La loi des grands nombres

Introduction

Dans cet article

Tirages indépendants
Notion de chance ("Allin luck")
Le long terme

L’idée de cet article vient de la constatation suivante : dans un nombre
important de posts du forum sur les "downswings" j’ai remarqué une incompréhension (ou
une interrogation) récurrente sur les notions de long terme, variance, etc ...

Dans un précédent article j’ai essayé d’expliquer en profondeur la notion
mathématique de variance et son illustration au poker. J’ai cependant
constaté qu’un des principes fondamentaux sur lesquels repose la théorie
des probabilités (et donc les problèmes de variance) restait souvent mal
interprété, et c’est ce résultat que je vais essayer de détailler et illustrer
ici.

Pour être plus précis, je vais essayer de vous convaincre que si l’on mesure l’écart
entre vos gains théoriques et vos gains constatés, cet écart n’a AUCUNE raison
de tendre vers 0, et ceci sans contradiction avec la "loi des grands nombres" ou "loi du long terme".

Je parlerai en particulier des fameux graphs : "Allin-Luck" que beaucoup de
joueurs s’attendent - à tort - à voir tendre vers 0 en augmentant leur nombre de
mains jouées.

Je montrerai cependant pourquoi ce résultat, surprenant pour certains, de
non-convergence n’a pourtant aucune incidence sur le fait d’être gagnant sur le
long terme !

Lien entre les exemples et le poker : Dans presque toute la suite de mon article, mes exemples de tirages aléatoires
seront des tirages pile ou face, que l’on peut par exemple rapprocher des
situations de allin dans lesquelles on a une Equity d’environ 50% (les fameux
coin-flips).

Tirages indépendants

1.1 Définition

On dit que deux tirages aléatoires sont indépendants lorsque leur réalisation
n’ont aucune influence mutuelle. Mathématiquement: P(A|B) = P(A) = P(A|B)

Cette expression se lit de la manière suivante: La probabilité que l’événement
noté A se produise sachant que l’événement B s’est produit est égale à la
probabilité que l’événement A se produise ne sachant pas si B s’est produit ou
pas P(A) ou encore à la probabilité que l’événement A se produise sachant que
l’événement B ne s’est pas produit P(A|B)

Exemple simple:

Tirage à pile ou face.

Si on note B le résultat d’un premier tirage et A le résultat d’un second tirage
avec la notation X = 1 si le tirage X tombe sur pile, et X = 0 sinon.

Si les tirages sont indépendants on a : P(A = 1|B = 0) = P(A = 1) = P(A|B = 0) = 1∕2

1.2 Première application

Je vous propose de comparer les probabilités suivantes :

Probabilité d’effectuer 3 fois Pile sur 3 lancers consécutifs :

Réponse: (1∕2)³ = 1∕8

Probabilité d’effectuer Pile au troisième lancer (événement noté A) sachant
qu’on a obtenu Pile aux deux premiers lancers (événement noté B) :

Réponse : Le nouveau tirage étant complétement indépentant de ce qui s'est
passé avant (la pièce n’a pas été modifiée), A et B sont indépendants donc
P(A = 1|B) = P(A = 1) = 1∕2

Certains s’étonneront ici de pas trouver une probabilté inferieure à 1/2 , car ils
ont une interprétation erronée de l’équilibrage sur le long terme, mais je vais
tout d’abord vous présenter un exemple encore plus "choquant".

Un résultat surprenant

Considérons le jeu équilibré suivant :

Deux joueurs jouent à pile ou face, le joueur numéro 1 gagnant +1 pour pile et -1
pour face et l’inverse pour le joueur numéro 2.

Et bien on peut montrer que quelques soient leurs sommes de départ, un des
joueurs va tomber à 0 en un nombre de lancers fini !

On peut alors remarquer que loin de tendre vers zéro, la différence maximale
(notée d* et définie précisement ci dessous) entre le nombre de piles et de faces
obtenus diverge au contraire vers l’infini !

Concrétement cela veut dire tout simplement que si l'on ne jouait que des coin flips
contre notre adversaire à la table, la situation serait loin d’être "équilibrée" sur
le long terme puisque l’un des deux joueurs sera forcement "broke" à un
moment ou à un autre.

Démonstration

Notons Diff(n) la différence entre le nombre de piles et le nombre de faces
constatée après le n-ième lancer.

On peut alors définir d^*(n) comme la différence maximale entre le nombre de
piles et le nombre de faces constatée sur l’ensemble des n premiers
lancers. (Bien noter la difference avec Diff(n)) : d^*(n) = Max_i≤nDiff(i)

Il suffit alors de constater que la suite d^*(n) est croissante et non bornée (p-s) (voir plus loin) pour conclure, puisque toute suite croissante non majorée diverge
vers l’infini.

