I range di Nash nel gioco push-or-fold

Introduzione

In questo articolo

• Giocare push/fold è coerente con il modello di Nash?
  
• Nash può determinare se un push o un call sono -EV?
• Quando e come modificare il tuo gioco
  
• Le modifiche dipendono dall'influenza dell'effetto ICM (fattore bolla)?
  

Per vincere ai SNG è indispensabile avere una buona padronanza del gioco in heads-up. Dato che quando si arriva in HU i bui sono in genere molto alti, ti troverai spesso nella condizione di dover fare direttamente fold preflop oppure di andare all-in: questa tattica si chiama push-or-fold.

I cosiddetti range di Nash (NR) svolgono un ruolo importante in questo contesto. Spesso ti troverai in HU con un fish che ha messo su tutto quel grosso stack a forza di giocate pazze: è sempre e comunque necessario prendere qualche cautela per applicare i range di Nash al tuo gioco.

Questi articoli sono un complemento e un'estensione della serie SAGE – Sit and Go Endgame System e Push o Fold in Heads-up.

Non è indispensabile averli letti per capire questo articolo. Il SAGE fondamentalmente si basa sugli equilibri di Nash e serve a semplificarli in maniera da essere un po' più facili da memorizzare. Questo, però, rende anche il sistema SAGE alquanto rigido.

Basi

Prima di tutto, chiariamo la terminologia:

Lo stack effettivo (ES) è un importante parametro dell'analisi delle situazioni di push/fold in heads-up. Esprime in BB la dimensione dello stack più piccolo prima di pagare i bui (e le ante). Pertanto, l'ES è sempre lo stesso per entrambi i giocatori.

Il livello dei blind (BL) è 500/1000; dopo aver pagato lo SB, rimani con 5500 chip e il tuo avversario sul BB con 8000. In questa situazione: ES = 6.

Nel poker un range è una determinata selezione di mani. Quando sei in una situazione di push/fold, diventano specialmente importanti gli "x % range": sono composti dalle più forti x mani iniziali tra le 1326 possibili combinazioni. 

Non si tratta di una definizione netta, in quanto la forza relativa di una mano dipende sempre da un contesto particolare, il che vale anche per gli spot di push/fold.

Se ES = 9, un range di call (CR) del 42,7% include le seguenti mani: 22+, Ax+, K2s+, K4o+, Q4s+, Q8o+, J7s+, J9o+, T8s+, T9o, 98s. Il + indica che anche tutte le mani con kicker migliore (o tutte le PP migliori) sono incluse nel range in questione. Una mano come K4 fa quindi parte di questo range, mentre 78s ne è escluso.

Facciamo un paragone con il range di push (PR) per un ES = 16. Include le seguenti mani: 22+, Ax+, K2s+, K7o+, Q5s+, Q9o+, J6s+, J9o+, T6s+, T9o, 96s+, 98o, 85s+, 75s+, 65s, 54s. Qui puoi vedere come K4, K5 e K6 non siano parte di questo range, mentre 54s sì.

L'esempio mostra un range di call del 43% con ES = 9 non sia equivalente a un range di push con ES = 16. Per questo, nelle tabelle a seguire ci sarà sempre una lista contenente le mani rilevanti. Le cifre in percentuale e i range esatti sono stati ottenuti utilizzando il calcolatore ICM su www.holdemresources.net.

C'è un altro concetto molto importante da considerare.

Se aggiungi una mano casuale a un range, la percentuale cambierà se la mano aggiunta è la mano più forte al di fuori del range originale. Al contrario, se elimini una mano da un range, otterrai una nuova percentuale se la mano esclusa è la più debole del range considerato.

Hai già letto qualcosa dell'Independent Chip Model in alcuni articoli precedenti:

Independent Chip Model (ICM) , Esempi e spiegazioni sull'ICM e ICM advanced.

L'Hu è caratterizzato dal fatto che gli effetti dell'ICM non sono più attivi. Per questo, un HU in un SNG (o in un MTT) è fondamentalmente uguale a un HU a un tavolo cash, nel quale ogni chip vale

[(€ 1° posto) - (€ 2° posto)] / (Totale chips).

Fare fold o andare all-in, in HU, dipenderà allora principalmente da questi parametri:

• Il tuo ES
• Il range di call o di push avversario

Con l'eccezione dell'HU, nei SNG e negli MTT, l'ICM ha sempre una qualche influenza. Nei SNG questo effetto raggiunge il picco durante la bolla ed è pertanto conosciuto e misurato come fattore bolla (bubble factor) (vedi Fattori bubble nei diversi formati di SnG).

