Mathématiques : à quoi sert l'espérance de gain (EV) ?
Introduction
Dans cet article
- EV = Gains * probabilité de gain - pertes * probabilité de perte
- Comment calculer la meilleure action
- Comment appliquer la formule EV pour analyser votre jeu
L'espérance de gain (expected value - EV) d'une action vous indique les gains ou pertes que vous allez, en moyenne, réaliser en choisissant cette action précise. Au Poker, il "suffit" de connaître l'espérance de gains de chaque action pour pouvoir être en mesure de prendre la meilleure décision possible.
Si, par exemple, vous hésitez entre suivre une mise ou vous coucher, alors l'espérance de gains peut vous indiquer laquelle des décisions est la meilleure. Il est certes souvent possible de choisir entre ces deux moves à l'aide des calculs d'outs et de cote, concept qu'il vous faut avoir à tout prix compris, mais les calcul d'espérance de gains vous permettent d'aller bien plus loin.
Dans cet article, nous allons vous apprendre à calculer l'espérance de gains d'une action. Vous apprendrez également comment l'utiliser pour choisir la meilleure alternative. Enfin, vous apprendrez à vous servir de l'espérance de gains pour analyser votre jeu après coup.
Afin de bien comprendre le contenu de cet article, il est essentiel que vous ayez compris les principes de cote et d'outs. Il peut également être judicieux de rafraîchir vos connaissances de mathématiques concernant le calcul de probabilités ainsi que les équations.
Comment calculer l'espérance de gains ?
Admettons que quelqu'un vous fasse une offre. Il vous propose deux enveloppes. Dans l'une d'elles se trouvent 5 €, dans l'autre 20 €. Vous n'avez aucune possibilité de savoir dans quelle enveloppe se trouve le billet de 20 €.
La personne vous propose de choisir une des enveloppe, et de lui donner 10 € en échange. Devriez-vous accepter son offre ? Pour décider si, oui ou non, vous devriez le faire, vous pouvez faire appel au calcul de l'espérance de gains. Celle-ci vous indique les gains ou pertes que vous réalisez en moyenne, en acceptant ce marché une infinité de fois.
Pour calculer l'espérance de gains, il vous faut quatre valeurs :
- Combien pouvez-vous perdre ?
- Combien pouvez-vous gagner ?
- Quelle est la probabilité de vous gagniez ?
- Quelle est la probabilité que vous perdiez ?
L'abrégé de l'espérance de gains est EV (expected value), et il existe une formule simple pour calculer l'EV.
Vous soustrayez donc les pertes des gains, et vous déduisez l'espérance de gain en regardant le résultat de l'opération. Dans la formule ci-dessus, on distingue entre gains et pertes. Mais on peut également parler de "décomptes". Si un décompte est positif, vous gagnez, si il est négatif, vous perdez .
La formule générale est la suivante :
Cette formule considère :
- Qu'est ce qui peut se passer ?
- Décomptex : Combien recevez ou payez-vous si un événement x arrive ?
- Probabilitéx : Quelle est la probabilité qu'il arrive ?
C'est-à-dire qu'au lieu de calculer les gains ou pertes séparément, vous regardez simplement le résultat de chacun des événements. Le décompte peut ainsi être positif (vous encaissez des gains) ou négatif (vous essuyez des pertes). C'est pourquoi il n'y a dans cette formule aucun signe de soustraction. En cas de pertes il s'agit d'une valeur négative, et le plus devient donc un moins.
En considérant toutes les issues possibles d'une situation donnée, vous pouvez définir avec précision l'espérance de gains. Vous recherchez d'abord ce qui peut se passer. Vous recherchez ensuite dans quels cas isolés vous faites des gains, et dans quels cas des pertes. Ensuite, vous devez définir la probabilité de chacun des cas. À la fin, vous additionnez chacun des résultats.
Dans notre exemple, les deux issues sont de probabilités égales. Vous tomberez aussi souvent sur l'enveloppe A que sur l'enveloppe B. La probabilité de chacune des issues est donc de 50 %.
