Concetti Matematici per No-Limit Holdem (3) - Fold Equity & EV Avanzato

Introduzione

In questo articolo

• Come un possibile fold influenza l'EV
  
• Mosse standard post-flop in dettaglio 
  
• Bluff con 4-bet vantaggiosi
  

Nella seconda parte di questa serie di articoli sono stati presentati e calcolati gli implied e i reverse implied odds. Abbiamo visto un calcolo complesso dell’EV di un call al pre-flop per set value. In questo articolo, ci concentreremo sulle mosse dell’avversario, sui range da associargli e sulle possibili contro-mosse.

Prendere in considerazione un fold nell'EV

Dato che i bluff e i semi-bluff hanno un ruolo importante in questo articolo, è importante inserire nel calcolo dell’EV la possibilità che l’avversario foldi. Questa formula:

EV = Equity * (Vincita + Investimento) - Investimento

non è sufficiente: non c’è una variabile che tenga conto del fold avversario. Bisogna trovare un modo più generale di calcolare l’EV:

EV = Pfold * Pot + (1 - Pfold) * (Equity * (Vincita + Investimento) - Investimento)

La probabilità di vincere il piatto è Pfold; se non vinci subito il piatto, utilizzeremo l’EV. Pfold è la probabilità che l’avversario foldi. Quindi, se Equity = 0, la formula potrà essere semplificata:

EV=Pfold * Pot - (1 - Pfold) * Investimento

La perdita in questo caso consiste in una tua continuation bet. È il caso di tutti i bluff puri. Secondo la definizione di bluff puro, infatti, vinci solo se l’avversario si arrende.

Mosse standard post-flop: Continuation Bet

Dopo un rilancio al pre-flop, le continuation bet sono probabilmente la giocata più tipica. Quando esaminiamo l'EV, ci concentriamo su quanto spesso un giocatore chiuda un certo tipo di mano. Allo stesso tempo, dobbiamo fare delle stime dei range pre-flop e del comportamento del giocatore post-flop a seconda del tipo di mano. Vediamo un esempio specifico:

SH, 100BB Stack

Pre-flop: Sei MP con XY
Tu fai raise 4BB, 1 fold, BU call 4BB, 2 fold

Flop: (9,5BB) K, 5, 3 (2 Giocatori)
Punti 7BB

Il flop è piuttosto sconnesso, quindi è un tipico board da continuation bet. Senza prendere in considerazione che spesso chiuderai qualcosa con questo tipo di board, analizziamo la situazione.

Se il BU resta nella mano, perderai sempre. La puntata è ancora vantaggiosa e, se sì, quanto? Cosa bisogna tenere in considerazione?

Questo articolo non spiega come individuare il range, ma al momento non hai modo di attribuire al BU una selezione di mani. Questo esempio serve a introdurre un nuovo concetto: la frequenza con cui un giocatore fa una certa cosa. Il BU potrebbe fare cold-call con qualsiasi pocket pair e con il 30% dei suited connectors. Alcuni giocatori non faranno cold-call con qualsiasi suited connector, altri sì.

Senza altre informazioni, puoi ottenere risultati più realistici se, invece di ragionare su 0% o 100% delle cold-call, utilizzi dei valori intermedi per una catagoria specifica di mani. Puoi modificare tale parametro in seguito per osservare i cambiamenti dell’EV.

Per non complicare troppo le cose, diciamo che ci sono tre diverse categorie di mani possibili per il BU, con le rispettive probabilità che il BU le giochi (p(Categoria)):

• Pocket pairs: 22-99: p(Pocket)
• Suited connectors 45s-KQs: p(SC)
• Broadways maggiori AQ, AJ, KQo: p(BW)

Quante combinazioni ci sono per ogni range? Come calcolato nell’articolo precedente, ogni pocket pair è composta da sei combinazioni: esistono, quindi, 42 combinazioni per le pocket pairs.

Ogni mano suited può essere formata in quattro diversi modi, quindi ci sono 33 combinazioni per i suited connectors. Ci sono 16 combinazioni per mani diverse da coppie, e quindi 41 combinazioni per le mani broadway.

