Le concept Risque-Bénéfice

Introduction

Dans cet article

• Comment le concept Risque-Bénéfice vous aide au
  poker
• Pourquoi suivre une gestion de la bankroll
  
• Comment trouver le style de jeu optimal pour vous
  

Dans cet article, vous allez
découvrir un concept
que bon nombre de joueurs utilisent déjà sans le savoir : le concept
Risque-Bénéfice. Ce concept est un outil utile. Il livre une
explication théorique d'une des idées primordiales du poker gagnant.

Le concept Risque-Bénéfice (CRB)
est utile, par exemple, dans les domaines suivants :

• Il rend palpable la nécessité de la gestion de la bankroll.
• Il indique les avantages et inconvénients des différents
  styles de jeu.
• Il donne une indication exhaustive des conséquences de
  changements d'espérance de gain et de variance.

Le CRB se base sur une réflexion
centrale : les
joueurs de poker aiment les situations avec une espérance de gains
positive. Les joueurs de poker ne veulent cependant pas de variance. Le
bénéfice pour un joueur de poker peut alors être établi selon une
fonction Risque-Bénéfice simple :

Bénéfice pour le joueur = EV-a * Variance

Le paramètre "a" indique dans quelle
mesure vous
souffrez de la variance. Plus "a" est élevé, plus la variance vous
pèse.
L'incidence de "a" dépend de bon nombre de facteurs, comme, par
exemple,
votre robustesse psychologique, ou la validité de votre gestion de la
bankroll.

L'interprétation de la formule est
simple : une EV
plus élevée provoque un bénéfice plus élevé. Une variance plus élevée
amoindrit en revanche le bénéfice. Nous allons tester maintenant le CRB
à l'aide de deux cas d'études.

Cas d'étude 1 : La gestion de la bankroll

Imaginons que vous ayez une bankroll
de 1000 $.
Vous avez la possibilité d'investir votre bankroll entière dans une
situation de all-in avec les As. Votre adversaire a un tapis équivalent
et a les Rois. La probabilité que vous remportiez la main est d'environ
80%. Sans aucun doute possible, une situation profitable.

L'EV est calculé simplement en
multipliant la taille du pot par la probabilité de gain :

Dans cette situation : 2000$ x 80% = 1600 Dollar

Le calcul de la variance est un
peu plus
complexe. Dans l'ensemble, on peut dire que la variance mesure
l'éloignement des résultats effectifs et de l'espérance de gain. Plus
la variance est élevée, plus les résultats isolés s'écartent en moyenne
de l'espérance de gain.

Pour faire le calcul, vous devez
procéder comme suit :

• Vous connaissez l'EV grâce au calcul ci-dessus. Celle-ci
  est de 1600 $.
• Soit vous gagnez 2000 $ (cas 1, vos As gagnent), soit vous
  ne gagnez rien (cas 2, vos As perdent).
• Dans le premier cas, l'écart du résultat par rapport à l'EV
  représente +400 $. Dans le cas 2, l'écart est de -1600 $.
• Faisons maintenant le carré des déviations de variance,
  afin de
  pouvoir travailler avec des sommes positives. Dans le premier cas, le
  carré de la déviation est de 400$ x 400$ = 160000$². Dans le deuxième
  cas, il est de (-1600
  $) x (– 1600$) = +2560000$².
• Afin d'obtenir la variance, vous devez multiplier la
  déviation par la probabilité de réalisation. Le cas 1 arrive dans 80%
  des cas et le deux dans 20%.
• En résulte le calcul : 80% x 160000$² = 128000$², et : 20%
  x 2560000$² = 512000$².
• Pour finir, vous additionnez les deux déviations pour
  atteindre le résultat : Variance = 128000$² + 512000$² = 640000$²

Le calcul complet sans étapes intermédiaires est donc le suivant :

