Variance et risque

Introduction

Dans cet article

• Définition de la variance
  
• Exemples de courbes de gains simulées
  
• L'aversion au risque
  

Dans cet article nous allons nous intéresser de plus près à un des côtés mathématique du poker, qui demeure très flou pour nombre de joueurs : la fameuse « variance » et son influence sur nos gains à plus ou moins long terme.

Je vais commencer par répondre à la question suivante : quelle est la définition mathématique de la variance et comment pouvons-nous estimer la nôtre à la table en fonction de notre style de jeu.

A partir de la, je vais essayer de montrer plus clairement d’où vient l’expression populaire que le poker est un jeu de « small edge, huge variance» et quel peut être l’ordre de grandeur des variations de notre espérance de gain sur 10000 mains, 100000 mains, 250000 mains en supposant un « edge » fixe ou encore un gain moyen constant. Je montrerai en particulier d’où viennent les chiffres que l’on peut trouver dans l’article sur la gestion de la bankroll et j’essayerai de montrer pourquoi le facteur déterminant dans la prévention des downswings est un gain moyen élevé.

Enfin, je ferai une petite évaluation d’une optimisation du gain sous contrainte d’aversion au risque, qui est un facteur important à prendre en considération pour beaucoup de joueurs (voir article psychologique sur le scare money).

La variance : une donnée trop souvent incomprise

On retrouve assez souvent la variance dans le vocabulaire pokeristique notamment dans les analyses de mains impliquant des gros pots (exemple classique du set vs overset où l’analyse se résume souvent à : variance, nice hand). Cette utilisation laisse penser que la variance est une sorte de destin que le joueur doit se contenter de subir sans vraiment en comprendre l’origine. Il est temps d’en préciser un peu la nature.

La variance est en fait une unité mathématique qui sert à préciser la dispersion de valeurs autour de leur moyenne. Elle est définie comme étant le carré de l’écart type qui est une valeur plus «parlante» car homogène à l’unité de mesure (pour nous : des $ ou des blinds).

Pour être un peu plus précis, l’écart type représente pour nous la dispersion entre nos gains constatés et nos gains théoriques (ces derniers étant calculé à partir de notre gain moyen ou winrate ou encore le fameux BB/100mains).
L’écart type permet d’estimer de manière probabiliste nos gains sur un nombre donné de mains jouées. Cette donnée concernant votre jeu est accessible à partir de poker tracker.

L’ordre de grandeur est en NL entre 20 et 70 avec des valeurs plus faibles pour les joueurs tight et qui jouent en full ring et plus importante pour les joueurs loose sur des tables SH.

Un joueur TAG classique jouant en Short handed peut avoir des valeurs du style
Gain moyen (Espérance, Winrate dans le jargon poker anglais) : 10BB/100mains
Écart type (Standard déviation notée SD) : 40BB/100 mains

Probabilité de gains pour ce joueur pour 100 mains jouées :

Remarque : Pour l’ensemble de l’article, les probabilités indiquées résultent pour la plupart de la simple application d’intervalles de confiance sur des lois normales correctement définies)

Entre –30BB et +50BB (Winrate +/- SD) : 68% de chance
Entre –70 BB et +90 BB  (Winrate +/- 2*SD) : 95% de chance

Lorsque l’on réitère N fois l’opération (on joue N fois 100 mains), tout ce passe comme si nos gains suivaient une loi normale gaussienne d’Espérance N*winrate et d’écart type sqrt(N)*SD  (sqrt = racine carré), ceci est du à la stabilité de la loi normale par la somme.

Application pour 10000 mains et pour le même joueur :

Espérance : 1000BB, SD=400
Entre 600BB et 1400BB (Winrate +/- SD) : 68% de chances 
Entre 200BB et 1800BB  (Winrate +/- 2*SD) : 95% de chances

Pour donner un exemple un peu plus frappant : considérons un joueur qui aurait un winrate de 1BB/100 (assez classique pour du NL10000+) et une SD de 60/100 (également classique pour les limites élevées ou un jeu TAG standard ne suffit plus pour être gagnant). Les gains probables de ce joueur sur 10000 mains sont (Espérance : 100, SD=600) entre –1100 et +1300 avec 95% de chances.
Comme  les intervalles [–1100BB, 100BB] et [100BB, 1300BB] sont équiprobables, on comprend l’importance, à 100$ la blinde, d’avoir le cœur bien accroché et une bankroll digne de ce nom !

