätzen, ob er so viel noch von dir gewinnen kann, wenn er diesen Einsatz mitgeht. Mit welchen Faktoren (gegnerischer Spielertyp, Position, etc.) diese Schätzung angegangen werden kann, wurde bereits ausführlich in anderen Artikeln und Kolumnen über die Implied Odds erörtert.

Ich persönlich finde das Mitgehen vertretbar, sehe hier also keinen Fehler auf Seiten des Gegenübers. Am Turn sieht die Sache schon anders aus. Beim Mitgehen müssen schon etwa $35 zurückgewonnen werden, falls am River das dritte Karo kommt. Schau dir noch einmal die Graphen an. Der rote Graph ist mathematisch exakt bestimmbar, der grüne nur eine grobe Schätzung. Am Turn kann nicht mehr davon ausgegangen werden, dass beim Mitgehen noch genügend Geld in der nächsten Setzrunde zurückgewonnen wird. Hier macht der Gegner also einen entscheidenden Fehler.

Zusätzlich zeigt er sein Unverständnis über das Thema dieses Artikels, indem er weniger als 35.1$ setzt (immer unter der Annahme, dass er tatsächlich den Flushdraw hält).

Da du in dem Beispiel selber auf dieser Seite warst, wurde das Vorgehen in diesen Situationen bereits erklärt. Du kannst nicht nur den Verlauf der roten, sondern auch den der grünen Linie durch Bestimmung von Setzgröße und eigener Callwahrscheinlichkeit selber definieren und damit dafür sorgen, dass die rote Linie nie unter die grüne fällt, um für deinen Gegner keine Situation mit positivem Erwartungswert zu generieren.

Zusammenfassung

Einige werden den Nutzen dieser (Ma)Thematik infrage stellen, da sie in der Position des drawenden Spielers instinktiv gegen das Mitgehen am Turn entschieden hätten, auch ohne vorher diverse Formeln durchgerechnet und mehrere Variablen in ein Programm eingegeben zu haben (wofür am Tisch ohnehin die Zeit fehlt).

Auch kennen sie den Nutzen der Protection schon lange genug, um zu wissen, dass hier am Turn noch mal gesetzt werden muss (ein Checkraise einmal ausgenommen, aber der ganze Artikel lässt die Entscheidung zwischen Mitgehen und Erhöhen außen vor, da man die Rechnungen dann unter Beachtung der Foldequity noch einmal komplizierter machen würde).

Dennoch wird der Artikel für manche hilfreich sein. Man versteht jetzt nicht mehr nur das "Warum" von Protection und Implied Odds, sondern kann nun auch Entscheidungen, die man für eher knapp hält, im Nachhinein genau berechnen und somit sein Spiel optimieren, ähnlich dem Verfahren im Push-or-Fold-Modus nach dem Independent Chip Model in der späten Sit and Go-Phase.

Des Weiteren kann man mit dieser Theorie als Fundament sein Spiel weitergehend optimieren, indem man es zum Beispiel auch für das wichtige Preflopspiel anwendet und dabei sein Verhalten in dieser wichtigsten Street optimiert (Stichwort Pocketpairs beispielsweise), oder auch um es für Situationen zu erweitern, in denen man nicht weiß, ob man vorne oder hinten liegt.

Letztlich ist das Szenario, dass man nach dem Flop Heads-up gegen einen Gegner spielt das häufigste im Poker, und in dieser Situation gibt es immer einen Spieler, der hinten liegt, also einen Draw hat (und sei es nur ein Backdoor-Flushdraw) und einen Spieler, der vorne liegt, seine Hand also schützen muss.