De quelle taille devrait-être votre bankroll de départ ?

Introduction

Dans cet article :

• 50 $ sont-ils préférables à 1000 $ ?
• À combien devrait s'élever votre bankroll de départ ?

Chaque nouveau membre PokerStrategy.com reçoit un capital de départ gratuit de 50 $ sur une room partenaire de PokerStrategy.com. C'est volontairement que nous appelons cet argent capital de départ, et non pas bankroll gratuite, ou no-deposit bonus, comme c'est généralement le cas.

Ce capital a été le point de départ de la carrière de poker de bon nombre de nos membres. La question est, bien entendu, de savoir si les 50 $ sont vraiment suffisants pour un joueur ambitieux, ou s'il serait préférable d'investir une plus grosse somme de sa poche, afin de démarrer sa carrière plus rapidement.

Cet article s'efforce de répondre à cette question, et essaye d'établir la différence entre un joueur qui débute avec 50 $, et un autre qui débute avec 1000 $. Le joueur avec le plus gros capital a-t-il vraiment un avantage ?

Les résultats de cette recherche s'appliquent à tous types de jeux, même si cet article va traiter du NL Hold'em au nom de tous les autres.

L'approche

Le succès monétaire d'un joueur de poker dépend avant tout de deux facteurs :

De ses skills : Joue-t-il bien ? Quelle est la taille de son edge sur ses adversaires à une limite donnée ? Ce terme doit être considéré de manière générale et implique également certains aspects externes au jeu comme la sélection de la table et l'autogestion d'un point de vue psychologique.

De la limite jouée : Quelles limites peut-il jouer ? Plus il joue haut, plus sa courbe de gain peut-être élevée, et donc, plus ses gains absolus sont élevés, si toutefois sa courbe de gain est positive.

Afin de déterminer les différences entre les joueurs commençant avec des capitaux de départs divers, nous allons modéliser quatre types de joueurs dans les paragraphes suivants. Nous allons y formuler des suppositions sur le développement de leurs skills, sur les limites jouées, ainsi que sur leur gestion de la bankroll.

Ces modèles seront ensuite comparés dans une simulation de leur carrière de poker respectives, et nous comparerons ensuite les résultats de chacun.

Suppositions préalables à la simulation

Prenons quatre joueurs, A, B, C et D :

• Le joueur A débute avec 50 $, il s'agit d'un pokerstratège type.
• Les joueurs B, C et D débutent tous leur carrière avec 1000 $.

Les quatre joueurs ont les mêmes connaissances de base en terme de stratégie du poker, et ont tous un niveau de débutant qui s'est familiarisé avec la stratégie de base.

Suppositions sur l'évolution des skills et les limites

Afin de pouvoir réaliser une simulation, nous allons attribuer une valeur aux capacités pokeristiques de chacun des joueurs. Celle-ci grandit avec le temps, et ce, de manière identique pour les quatre joueurs. L'évolution des skills est indiquée par une fonction racine carrée, elle monte donc fortement au début, pour s'aplanir de plus en plus sur la fin.

Nous allons, par ailleurs, partir du principe que chaque limite requiert une somme de skills donnée, afin d'être break even (break even = résultats neutres, pas de gains, pas de pertes). Si les capacités d'un joueur sont inférieures à cette valeur, alors il accuse des pertes. Si  elles sont supérieures, alors il réalise des gains. Les gains dépendent donc aussi bien des capacités individuelles que de la limite jouée (de plus grosses mises signifient une plus grosse marge). Pour ces considérations, nous allons utiliser les limites NL2, NL5, NL10, NL25, NL50 et NL100.

En incluant ceci à la courbe des skills, on obtient le graphique suivant :

Fonction skills : supposition d'évolution idéalisée des skills au cours du temps   Axe y : skills Axe x : temps

Les parallèles à l'axe x représentent les skills nécessaires afin de battre les limites correspondantes.

Suppositions sur la gestion de la bankroll

Les joueurs A et B pratiquent tous deux une gestion de la bankroll à 20 tapis. Ils jouent tous deux toujours à la limite la plus élevée pour laquelle ils disposent de 20 tapis. S'ils ont moins de 20 tapis, ils redescendent.

Les joueurs C et D sont des joueurs plutôt hypothétiques. Le joueur C joue toujours à la limite la plus élevée où sa courbe de gain est positive, et le joueur D joue toujours à la limite où sa courbe de gain en terme de dollar est la plus élevée.

En résumé, cela nous donne :

Pas de variance

Même si les variations à court terme sont une partie indissociable du poker, nous n'allons pas prendre la variance en compte dans notre traitement de la question posée par cet article.