Il Bottone ha (combinazione di mani) con (probabilità):

La probabilità di un caol-call sono tra 0 e 1. Questa struttura è più chiara pensando a un giocatore che fa cold-call solamente con pocket pairs. Per lui, p(SC)=p(BW)=0 e p(Pocket) = 1. Quindi, la probabilità che abbia pocket pairs è:

42 * p(Pocket) / [33 * p(SC) + 41  * p(BW) + 42 * p(Pocket)] = 42 * 1 / (33 * 0 + 41  * 0 + 42 * 1) = 1

Cosa farà il BU trovandosi di fronte a una puntata? Dipende da che mano ha, il che ci porta alla domanda: quanto spesso il BU avrà un certo tipo di mano nel proprio range?

Il range dato contempla la possibilità che il BU non abbia niente in mano, diciamo sotto ace high, o che abbia un gutshot come 67s o proprio ace high.

Un’altra possibilità è che abbia una coppia/top pair con 45s, 56s e 22, 44, 66-99. Inoltre, può avere top pair con KQs e un set con 33 o 55. Dato che ci interessa solo l’EV della puntata, a prescindere dalla nostra equity, dobbiamo solo determinare la probabilità di un fold con le diverse mani.

Tutti i casi in cui non chiude sono riassunti come pf(Miss), i gutshot come pf(Gutshot), gli ace high come pf(AceHigh), le coppie come pf(Pair), le top pair come pf(TopPair) e i set come pf(Set). Gli ultimi due saranno quasi sempre 0 e sono inclusi nella lista solo per completare l’equazione.

Abbiamo collezionato tutte le variabili richieste. Come descritto, guardiamo alle continuation bet come puri bluff, cioè all’EV della puntata senza altra possibilità di vincere il piatto se non grazie al fold avversario. L’EV si calcola distinguendo caso per caso a seconda del tipo di mano al pre-flop, in modo da poter sempre ricalibrare le probabilità di cold-call.

Spiegazione: Il primo termine delle tre sotto-divisioni è la probabilità di una delle tre categorie di mani del range pre-flop del BU. La parte che viene moltiplicata per il primo termine ci fornisce l’EV per un bluff puro dopo il flop, contro il range avversario. Le rispettive probabilità, cioè p(Set) devono ancora essere calcolate. Come già detto, pf(Set) è la probabilità di fold per quella categoria.

BU chiude un set se ha 33 o 55. La probabilità di avere 33 o 55 dal range 22-99 è, inizialmente, 2/8. Tuttavia, dobbiamo considerare che uno dei 3 e uno dei 5 è sul board, quindi, in realtà, ci sono solo tre, e non sei, combinazioni possibili di avere 33 o 55.

In tutto ci sono (6*6 + 2*3 =) 42 combinazioni possibili, delle quail sei sono dei set: 6/42 = 0,14. In tutti gli altri casi, BU avrà una coppia < top pair. p(Pair1) sarà quindi 36/42 = 0,86.

p(Pair2) rappresenta la probabilità di coppia/top pair con uno dei suited connectors (chiude con 45s e 56s). Delle quattro combinazioni iniziali per 45s e 56s e KQs, ne restano tre, per un totale di 3*3+6*4 = 33 combinazioni possibili. Ne risulta che p(Pair2) = 6/33 = 0,18.

Per il gutshot, Quattro combinazioni su 33 sono possibili, quindi p(Gutshot) = 0,12. Per top pair, invece, 3/33 = 0,09. Negli altri  20/33 casi, BU non chiude niente, quindi p(Miss) = 20/33 = 0,61.

Per le broadway ci sono nove combinazioni possibili per KQ (KQs si calcola con i suited connector), tenendo presente il K bloccato. Aggiungiamo 2 * 16 combinazioni per AQ e AJ e otteniamo un totale di 41 combinazioni. Tra queste, la probabilità di ace high è data da p(AceHigh) = 32/41 = 0,78 e quella per p(TopPairBW) = 9/41 = 0,22. Ora conosciamo tutte le probabilità. Prima di iniziare a ragionare sui risultati, per chiarezza, osserviamo la tabella a seguire:

Ora facciamo una stima del comportamento del BU per quanto riguarda il fold. Il suo range al flop è stato diviso in categorie:  set, top pair, coppia, gutshot e miss (non chiude niente). Ovviamente l’EV della puntata è molto influenzato dalla probabilità di un fold.

Una quantità  tale di variabili non può essere illustrata in un grafico: guarderemo quindi ai cinque distinti insiemi di valori con i rispettivi EV. Ovivamente, sei libero di prendere altri valori per provare calcoli diversi.

