Wiskundige concepten voor No-Limit Holdem (3) - Foldequity & EV Advanced

Inleiding

In dit artikel

• Hoe een mogelijke fold de EV beïnvloedt
  
• Postflop standaardmoves onder de loep
  
• Winstgevend 4-bet-bluffen
  

In het tweede deel werden de implied en reverse implied odds geïntroduceerd en berekend. Verder heb je in dit deel de eerste werkelijk complexe EV-berekening voor een preflopcall op setvalue gezien. In dit artikel ligt de focus op moves van de tegenstander, de bijbehorende ranges en hoe je daar op terug kunt spelen.

De verwachtingswaarde met inachtneming van een mogelijke fold

Omdat blufs of semi-blufs een grote rol in dit artikel spelen is het belangrijk om de mogelijkheid van de fold van de tegenstander in de berekening op te nemen, want met

EV = Equity * (Win + Investment) - Investment

is dat niet gedaan. In deze formule is geen plaats voor een fold van de tegenstander. Hiervoor moet de EV meer algemeen worden berekend:

EV = P_fold * Pot + (1 - P_fold) * (Equity * (Win + Investment) - Investment)

(De kans dat je de pot direct wint is Pfold; win je de pot niet direct dan geldt de bekende verwachtingswaarde). Pfold is hierbij de kans op een fold van je tegenstander. Wanneer we de aanname Equity = 0 maken, dan kunnen we deze formule vereenvoudigen tot

EV=P_fold * Pot - (1 - P_fold) * Investment,

waarbij het verlies in dit geval gewoon je continuationbet is. Dit is voor alle pure blufs het geval: Je wint de pure bluff per definitie alleen wanneer je tegenstander opgeeft.

Standaard postflopmoves: Continuationbet

Na de preflopraises zijn de continuationbets wel de meest voorkomende standaardsmoves. Nu wordt daarom hun EV onder de loep genomen. Daarbij vragen we onszelf vooral af hoe vaak een speler een hand uit welke categorie heeft getroffen. Tegelijkertijd moeten we vanzelfsprekend inschattingen maken van de preflopranges en van het postflopgedrag met verschillende handcategorieën. Laten we een concreet voorbeeld nemen:

SH, 100BB Stacksize

Preflop: Hero is MP with XY
Hero raises 4BB, 1 fold, BU calls 4BB, 2 folds

Flop: (9.5BB) K, 5, 3 (2 Players)
Hero bets 7BB

De flop is dus behoorlijk ongecoördineerd en een klassiek board voor een continuationbet. Ongeacht het feit dat Hero zelf hier natuurlijk ook vaker een hand heeft getroffen, moet nu de volgende situatie worden geanalyseerd:

Hero verliest altijd wanneer BU verder speelt. Is de bet nog winstgevend en zo ja, hoe winstgevend is hij dan? Welke aannames moeten daarvoor worden gedaan?

Het bepalen van ranges is niet het werkelijke onderwerp van dit artikel, maar je komt er toch niet omheen om aan BU een range te geven. Dit voorbeeld brengt ons meteen ook op een ander concept: De regelmaat waarmee een tegenstander iets doet. Het zou bijvoorbeeld kunnen dat BU hier elk pocketpair coldcallt, maar slechts 30% van de suited connectors. Een aantal spelers zal hier natuurlijk helemaal geen suited connectors coldcallen en andere spelers juist weer allemaal.

Zonder nadere informatie kan er echter zeker een meer realistische uitkomst komen wanneer je in plaats van 100% of 0% coldcalls, voor een bepaalde handcategorie een waarde daartussenin aanneemt. Dit kun je ook variabel laten om later te kijken hoe de gehele verwachtingswaarde verandert wanneer je deze parameter verandert.

Om de gehele analyse niet veel te ingewikkeld maken nemen we drie verschillende categorieën aan voor BU. Ze beschrijven de relatieve frequentie waarmee hij deze speelt (P_(categorie)):

• Pocket pairs: 22-99: P_(pocket)
• Suited connectors 45s-KQs: P_(SC)
• Sterkere broadways AQ, AJ, KQ: P_(BW)

Hoeveel combinaties zijn er voor elk van deze ranges? Zoals al in het voorgaande artikel berekend heeft elk pocket pair zes combinaties. Er zijn dus 42 combinaties voor de pocketpairs.