Nash nell'HU

La maggior parte della teoria e degli esempi in questa sezione si basa su heads-up a SNG da 9-10 giocatori con ES <= 20 e senza ante. Ciò non toglie che quello che viene detto qui sia valido anche per un HU di un MTT o lottando per i bui a cash. Come sempre, chiameremo l'avversario Villain (Villain è traducibile con "cattivone", nei film o nei videogiochi è l'antagonista dell'Hero per eccellenza, NdT). Tutti i risultati e gli esempi in questa sezione sono stati calcolati considerando un edge = 0% (e allo stesso modo sul future game). Spesso le percentuali verranno approssimate al decimale più prossimo (42,7% diventerà 43%).

L'expected value (o EV, valore atteso) si riferisce al valore medio di un fenomeno aleatorio. In una situazione di push o fold in HU ci interessa l'EV del parametro "Chip prima dell'azione meno la media di chip dopo l'azione (in BB)".

Ora distingueremo tra l'EV del range (REV) di push e l'EV di una specifica mano (HEV) in push (o call). Entrambi dipendono dai bui e dal range di call o di push dell'avversario.

Sei sul BB con ES = 9, il range di call avversario è 42,7% (22+, Ax+, K2s+, K4o+, Q4s+, Q8o+, J7s+, J9o+, T8s+, T9o, 98s):

• Il tuo push con T8 avrebbe HEV di circa 0.
• Il tuo push con A2 avrebbe un HEV di circa 1BB (per i calcoli, vedi l'appendice).
• Il tuo push con range di 58,7% (22+, Kx+, Q2s+, Q5o+, J2s+, J8o+, T5s+, T8o+, 95s+, 97o+, 85s+, 87o, 74s+, 64s+, 53s+) avrebbe un REV di circa 0,5 BB (approfondiremo questo punto nella prossima sezione).

In generale, il REV si calcola così:

(1) REV(Range) = Somma_{mano dal range} HEV(Mano)* P(Mano)

P(Mano) si riferisce alla probabilità che ti venga servita tale mano.

Nell'esempio sopra, A2 è quindi una mano sopra la media nel pushing range, dato che il suo HEV è superiore al suo REV.

Come conclusione generale, si può dedurre che il REV aumenta se vi si aggiunge una mano con +HEV, mentre diminuisce se si aggiunge una mano -HEV. Una mano 0HEV non ha influenza sul REV.

Se vuoi espandere il tuo range, la scelta più sensata è prendere la mano più forte fuori dal tuo range. È la mano con maggiore HEV disponibile e quindi aumenta più di ogni altra il REV. Se anche la mano più forte esclusa dal tuo range è
-HEV, almeno aggiungerla abbasserà il REV in misura minore rispetto a tutte le altri mani. Se vuoi restringere il tuo range, allo stesso modo eliminerai per prima la mano più debole. Come indicato nella sezione "Range", è in questo modo che nascono nuovi range percentuali.

Ora vediamo come sono definiti gli equilibri di Nash. Tieni conto che la nostra definizione è adattata a una situazione di push/fold in HU.

Immagina di essere in HU con un ES di 9BB, per esempio. In questo scenario, il tuo range di push sarà di x% e l'avversario farà call con y%. Quindi avete entrambi un certo REV, che molto facilmente sarà diverso.

Un equilibrio di Nash (chiamato anche range di Nash o NR) è composto di range (x%, y%) in modo tale che né tu né l'avversario possiate aumentare il vostro proprio REV modificando il range senza che anche l'altro range si modifichi. x è quindi il pushing range di Nash (NPR) mentre y è il range di call di Nash (NCR) e si dirà che il giocatore fa push o call secondo Nash.

Tenendo presente quanto detto sopra, deduciamo che:

I NR contengono tutti i range composti da mani +HEV e da nessuna mano -HEV. Naturalmente un requisito è che l'avversario faccia call (o che vada in push, se si parla di NCR) seguendo Nash.

Quindi se l'avversario devia dal NR, il tuo REV aumenta: ciò accade perché "deviare" significa aggiungere una mano -EV oppure eliminare una mano +HEV. Dato che così facendo il suo REV decresce, il tuo di conseguenza aumenta.

Torneremo a parlare di REV nella sezione "EV dei range di Nash".

È da notare come i NR nel modello ICM dipendano fondamentalmente solo dall'ES. Non ha importanza, in questo caso, giocare con 5BB contro uno stack di 10 o 100BB.