Era prevedibile: più l’avversario è loose, più basso è l’EV. Tuttavia, l’EV relativamente alto per la continuation bet contro un giocatore medio salta all’occhio. Non folderà spesso e un bluff contro di lui che non tenga conto della nostra equity, è vantaggioso. Il confine sta tra il giocatore medio e il loose. Contro di questi, devi riflettere seriamente su quanto sia vantaggiosa una continuation bet oppure escludere direttamente bluff puri.

Mosse post-flop standard: Bluff contro continuation bet al flop

Ora guardiamo le cose dal punto di vista opposto. Pensa a quando, in una situazione simile, hai fatto cold-call al pre-flop, o se puoi bluffare, e a quanto sarebbe vantaggioso.

Il metodo per calcolare il risultato è simile al precedente. Per iniziare, definiamo le probabilità di alcune mani al post-flop a seconda del range e del board. Una volta ottenuti i possibili risultati, possiamo approssimare l’EV. Al contrario del precedente esempio, non guarderemo in dettaglio a ogni passo del procedimento.

6max, 100BB Stack

Pre-flop: Sei BU
2 fold, CO raise 4BB, Tu call 4BB, 2 fold

Pot: 9,5BB

Flop A: K, 9, 7

Flop B: A, T, 9

Flop C: 2, 7, 9

CO bet 7BB, Tu raise 23BB

Non ci sono precedenti particolari tra te e il CO. Prendiamo pr buono che il range del CO al pre-flop sia 22+, A2s+, K9s+, Q9s+, J9s+, T8s+, 98s, 87s, 76s, 65s, 54s, A8o+, K9o+, Q9o+, J9o+, T9o, 98o, 87o, 76o, quindi circa il 30% delle mani. Se il CO non ti conosce bene, dovresti fare continuation bet il 100% delle volte. Si tratta di una situazione semplice che richiede meno ragionamenti di un possibile check-call o check-raise. Si considerano le seguenti categorie di mani:

• Top Pair+
• Middle Pair
• Pair < MidPair (P < MP)
• OESD, FD (sDraw)
• Gutshot (wDraw)
• Everything else (Air)

In questa situazione, ace high, senza sapere cos’ha il CO, non dovrebbe avere più valore di qualsiasi altra mano con out per top-pair. Per semplicità, la formula da utilizzare è: 

pf * Pot – (1 – pf ) * Raise = pf * (Pot + Raise) – Raise

Il Raise in questo caso è di 23BB, il Pot è 9,5 + 7BB.

Come nel precedente esempio:

EV =
P(TopPair+) * ( pf(TopPair) * ( Pot + Raise ) - Raise)+
P(MidPair) * ( pf(MidPair) * ( Pot + Raise ) - Raise)+
P(P < MP) * ( pf(P < MP) * ( Pot + Raise ) - Raise)+
P(sDraw) * ( pf(sDraw) * ( Pot + Raise ) - Raise)+
P(wDraw) * ( pf(wDraw) * ( Pot + Raise ) - Raise)+
P(Aria) * ( pf(Aria) * ( Pot + Raise ) - Raise)

Le probabilità necessarie a seconda del flop:

Su un Flop B, i progetti di scala e di colore minori sono da trattare come progetti deboli. Top pair + progetti di colore contano come top pair. Anche qui si notano enormi differenze tra i flop. I Flop A includono tutte le made hand, ma non molti progetti e solo un po’ d’aria. Con i Flop B, l’aggressore in genere chiuderà qualcosa, mentre il suo range di mani su flop basso è molto polarizzato.

Per maggiore chiarezza, la tabella include anche le probabilità combinate di mani vicine all’aria (aria, progetti deboli e coppie/midpair) per ogni flop.

Per poter calcolare l’EV, è necessario approssimare le probabilità di fold delle possibili mani. La parte di pf(TopPair) ≠ 0 viene da situazioni nelle quali i giocatori tight potrebbero foldare coppie deboli, top pair (specie su Flop B e C con assi deboli o con un 9 e un kicker debole).

Il risultato era prevedibile. Alcuni giocatori possono ritenere che il Flop C sia il migliore per i bluff. In questo caso non è così principalmente perché è 9 high. Su un flop 7 high, un bluff sarebbe molto più vantaggioso, perché sarebbe molto più improbabile scontrarsi con una top pair.