Elke suited hand kan op vier verschillende manieren gevormd worden en er bestaan dus 33 combinaties voor de suited connectors. Voor unpaired handen zijn er 16 combinaties en voor de broadways daarmee ook 41 combinaties.

Dus heeft button (handcombinatie) met (kans):

De aparte waardes voor de coldcall-kansen liggen tussen 0 en 1. Deze constructie kan ook zichtbaar worden gemaakt doordat er bijvoorbeeld wordt gekeken naar een speler die alleen pocketpairs coldcallt. Voor hem is P_(SC)=P_(BW)=0 en p(pocket) = 1. Dus heeft hij een pocketpair met een kans van

42 * P_(pocket)/[33 * P_(SC) + 41  * P_(BW) + 42 * P_(pocket)] = 42 * 1/(33 * 0 + 41  * 0 + 42 * 1) = 1

Wat doet BU wanneer hij met een bet wordt geconfronteerd? Dat zal natuurlijk afhankelijk zijn van zijn eigen hand, waarmee de vraag opkomt: Hoe vaak treft BU welk soort hand met zijn range?

Met de aangegeven range kom je voor BU op de mogelijkheid dat hij óf helemaal niets (hieronder "miss" genoemd) heeft, dus minder dan A-high, óf hij kan een gutshot met 67s of A-high hebben.

Als volgende optie heeft hij een pair < top-pair met 45s, 56s en 22, 44, 66-99. Daarbij komt zijn top-pair met KQs en de beide sets met 33 en 55. Omdat we ons slechts interesseren voor de verwachtingswaarde van de bet ongeacht de eigen equity, hoeven we alleen nog maar de foldkans voor zijn verschillende handen te bepalen.

Wat we kunnen samenvatten zijn alle 'misses' met Pf_(miss), de gutshot met Pf_(gutshot), A-high met Pf_(Acehigh), pairs met Pf_(pair), top-pair met Pf_(top-pair) en sets met Pf_(set). De beide laatsten zullen als het ware altijd 0 zijn en zijn slechts de omwille van de volledigheid opgenomen.

Tot zover zijn alle noodzakelijke variabelen besproken en samengevoegd. Zoals gezegd moet hier de continuationbet als zuivere bluf worden behandeld, dus de verwachtingswaarde van de inzet zelf, zonder de kans de pot op een andere manier te winnen. De verwachtingswaarde kun je nu bijvoorbeeld via een onderscheid per situatie berekenen volgens de preflop-handcategorieën, om zo verder te kunnen variëren met de kans op een coldcall.

Uitleg: De eerste term van de drie onderverdelingen geeft de kans aan voor een van de drie preflop handcategorieën bij BU. Het deel dat daarmee wordt vermenigvuldigd volgt uit de verwachtingswaarde voor een pure bluf na de flop tegen de handrange van de tegenstander. De bijbehorende kansen P_(set) (o.a.) moeten nog berekend worden. Pf_(set) geeft zoals gezegd de waarschijnlijkheid van een fold voor deze handcategorie aan.

BU heeft een set gemaakt met 33 en 55, de kans op 33 of 55 uit 22-99 bedraagt in eerste instantie 2/8. Toch moet hier het feit worden meegerekend dat een van de drieën of een van de vijven al op het board ligt en er dus effectief niet meer zes, maar slechts drie combinaties voor 33 of 55 overblijven.

In totaal zijn daardoor 6*6 + 2*3 = 42 combinaties mogelijk. Zes daarvan zijn een set, wat overeen komt met 6/42 = 0.14. In alle andere gevallen heeft BU een pair < top-pair. P_(pair1) en dat is dus 36/42 = 0.86.

P_(pair2) geeft de kans aan op een pair < top-pair met een suited connector, dus de treffers met 45s en 56s. Van oorspronkelijk vier blijven er voor 45s, 56s en KQs nog drie over en in totaal zijn er 3*3+6*4 = 33 combinaties mogelijk. Dus is P_(pair2) = 6/33 = 0.18.

