El equilibrio de Nash y la frecuencia de farol/igualar

Introducción

La Teoría de Juegos es un área de las matemáticas que se ocupa del análisis de determinadas situaciones conflictivas, como pueden ser los juegos. En este sentido, comprendemos el concepto de "juego" como una situación en la que varios participantes que compiten por un recurso siguen diferentes estrategias, basadas o no en el juego cooperativo, con el objetivo de obtener ganancias reales.

El llamado "equilibrio de Nash" es un concepto central de la Teoría de Juegos que describe una situación en la que los jugadores alcanzan un equilibrio estratégico, al elegir cada uno la mejor respuesta a las estrategias de los demás jugadores. En este caso, nadie podrá aumentar sus ganancias si se desvía de su estrategia de forma unilateral.

En este artículo accederás a una aproximación a la Teoría de Juegos, en la que se aborda el concepto de "equilibrio de Nash" como estrategia de solución de conflictos, así como su aplicación concreta a la hora de calcular la frecuencia correcta para apostar y/o igualar. Para una óptima comprensión del texto es recomendable disponer de conocimientos básicos en materia de cálculo de matrices.

Breve introducción a la Teoría de Juegos

Desde el punto de vista de las matemáticas, un juego se describe a través de:

• El conjunto de jugadores.
• El conjunto de estrategias (puras) por jugador.
• La imagen que adjudica un pago determinado a cada perfil de estrategia (puesto que cada jugador se decide por una). De este modo, a través de dicha estrategia, a cada jugador se le atribuye un pago. Por lo tanto, con esta imagen se podrá determinar el resultado final en función de las estrategias por las que se decidan los jugadores.

En este artículo se hace referencia tan sólo a juegos de dos participantes, de modo que el éstos se puedan representar fácilmente con dos matrices A y B de dimensión m x n. Así, el jugador 1 puede elegir m estrategias S1,...,Sm y el jugador 2, n estrategias S'1,...,S'n. Si el jugador 1 sigue la estrategia Si y el jugador 2, la estrategia Sj, el pago para el jugador 1 será Aij, y para el jugador 2, Bij.

Pagos del jugador 1:

Si, por ejemplo, A=B=I2 (2x2 matriz unidad), ambos jugadores obtendrán el pago 1, siempre y cuando ambos elijan la primera estrategia o ambos elijan la segunda; en caso contrario, los dos obtendrían el pago 0.

También es lícito que los jugadores elijan estrategias mixtas, lo que significa que se seguirán varias estrategias puras con una determinada probabilidad, de modo que en su conjunto se alcanzará el 100%. Una estrategia mixta se puede representar mediante el vector p, con lo que pi muestra la probabilidad de que se elija la estrategia i-ésima.

Si el jugador 1 sigue la estrategia mixta p y el jugador 2 la estrategia mixta q , entonces obtendrás los pagos como pAq y pBq. (Lo que nuevamente conduce a seguir estrategias puras con las correspondientes entradas de las respectivas matrices).

Se dice que la estrategia p del jugador 1 es la mejor respuesta a la estrategia q del jugador 2 cuando p supone el pago máximo para el jugador 1, esto es:

pAq >= p'Aq para todas las estrategias p' del jugador 1.

Análogamente, una estrategia q del jugador 2 se podrá considerar la mejor respuesta a la estrategia p del jugador 1 cuando:

pBq >= pBq' para todas las estrategias q' del jugador 2.

Un par (p,q) con estrategia p del jugador 1 y estrategia q del jugador 2 se llamará equilibrio de Nash (de ahora en adelante, EN) cuando p sea la mejor respuesta a q y q sea la mejor respuesta a p. En cada juego existirá, como mínimo, un EN, aunque esto no tiene por qué ser así si se siguen estrategias puras.  

Un EN no tiene por qué ser "Pareto-óptimo". La Pareto-optimalidad se alcanza cuando en una situación ya no se puede beneficiar más a un jugador sin perjudicar a otro.

Del mismo modo, un par Pareto-óptimo de estrategias no tiene porqué ser un EN. A este respecto, podemos poner como ejemplo el conocido dilema del prisionero. No obstante, en este artículo no nos ocuparemos de esta cuestión, ni tampoco de otros conceptos de equilibrio que también son muy interesantes, tales como la estrategia evolutivamente estable y los equilibrios correlacionados.

Si los dos jugadores siguen tan sólo dos estrategias puras, entonces existe un sencillo método para calcular el EN, que explicaremos mediante el ejemplo de arriba A=B=I2.

Una estrategia p del jugador 1 tiene la forma (a,1-a) con a de [0,1], una estrategia del jugador 2 tiene la forma (b,1-b) para b de [0,1]. Entonces buscamos para una estrategia (b,1-b) del jugador 2 la mejor respuesta del jugador 1, al comparar el pago de las estrategias (1,0) y (0,1) (es decir, de las estrategias puras o de ambas filas de la matriz).