Voici quelques graphiques pour illustrer ces résultats.

Exemples graphiques

Voici trois exemples pour 1000, 10000 et 100000 tirages :

Figure 2.1: Différence Pile-Face en bleue et d* en Rouge. On notera bien
la croissance de la courbe de d^*en rouge.

2.1 Pour aller plus loin, non indispensable à la compréhension

En fait on peut montrer grace au théorème centrale limite que:

$Dif f(n) → N (0,√n-)$

où la convergence est une convergence en loi de probabilité et ou N(a,b)
représente la loi normale de moyenne a et d’écart type b

Le caractère non bornée (p-s) de Diff(n) ( et donc de d^*) peut alors "démontrer" par l’absurde:

On suppose que Diff(n) est bornée par M, et soit ε > 0 quelconque.

On a

$-M--- --M-- P(- M < Diff (n ) < M ) = F (∘ (n))- F (∘ (n))$

où l’on a noté F la fonction de répartition de la loi centré réduite. Or F est
continue donc F(a) - F(b) → 0 quand a - b → 0.

Donc il existe

$nε tel que∀n > n ε F (∘M-)- F (∘- M-) < ε (n) (n)$

car M√n- - -√Mn- = 2√Mn- → 0 quand n →∞

On a alors,

$∀n > n ε P(- M < Diff (n ) < M ) < ε$

Autrement dit, pour tout réel aussi petit soit-il, il existe des entiers n tels que la
probabilité que Diff(n) soit inférieure à M est inferieure à ce réel, donc une
probabilité presque nulle que Diff(n) reste dans la borne pour tout
n.

2.2 Autres exemples graphiques

Voici deux exemples de 500000 tirages qui semblent diverger :

Figure 2.2: Exemple de différence Pile-Face qui ne semble pas vraiment
converger...

Et le long terme alors?

3.1 Loi des grands nombres

En fait le résultat fondamental de la théorie des probabilités, appelée loi des
grand nombre, nous permet d’affirmer uniquement le résultat suivant:

Si on effectue n tirages indépendants de X,et que l’on note X(i) la réalisation du
X-ième tirage et E(X) = m l’espérance de X alors on a:

$1- ∑ X (i) → m n 1≤i≤n$

Reprenons notre exemple du jeu de Pile ou Face, avec la notation X(i)=1 si
pile et 0 si face.

On remarque alors que ∑
_1≤i≤nX(i) correspond à la proportion du nombre
de piles obtenus sur le nombre total de lancers et on sait d’autre part que
E(X) = m = 1∕2 donc une application directe du théorème précédent nous
permet de conclure que dans notre jeu :

$∑ -1 X (i) → 1∕2 n 1≤i≤n$

D’où vient donc la divergence de la différence maximale entre le nombre de
piles et de faces que nous avons mis en avant précédemment ?

En fait il faut bien faire attention au fait que le théorème prend en compte le nombre
total de lancers, c’est le point clé qui assure la convergence.

Il se trouve (fort heureusement!) que si on ramène la différence maximale sur
le nombre total de lancers on observe bien une convergence vers 0 !

C’est ce que l’on peut observer sur les courbes suivantes, avec en bleu la
proportion de piles sur l’échantillon (qui tend bien vers 1/2) et en rouge la courbe
de d*
n qui converge bien vers 0.

L’erreur d’interprétation de la loi des grand nombres consiste en fait à coire que la
courbe de d^* converge vers 0, or la loi des grands nombres nous informe
uniquement sur la convergence de *
dn-

3.2 Pour les plus curieux d’entre vous

En fait on peut donner une borne supérieur à d*(n)
-n-- : On a en effet le théorème
suivant ( Loi du logarithme itéré):

Soit une suite (X_n) de variables aléatoires indépendantes et identiquement
distribuées d’espérances m et de variance σ et soit S_n)X₁ + ... + X_n et
Y _n = Sn-√nm-
σ n , alors on a (presque surement):

$|| || limn → ∞sup ||∘---Yn----||= 1 | 2lnln (n)|$

Dans notre cas: X_n correspond au n-ième tirage et vaut +1 si le tirage
est pile et-1 sinon. On a donc une variance σ = +1 et une esperance
m = 0. Diff(n) correspond à la valeur absolue de S_n et le max ou sup des
Diff(n) à d^*(n) donc par application directe du théorème précedent on
a:

$∘ ------- d*(n) < c.--ln√ln(n)- n n$

ou c > 1 quelconque à partir de n suffisament grand ( ou formulé autrement *
dn(n)
ne dépasse le terme de droite qu’un nombre fini de fois avec une probabilité 1).