80% (2000$-1600$)² + 20% (0$-1600$)² = 640000$²

Mais alors, comment interpréter la
variance ? Et pourquoi le résultat est-il si énorme ? La réponse est la
suivante :

• La variance ne doit pas être comprise comme une somme
  d'argent.
  Considérez-la plutôt comme un nombre sans unité de mesure. Plus ce
  nombre est élevé, plus vos résultats isolés sont susceptibles de
  s'éloigner de votre
  EV.
• Les montants énormes résultent du carré des déviations.
  Mais vous pouvez également calculer, à partir de la variance, une
  taille que vous pourrez ensuite interpréter comme un montant en argent
  réaliste : la déviation standard.
• La déviation standard peut donc être aisément calculée en
  faisant la racine de la variance.
• La racine de la variance de 640000$² s'élève donc à 800$.
• Comme son nom l'indique, la déviation standard indique
  quelle est la déviation standard moyenne de l'EV.
• Dans cette situation, la déviation de l'EV s'élève à 800 $.

Imaginons maintenant que vous
investissiez
votre bankroll de 1000 $ dans 20 situations de all-in identiques, avec
les As face aux kings, en investissant 50 $ à chaque fois, et non pas
les 1000 $ d'un coup.

L'EV reste la même : 100$ x 80% x
20 Situations = 1600 Dollar

Que se passe-t-il avec la variance
? La variance en cas de situations qui se reproduit à l'identique
peut-être calculée ainsi :

• Vous calculez tout d'abord votre EV dans chaque situation
  isolée. Celle-ci est de 80 $.
• Vous calculez, comme plus haut, le carré des déviations du
  cas 1 (les as l'emportent) et du cas 2 (les as perdent).
• Vous multipliez ensuite ces carrés par la probabilité de
  réalisation de chacun des cas.
• Vous additionnez le tout et obtenez la variance dans une
  situation de all-in isolée. Elle est de 1600$².
• Puisque la situation de all-in se reproduit 20 fois, vous
  multipliez la variance unique par 20. Vous obtenez donc une variance
  générale de 32000$². La déviation standard (la racine carrée de
  32000$²) est de
  179$.

Le calcul complet est le suivant :

20 x [80% x (100$-80$)² + 20% x (0$-80$)²] = 32000$²

Comparons maintenant les deux résultats :

Le verdict est sans appel. Le
scénario avec les 20
cas similaires a une variance nettement moins élevée. La répartition de
votre bankroll sur un plus grand nombre de situations permet une
variance de
vos gains nettement moindre. Cette répartition est nommée
diversification.

En suivant le concept
Risque-Bénéfice, la
diversification est nettement préférable, car vous réduisez ainsi votre
variance sans pour autant abandonner votre EV. Une gestion raisonnable
de la bankroll augmente donc vos bénéfices.

Le concept Risque-Bénéfice nous livre
ainsi une explication théorique de la nécessité de la gestion de la
bankroll.

Cas d'études 2 : les différents styles de jeu

Si on les considère sur un laps de
temps assez
long, l'EV et la variance se rapprochent l'une de l'autre.
Dans l'ensemble, une EV plus élevée appelle une variance plus
élevée. Pour des gains supérieurs, il faut accepter de prendre des
risques plus élevés. Ce principe boursier vaut également pour le poker.

Comparons, en matière d'exemple,
trois types de
joueurs : le fish, le joueur tight agressif (TAG) et le joueur loose
agressif (LAG).

Le fish joue en général pour le
plaisir. Il joue
souvent de manière déraisonnable. La maximisation de l'EV lui est
étrangère. Bien souvent, il investit sont tapis entier dans des moves
ou
calldowns abracadabrantesque. C'est pourquoi le fish joue avec une
espérance de gains négative. De plus, son jeu est soumis à une variance
élevée.

• Le concept Risque-Bénéfice révèle qu'une combinaison d'EV
  négative et de variance élevée est la pire option.