Comment la simulation fonctionne

Ce paragraphe s'adresse plutôt aux gens intéressés par le fonctionnement mathématique détaillé de cette simulation. La simulation peut être réalisée par plusieurs biais, et nous avons opté pour le suivant :

La fonction de skills supposée  : skill(t) = t^(0.55)

Cette fonction décrit l'évolution des capacités pokeristiques d'un joueur. Nous n'avons pas reproduit exactement la fonction racine carrée, afin de représenter la valeur de break-even aux différentes limites de manière plus plausible.

L'alternative aurait été de varier chaque valeur indépendamment. Mais les changements ont une influence assez anecdotique sur le résultat final.

Pour les skills de break even aux différentes limites, nous avons utilisé :

Il s'agit là des skills que chaque joueur doit atteindre afin de ne générer ni gain ni perte à la limite correspondante. S'il est sous cette valeur, il perd de l'argent. S'il est au dessus, il génère des gains.

Pour la simulation, il nous faut une fonction qui indique la limite jouée selon la valeur de la bankroll. Ici, les joueurs A, B C et D diffèrent.

Nous allons donc calculer la bankroll par itération. Cela fonctionne mieux par étapes de 1, donc :

roll(0) = Capital de départ
roll(t+1) = roll(t) + limite( roll(t) ) * ( skill(t) - skill2( limite( roll(t) ) ) )

limite( roll(t) ) dépend des joueurs et répond à la question si le joueur est gagnant ou si le joueur utilise la règle des 20 tapis.

skill2(limite) indique la valeur dont un joueur a besoin pour appliquer un jeu break even. À chaque étape, la bankroll augmente donc du winrate  (skill(t)-skill2(limite)) multiplié par la limite jouée. Le même principe qu'au poker.

On pourrait continuer ce calcul de manière quasi continue, en choisissant un espacement des étapes plus faibles, et un nombre d'étapes plus élevé. Mais ce n'est pas ce que nous recherchons, d'autant que le réalisme y perd un peu.

Admettons qu'un joueur se situe entre deux limites, en terme de skills et de bankroll. Si un joueur atteint la bankroll pour la limite supérieure, alors il doit monter puis immédiatement redescendre, car il perdra une petite somme. Il remonte alors immédiatement en raison du fait qu'il aura gagné une petite somme, et ainsi de suite. Avec un nombre d'étapes élevé, on obtient donc une ligne droite située sur la limite du jeu break even pour une limite donnée, jusqu'à ce qu'il ait les skills pour la limite supérieure. Une telle courbe serait peu réaliste, c'est pourquoi nous avons opté pour un éloignement plus important entre les étapes. Celui-ci permet de petites étapes dans la limite supérieure ou inférieure, jusqu'à ce que la limite supérieure soit battue.

Toutes les fonctions nécessaires ont maintenant été expliquées. À l'aide de l'itération, nous allons établir un certain nombre de valeurs que nous allons représenter graphiquement, concernant les capitaux de départ ainsi que le nombre d'étape et la taille des étapes.

Les résultats absolus

Laissons les quatre joueurs jouer au poker un certain temps, faire progresser leur jeu selon la fonction de skills, et monter les limites en accord avec leur gestion de la bankroll respective. À quoi ressemble leur bankroll après un certain temps ?

Regardons tout d'abord l'évolution de la bankroll du joueur A, qui a débuté avec 50 $.

Bankroll joueur A   Axe y : bankroll en $ Axe x : temps

Le graphique correspond à peu près à ce que l'on pouvait en attendre en ne prenant pas la variance en compte. Les gains par étapes grossissent d'une part en raison de l'amélioration des skills, et d'autre part en raison des limites jouées plus élevées. Ainsi, les gains grossissent de manière constante. Mais ce qui importe, c'est la comparaison avec les autres courbes. Regardons donc tout d'abord celle du joueur B.

Bankroll joueur B   Axe y : bankroll en $ Axe x : temps

Comme on pouvait s'y attendre en considérant la courbe des skills, le joueur B commence par perdre une partie de son argent, car il débute à une limite qui dépasse ses capacités de joueur.

Tandis que le joueur A n'est que brièvement perdant, et devient un winning player ininterrompu à partir du moment où il bat la NL2, le joueur B est perdant en NL50 et 25 avant que ses qualités de joueur ne lui permettent de battre une limite.

C'est arrivé à ce point que le joueur B commence à gagner de l'argent. Après ça, sa courbe adopte une évolution comparable à celle du joueur A. C'est d'ailleurs logique, puisque tous deux ont la même évolution de skills et utilisent la même gestion de la bankroll.