Ce petit calcul montre également pourquoi l’analyse des gains/pertes des highrollers sur des sessions souvent petites n’a aucune valeur pour juger du niveau d’un joueur par rapport à un autre car leur « edge » sont souvent très proches.

On peut également s’intéresser à la question suivante : quelle est le nombre de mains qu’il faut jouer pour être sur à 95% d’être dans le positif. Je détaillerai ce type de  calculs et leurs conséquences dans la dernière partie.

L’expression “Small edge, huge variance” prend tout son sens lorsque l’on compare justement la SD au winrate : les fluctuations à court terme (caractérisées par la SD) peuvent être des dizaines de fois supérieurs au winrate (classique pour les hautes limites) : c’est cet état de fait qui est responsable des fameux downswings (qui seront d’autant plus marqués que votre edge diminuera).

Il est également important de remarquer à quel point un winrate élevé protège des downswings prolongé :
Joueur A : winrate : 2BB/100 SD : 40/100
Joueur B : winrate 16BB/100 (classique en small stakes) SD : 40/100

Intervalle de gains probables avec 99,7% de chance après 10000 mains :
Joueur A : [-1000, +1400]
Joueur B : [400, 2800]

Intervalle de gains probables avec 95% de chance après 100000 mains :
Joueur A : [-300, +6530]
Joueur B : [13500, 18500]

Pour illustrer un peu l’ordre de grandeur des variations sur le court terme, je vous propose de comparer ces différentes courbes qui représentent le nombre de Big blinds gagnées en fonction du nombre de main jouées (1 unité sur l’axe des abscisses représente 100 mains)

La variance est indiquée par le chiffre SD (Standard déviation)

"Faible" variance	Forte variance

Forte variance	Faible variance

Analyse :

J’espère que ces simulations vous illustrent clairement un point capital : le gain moyen est le point clé de votre espérance de gain : il est très improbable d’être dans le rouge très longtemps si vous êtes suffisamment gagnant (ce qui devrait être le cas pour les petites limites).

Une conclusion importante est que si vous souffrez d un gros « downswing » il est plus vraisemblable que ce soit plus due a un manque de niveau ( à basse limite sur plus de 10K mains) que un acharnement de "dame variance" !

Les limites de l'espérance : l'aversion au risque

Dans cette partie je vais m’intéresser au type de  problème suivant :

Est-il plus «profitable» de jouer en NL1000 avec un winrate de 7BB/100 ou en NL5000 avec un winrate de 2BB/100 ?

La question peut sembler ridicule par un simple petit calcul : 7BB/100 en NL1000 correspond a 70$/100 mains alors que 2BB/100 en NL5000 correspond a 100$/100mains : mon choix est facile!  Cela est vrai… en supposant que en tant qu’agent rationnel on se contente uniquement de maximiser nos gains.
 Dans la pratique, tous les agents économiques ont une aversion au risque qu’il faut prendre en compte : cette aversion est facilement illustrée par le paradoxe de Saint-Pétersbourg.

Paradoxe de Saint-Pétersbourg (source : Wikipedia)

Soit le jeu suivant : on lance en l'air une pièce de monnaie.
Si face apparaît, la banque paie 2 euros au joueur, et on arrête le jeu.
Sinon, on relance la pièce. Si face apparaît, la banque paie 4 euros, et on arrête le jeu.
Sinon, on relance la pièce. Si face apparaît, la banque paie 8 euros au joueur, et ainsi de suite. Donc, si face apparaît pour la première fois au n-ième lancer, la banque paie 2n euros au joueur. Quelle est la mise initiale pour que le jeu soit équitable, c'est-à-dire pour que ni la banque ni le joueur ne soient avantagés par ce jeu ?

Si face apparaît pour la première fois au n-ième lancer, ce qui se produit avec une probabilité de ½n, le gain est de 2n euros, d'où une espérance de 1 euro pour ce coup. Maintenant, l'espérance totale s'obtient en sommant l'espérance de tous les cas possibles. On somme une infinité de termes qui valent tous 1 : la somme est bien sûr infinie. Il faudrait donc miser une infinité d'euros pour que le jeu soit équitable.