Cela signifie que dans 50 % des cas, vous gagnez 5 €, l'argent de l'enveloppe A, et dans 50 %, vous gagnez 20 €, le contenu de l'enveloppe B. En revanche, vous perdez 10 € de manière constante, c'est-à-dire dans 100 % des cas.
Appliquons donc ces valeurs á la formule :
- Dans 100 % des cas, vous perdez 10 €, que vous payez dans chaque situation.
- Dans 50% des cas, vous gagnez 5 €.
- Dans 50 % des cas, vous gagnez 20 €.
La formule est donc :
EV = gains(enveloppe A) * 50% + gains(enveloppe B) * 50% – perte(mise) * 100%
EV = 5 € * 50% + 20 € * 50 % - 10 € * 100%
50% - C'est toujours la moitié. 50% de 5€ sont donc 2,5 €. 50 % de 20 € sont 10 €.
EV = 2.50 Euro + 10 Euro – 10 Euro
EV = 2.50 Euro
Cela signifie que vous faites en moyenne 2,5 € de gains, en acceptant l'offre. L'espérance de gains est positive, on dit donc que la situation est EV+ pour vous (et EV- pour votre vis à vis). Vous avez sans doute déjà entendu parlé d'EV+ et EV- dans les forums, coachings et vidéos PokerStrategy. Vous savez désormais ce que ces termes signifient.
Comment définir la meilleure décision à l'aide de l'EV ?
Jusqu'à présent, c'était plutôt simple, mais cela peut devenir compliqué lorsque vous commencez à analyser des situations de jeu. Si, par exemple, vous êtes au turn avec une décision call or fold, alors vous faites le calcul suivant : vous calculez l'espérance de gains du call. Ensuite, vous calculez l'espérance de gains d'un fold. Ensuite, vous comparez les deux valeurs. La plus élevée des deux correspond à l'action qu'il vous faut effectuer.
Commençons par un exemple abstrait. Vous avez deux événements : A et B. La probabilité que A se réalise est de 80%, contre 20 % pour B.
| Événement A se réalise | Événement B se réalise | |
| Probabilité | 80% | 20% |
Dans cet exemple, vous pouvez miser sur l'événement A ou B. Si vous misez sur A, et que A arrive, vous remportez deux euros. Mais perdez quatre euros si B arrive.
En revanche, si vous misez sur B, vous remportez quatre euros si B arrive, et perdez 2 euros si A se réalise.
| Événement A se réalise | Événement B se réalise | |
| Vous avez misé sur A | Vous gagnez 2€ | Vous perdez 4€ |
| Vous avez misé sur B | Vous perdez 2€ | Vous gagnez 4€ |
Afin de définir s'il est préférable de miser sur A ou sur B, vous devez définir l'espérance de gains de chacune des mises. Vous devez ensuite les comparer.
EV = Gains * Probabilités de gain – Pertes * Probabilité de perte
EV(A) = 2€ * 80% - 4€ * 20%
EV(B) = 4€ * 20% - 2€ * 80%
L'espérance de gains de A est le résultat de l'opération considerant le fait que l'on gagne 2 € dans 80 % des cas, et que l'on perd 4 € dans 20 % des cas (quand l'événement B se réalise). Faisons le calcul.
EV(A) = 2€ * 80% - 4€ * 20%
EV(A) = 1,6€ - 0,8€
EV(A) = 0,8€
On sait ainsi d'ores et déjà que miser sur A a une espérance de gain positive. En moyenne, on gagne 80 centimes à chaque fois que l'on mise sur A. Qu'en est-il de B ?
EV(B) = 4€ * 20% - 2€ * 80%
EV(B) = 0,8€ - 1,6€
EV(B) = -0,8€
Ici, vous voyez que de miser sur B équivaut à des pertes. L'espérance de gains est négative. Cela signifie que vous perdez en moyenne 0,80 € à chaque fois que vous misez sur B.
Si vous comparez les deux espérances de gains EV(A) et EV(B), vous reconnaissez que EV(A) est supérieur à EV(B).
EV(A)>EV(B)
D'un côté 80 cents de gains, de l'autre 80 cents de pertes. Il est donc évident que miser sur A est la meilleure décision. Vous avez ici appris un principe essentiel du poker.