Voor de gutshot zijn er vier uit 33 combinaties mogelijk en daarmee is P_(gutshot) = 0.12, voor top-pair zijn 3/33 combinaties mogelijk, wat overeen komt met 0.09. In de resterende 20/33 van de gevallen heeft BU niets getroffen
P_(miss) = 20/33 = 0.61.

Voor de broadways zijn met de geblokkeerde koning op de flop in totaal nog negen combinaties voor KQ mogelijk (KQs is bij de SC’s ingedeeld). Daarbij komen 2 * 16 combinaties voor AQ en AJ, wat een totaal geeft van 41 combinaties. Daarvan zijn de kansen voor A-high met P_(acehigh) = 32/41 = 0.78 gegeven voor P_(top-pairBW) = 9/41 = 0.22. Nu zijn alle kansen bekend. Omwille van het overzicht worden ze nog een keer in de vorm van een tabel aangegeven voordat de resultaten worden bediscussieerd.

Verder moeten nu aannames over het gedrag van BU op de flop worden gemaakt. Zijn range was op de flop ingedeeld in de categorieën set, top-pair, pair, gutshot en miss. Uiteraard zal de verwachtingswaarde van de bet voor een groot deel afhangen van de betreffende foldwaarschijnlijkheden.

Omdat er met zoveel variabelen geen grafiek valt te maken, worden hier vijf verschillende groepen van waardes in combinatie met de EV aangegeven. Wie dat wil kan vanzelfsprekend ook willekeurige andere waardes aannemen en invoeren.

De tendens was natuurlijk te verwachten: Hoe looser de tegenstander speelt, des te kleiner is de EV. Opvallend is echter de altijd nog behoorlijk grote verwachtingswaarde voor de continuationbet tegen de gemiddelde speler. Hij foldt niet overmatig veel en toch is de bluf alleen al winstgevend, ongeacht de equity tegen hem. De grens ligt tussen zijn waarde en de waarde van de loose speler in. Hier zou je zo langzaam aan eens serieus moeten gaan nadenken over de winstgevendheid van je continuationbets of als tendens veel meer pure blufs weglaten.

Standaardmoves postflop: bluf tegen continuationbets op de flop

Laten we de situatie nu eens van de andere kant bekijken. Bedenk eens waar je in een vergelijkbare situatie, waarin je preflop hebt gecoldcalld, kunt bluffen en hoe winstgevend dat zal zijn.

De aanpak van de berekening is net zoals in het voorgaande voorbeeld. Ten eerste wordt aan de handrange en afhankelijk van het board de kans bepaald voor verschillende postflophanden. Aan de hand van de verschillende mogelijke reacties kan de EV worden ingeschat. In tegenstelling tot de laatste berekening wordt hier echter niet meer iedere stap in detail beschreven.

6max, 100BB Stacks

Preflop: Hero is BU
2 folds, CO raises 4BB, Hero calls 4BB, 2 folds

Pot: 9.5BB

Flop A: K, 9, 7

Flop B: A, T, 9

Flop C: 2, 7, 9

CO bets 7BB, Hero raises 23BB

Er is geen bijzondere geschiedenis tussen CO en Hero. De range van CO is preflop 22+, A2s+, K9s+, Q9s+, J9s+, T8s+, 98s, 87s, 76s, 65s, 54s, A8o+, K9o+, Q9o+, J9o+, T9o, 98o, 87o en 76o en dus ongeveer 31% van alle handen. Verder wordt aangenomen dat CO Hero zo slecht kent dat hij hier tot 100% zal continuationbetten. Dit mag in veel situaties niet meer logisch zijn, maar is veel eenvoudiger en met minder aannames te omschrijven dan een mogelijke check-call, check-fold en check-raise. Als handcategorieën zijn hiervoor mogelijk:

• Top-pair+
• Middlepair
• Pair < midpair(P < MP)
• OESD FD (sdraw)
• Gutshot (wdraw)
• Al het andere (Air)

Ook A-high kan in deze situatie tegen een op zich onbekende tegenstander voor CO niet meer waard zijn dan andere handen met maximaal top-pair outs. Voor het gemak moet ook de omzetting

Pf * pot – (1 – pf ) * raise = Pf * (pot + raise) – raise

worden toegepast. Raise is hierbij 23BB, pot is 9.5 + 7BB.