Supposons que je vous propose une partie à 1 million € , cela veux dire que votre espérance de gain vaudrait E= Infini – 1M€ = infini !
Pourtant… aucune banque n’acceptera de jouer, car sa probabilité d’être gagnante est inférieure à 1 million… donc l’opération sera jugée trop risquée même si le gain moyen est infini ! Ceci montre clairement que les agents économiques (dont le joueur de Poker fait partie) ont une contrainte supplémentaire dans leur choix lié à leur aversion au risque.

Que se passe-t-il avec une Bankroll suffisante ?
Mon exemple n’a peut être pas convaincue tout le monde, car certain me reprocheront (à juste titre ) que l’intérêt de suivre une gestion sereine de la Bankroll est justement de ne jamais nous placer dans des situations ou cette contrainte de risque deviens trop importante et nous fait alors renoncer à la décision qui maximise l’Expected value. (Qui est directement liée à l’espérance de gain dans notre modèle). On retrouve exactement ce problème pour un joueur qui joue en scare money (Aversion du risque trop grande pour prendre les décisions optimales).
Pour répondre à cette critique je vais donc mettre en évidence un autre exemple ou bien que notre joueur à une Bankroll suffisante, cette «aversion du risque» va se traduire concrètement par un choix d’une variance faible sur un gain moyen plus élevé.

Voici mon nouvel exemple :
Supposons que Mr.Pro soit un joueur professionnel qui dispose des caractéristiques suivantes :
Gain moyen en NL1000 : 7BB/100     SD : 60/100
Gain moyen en NL5000 : 2Bb/100      SD : 60/100
Bankroll : 150000$

Notre joueur peut tout à fait jouer à la limite de son choix car sa Bankroll lui permet de choisir librement. Cependant, notre joueur se fixe une contrainte supplémentaire, comme il vit du poker il souhaite se garantir un gain supérieur à 4000$/mois avec une probabilité supérieur à 95%. Cette condition supplémentaire lui permet de vivre sereinement et lui garantit d’être quasiment  toujours dans le vert à la fin du mois pour payer son loyer etc.
Pour des raisons de concentration et de fréquentations des tables des hautes limites il ne souhaite pas jouer plus de 1000 mains par jour soir 30K mains par mois.

Regardons un peu de qu’il se passe suivant le choix de la limite choisie.

• Cas de la NL1000

30Kmains correspond à 300 tirages de 100 mains et son gain suit donc une loi normale d’espérance 300*winrate et de variance 300*SD^2

On s’intéresse ici à la probabilité que son gain soit supérieur à 400 blinds (blinds à 10$)
Dans la pratique on calcul P(X>400) avec X~N (300*7 ; 300*SD^2) et on trouve P=94,8%

En gros, notre joueur est sur à presque 95% de chance de faire plus de 4000$ de profit (et 98% de chance d être positif)

• Cas de la NL 5000

4000$ correspond à 80 blinds en NL5000 on s’intéresse donc à la probabilité de gagner plus de 80 blinds  donc à P(X>80) ou X~N (300*2 ; 300*SD^2) et on trouve seulement P= 70% !
Sa probabilité d’être positif après 30k mains n’est que de 72%.

Questions annexes :

• Quelle est le nombre de mains à partir duquel MR.Pro est sur à 95% d’être positif en jouant en NL5000?

Réponse : 250K mains !

• Quelle est le nombre de mains à partir duquel Mr.Pro est sur à 95% de chances d’avoir gagné plus que si il avait joué en NL1000 uniquement ?

Réponse : 1,7Millions !

Cet exemple montre bien touts les risques liés à avoir un avantage trop faible par rapport aux adversaires : même si notre gain moyen est supérieur et que l’on a une bankroll suffisante pour se prévenir du risque de ruine , une variance trop élevée par rapport a notre winrate conduit à des résultats tellement incertain qu’il apparaît plus profitable de se garantir un gain plus faible mais beaucoup plus sur ( C’est l’idée de l’adage : « un tiens vaut mieux que deux tu l'auras » )

Dans un cas extrême d’un Winrate extrêmement faible, tout ce passerait comme si notre joueur jouait quasiment a pile ou face son surplus de Bankroll ( c’est à dire la différence entre la Bankroll permettant de jouer a la limite N et la Bankroll à partir de laquelle il doit redescendre a la limite N-1) avec une probabilité de gagner légèrement supérieur à ½.
Ceci peut donc conduire à une situation pour un bon joueur malchanceux de devoir faire plusieurs « shoot » à la limite suivante avant de bien partir et pouvoir s’ y installer pour du très long terme ( >500Kmains).

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