Non è molto difficile calcolare i NR presentati nella sezione precedente. Tutti i range sono stati calcolati con il calcolatore ICM gratuito disponibile su www.holdemresources.net; le stesse operazioni sono possibili con l'ICM-Trainer di Pokerstrategy.com. Programmi diversi possono dare variazioni di 0,5% nei risultati e qualche volta può esserci una mano in più o in meno: in ogni caso, non si tratta di differenze significative.

La seguente tabella fornisce una panoramica. La versione con le ante presuppone ante del 10% del BB. Altre strutture, come PokerStars (ante tra il 12,5% e il 5% del BB, a seconda del livello) possono portare a risultati lievemente diversi. Se le ante sono il 5% del BB, per esempio, puoi fare una media tra le due tabelle.

Tabella 1 (senza ante):

Tabella 2 (con ante):

Ad ogni linea corrisponde un ES. Nella colonna 2 ci sono i rispettivi NPR (se da SB) e nella colonna 3 i rispettivi NCR (se da BB).

Qui trovi un'altra tabella che contiene più o meno gli stessi dati, ma ordinati in maniera diversa: il vantaggio di questa tabella è di essere più concisa, mentre quella qui sopra consente di farsi più rapidamente un'idea dei range dei singoli ES. Per esempio, è più facile vedere con quante mani più deboli potresti ancora fare push o quanto dovrebbe essere migliore la tua mano per fare call.

Guardiamo ora con più attenzione ai REV dei NR. Parliamo di un tavolo ipotetico nel quale i valori precisi non sono improtanti, quindi se vuoi puoi passare direttamente alla prossima sezione. Ciò che conta è scegliere un range con il maggiore REV possibile.

Prima di tutto, il Texas Hold'em, una volta pagati i bui, non è più un vero e proprio gioco a somma zero. In fondo, puoi vincere i bui più la somma delle vincite e delle perdite dell'avversario. Sarebbe un gioco a somma zero solo se non avessi mai dovuto pagato bui. In quel caso, ci sarebbero solo due alternative: o non giocare affatto, oppure fare push e call solo con AA e non ci sarebbero né giocatori bravi né scarsi.

Nella sezione "EV delle mani ed EV dei range" e "Equilibri di Nash nell'HU" hai già potuto notare come tutte le mani nei NR siano +HEV (o 0HEV). Ma cosa si intende precisamente quando si dice che quel T8 dell'esempio 3 ha una HEV vicino allo zero? Significa che non vincerai quasi niente se farai push contro un range di call avversario del 43%.

D'altra parte, significa anche che il range di call avversario ha un REV di quasi 1,5 BB se fai push con T8. Dato che Villain fa fold nel 57% dei casi e non vince niente, dovrà vincere una media di 1,5 BB / 43% = 3,5 BB nei restanti casi. Tu, quindi, perderai una media di 3,5 - 1,5 BB = 2 BB se farà call.

Se, invece di T8, hai AA, le cose vanno ovviamente meglio: il tuo push ha un HEV di circa 3,8 BB, composto da 1,5 BB per il 57% dei casi in cui non farà call e da un EV di circa 6,9 BB per il 43% delle volte in cui farà call.

Tutte le altre mani avranno EV tra 0 e 3,8 BB.

Puoi fare da te e calcolare il REV con la formula (1). È una cosa noiosa, però: in alternativa, puoi trovare il risultato con l'ICM Trainer di PokerStrategy.com. L'equity prima di pagare i bui è sempre simile a quella dopo la mano (se entrambi i giocatori seguone Nash). Per un ES <7,5 BB, il REV dello SB è maggiore di zero. Per ES più alti, è minore di zero, da qualche parte vicino a 0,1 BB per un ES = 15 a 20. Quindi, il REV di SB è 0,5 BB e quello di BB è 1 BB. Da notare come per l'EV in push-or-fold non sia molto rilevante se nella prossima mano sarai SB o BB.

Applicare e modificare i range di Nash

Cosa significa giocare attenendoti rigidamente ai NR? Nella sezione "Range" hai già visto che il REV di un NR aumenta se l'avversario si discosta dal NR. Non ha modo di far scendere il tuo REV sotto il valore che raggiunge lui, se segue Nash: per questo si dice che "non si può sfruttare chi segue Nash".