Passons au joueur C. Il joue toujours à la limite la plus élevée qu'il bat. Son graphique et le suivant.

Bankroll joueur C   Axe y : bankroll en $ Axe x : temps

Contrairement au joueur B, il ne perd pas de grosse somme. Mais il n'est pourtant pas non plus en mesure d'atteindre un résultat final bien plus élevé. Ici aussi, on voit une erreur évidente de l'adversaire : à chaque passage d'étape, sa courbe de gain commence par être de 0, car il monte sitôt qu'il est break even. Il lui faut donc du temps pour avoir un edge à la limite donnée, et donc pour générer des gains.

Passons maintenant au joueur optimal. Il exploite toujours la courbe de gain la plus élevée, et aura donc de meilleurs résultats que ces concurrents. La question est : à quel point ? La réponse :

Bankroll joueur D   Axe y : bankroll en $ Axe x : temps

La courbe a nettement moins de cassure, dans la mesure où ses montées dans les limites ne représentent jamais un changement dans sa courbe de gain, puisqu'il monte toujours au moment optimal. Ses résultats sont donc plus élevés que ceux des autres joueurs.

Ce qui est intéressant c'est la comparaison des joueurs B, C et D avec un capital de départ important, et du joueur A avec ses 50 $ de capital de départ.

Comparaison des résultats

Puisque les joueurs disposent tous d'un capital de départ différent, une considération des différences de bankroll pour le délai donné nous donne des éléments de réponse sur le succès monétaire des joueurs. Donc, dans quelle mesure un joueur a-t-il plus d'argent qu'un autre à un moment donné de sa carrière de poker ?

Joueur A vs. joueur B

Comparons tout d'abord les joueurs A et B. A débute avec 50 $, tandis que B se lance avec 1000 $. Tous deux poursuivent une même gestion de la bankroll.

Dans le graphique, nous allons, à tout moment, déduire la bankroll du joueur A de celle du joueur B. Le graphique commence donc avec une valeur de 950 $ (1000 $ - 50 $).

Différence de bankroll entre A et B   Axe y : différence de bankroll du joueur A et du joueur B, en $ Axe x : temps

Puisque le joueur B perd beaucoup d'argent en débutant aux limites élevées, les deux valeurs se rapprochent assez vite, jusqu'à ce que la différence ne représente plus que 300 $. C'est une fois que les skills du joueur B ont augmenté assez pour qu'il réalise des gains que la différence grossit à nouveau, en raison de la marge monétaire encore importante, qui lui permet de jouer à des limites plus élevées.

La différence entre les deux bankrolls se stabilise à 700 $. Dans ce modèle simplifié, cette valeur restera ensuite éternellement là même, dans la mesure où les deux joueurs ont la même courbe de gain à la limite maximale de notre simulation.

Nous pouvons donc dire : le joueur B, qui avait une avance de 950 $ sur le joueur A en début de carrière, n'a pas été en mesure d'en tirer un avantage. Au contraire ! S'il avait commencé avec 50 $ au lieu de 1000m il aurait gagné 150 $ de plus. La raison vient bien sûr des limites trop élevées qui lui ont fait perdre beaucoup en début de carrière.

Joueur A vs. joueur C

Comparons maintenant le joueur C et le joueur A. Le type de joueur C est, certes, assez théorique, mais il évite au moins de perdre de trop grosses sommes.

Ici les variations sont bien moins fortes que dans l'exemple précédent. Après un peu plus de la moitié du délai, le joueur C réalise un petit avantage face au joueur A, car le joueur A battrait déjà la NL25, mais ne peut pas encore y jouer en raison de sa bankroll trop faible.

Lorsque le joueur A monte, l'avantage est relativisé. Vers la fin, la différence est d'environ 900 $. Le joueur A a donc réalisé une meilleure performance, alors qu'il n'a commencé qu'avec 50 $, soit 950 $ de moins que son vis-à-vis.

Différence de bankroll entre A et C   Axe y : différence de bankroll du joueur A et du joueur C, en $ Axe x : temps

Joueur A vs. Joueur D

Pour finir, une comparaison avec le joueur D, qui est le joueur optimal. Il a commencé avec 1000 $ et joue toujours à la limite sur laquelle il génère le plus de gains. Voici la différence :

Différence de bankroll entre A et D   Axe y : différence de bankroll du joueur A et du joueur D, en $ Axe x : temps

Le joueur D est en mesure de générer un avantage de 1500 $, soit 550 $ de plus. Le joueur D exploite l'avantage que lui offre sa bankroll plus élevée, et peut donc monter sitôt que les skills le lui permettent. Le joueur A, en revanche, doit se bâtir une bankroll suffisante aux petites limites.

