Los faroles desde una perspectiva teórica del juego

Introducción

En este artículo

• El trasfondo matemático
  
• Estrategias óptimas
  
• El equilibrio Nash
  

Los faroles son una parte esencial del poker y todo buen jugador debería tenerlos en su repertorio. Los que nunca farolean están cometiendo un error terrible, pero lo mismo pasa a la inversa. ¿Cómo encontrar el equilibrio adecuado? ¿Cómo puedes saber si farolear es una buena idea? ¿Cómo sabes cuándo y con cuánta frecuencia deberías farolear contra ciertos jugadores para jugar contra ellos de forma rentable?

Este artículo se centra en el trasfondo matemático de los faroles y utiliza las teorías del juego para ilustrar posibles estrategias.

¿Debería farolear?

Estás en el river. La mesa es .

Estás bastante seguro de que tu oponente tiene una mano hecha. Por sus acciones crees que probablemente lleve AA, KK o AK. Tú llevas .

Un proyecto fallido. El bote es de $100 y ambos tenéis $100. Tú actúas primero. Si pasas, pierdes. Ya sea porque tu oponente hace check behind y gana en el showdown o apuesta y no tienes dinero suficiente para farolearle.

Supongamos que tu oponente te ha leído correctamente y antes de la carta del river te puso en un proyecto. Para simplificar, supongamos que también cree que la probabilidad de un proyecto de color (o gutshot) fallido es del 80% y te da un 20% de que lleves 87 y la carta del river te haya dado la escalera.

Si tuvieras una escalera con 87, apostarías por valor. Pero por desgracia no la tienes, así que te quedan dos opciones: te rindes y pasas o intentas llevarte el bote con un farol. Supongamos que cuando faroleas, vas all-in con tus $100, que es una apuesta del tamaño del bote. ¿Con cuánta frecuencia deberías hacerlo?

¿Cómo respondemos a esta pregunta?

Para ello necesitamos algunas matemáticas. Pero no preocupes, no serán demasiado complicadas. Solo un poco de algebra del colegio y algo de sentido común. Bueno, y también algo de teoría del juego, pero eso lo podemos englobar también en "sentido común".

Traduciendo la cuestión a las matemáticas

Vamos a tener que tomar algunas notas. "P" significará el tamaño del bote, mientras que "B" será el tamaño de tu apuesta. Denominaremos a la probabilidad (desde la perspectiva de tu rival) de que tengas la mano ganadora como "q". Así que en nuestro ejemplo P = $100, B = $100 y q = 0,20. Si no te gusta la suposición del 20%, puedes cambiar la cifra, los cálculos serán iguales, solo cambiarán los resultados. De la misma forma podrás cambiar el tamaño del bote o el de tu apuesta. Nuestras notas son para generalizar sobre este problema.

Tenemos que dar valores, de alguna forma, a la frecuencia con la que faroleamos y la frecuencia con la que paga el rival cuando apostamos. A la primera la llamaremos "x" y a la segunda, "y". Así que "x" significa la probabilidad de nuestro farol. Por ejemplo, si faroleamos con un 30% de las manos (x = 0,3), nuestra frecuencia de farolear será, a la larga, de ese 30%. De la misma forma "y" indica la probabilidad de que nuestro oponente pague nuestra apuesta.

Así que nuestra pregunta original ahora pasa a ser cuál es el valor óptimo de "x".

El cobro esperado y estrategias puras

Para empezar volvamos al principio. ¿Cuál es nuestro objetivo en el poker? Ganar dinero. Para ser exactos, ganar tanto dinero como podamos. Siempre que tomamos una decisión nos preguntamos (o deberíamos) qué acción tiene las mejores perspectivas de cobro.

En nuestro ejemplo, si tuvieras la mano ganadora podrás apostar por valor. Cuando apuestas tu oponente puede ver tu apuesta ("y" veces) o abandonar su mano (1 - y). Cuando paga, ganas el bote actual más el dinero con el que tu oponente paga tu apuesta: P + B. Cuando abandona, solo ganas el bote actual: P. ("Bote actual" siempre se refiere al tamaño original del bote antes de que apuestes). Por lo tanto, si tuvieras la mano ganadora tu cobro esperado o Ew (la w es de "winning") sería:

Ew = y(P + B) + (1 – y)P.