Tuttavia, sono pochi gli avversari che applicano Nash alla lettera in HU. Se l'altro giocatore utilizza un range diverso, però, cambierà anche l'HEV delle tue mani. Di conseguenza, accade che non necessariamente tutte le mani nel NR siano ancora +EV e che potrebbero esserci mani fuori dal NR che sono invece ora +EV.

Guardiamo degli esempi, tutti con ES = 9. Quindi, NPR = 59% e NCR = 43%. Distingueremo tra quando sei SB o BB e tra quando hai una mano forte del tuo NR, una mano debole del tuo NR o una mano esclusa dal tuo NR. Per ogni caso, osserveremo come l'HEV (da BB) vari in correlazione al range avversario. Vedi lappendice per le formule di calcolo.

Sei SB con ES = 9.

• Caso 1: Mano forte dal tuo Nash pushing range:

• Caso 2: Mano debole dal tuo nash pushing range:

• Case 3: Mano esclusa dal tuo Nash Pushing Range:

Sei su BB con ES = 9.

• Caso 4: Mano forte dal tuo Nash Calling Range:

• Caso 6: Mano debole dal tuo Nash Calling Range:

• Caso 6: Mano esclusa dal tuo Nash Calling Range:

Gli esempi mostrano le seguenti tendenze:

• Se hai una mano forte e fai push, il tuo HEV aumenta tanto più Villain è loose nei call.
• Se hai una mano debole e fai push, il tuo HEV descresce tanto più Villain è loose nei call.
• Se sei tu a fare call, l'HEV aumenta tanto più Villain è loose nei push, a prescindere dal fatto che tu abbia una mano forte o meno.

Quindi, sempre giocando secondo Nash, farai degli errori nei seguenti casi:

• Errore 1: Caso 2, CR = 55% e CR = 70%: È un push -HEV.
• Errore 2: Caso 3, CR = 20% e CR = 30%: Hai perso un push +HEV.
• Errore 3: Caso 5, PR = 25% e PR = 40%: È un call -HEV.
• Errore 4: Caso 6, PR = 70% e PR = 80%: Hai perso un call +HEV.

In questi casi devi modificare il tuo range.

Come spiegato nella sezione "EV della mano ed EV del range", l'obiettivo è fare push o call con mani +HEV. Dalle tendenze illustrate nell'esempio precedente possiamo derivare delle linee di base per modificare il range (tenendo presente gli errori 1-4):

• Regola 1:  Se, secondo Nash, Villain è troppo loose nei call, non fare push con le mani più deboli del NPR: con quelle mani un push potrebbe diventare -HEV.
• Regola 2: Se, secondo Nash, Villain è troppo tight nei call, puoi aggiungere alcune mani più deboli escluse dal tuo NPR. In caso contrario, rischi di perdere dei push +HEV.
• Regola 3: Se, secondo Nash, Villain è troppo tight nei push, allora evita di fare call con le mani più deboli del tuo NCR. Con queste mani, vedere potrebbe essere -HEV.
• Regola 4: Se, secondo Nash, Villain è troppo loose nei push, puoi aggiungere le mani più forti ancora escluse dal tuo NCR o rischierai di perdere dei call +HEV.

In genere accade di giocare più spesso con giocatori troppo tight (casi 2 e 4), mentre è raro che i regular si attengano strettamente a Nash, come è vero anche per gli avversari in tilt, per esempio, che fanno push e call ancora più loose di quanto richiesto da Nash (casi 1 e 3).

Per questo i range sembrano fatti per un gioco standard contro un avversario sconosciuto: si fa push più o meno seguendo Nash. Puoi tenerti un po' più tight nei call rispetto a quanto indicato da Nash fino a quando non sarai sicuro che l'avversario segue Nash quantomeno nei push.

Se sei troppo tight nei push e nei call contro un giocatore veramente troppo chiuso, ciò ha dei vantaggi: diminuendo la probabilità di coinflip, aumenta la lunghezza media del gioco e ti resta più tempo per sfruttare il leak avversario.

Hai 2.800 chip, l'avversario ne ha 10.700, i blind sono a 250/500 e sei SB. Nelle sette mani successive fai 3 push che vanno a buon fine, fai fold una volta e ogni volta che l'avversario è SB ti lascia il buio. Ora hai 6.550 chip, l'avversario 6.950 e i bui si alzano a 300/600. Villain fa push con ES = 11. Invece di dargli un NPR del 54%, gli dai un 28% molto più tight e ti chiedi se fare call con A7. Secondo l'ICM Trainer, il call sarebbe solo leggermente +EV. Tuttavia, l'avversario mostra di avere un leak enorme: ha dei range veramente troppo tight: meglio allora fare fold e continuare a sfruttare questa debolezza.