In generale, diventa chiaro che la continuation bet non è sufficiente, da sola, come strategia post-flop. Un giocatore deve rispondere a volte (come il giocatore medio) e raramente folderà progetti o made hands, rendendo quindi difficile bluffare.

Contro un avversario “Medio”, malgrado l’EV positive in due casi su tre, non è sempre consigliabile investire 23BB per combattere su un profitto incerto di 0,7BB (se guardiamo alle variabili stimate).

Come ulteriore possibilità contro un giocatore tight, si può tenere in considerazione il float su un Flop C. A causa del maggiore numero di approssimazioni del comportamento avversario, il calcolo del float è adatto per affrontare un giocatore che usa linee di gioco molto semplici. Continuiamo a considerare la nostra equity 0%. Se il giocatore punta ancora, devi lasciare. Se fa check, dovresti puntare 15BB su un piatto di 23,5BB, puntata che risulta perdente se viene chiamata.

QUindi, l’EV è:

EV=p(Check/Fold)*(Pot+BetFlop) - p(Bet)*(TuoCallFlop) - p(Check/Call(Raise))*(TuoCallFlop+TuaBetTurn)

Ora dobbiamo determinare le probabilità con cui il CO giocherà le seguenti linee al turn:

• Check-fold
• Check-call(raise)
• Bet

Si tratta di approssimazioni. Ora viene la parte più complicate: determinare le probabilità a seconda delle diverse categorie per ogni carta al turn.

L’EV del float funziona per +5,28BB. È meno del bluff-raise nella stessa situazione, ma, in media, è meno rischiso. L’EV è più basso, specialmente perché riteniamo che l’avversario lascerà più difficilmente mani come ~top pair al flop. Se ti aspetti che con un 9 faccia Check/Fold e non Check/Call, l’EV del float aumenterà.

The 4-Bet Bluff

Il bluff short-hand con una 4-bet è un argomento particolarmente importante. Data l’aggressività pre-flop, è importante guardare alle 4-bet come, tra le altre ose, a dei bluff. Il range degli avversari dipende molto dalla tua immagine e dalla tua storia. Per questo, se vuoi poter includere i risultati dati qui nel tuo gioco, dovrai essere particolarmente attento ai range avversari per le 3-bet e gli all-in contro di te.

Ovviamente, i risultati corrisponderanno ai tuoi solo se i range sono abbastanza realistici. La situazione è la seguente:

SH, 100BB Stack

Pre-flop: Tu sei BU con ??
3 folds, Tu fai raise 4BB, fold, BB raise 14BB, Tu fai raise 31BB

Guardiamo all’EV, ipotizzando che perderai sempre se l’avversario non si arrende (che, in questo caso, è un’ipotesi realistica):

Faresti call per 69BB su un piatto di 131,5BB, quindi ti serve un equity di almeno il 34,41%. Per fare dei paragoni, osserva questa tabella con l’equity di diversi range di mani. L’equity del range è data nella riga delle mani.

Come puoi notare, in questa situazione non puoi fare 4-bet/fold pocket pair minori contro qualsiasi range, ma puoi farlo sempre con A2s e 67s, e con AQ solo contro il range più tight. Nota che se fai una 4-bet dovrai foldare anche contro il range tight. Contro il range loose puoi portarti a casa il piatto con AQ. Dovresti saperlo, in maniera tale da non fare un errore se il tuo bluff non va a buon fine. Ovviamente, dobbiamo ancora determinare l’EV del bluff. Si può fare facilmente utilizzando la formula presentata all’inizio dell’articolo:

EV=Pfold * Pot - (1 - Pfold) * Investimento

Il piatto sono i 18,5BB che possiamo vincere, Loss sono I 27BB che perderemo se il BB non si arrende. La probabilità di fold necessaria è quindi attorno al 59%. Per i range possibili, questo significa che se l’avversario va all-in al pre-flop con QQ+, AK (34 combinazioni), dovrà 3-bettare almeno 83 combinazioni per rendere vantaggiosa una 4-bet. Questo varrebbe per un range come 77+, T9s, AQ+ o per un range come 44+, AK o TT+, AJ+, KQ+. Se va all-in al pre-flop con un range AQ+, TT+ (62 combinazioni), tuttavia, dovrà 3-bettare almeno 151 combinazioni per rendere conveniente un bluff. Parliamo di range come 22+, A2s-A5s, A9s+, AQo+, KQ+ o 22+, AQ+, A2s+, T9s o simili.