Les TAGs sont des joueurs gagnants
solides. Ils
extraient de la value de la part de leur mains fortes et évitent les
situations trop difficiles. Ils sortent des moves plutôt rarement. Les
TAGs ont une espérance de gain positive couplée à une variance faible.

• Une combinaison d'EV positive et de variance moindre permet
  d'être assuré d'un bénéfice de joueur positif.

Les LAGs exploitent quasiment chaque
situation EV+
sans concessions. Ils génèrent ainsi l'espérance de gains maximale.
Mais
le LAG se met ainsi bien souvent dans des situations difficiles et
marginales. Cela implique une variance élevée.

• Une combinaison d'EV très élevée et de variance forte
  provoque également un bénéfice de joueur positif

Le
graphique suivant représente les trois styles de jeux. L'axe horizontal
indique l'EV. Sur l'axe vertical, on retrouve la variance. Chaque type
de jeu génère une combinaison d'EV et de variance.

• Le fish a un EV négative de -1. Sa variance est de 3.
• Le TAG a un EV positif de 1,5. Sa variance est de 1.
• Le LAG a un EV positif de 2,5. Sa variance est de 3.

À l'aide de la fonction de
Risque-Bénéfice et
du graphique, vous pouvez maintenant comparer les trois styles de jeu.
La fonction et le graphique sont clairs sur un point : le fish est
dominé aussi bien par le TAG que par le LAG, car :

• Le TAG génère une variance moindre avec un EV supérieur.
• Le LAG génère une variance équivalente avec un EV nettement
  supérieur.

Aussi bien le TAG que le LAG génèrent
donc un
bénéfice de joueur supérieur à celui du fish. En réalité, le fish a
tout faux. En raison de son EV négative il ne génère pas de bénéfice.
De plus, il est soumis à une variance élevée, qui réduit encore son
bénéfice.

Nous avons donc démontré que le TAG et le LAG s'en
sortent mieux que le fish. Peut-on maintenant identifier le meilleur
style en comparant le LAG et le TAG ?

• Le style TAG à l'avantage d'avoir une variance inférieure.
  Mais celle-ci est couplée à un EV inférieur.
• Le style LAG à l'avantage d'un EV élevé. Mais celui-ci est
  couplé à une variance supérieure.

Les deux styles ont donc chacun un
avantage
ainsi qu'un inconvénient. Quelle est l'incidence de chacun sur les
bénéfices de joueurs ? Voici comment le déterminer :

• Plaçons les EVs et variances des deux joueurs dans la
  fonction Risques-Bénéfice. Fixons le paramètre a à 0,5.
• Le TAG a un EV de 1,5 et une variance de 1. Le bénéfice est
  calculé
  selon la formule "EV - a * variance". Le bénéfice de joueur d'un TAG
  est donc de 1,5 – 0,5*1 = 1.
• Le LAG a un EV de 2,5 et une variance de 3. Cela implique
  un bénéfice de joueur de 2,5 – 3*0,5 = 1.

Vous ne pouvez tout d'abord pas
déterminer dans
quelle mesure le bénéfice de joueur est plus élevé pour un TAGs ou un
LAGs. Les deux réalisent un bénéfice de 1.

Mais cela est dû au fait que nous
sommes partis du
principe que les deux joueurs étaient soumis à un facteur a de 0,5. Je
tiens à vous rappeler que le facteur "a" indique dans quelle mesure la
variance négative influe sur le bénéfice de joueur. La valeur de 0,5
indique un comportement normal face aux risques et à la variance.

Lorsqu'un joueur voit la variance
d'un mauvais
œil, si par exemple il a un caractère plus instable, "a" augmente. Si,
par exemple, nous partons d'une valeur de 0,75, alors le style TAG
devient nettement plus intéressant. Car le TAG génère alors un bénéfice
de 1,5 – 0,75*1 = 0,75. Pour le LAG, en revanche, ce bénéfice
descend à 2,5 – 0,75*3 = 0,25.