Est-ce que cela signifie que le départ idéal d'une carrière de poker résulte d'un lancement de carrière avec 1000 $ de sa propre poche ?

Discussion des résultats

Ici, il convient de prendre en compte un certain nombre de facteurs. D'une part, les joueurs B et C ont tous deux joué d'une manière "stupide" dans une certaine mesure. Le joueur B, de par sa mauvaise gestion de la bankroll a perdu une grosse partie de son argent au lieu de descendre plus tôt.

Le joueur C abandonne une partie de sa courbe de gain en $ à chaque fois qu'il monte une limite où il joue en break even. On reconnaît ceci du fait que l'évolution de sa bankroll contient bon nombre de zones planes (parallèles à l'axe temps). S'il avait continué quelque temps à jouer à la limite inférieure, il aurait gagné plus.

Les deux joueurs, aussi bien le joueur B, plus réaliste, que le joueur C, plus théorique, ont réalisé des performances moins bonnes que le joueur qui a débuté avec 50 $, et ce, malgré leur capital de départ plus élevé. Seul le joueur D est en mesure de tirer avantage, à long terme, de sa bankroll de départ supérieure. Cet avantage est très important au départ, mais ne s'élève plus qu'à environ 20 % de la bankroll du joueur A en fin de simulation.

Voilà donc l'enseignement que l'on peut tirer de cette discussion : en partant des suppositions présentées dans cet article, démarrer avec un capital plus élevé ne présente pas vraiment d'avantage. Seul un joueur capable d'évaluer avec exactitude la courbe de gain qu'il générera aux différentes limites peut réaliser un avantage de 20 %, avec un capital de départ de 2000 % plus élevé.

Cela est tout simplement dû au fait qu'un joueur avec un capital de départ faible aurait assez rarement une courbe de gain plus élevée à une limite pour laquelle la bankroll lui fait défaut qu'à la limite à laquelle sa bankroll lui permet de jouer.

Le système se régule de lui-même de manière quasi optimale. Un des avantages d'une grosse bankroll de départ, que ce modèle ne prend pas en compte, est qu'elle permettrait de mieux encaisser les swings. La manière la plus habile pour un débutant de gérer un capital de départ élevé serait donc de débuter également aux plus petites limites, et de monter après un délai donné, et en évaluant l'évolution de ses capacités.

L'influence de la variance sur la bankroll de départ de 50 $ serait ainsi minimisée. Ce joueur pourrait donc tirer un véritable avantage de son capital de départ élevé, si toutefois il était vraiment en mesure d'évaluer ses propres skills de manière objective.

Mais cet avantage n'est pas nécessaire afin de gagner au poker, et est relativisé par le fait que les 50 $ vous sont offerts par PokerStrategy.com, tandis que les 1000 $ devraient être payés de votre propre poche, et qu'il convient d'y réfléchir à deux fois avant d'effectuer un tel investissement, dans le seul but de minimiser les swings en NL10.

En résumé

Le départ avec 50 $ est assez optimal. Dans certaines conditions, débuter avec un capital plus élevé générerait un très léger avantage. Mais on est en droit de se demander dans quelle mesure il est possible de véritablement reproduire ce cas idéal dans la réalité.

Et l'avantage relatif n'est que de 20 % de la bankroll finale, pour un investissement initial 2000 % plus élevé. Bien entendu, avec une bankroll de départ inférieure à 1000 $, mais supérieure à 50 $, l'avantage sera inférieur à 20 %. On peut donc dire que, dans le meilleur des cas, on gagne un avantage minime en investissant largement plus.

Le seul véritable avantage (que l'on n'a pas pu quantifier dans ce modèle) de la bankroll élevée est la minimisation de la variance et des swings aux petites limites. Mais en comparant cet avantage avec la taille de l'investissement nécessaire, et les risques tels que la mauvaise évaluation de ses propres skills ou le jeu à des limites trop élevées (comme le joueur B), alors une bankroll de départ de 50 $ ou 100 $ est optimale pour un débutant en terme de minimisation de la variance.

Pour finir, voici les gains de quatre joueurs recoupés dans un seul graphique.

• Jaune : Joueur A - 50 $ de capital de départ, gestion de la bankroll à 20 tapis
• Vert : Joueur B - 1000 $ de capital de départ, gestion de la bankroll à 20 tapis
• Rouge : Joueur C - 1000 $ de capital de départ, joue la plus haute limite à laquelle il est au moins break even
• Bleu : Joueur D - 1000 $ de capital de départ, joue à la limite à laquelle il génère les plus gros gains

Évolution des gains des quatre joueurs   Axe y : gains en $ Axe x : temps