Para la mano perdedora (tu proyecto fallido) las cosas se complican un poco más. Aquí o faroleas ("x" veces) o te das por vencido y pasas (1 - x).

Si faroleas, tu oponente puede ver tu apuesta ("y" veces) o abandonar su mano (1 - y). Cuando paga, pierdes tu bote, así que tu cobro neto es negativo: - B. Cuando abandona, ganas el bote actual: P. Así que cuando faroleas, tu cobro esperado depende de estos dos casos y sería algo así:

(1 – y)P – yB.

Si pasas (te das por vencido) no ganas nada, así que en este caso tu cobro esperado es cero. Con tus manos perdedoras, tu cobro esperado o El (la l es de "losing") es:

El = (1 – x)0 + x[(1 – y)P – yB]

(solo combina los casos superiores con las probabilidades correspondientes).

Por supuesto la primera parte es cero, por la que podemos omitirla. Nos queda:

El = x[(1 – y)P – yB].

Si sabes que tu oponente nunca ve (y = 0), por ejemplo, se ha desconectado, tu cobro esperado sería simplemente:

El, y=0 = xP

Para maximizar tu cobro esperado tienes que escoger x = 1, que significa que deberías farolear siempre.

En cambio si sabes que tu oponente siempre paga (y = 1), tu cobro esperado pasa a ser:

El, y=1 = – xB

Ahora para maximizar esto tienes que escoger x = 0, lo que significa que jamás deberías farolear. (Recuerda la regla de: "¡Nunca le farolees a una calling station!").

En el idioma de la teoría de juego acabamos de calcular tu mejor respuesta, conociendo la estrategia de tu rival en dos casos especiales. Pero estos han sido extremos, las denominadas "estrategias puras". En la vida real tus oponentes no serán tan predecibles. Verán tus apuestas con una probabilidad determinada (que no será ni 0 ni 1). En el mundo de la teoría de juego diríamos que tienen estrategias mixtas.

Estrategias óptimas

Resulta interesante que tu oponente pueda escoger una frecuencia de ver cuando tu cobro esperado es igual sin importar la estrategia (es decir, cualquier valor de "x") que escojas. Denominemos a esta frecuencia de ver como "yopt" (que representa el valor óptimo de "y").

Calcular el valor óptimo de "yopt" es bastante fácil. Si te interesan los detalles, los podrás encontrar en el apéndice. El resultado final es:

yopt = P/(P + B).

En nuestro ejemplo, P = B = $100, así que yopt = 1/2. Si tu oponente ve exactamente la mitad de las veces, no podrás superarlo. Cuando tu oponente juega según la estrategia y = yopt tu cobro esperado sería de:

El,y=yopt = x[PB/(P + B) – PB/(P + B)] = 0.

Como "x" no aparece en la ecuación (de hecho no aparece nada, solo el cero) cualquier estrategia (cualquier "x") que escojas no podrá aumentar ni reducir tu cobro esperado.

Resulta interesante que "yopt" dependa solo del tamaño del bote y del de la apuesta. Es independiente, por ejemplo, de "q". Esto muestra que "yopt" no es el valor óptimo de "y" en un sentido universal. Si por ejemplo q = 1, es decir tu oponente está seguro de que tienes la mano ganadora, no te pagará la mitad de las veces, no lo hará nunca. En dicho caso escogería la estrategia que se corresponde con y = 0. Más adelante veremos en qué sentido "yopt" es óptimo.

Puedes escoger "x" de forma similar, que cualquier estrategia (cualquier "y") que escoja tu oponente no variará su cobro esperado. Como antes, denominaremos a este valor especial de "x" como "xopt". Sin embargo obtener el valor de "xopt" es algo más complicando. Omitiendo los detalles, al final obtendríamos:

xopt = qB/[(1 – q)(P + B)].

Si te interesan los detalles, para calcular la fórmula superior primero tienes que obtener el "valor esperado de cobro que espera tu oponente". Con él, obtener el valor de "xopt" es fácil. (Podrás encontrar más información al respecto en el apéndice).

Si faroleas con esta frecuencia con tu mano perdedora el cobro esperado visto por tu oponente será:

Eop = (1 – q)P – qPB/(P + B).