Zoals in het laatste voorbeeld is dus

EV =
P_(top-pair+) * ( Pf_(top-pair) * ( pot + raise ) - raise)+
P_(midpair) * ( Pf_(midpair) * ( pot + raise ) - raise)+
P_{(P < MP)} * ( Pf_{(P < MP)} * ( pot + raise ) - raise)+
P_(sdraw) * ( Pf(_sdraw) * ( pot + raise ) - raise)+
P_(wdraw) * ( Pf_(wdraw) * ( pot + raise ) - raise)+
P_(air) * ( Pf_(air) * ( pot + raise ) - raise)

Ook de kansen zijn weer nodig voor de verschillende flops:

Op flop B worden kleine straight- en kleine flushdraws ook als weake draws aangezien. Top-pair + flushdraw wordt als top-pair geteld. Alleen hier al vallen de enorme verschillen tussen de flops op. Op flop A zijn alle categorieën made hands aanwezig, maar weinig draws en een portie air. Op flop B heeft de agressor meestal iets getroffen terwijl zijn range op de lowcard-flop behoorlijk sterk gepolariseerd is.

Voor een beter begrip is nog eens voor iedere flop de kans voor een air-achtige hand (air, weak draw en pair < midpair) aangegeven.

Om de EV uiteindelijk te kunnen berekenen heb je inschattingen nodig voor de afzonderlijke foldwaarschijnlijkheid van de mogelijke handen. De delen voor Pf_(top-pair) ongelijk aan 0 komen uit situaties waarin tighte spelers zwakke top-pairs (vooral op flop B en C met kleine azen of een 9 met zwakke kicker) zouden kunnen folden.

Het resultaat was zo of vergelijkbaar te verwachten. Een aantal spelers zou waarschijnlijk verwacht hebben dat flop C het beste zou zijn om te bluffen. Dat dit in het hier behandelde voorbeeld niet zo is hangt ook sterk af van het feit dat de flop 9-high is. Op een 7-high-flop zou een bluf duidelijk winstgevender zijn omdat hier veel minder top-pairs gevormd zullen worden.

Samengevat zie je hier dat de continuationbet alleen, als strategisch middel na de flop, nauwelijks voldoende is. Een speler moet minstens zoals de "medium" speler een paar keer terugspelen en heel zelden draws of ook diverse made hands folden om niet direct blufbaar te zijn.

Ook wanneer er in twee van drie gevallen een positieve waarde uit is gekomen, is het toch niet altijd aan te raden (tegen een "medium" speler) 23BB te investeren voor een niet verzekerde winst van 0,7BB (uitgaande van deze variabelen die we slechts ingeschat hebben).

Als verdere variant tegen de tighte speler is nog de float op flop C erbij genomen. Op grond van het hogere aantal geschatte waardes over het gedrag van de tegenstander is de berekening van de float alleen tegen een echt simpel spelende tegenstander een optie. De aanname is nog steeds een equity van 0%. Bet de speler opnieuw, dan geeft Hero op. Checkt de speler, dan zal Hero 15BB in 23.5BB betten en wanneer hij wordt gecalld verliest hij.

De EV is daarmee:

EV=P_(Check/Fold)*(Pot+BetFlop) - P_(Bet)*(YourCallFlop) - P_{(Check/Call(Raise)})*(YourCallFlop+YourBetTurn)

Wat nu moet worden bepaald is de kans dat CO speelt op de turn met óf

• Check-fold
• Check-call(raise)
• Bet

Tot zover een mogelijke schatting. Nu over het wat omslachtigere deel: De bepaling van de kansen van de verschillende handcategorieën voor verschillende turnkaarten.