Riassumendo, il gioco secondo Nash consiste in questi fattori:

• Scegliere un REV positivo.
• Considerare che il REV aumenta se l'avversario si discosta dal NR.

Ma così facendo:

• Non avrai più il REV ideale.
• Alcune mani diventeranno -HEV.

Dovrai quindi adattare i range. Se giochi contro un solo Villain, non vorrai certo essere-HEV, anche se il REV è positivo.

Situazioni al di fuori dell'heads-up

Molti dei precedenti risultati possono applicarsi facilmente a contesti diversi dall'HU, a meno che non sia attivo l'effetto ICM. È il caso dei tavoli cash o di MTT e SNG winner-takes-all (SNG nei quali il primo arrivato vince tutto).

In genere, si possono anche calcolare costellazioni di NR per 3-10 giocatori con l'ICM Calculator o con l'ICM Trainer. Le regole citate per le modifiche restano valide anche in questo nuovo contesto.

BU = 3200, SB = BB = 5000, bui 200/400. Il primo giocatore vince un ingresso a un torneo, gli altri non vincono niente.

L'ICM Calculator dà i seguenti risultati.:

Ciò significa che puoi anche fare push con K4s da BU, per esempio, se dai ad almeno uno degli avversari un range di call più loose senza dover dare a un altro avversario un range più tight. Per essere più chiari: senza dare a un giocatore un range così tanto tight da compensare il range più loose di un altro avversario. In quel caso è meglio ricordare la regola numero 1, ovvero essere più tight nei push e quindi passare K4s.

Più interessanti sono le situazioni nelle quali l'effetto ICM o il fattore bolla (BF) è maggiore di 0,5. In questi casi, le chip vinte valgono meno delle chip perse. Si applica la seguente equazione:

BF= €valore (stack) / €valore (2*stack).

In HU il fattore bolla è quindi di 0,5, mentre in situazioni con effetto ICM estremamente marcato si attesta su 1. Tipici esempi delle situazioni con alto fattore bolla sono i tavoli finali di un MTT oppure un torneo di qualificazione quando si sta per vincere l'ingresso in palio o ancora la bolla di un SNG.

Guardiamo meglio la bolla dei SNG. Le conclusioni che abbiamo raggiunto possono applicarsi, infatti, ad altre situazioni. Nell'esempio 8 aggiungeremo un giocatore small stack su CO allo scenario dell'esempio 7.

CO = 1800, BU = 3200, SB = BB = 5000, bui 200/400. CO fold.

I NR sono i seguenti:

La prima cosa che si nota è che i NR sono più tight. Non è sempre così: quando sei big stack, è possibilissimo che i tuoi NPR siano maggiori rispetto a una situazione simile ma priva di effetto ICM. Cosa succede se sei SB e non sai se andare all-in e il BB è un fish che non sa cosa sia l'ICM e fa call molto loose, diciamo con il 10% delle mani?

All'inizio, il push con le mani deboli del range diventa nuovamente -HEV. L'effetto ICM, però, può portare a questo:

Il REV del tuo NR può diminuire se l'avversario si discosta dal proprio NR.

Ciò accade perché agli altri due giocatori conviene se il BB è loose nel vederti. Quindi il BB avrà un REV notevolmente inferiore con il suo CR del 10% rispetto al NCR, e anche il suo REV potrebbe ridursi.

Se non adatti i NR, il tuo REV potrebbe anche diventare negativo.

Le regole per le modifiche citate nella sezione 4.2 devono quindi essere a loro volta modificate, seguendo queste nuove regole:

• Regola 1: Più il range è ristretto, più alto è il BF.
• Regola 2: Meno è esteso il range, più alto è il BF.
• Regola 3: Più il range è ristretto, più alto è il BF.
• Regola 4: Meno è esteso il range, più alto è il BF.

Appendice

Negli esempi 3-5 l'HEV è dato in BB. Per calcolarlo, puoi utilizzare il programma SNG Wizard: prima scegli stack e bui in maniera da ottenere l'ES desiderato. Con ES=9, per esempio, devi impostare i blind a 300/600, SB=5400 e BB=9600. Poi si seleziona una mano specifica per SB, un CR per il BB e si ottiene la differenza di equity. Per convertire il risultato in BB, si moltiplica per

Tutte le chip nella mano (in BBs) / 20

Nel caso sopra si tratterebbe di un fattore di 25/20 =1.25.

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