Ce principe est fondamental. Observez bien la formulation : on ne cherche pas l'action qui représente le plus de gains, mais l'action avec la plus grande espérance de gains. Il arrive que toutes les actions possibles aient une espérance de gains négative, cependant, parmi toutes ces actions, l'une amène de moins grandes pertes que les autres, et a donc l'espérance de gains la plus élevée, dans la mesure où les autres actions représentent des pertes encore plus élevées. (Notez ici que la traduction espérance de gain peut prêter à confusion, le terme anglais laisse moins de place à l'ambiguité : expected value signifie littéralement "valeur (ou value dans le cas du poker) attendue".)
A quoi sert l'espérance de gains en Texas Hold'em ?
Admettons que vous soyez sur le turn face à un adversaire.
Vous avez : T
9
Le tableau est : 6
7 2 4
Vous avez un tirage gutshot, c'est à dire qu'il vous faut un huit pour avoir une quinte. Vous êtes certains que votre adversaire a une overpair, deux dames ou deux rois, peut-être.
Vos outs sont intacts, il vous faut donc un des quatre 8 du talon pour remporter la main. Ce sont quatre cartes sur 46 cartes inconnues. La probabilité qu'un huit tombe sur la river est donc de 4/46, soit environ 8,7 %. Il s'agit là de la probabilité de gains.
La probabilité de pertes est tout simplement la probabilité qu'un huit ne tombe pas sur la river. Il s'agit donc de toutes les cartes inconnues hormis les quatre huits, soit 42 cartes. La probabilité de pertes est donc de 42/46, soit 91,3 %.
Il nous faut encore définir gains et pertes. Le pot est de 5 $. L'adversaire mise 1 $. Vous pouvez donc remporter 6 $.
Les pertes possibles dont de 1 dollar, que vous devez payer pour voir la carte suivante.
Votre espérance de gain si vous suivez la mise est de :
EV(call) = Gains * probabilité de gain – pertes * probabilité de perte
EV(call) = $6 * 8,7% - $1 * 91,3%
EV(call) = - $0,39
Le chiffre est négatif, vous perdez donc de l'argent. Pour chaque dollar que vous investissez, vous abandonnez 39 cents au profit de votre adversaire. Vous ne récupérez que 61 cents sur les 100 cents investis. Il s'agit donc d'un mauvais investissement. Vous récupérez moins d'argent que ce que vous avez investi. C'est donc EV-.
Dans la pratique, vous ne pouvez vous arrêter à ce constat. Qu'un call signifie des pertes, n'indique en rien l'espérance de gains des autres actions.
L'espérance de gain d'un fold est toujours de zéro.
EV(fold) = $0
Vous n'investissez pas plus d'argent, et ne pouvez en gagner, puisque vous vous couchez. Vos gains et pertes sont donc tous deux neutres. En passant, je tiens à vous rappeler que l'argent investi auparavant ne compte pas dans ce calcul. L'argent a été investi lors des tours précédents, et fait donc parti du pot.
Afin de savoir si vous devriez suivre ou vous coucher, vous devez comparer les deux espérances de gains :
EV(fold) = $0
EV (call) = -$0,39
EV(fold) > EV(call)
Cela signifie qu'un fold est meilleur qu'un call, dans cette situation.
L'EV sert également à autre chose ?
Au poker, il convient de choisir l'action qui, parmi toutes les actions possibles à un moment donné, offre l'espérance de gains la plus élevée. Si cette espérance de gains est supérieure à zéro, alors vous faites des gains.
Si vous utilisez la formule ci-dessus, ce que vous devriez par exemple faire lorsque vous analysez des mains, durant lesquelles vous aviez des doutes au moment de les jouer, alors vous pouvez vous poser la question suivante (ici, adaptée à l'exemple précédent du gutshot sur le turn) : A combien le pot devrait-il s'élever pour que je puisse suivre les 1 $ avec mon gutshot, et avoir une espérance de gains positive ?