De EV van de float komt met de gemaakte inschattingen dus op +5.28BB. Minder dan de blufraise in de behandelde situatie, maar daarvoor gemiddeld ook met een kleiner risico. Hij is vooral lager omdat de inschatting hem minder mogelijkheden tot het opgeven van handen ~top-pair op de flop geeft. Verwacht je vaker check-fold van een 9 te zien en vooral minder check-call, dan wordt de EV van een float nog hoger.

De 4-bet-bluf

Vooral shorthanded is het 4-betten een belangrijk onderwerp. Op grond van de behoorlijk grote agressie voor de flop is het nodig om je onder andere bezig te houden met de 4-bet als bluf. De ranges van je tegenstanders zullen vanzelfsprekend heel sterk afhangen van je eigen image en jullie geschiedenis. Daarom moet je, wanneer je de hier voorgestelde bevindingen in je spel wilt inbouwen, extra voorzichtig zijn met met betrekking tot de aangenomen ranges van je tegenstander voor een 3-bet tegen jou en voor een all-in.

Uiteraard passen de resultaten voor jou alléén wanneer ook de ranges wat meer realistisch zijn. De volgende situatie:

SH, 100BB Stacks

Preflop: Hero is BU with ??
3 folds, Hero raises 4BB, fold, BB raises 14BB, Hero raises 31BB

Onder de aanname dat je iedere keer verliest wanneer je tegenstander doorspeelt (wat hier zelfs behoorlijk realistisch is) analyseren we eerst je EV:

Je zou 69BB in een 131,5BB grote pot moeten callen. Daarvoor heb je minstens 34.41% equity nodig. Ter vergelijking een tabel met equities van verschillende ranges ter herinnering (deze kwamen we gedeeltelijk al eerder tegen). Er wordt steeds de equity van de hand in de kolom aangegeven.

Zoals je ziet kun je kleine pocketpairs in deze situatie tegen geen enkele range 4-bet-fold spelen, A2s en 67s altijd, AQ slechts tegen de tighte range (maar wanneer je 4-bet moet je tegen de tighte range ook folden). Tegen de loosere range gaat het geld met AQ er in. Dit zou je moeten weten om in het geval dat je bluf mislukt geen fout meer te maken. Vanzelfsprekend blijft er nog de vraag naar de EV van de blufs. Daar kom je eenvoudig op volgens de formule van het begin van het artikel:

EV=Pfold * Pot - (1 - Pfold) * Investment

Pot is in dit geval de te winnen 18,5BB, een verlies is -27BB, die in het geval van verderspelen van de BB verloren zijn. De benodigde foldwaarschijnlijkheid komt daarmee op ongeveer 59%. Voor mogelijke ranges betekent dit ongeveer:

Gaat de tegenstander met QQ+ AK (34 combinaties) preflop broke, dan moet hij minstens met 83 combinaties 3-betten om een winstgevende 4-bet mogelijk te maken. Dit zou bijvoorbeeld voor een range zijn van 77+, T9s, AQ+, of voor een range als 44+, AK of TT+, AJ+, KQ+. Gaat hij echter met de AQ+, TT+ range voor de flop broke (62 combinaties), dan moet hij minstens 151 combinaties 3-betten om winstgevend blufbaar te zijn. Dit zou bijvoorbeeld zijn met 22+, A2s-A5s, A9s+, AQo+, KQ+, of 22+, AQ+, A2s+, T9s of vergelijkbaar.

Het card-removal effect

Naast de equity van je hand tegen de all-in range van de tegenstander is er een extra factor die over de winstgevendheid van een 4-bet beslist: De kans dat deze slaagt.

Tot nog toe werd daarbij een feit buiten beschouwing gelaten: De kans op een push (we gaan er in deze gewone situatie van uit dat de tegenstander tegen 100% zou folden of pushen) is niet onafhankelijk van je eigen hand.

De range van de tegenstander bestaat zo bekeken uit twee onderdelen: Het broke-gedeelte en het fold-gedeelte. Het feit dat je bepaalde kaarten hebt of niet hebt, verschuift de kansen tussen deze beide onderdelen. Dit effect wordt als card-removal-effect omschreven, omdat bepaalde kaarten uit de range van de tegenstander verwijderd worden omdat jij deze in je hand hebt.