L’effetto Card Removal

A parte l’equity della tua mano contro il range di all-in dell’avversario, c’è un altro fattore che influenza la vantaggiosità di una 4-bet: la probabilità che abbia successo.

Fino a ora, abbiamo ignorato un aspetto del contesto: la probabilità di un push non è indipendente dalla tua mano (per ora postuliamo che l’avversario faccia al 100% push o fold). Considerando questo, il range avversario consiste principalmente di due parti, il “broke range” e il “fold range”. Il fatto che tu abbia o meno determinate carte modifica di un gradiente più o meno rilevante le probabilità dei due range. Questo effetto è conosciuto come effetto card removal. Alcune specifiche carte vengono rimosse dal range avversario in quanto parte della tua mano.

Se hai dei dubbi su un potenziale bluff con 4-bet, gioca sempre quelle mani che riducono al minimo la probabilità che l’avversario vada all-in. Se vuoi quantificare questa differenza, invece di dirti semplicemente “Ho un asso, è buono perché l’avversario andrà all-in con molte mani Ax”, dovrai anche considerare che le probabilità per diversi range di 3-bet cambieranno per via della tua mano.

In pratica, devi contare tutte le probabilità esistenti. Ora ti presentiamo alcune tabelle che illustrano le probabilità di varie range di 3-bet e di all-in. Guarderemo a due diversi range di all-in, uno tight con QQ+, AK e uno loose conh TT+,AQ+.

Guarderemo anche a due range di 3-bet (che possono sembrare, nella pratica, molto diversi). Uno mette molto in rilievo le coppie, con 22+, AQ+, mentre l’altro ha qualche connector: 77+, AQ+, 67s-89s. La seguente tabella mostra il numero di diverse combinazioni per specifici range, con e senza l’effetto card removal. È fatto per 4 diverse mani:: AQ, AJ, KQ, A2.

Per comprendere meglio, faremo riferimento ai rispettivi range come 1) & 2) e a) & b). Come vedi, il numero di possibili combinazioni può variare enormemente. Ad esempio, avere AQ diminuisce la probabilità del range all-in tight di (34-24) / 34 = 0,294, cioè di quasi il 30%.

Dalla tabella possiamo anche derivare alter tabelle per altre probabilità. In questo modo, potrai vedere quanto è probabile che l’avversario vada all-in per ognuna delle 4 combinazioni dei range di 3-bet e all-in. Per poter fare dei paragoni, osserveremo ogni scenario con e senza l’effetto card removal. Le percentuali sono calcolate dividendo il numero di combinazioni del range di 3-bet. Se un avversario 3-betta con a) e va all-in con 1), la probabilità è 34/110 = 0,309, cioè circa il 31%, se non consideriamo l’effetto card removal.

Ponendo che tu abbia AJ, otteniamo la seguente tabella:

If you have A2, the chart would look like this:

If you have KQ, it would look like this:

Nella maggior parte dei casi, la probabilità di un all-in diminuirà di circa il 10% a causa dei blockers. A livello teorico dovrebbe essere chiaro che le mani con le quali non puoi fare call vantaggiosi sono più adatte a un bluff con 4-bet. Fuori posizione, è spesso il caso adatto alle mani che abbiamo preso in considerazione. In posizione, dovresti, ovviamente, fare call con mani più forti.

Tieni sempre presente l’equity della tua mano, durante il gioco. Come già illustrato, non è possibile fare 4-bet/fold con mani buone contro diversi range. Invece, dovrai spesso vedere un all-in che non migliora molto il tuo EV (il tuo call sarà solo leggermente +EV). Comunque, questo aumenterà la varianza enormemente. Che tu faccia 4-bet/call con AQ o 4-bet/fold con A2 in una specifica situazione, è qualcosa che va deciso durante il gioco. I pro e i contro non possono essere analizzati in questa sede.

Conclusione

Con questo, si conclude la terza parte. Nella prossima, studieremo la 4-bet da un’altra prospettiva. Analizzeremo, inoltre, diverse situazioni post-flop e guarderemo all’analisi G-Buck.

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