Como en esta fórmula no hay "y", no podrá cambiar su cobro esperado.

En nuestro ejemplo P = B = $100 y q = 0,2, así que xopt = 1/8. Si faroleas con una probabilidad de 1/8, tu oponente no podrá superarte, aunque haya sido muy observador y conozca tu estrategia (es decir, que sabe que x = xopt). Si faroleas más o menos a menudo, tu oponente observador podrá explotar tu estrategia encontrando la mejor respuesta correspondiente. Así que si te enfrentas a un oponente muy bueno, "xopt" es la estrategia óptima para ti.

¿Con cuánta frecuencia un oponente muy bueno vería tu apuesta? La respuesta a eso la tiene "yopt". Si estás jugando según la estrategia en la que x = xopt, podría escoger la estrategia que quisiera. Ya hemos visto que no podrá aumentar (ni reducir) su cobro esperado. Pero si no usa en la estrategia en la que y = yopt, tú, como jugador observador podrás explotar su error, escogiendo una respuesta óptima a su estrategia determinada. El único caso en el que no puedes explotar su estrategia es cuando escoja y = yopt. En dicho caso, sin importar la estrategia que escojas, tu cobro esperado seguirá siendo el mismo. Pero ten cuidado, si escoges una estrategia distinta a "xopt" tu oponente podrá explotar tu juego ajustando su estrategia de forma acorde.

Veamos ahora en qué sentido "xopt" e "yopt" son óptimos: proporcionan estrategias que no se pueden explotar. En la teoría de juego, a estas dos estrategias (xopt, yopt) se las denomina equilibrio de Nash. Es un concepto muy importante en la teoría del juego y la economía (sí, este Nash es el mismo que el protagonista de la película "Una mente maravillosa", ¡ganador del premio Nobel de Economía en 1994!). Acabamos de ver que en la teoría del poker tienen un papel central.

Cobro esperado en algunos casos especiales

Terminaremos con dos tablas que te muestran tus cobros esperados en algunos casos especiales. La primera tabla te muestra el cobro para tu proyecto fallido (mano perdedora) calculado para el siguiente ejemplo:

El cobro esperado de tu oponente es exactamente el tuyo negativo más los $100 que ya están en el bote. Se lleva tus pérdidas netas en la ronda de apuestas más el bote actual. Por supuesto cuando tú ganas el bote tu pérdida neta es - $100 y él no se lleva nada. O en el caso más simple: cuando tu cobro esperado es cero, tu stack se quedará igual, como cuando apareció la carta del river. Por lo tanto el bote no puede ser tuyo, pero alguien se lo tiene que llevar, así que será tu oponente. En el lenguaje de la teoría del juego diríamos que en nuestro juego de ejemplo, porque ya estamos en el river, no es un juego que tienda a cero.

Mientras que tú sabes cuándo faroleas y cuándo apuestas por valor, tu oponente no. Así que para él (y probablemente para ti también) la tabla siguiente será más instructiva. Nos da tu cobro esperado para la mezcla de manos ganadoras y perdedoras. En situaciones similares irías por delante el 20% de las veces y por detrás el 80% restante. Por lo tanto tu cobro esperado a la larga es qEw + (1 - q)El. (Una vez más el negativo de esto más los $100 del bote te dan el cobro esperado de tu oponente, Eop).

Conclusión

Cuando te enfrentas a un oponente bueno, tu mejor opción es usar la estrategia dictaminada por el equilibrio de Nash: "xopt". En este caso tu oponente jugará la estrategia determinada por "yopt". Si no, estará cometiendo un error (así que no será un buen jugador), y podrás explotar su error encontrando la mejor respuesta a su estrategia. Si tiende a pagarte demasiado a menudo, farolea menos. Si te ve pocas veces, farolea más. Si puedes adivinar su frecuencia de ver actual, podrás calcular cuánto más (o menos) deberías farolear para maximizar tu cobro esperado, como hemos hecho más arriba.

Apéndice

Si y = yopt, tu cobro esperado será el mismo para todos los valores de x. Veamos primero x = 0. Aquí no puedes ganar nada, lo que queda reflejado en esta fórmula:

El, x=0 = 0.