Bij twijfel zou je bij een 4-bet bluf dus altijd voor een hand moeten kiezen die de kans voor een all-in van de tegenstander minimaliseert. Wanneer je dit onderscheid wilt meerekenen in plaats van te zeggen "ik heb een aas en dat is goed omdat de tegenstander met veel Ax-handen all-in zal gaan", moet je er natuurlijk ook rekening mee houden dat de kansen voor verschillende 3-betting ranges door je hand verschuiven.

Apart genomen doe je dat door het aftrekken van de aanwezige combinaties. Hieronder wordt een aantal tabellen met kansen voor verschillende 3-bettingranges en all-in-ranges voorgesteld. Hiervoor moet per keer worden uitgegaan van twee verschillende all-in-ranges: een tighte met QQ+, AK en een loose met TT+, AQ+.

Ook bekijken we per keer twee 3-betting ranges (die er in de realiteit vaak sterk anders kunnen uitzien): Een sterk op pairs leunende met 22+, AQ+ en een andere met een paar connectors: 77+, AQ+, 67s-89s. In de volgende tabel wordt steeds het aantal verschillende combinaties voor de verschillende ranges aangegeven, eenmaal zonder inachtneming van een card-removal-effect en eenmaal met inachtneming van card-removals voor 4 verschillende handen: AQ, AJ, KQ, A2.

Voor een overzichtelijke aanduiding worden hierna de ranges ook aangeduid met 1) en 2) of a) en b). Zoals je hier al ziet verschuiven de aantallen mogelijke combinaties soms enorm. Zo wordt bijvoorbeeld de tighte all-in range 1), door het hebben van AQ in totaal(34-24)/34 = 0.294 bijna 30% onwaarschijnlijker.

Uit deze tabel kunnen nu ook tabellen voor verschillende kansen worden gemaakt. In deze wordt voor elk van de 4 mogelijke combinaties uit de 3-betting range en de all-in range, het gedeelte aangegeven waarmee de tegenstander all-in gaat. Ter vergelijking nu een keer mét inachtneming van het card-removal-effect en een keer zonder. Deze waardes worden tenslotte berekend doordat je het aantal combinaties van de all-in range door het aantal combinaties van de 3-betting range deelt. 3-bet een tegenstander bijvoorbeeld met a) en gaat hij met 1) all-in, dan is zonder card-removal de kans daarvoor34/110 = 0.309 dus ongeveer 31%.

Wanneer we nu aannemen dat je AJ hebt kom je op de volgende tabel:

Heb je echter A2 dan ziet de tabel er zo uit:

En met KQ zo:

In de meeste gevallen wordt dus de all-in kans door de blokkers met ca. 10% verminderd. Het zal duidelijk zijn dat speltheoretisch voor een 4-bet-bluf eerder handen geschikt zijn die je niet winstgevend zult callen. Out of position is dit vaak voor alle hier genoemde handen het geval. In position zou je natuurlijk met de sterkere handen ook een call kunnen overwegen.

In het spel moet je vanzelfsprekend ook altijd de equity van je eigen hand in het oog houden. Zoals al werd uitgelegd is het met handen die goed tegen verschillende ranges presteren, niet mogelijk om 4-bet fold te spelen. Je moet in plaats daarvan een all-in vaak callen, wat de EV slechts onbeduidend verbetert (je call is slechts marginaal +EV) maar de variance gaat enorm omhoog. Of je in een bepaalde situatie liever met AQ 4-bet-call speelt of met A2 4-bet-fold moet je naar eigen ondervinding in het spel besluiten. De voors en tegens zijn hier niet het onderwerp van de analyse.

Samenvatting

Tot zover het derde deel. In het volgende deel wordt de 4-bet-bluf onder een ander aspect nog een keer opgepakt, wordt een aantal postflopsituaties geanalyseerd en de analysevorm van G-Bucks uitgelegd.

LINKS
Gerelateerd artikelen: Wiskundige concepten voor No-Limit Holdem (1) - EV & ranges Wiskundige concepten voor No-Limit Holdem (2) - Combos & odds Advanced Discussieforum: Discussieer over de inhoud van dit artikel in het forum