3.3 Illustrations

Voici trois exemples pour 1000,10000 et 100000 tirages:

Figure 3.1: Proportion de Piles en bleu et d*/n en Rouge. On note que
notre pièce n’est pas biaisée car la proportion de tirages piles tend bien vers
1/2 , on note également que dn*

tend bien vers 0.

Conclusion

J’espère que la conclusion de cet article vous semblera maintenant
naturelle.

Considérons les résultats d’un joueur, et étudions la différence entre son résultat
attendu sur les allin noté EV(Expected Value) et son résultat constaté noté
G(Gain).

Bien sur cette différence n’explique qu’une partie de la variance totale, puisqu’elle
n’est calculée que sur les situations de all-in et ne prend donc pas en
considération beaucoup d’autres situations qui contribuent également à creuser
les écarts par rapport à notre winrate , comme par exemple le nombre de set vs
overset etc...

On peut cependant remarquer que la différence entre EV et G , souvent appellée "EVLuck" en pratique, est analogue à la courbe Diff(n), tracée en bleu sur les
cinq premières courbes (Pour les 3 premières courbes j’ai tracé en fait la
valeur absolue de Diff(n)pour mieux montrer le lien avec d^*). Cette courbe
n’a AUCUNE raison de converger vers 0 ! (et elle passe même par des
extremums de plus en plus grands, comme l’étude de d^* a pu le montrer.

Conclusion: Il n’y a AUCUNE raison pour que votre EVluck converge vers 0, et
c’est même presque certain que cette courbe passera par des pics de plus en plus
impressionants.

Par contre, le rapport ---EV-luck----
nombresdemains va lui tendre vers 0 (presque-surement, c’est
à dire avec une probabilité de 1), autrement dit même si le cumul de "malchance" peut devenir impressionant il sera de plus en plus négligeable par
rapport à vos gains et c’est précisment cette proprieté qui nous assure
de dégager du profit sur le long terme sous réserve d’avoir une EV > 0
évidemment.

Exemple illustratif final

Dans l’exemple la simulation de 10000 tirages présentée plus haut
on observe un pic à 200 vers le 6000ème tirage, ce qui représente 200
coin flips de retard pour l’un des joueurs soit l’équivalent de -200caves d’ "EVluck").

Cependant, si l’on suppose par exemple que l’on a une telle situation de coin-flip
toutes les 100 mains et par ailleurs une EV de 4bb/100, on aura entre temps
accumulé 6000 * 4 = 24000 = 240 caves,ce qui permet de relativiser cette
incroyable malchance.

Une autre manière de relativiser est de se dire qu’avoir un retard de 200 sur
6000 correspond à un retard de 1/30 en moyenne, à comparer avec un
retard moyen presque trois fois supérieur (1/11) en moyenne lorsque vous
avez une situation qui vous semble pourtant plus équilibrée du style :
win:5/loss:6 sur vos 11 derniers flips et qui vous indique alors EVluck=-100bb.

En clair, une EVluck de -100bb est un signe de malchance bien plus fort
sur 11 tirages que EVluck=-20000bb sur 6000 tirages ! ... et un chiffre
d’EVluck non rapporté au nombre de mains a donc beaucoup moins de
signification.

Conclusion

J’espère que cet article vous a amené à comprendre que les indicateurs de
"chance" sont à étudier avec précaution, en effet une "allin luck " de
+100 caves ou -100 caves n'a aucune signification relative à votre chance si elle
n’est pas rapportée au nombre de mains ! Ainsi, la probabilité d’avoir une
différence entre le nombre de coin flips gagnés ou perdus inférieurs à 100 peut être ridiculement petite si l’échantillon de mains est suffisament grand !

Il ne faut pas cependant profiter de ces constatations pour justifier vos pertes
/ downswings etc.. par une malchance pas croyable, car comme illustré plus haut,
même si vous êtes extrêmement malchanceux, l’importance relative de la
"chance" devient de toute facon négligeable face aux nombres de mains jouées
pour tous les joueurs. Bien sur, cela peut être dur à supporter, surtout si vous
avez un volume de jeu plutôt faible auquel cas cette part de chance peut devenir
prépondérante, mais vous avez une solution simple qui s’offre à vous :
renforcer votre jeu pour améliorer votre winrate permet en effet de rendre
de plus en plus négligeable ce facteur aléatoire sur vos gains totaux.