Ceci est dans le formule des gains possible
EV(call) = gains * probabilité de gain – pertes * probabilité de perte
Vous voulez savoir quand votre espérance de gain est positive, pour ce faire :
EV(call) > 0
Vous pouvez maintenant coordonner ces deux formules. Ceci nous donne :
EV(call) > 0, lorsque :
gains * probabilité de gain – pertes * probabilité de perte > 0
Modifions maintenant la formule, de façon à isoler le gain, car c'est lui que nous cherchons. Si vous avez des difficultés à suivre, alors je vous invite à aller chercher sur internet une page où les règles d'équations.
EV(call) > 0, lorsque :
EV(call) = gains * probabilité de gain – pertes * probabilité de perte > 0
Gains * probabilité de gain > pertes * probabilité de perte
Gains > perte * probabilité de perte / probabilité de gains
Nous avons les valeurs concrètes pour ces trois variables :
Pertes = $1
Probabilité de perte= 42/46
Probabilité de gain = 4/46
Vous arrivez donc au résultat suivant :
EV(call) > 0, lorsque:
Gains > pertes * probabilité de perte / probabilité de gain
Gains > $1 * 42/46 / (4/46)
Gains > $1 * 1932/184
Gains > $10.5
Le pot doit donc contenir plus de 10.5 $ pour justifier la mise de 1 $. Vous connaissez déjà ce principe, grâce aux articles sur les cotes et les outs. La cote pour un tirage gutshot sur le turn est de 1:11. Vous avez appris que vous ne pouvez donc suivre cette mise que si vous pensez pouvoir la récupérer 11 fois cette mise.
Avec le calcul de l'espérance de gains, vous êtes arrivé au même resultats qu'avec le calcul des cotes et outs. Et ceci, pour une raison très simple. Comme déjà indiqué, la probabilité de toucher un de vos outs est de 4/46, soit 8,7 % (4/46 = 0.087, que l'on multiplie par cent pour obtenir le pourcentage).
Autrement dit : dans environ un cas sur douze, vous toucherez votre quinte (100 % / 8,7 %). Les américains calculent cela en cote : 11:1 - dans 11 cas vous ne touchez pas votre quinte, et dans un cas vous la touchez, Vous avez ainsi à nouveau l'écriture en cote, avec laquelle vous êtes sans doute plus familier. Vous pouvez donc transformer directement l'espérance de gains en cote, ou cote du pot.
Le même principe, obtenu par un autre calcul.
En résumé
Résumons. Afin de calculer l'espérance de gains, vous devez comparer les gains et les pertes, selon la probabilité que vous gagniez ou perdiez.
EV = gains * probabilité de gain – pertes * probabilité de perte
Vous savez ainsi combien de gains ou pertes vous faites en moyenne
Dans la plupart des applications, vous allez choisir la formule où vous désignez les gains et pertes comme "décomptes". Si le décompte est positif, vous faites des gains, s'il est négatif, vous essuyez des pertes.
EV = décompte1 * probabilité1 + décompte2 * probabilité2 + … + décompten * probabilitén
Si vous souhaitez analyser une situation de jeu, alors vous devez définir quelles sont les issues possibles, quelle est la probabilité de chacune, et quels sont vos gains et pertes dans chaque cas. Vous appliquez ensuite la formule à ces valeurs, et vous obtenez l'espérance de gains.
Si vous êtes confrontés à plusieurs décisions possibles, et souhaitez savoir laquelle est la plus rentable, alors vous devez définir l'espérance de gains de chacune des actions. Vous comparez ensuite les espérances de chacune, et optez pour la plus élevée.
Vous avez maintenant appris comment baser votre jeu sur une fondation mathématique solide. L'équation peut tout d'abord effrayer, par sa complexité, mais c'est en principe assez simple. Si vous ne l'avez pas encore parfaitement compris, alors, demandez dans nos forums.
La plupart des concepts de jeu et articles stratégiques à venir requièrent une certaine compréhension du calcul de l'espérance de gains. Prenez donc le temps de bien comprendre les concepts d'espérance, car ils représentent une étape important de votre apprentissage du poker, au même titre que le calcul des cotes et outs.
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