Si el jugador 1 elige la primera fila, entonces el pago que recibirá será b, mientras que si elige la segunda fila, entonces su pago será 1-b. Para b>1-b <=> b>0,5 la mejor respuesta será entonces la primera fila, esto es, a=1. Para b<0,5 la mejor respuesta será la segunda fila, esto es, a=0, y para b=0,5, el jugador 1 obtendrá en cualquier caso el pago 1/2, por lo que cualquier estrategia será la mejor respuesta.

Lo mismo le ocurre al jugador 2. De la misma forma, debido a la simetría en el ejemplo, obtendremos b=1 para a>0,5, b=0 para a<0,5 y b, independientemente de [0,1] para a=0,5.

Entonces, por definición, se dice que un par de estrategias es un equilibrio de Nash cuando una estrategia es la mejor respuesta a la otra estrategia correspondiente, y viceversa. Sin más, los EN pueden hallarse estudiando las curvas de reacción de ambos jugadores y considerando su punto de intersección.

Así pues, los EN de este juego son ((1,0),(1,0)), ((0,1),(0,1)) y ((0.5,0.5),(0.5,0.5)).

La frecuencia con la que debemos apostar y/o igualar

Imaginémonos la siguiente situación: el jugador 1 (fuera de posición) y el jugador 2 (con posición) están en el river, y la fuerza de la mano del jugador 2 es muy evidente. El jugador 1 sabe realmente si lleva o no la delantera, y el jugador 2 es también consciente de que el jugador 1 dispone de esa información.

Si el jugador 1 puede arruinar la mano del jugador 2, entonces lógicamente apostará por valor (el jugador 2 siempre hará check-behind, ya que realmente el jugador 1 sabe si está por delante o no). La frecuencia con la que el jugador 1 hará un farol depende lógicamente de su adversario. Obviamente, si por ejemplo se encuentra ante un calling station, claramente no hará ningún farol, pero ante un enemigo débil, seguro que sí. Para el jugador 2, la decisión de igualar o retirarse tras la apuesta de su rival también dependerá del jugador 1.

Esta situación se puede ejemplificar de la siguiente manera:

• El jugador 1 puede elegir entre las estrategias (puras) de hacer farol o de no hacer farol. Por lo tanto, una estrategia mixta (a,1-a) nos indicará que el jugador 1 está haciendo farol con una probabilidad de a en el caso de que apueste (y no que está haciendo farol con una probabilidad de a si tiene una mano basura. Encontrarás más información al respecto en el tercer apartado de este artículo).

• El jugador 2 puede elegir entre las estrategias (puras) de igualar o de retirarse. Por lo tanto, una estrategia mixta (b,1-b) nos indicará que el jugador 2 igualará con una probabilidad de b en caso de que el jugador 1 haga una apuesta.

Es relativamente fácil determinar cuáles son las mejores respuestas a una estrategia del adversario (la apuesta del jugador 1 es x veces el tamaño del bote):

Para igualar de forma rentable, el jugador 2 tiene que llevar la delantera en x*bote / ((1+2x) * bote) = x/(1+2x) de los casos, lo que significa que la mejor respuesta a la estrategia (a,1-a) es retirarse (es decir, (0,1) o bien b=0) en el caso de a < x/(1+2x).

La mejor respuesta será igualar (es decir, (1,0) o bien b=1) si a>x/x+2. Para a=x/x+2, cualquier estrategia (b,1-b) con b de [0,1] será la mejor respuesta.

Para que al jugador 1 le sea rentable hacer un farol, dicho farol debe tener éxito en x*bote/ ((x+1)*bote) = x/(x+1) de los casos, lo que quiere decir que el jugador 2 debe retirarse por lo menos en x/(x+1) de los casos.

Esto significa que la mejor respuesta del jugador 1 a (b,1-b) para b>x/(x+1) será no hacer nunca un farol (es decir, (0,1) o bien a=0), mientras que para b la mejor respuesta será siempre hacer un farol (es decir, (1,0) o bien a=1), y para b=x/(x+1) cualquier estrategia será la mejor respuesta.

Por consiguiente, obtendremos como único equilibrio de Nash: x/(1+2x),1-x/(1+2x),(x/(x+1)),1-x/(x+1)).

Significado práctico del equilibrio de Nash

Analicemos ahora la situación, por ejemplo, desde el punto de vista del jugador 2. Supongamos que x=1 (es decir, que el jugador 1 hace una apuesta por el tamaño del bote). En el equilibrio de Nash seguimos la estrategia (0.5,0.5). Si por casualidad igualamos en el 50% de los casos y nos retiramos en el otro 50% de los casos, en esta situación no seremos rentables para nuestro adversario, ya que éste no podrá mejorar su valor previsto aunque tome una buena decisión.