Si, en revanche, un joueur supporte
particulièrement bien la variance, alors "a" s'en trouve réduit. Avec
un
facteur a = 0,25, le style LAG reprend l'avantage. Le bénéfice du LAG
devient de 2,5 – 0,25*3 = 1,75, tandis que celui du TAG ne passe qu'à
1,5 – 0,25*1 = 1,25.

Un joueur ayant un facteur a élevé
aura donc de
meilleurs résultats en choisissant le style TAG. Un joueur avec un
facteur a moindre peut augmenter son bénéfice en optant pour le style
LAG.

Dan Harrington a établi une théorie
intéressante à
ce sujet dans son ouvrage "Harrington on Cashgames". Selon lui, les
TAGs et les LAGs signent un contrat implicite. Les TAGs accordent aux
LAGs un EV supérieur en échange d'une variance moindre. Cet EV
supérieurs dédommage les LAGs de leur variance plus élevée. En fonction
de votre facteur "a", vous pouvez décider par vous même à quelle part
du
contrat vous souhaitez adhérer.

Bien entendu, vous ne pouvez pas
établir le
facteur "a" avec précision, dans la pratique. Mais vous savez à quel
point la variance vous pèse. Commencez-vous à tilter après deux
coinflips perdus ? Ou pouvez-vous encaisser une interminable série de
bad beats sans sourciller ? Peut-être vous trouvez-vous entre les deux
extrêmes ? Si vous vous reconnaissez dans une des trois rubriques,
alors le CRB vous permet de déterminer le style optimal pour vous.

En résumé

Le concept Risque-Bénéfice est un
outil qui
permet d'analyser le résultat central de vos efforts au poker : l'EV et
la variance.

Chaque personne qui investit de
l'argent se soumet
à un conflit fondamental. Cela vaut pour la bourse, pour les
entreprises, mais également pour les joueurs de poker. Une augmentation
de l'EV est, à long terme, toujours accompagnée par une augmentation de
la variance. Et la faculté à supporter la variance détermine le
comportement d'investissement optimal de ces personnes.

Le "TAG boursier" investira dans des
actions sûres
et des emprunts d'états, tandis que le "LAG boursier" investira plus
souvent dans les produits plus risqués mais qui promettent des gains
supérieurs. On pourrait trouver encore bon nombre d'exemples sur le
sujet.

En ce qui vous concerne, il est
important de
bien comprendre le lien entre l'EV et la variance, et comment vous
comporter en conséquence. Et c'est sur ce point que le CRB peut vous
être utile. Grâce à celui-ci, nous pouvons maintenant apporter des
éléments de réponses à certains débats classiques, à l'aide d'une
approche analytique relativement précises. Il s'agit, par exemple, des
questions suivantes :

• Pourquoi suivre une gestion de la bankroll ? Quelle peut en
  être l'agressivité ?
• Quel est le meilleur style ? TAG ou LAG ?

Le CRB peut également être appliqué à
d'autres
domaines. Par exemple, pour l'analyse concrète d'une main donnée. En
particulier, les spots avec une variance élevée, comme par exemple les
situations way ahead/way behind, ou le jeu des tirages combos, peuvent
être maintenant analysés selon une nouvelle approche. Car ces
situations avec un EV positif marginal ne génèrent pas nécessairement
une espérance de gain positive pour un joueur ayant une tolérance
faible à la variance.

Le concept Risque-Bénéfice vous donne
la
possibilité d'analyser votre jeu de manière abstraite et concrète à la
fois. Car, au final, l'EV et l'argent gagné ne sont pas tout. La
variance
et votre tolérance à cette variance sont également des dimensions
importantes. Il n'y a que si vous intégrez toutes les dimensions dans
votre considération que vous serez en mesure de trouver l'approche qui
vous convient le mieux. Et c'est dans cette optique que le CRB est
d'une aide précieuse.

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