Ahora veamos x = 1. Nuestra ecuación del El será:

El, x=1 = (1 – yopt)P – yoptB.

Como El, x =0 tiene que ser igual que El, x = 1 obtenemos:

(1 – yopt)P – yoptB = 0,

lo que nos da:

(1 – yopt)P = yoptB,
P – yoptP = yoptB,
P = yopt(P + B),

y por último:

yopt = P/(P + B).

Ahora veamos la mano a través de los ojos de tu oponente. Primero apuntamos su cobro esperado, "Eop". Como a diferencia de ti, no sabe si vas por delante o por detrás, su cobro esperado también dependerá de "q", así que es algo más complicado:

Eop = – qyB + q(1 – y)0 + (1 – q)[xy(P + B) + x(1 – y)0 + (1 – x)P].

El primer término se corresponde con el caso en el que tienes la mano ganadora, apuestas y él te ve, perdiendo su apuesta. El segundo término representa el caso cuando tienes la mano ganadora y él abandona, ganando (y perdiendo) nada. El resto se corresponden con los casos en los que él va por delante. La primera parte entre corchetes son los casos en los que tú faroleas y él paga, ganando el bote actual más tu apuesta. La parte intermedia se corresponde con el caso en el que tú faroleas y él abandona, perdiendo/ganando nada mientras que la última parte es para el caso en el que te das por vencido y él se lleva el bote, ya sea pasando detrás de ti o apostando y obligándote a abandonar).

Omitiendo los términos que son cero nos queda:

Eop = (1 – q)[xy(P + B) + (1 – x)P] – qyB.

Si tu oponente sabe que nunca faroleas (x = 0), ¿cuál sería su mejor respuesta? Nunca te pagaría, está claro. Esto se puede ver en la ecuación superior si cambiamos la "x" por 0.

Eop x=0 = (1 – q)P– qyB.

Para maximizar esto, tenemos que escoger y = 0 (nunca ve).

Por el otro lado, si tu oponente sabe que siempre faroleas (x = 1), la mejor respuesta no será tan obvia. Para x = 1 tenemos que:

Eop x=1 = (1 – q)y(P + B) – qyB = y[(1 – q)(P + B) – qB].

Si

(1 – q)(P + B) – qB > 0,

y = 1 (siempre paga) maximizará el cobro esperado de tus oponentes.

Si

(1 – q)(P + B) – qB < 0,

debería escoger y = 0 (nunca paga)

(1 – q)(P + B) – qB < 0

lo que significa

(1 – q)(P + B) < qB,
P + B – qP – qB < qB,
P + B < q(P + 2B),

lo que nos da:

q > (P + B)/(P + 2B).

En nuestro ejemplo, cuando P = B = $100, si q > 2/3 tu oponente nunca debería ver tu apuesta (incluso si sabe que siempre apuestas y por lo tanto en tal caso siempre deberías farolear), mientras que si q < 2/3, siempre debería ver (si sabe que siempre faroleas). Ten en cuenta que este valor especial de "q" también depende únicamente del tamaño del bote y de la apuesta.

Si x = xopt, el cobro esperado de tu oponente será el mismo para todos los valores de y. Como antes, primero veremos y = 0. Nuestra ecuación para Eop nos da:

Eop y=0 = (1 – q)(1 – xopt)P.

Ahora cojamos y = 1. Esta vez tenemos:

Eop y=1 = (1 – q)[ xopt (P + B) + (1 – xopt)P] – qB.

Como Eop y = 0 tiene que ser igual que Eop y = 1, tenemos:

(1 – q)(1 – xopt)P = (1 – q)[ xopt (P + B) + (1 – xopt)P] – qB,

lo que nos da

qB = (1 – q) xopt (P + B)

((1 – q)(1 – xopt)P aparece en ambas partes, por lo que se anula), así que finalmente tenemos

xopt = qB/[(1 – q)(P + B)].

Cuando trabajos con probabilidades, normalmente escribimos 0,2 en lugar de 20%, 0,5 en lugar de 50%, etc. En este entorno fijar la probabilidad de un evento imposible es 0 (0%) mientras que "algo seguro" tiene una probabilidad de 1 (100%). La probabilidad de todo lo demás está entre el 0 y el 1.