Cualquiera de las estrategias que elija será una respuesta igual de óptima a nuestra estrategia. Pero claro, la estrategia (0.5,0.5) no será siempre la mejor respuesta a la estrategia del jugador 1. Como es lógico, para ir bien nosotros siempre querremos reaccionar con la mejor respuesta. Si nuestro adversario es, por ejemplo, una roca, nos será relativamente fácil predecir su estrategia y elegir la mejor respuesta. En esta situación, a nadie se le ocurriría igualar la apuesta en el 50% de los casos.

Sin duda alguna, un buen rival cambiará su estrategia cada vez que se encuentre ante una situación como ésa e intentará readaptar su estilo de juego al nuestro, mientras que, lógicamente, nosotros también intentaremos adaptarnos a estos cambios, entre otras cosas. Lo mejor es que estemos siempre un paso por delante de nuestro adversario, es decir, que nuestras ideas le lleven ventaja a las suyas. Y es que sólo entonces podremos predecir su estrategia relativamente bien, esto es, valorar si en ese momento del juego intentará hacernos un farol o no.

No obstante, también podemos encontrarnos con adversarios que dominen toda esta cuestión mejor que nosotros. Contra este tipo de rivales lo mejor es seguir una estrategia de la que no puedan obtener beneficio alguno. Si lo hacemos así, en esta situación no permitiremos que nuestro rival nos lea mejor que nosotros a él. Si, por ejemplo, nosotros tuviésemos sus cartas, obtendríamos tantas ganancias como si él jugara contra nosotros, ya que podríamos seguir la estrategia del equilibrio de Nash.

Observaciones

a) Si quisiéramos actuar en el 50% de los casos, de ser posible deberíamos hacerlo de forma aleatoria y no por medio de una estrategia fácilmente reconocible. Una forma sencilla de generar esta sensación de aleatoriedad, es decir, de fingir que todo ocurre por casualidad, es recurrir al segundero de un reloj de pulsera. También puede sernos útil la carta que se reparte en el river, por ejemplo, si igualamos cuando presente un valor par, o si nos retiramos cuando su valor sea impar. Sin embargo, hay que tener cuidado con ser fácilmente predecibles si nuestra estrategia es demasiado evidente y nuestro rival es muy observador.

b) Como ya hemos mencionado en el apartado 2 de este artículo, la estrategia (a,1-a) del jugador 1 indicaba, en ese caso, que dicho jugador estaba haciendo un farol en total con una probabilidad de a, es decir, no hacía farol con una probabilidad de a en caso de tener una mano basura. Pero esta información en sí misma no nos sirve para nada, ya que también hay que contar cuántas veces se tiene la mano que se aparenta y cuántas veces no.

Imaginémonos que encima de la mesa tenemos las siguientes cartas: JT42. Tenemos claro que el jugador 1 tiene un proyecto (de escalera o de color) y que el jugador 2 tiene una mano hecha. Ahora el river trae un 6. Con KQ queremos determinar con qué frecuencia deberíamos hacer un farol, así que lo primero que tenemos que hacer es reflexionar con qué frecuencia podríamos ligar un color.

Por ejemplo, (A9-A5, A3, A2, 97, 87, 86, 76, 75, 65, 53) podría ser un rango real en un total de 14 manos. Un proyecto fallido de escalera puede ser igual de frecuente. (Se trata de 7 combinaciones de KQ y 98, si partimos de la base de que antes habríamos jugado de otro modo un OESD + proyecto de color).

Si ahora en total queremos hacer un farol con una probabilidad de 1/3, entonces necesitaremos 7 manos con las que hacer dicho farol (7/(14+7)=1/3). Así pues, si tenemos un proyecto fallido tendremos que hacer un farol en el 50% de los casos: (7/14 = 1/2).

Si en esta situación descartamos el 98 (posiblemente debido a cómo ha salido todo antes del flop), no ligaremos ningún color sólo en el 33% de los casos, por lo que ante esta situación deberíamos hacer un farol siempre.

c) Si, como jugador 2, esperamos que nuestro rival haga un farol con una frecuencia que se ajusta al EN, en ese caso deberíamos igualar, siempre y cuando tengamos blocker en nuestra mano. (Se llama "blocker" a las cartas que aparecen en nuestra mano y que necesita nuestro rival para poder completar su proyecto).

Si, siguiendo con el ejemplo del punto b), tenemos AJ en nuestra mano, en ese caso ya no podremos contar con 7 de las 14 manos para ligar el color, ya que efectivamente contienen un as (por lo que estas manos quedarían "bloqueadas"). Si nuestro adversario hace lo que se dice en el punto b), entonces calculará una frecuencia de farol incorrecta para sus proyectos fallidos, ya que pensará que puede tener un color con una frecuencia que no es la real, por lo que hará un farol en el 50% de los casos, en vez de en el 33% de los casos, que sería lo correcto.

Lo mismo ocurre cuando el river trae un 9 en vez de un 6 y tenemos QQ. Si nuestro rival apuesta pensaremos que tiene KQ, y eso que en esta situación la mitad de las combinaciones KQ tampoco son posibles.